1ª FICHA DE ÁLGEBRA LINEAR - ESPAÇO VETORIAL

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Disciplina: ÁLGEBRA LINEAR 
Professor: Ronald Santana Turma: 2MC 
Aluno: Matricula: 
 
 
ESPAÇO VETORIAL 
 
Definição: é um conjunto não vazio de vetores V, que satisfaz duas operações: 
1. Soma 
V×V V 
2. Multiplicação por escalar 
R×V V 
Tais que para quaisquer e as seguintes propriedades sejam satisfeitas: 
 
i) 
ii) ( ) ( ) 
iii) 
iv) ( ) ( ) 
v) 
vi) ( ) ( ) 
vii) ( ) 
viii) ( ) 
 
“Espaço Vetorial é um termo genérico que pode ser designado para representar diferentes tipos 
de subconjuntos.” 
 
Exemplos: 
 O conjunto ( ) é um espaço vetorial com as operações de adição e 
subtração usuais, isto é, 
( ) ( ) ( ) 
 ( ) ( ) 
 
 M(2,2)=V, pois todas as 8 propriedades são satisfeitas. 
 =V 
 =V 
 =V 
 ( ) 
 
 = V 
 
CONTRA EXEMPLO: 
 
Seja ( ) e ( ) 
 =V e a adição e a multiplicação por uma constante definidas 
como: 
 ( ) 
 ( ) 
Nesse caso, a propriedade v não vale, pois: 
 
 
 
 
PRÓ-REITORIA ACADÊMICA 
NÚCLEO BÁSICO DE ENGENHARIA 
PERÍODO LETIVO 2013.1 
 
SUBESPAÇOS VETORIAIS 
 
Definição: dado um espaço vetorial V, um subconjunto W, não vazio, será um subespaço vetorial 
de V se: 
i) temos . 
ii) temos . 
 
Observações: 
1. Qualquer subespaço W de V precisa necessariamente conter o vetor nulo (por conta da 
propriedade iii dos espaços vetoriais) 
2. Todo espaço vetorial admite, no mínimo, dois subespaços (subespaços triviais): 
 O conjunto formado pelo vetor nulo. 
 O próprio espaço vetorial. 
Exemplos: 
1) Seja e ( ) ou ( ) , isto é, é o conjunto de 
todos os vetores do plano que têm as segunda componente igual ao dobro da primeira. 
Questões: 
 é vazio? 
 satisfaz as condições i e ii? 
 
2) =V, , um plano que passa pela origem. 
 
3) =V e ( ) 
 
Teorema: INTERSEÇÃO DE SUBESPAÇO – Dados e subespaço de um espaço vetorial V, 
a interseção ainda será um subespaço. 
 
Exemplo: =V, é uma reta de interseção dos planos e . 
 
 
Teorema: SOMA DE SUBESPAÇOS – Sejam e subespaço de um espaço vetorial V então o 
conjunto 
 
Exemplo: Se e são duas retas, é o plano que contém as duas retas. 
 
 
 
BASE DE UM ESPAÇO VETORIAL 
 
Definição: um conjunto , será base de V se: 
1. é LI. 
2. geram todos os vetores de V. 
 
Exemplos: 
1) =V, ( ) e ( ), é uma base de V, pois: 
 
 
 
2) O conjunto ( ) ( ) também é uma base de V= , pois: 
 
 
 
Exercícios: 
1) Mostre que 
 {[
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] [
 
 
]} é base de M(2,2). 
2) ( ) ( ) é base de ? 
3) Verifique se ( ) ( )} é base de . 
4) Verifique se ( ) ( ) é base de 
 
Observação: 
Todo conjunto LI de um espaço vetorial V é base do subespaço gerado por ele. 
Exemplo: ( ) ( ) é LI e gera o subespaço 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
Teorema: Se é uma base do espaço vetorial V, então todo conjunto com mais de 
n vetores é LD. 
 
DIMENSÃO DE UM ESPAÇO VETORIAL 
 
Definição: A dimensão de um espaço vetorial V não nulo é o número de vetores de uma base para 
V. ( representação: dim V) 
 
Se V não possui base, dim V = 
 
Exemplos: 
a) dim 
b) dim 
c) dim 
d) dim M(2,2) 
e) dim M(m,n) 
 
Observação: 
Seja V um espaço vetorial se é um subespaço de V, logo . Se 
 . 
 
Suponha V= , então se , temos . 
 
 
 
 
 
Teorema: Seja V um espaço vetorial de dimensão n. Qualquer conjunto de vetores LI em V é parte 
de uma base, isto é, pode ser completado até formar uma base de V. 
 
Exemplo: Seja ( ) e ( ) complete o conjunto de modo a formar uma 
base do . 
 
Solução: