Exercício de Álgebra Linear - Exercício de Fixação 1 - Tentativa 1 de 3

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Exercício de Álgebra Linear - Exercício de Fixação 1 - Tentativa 1 de 3
Questão 1 de 10
Com relação à dimensão de um espaço vetorial, avalie as afirmativas: 
I- Se a base do espaço vetorial V possui 5 vetores, então dim V = 5. 
II - Se a base do espaço vetorial V possui n+1 vetores, então dim V = n. 
III - Se o espaço vetorial V não possui base, então dim V = 1.
As afirmativas corretas são:
A - Apenas I check_circleResposta correta
B - Apenas II 
C - Apenas I e II 
D - Apenas II e III 
E - Apenas I e III 
993742351 
Capítulo 4, Espaços Vetoriais Euclidianos, página 123.
A dimensão do espaço vetorial tem a quantidade de vetores da base A desse espaço V, logo se a base do espaço vetorial V possui 5 vetores, então dim V = 5. 
Questão 2 de 10
Considere o conjunto A = {(1,3), (3,7), (-3, -9)} pertencente ao R2. Pode-se afirmar que:
A - O conjunto A forma uma base para o R2, pois é LD. 
B - O conjunto A forma uma base para o R2, pois é LI.
C - O conjunto A não forma uma base para o R2, pois é LD. check_circleResposta correta
D - O conjunto A não forma uma base para o R2, pois é LI .
E - O conjunto A forma uma base para o R2, pois é LI e LD .
Capítulo 4, Espaços Vetoriais Euclidianos, página 113. 
Como o terceiro vetor é múltiplo do primeiro vetor, ou seja, ( -3, -9) = - 3(1, 3), o conjunto A é LD e, assim, não forma uma base para o R2.
Questão 3 de 10
Sejam  V  um  espaço  vetorial  e  S  um  subconjunto  não  vazio  de  V.  O subconjunto  S  é  um  subespaço  vetorial  de  V  se  S  é  um  espaço  vetorial  em relação à adição e à multiplicação por escalar definidas em V. (http://paginapessoal.utfpr.edu.br/sheilaro/geometria-analitica-e-algebra-linear/EspaosVetoriais.pdf)
Ou seja, é dito um subconjunto ou subespaço vetorial, se o conjunto atender as relações i. e ii.
Considere S o subconjunto de R³ formado por todos os vetores da forma (x, y, 1), onde x e y são números reais quaisquer com as operações de multiplicação e adição usuais. Verifique se S é um subespaço de R³ assinale a opção correta:Eq 4,.PNG 5.57 KB
A - É um subespaço vetorial, pois atende as duas relações. 
B - Não é um subespaço, pois não atende apenas a primeira relação. 
C - Não é um subespaço, pois não atende apenas a segunda relação. 
D - Não é um subespaço, pois não atende as duas relações. check_circleResposta correta
E - É um subespaço vetorial, pois atende a primeira relação apenas. 
Solução: Capítulo 4 do livro de Álgebra Linear página 83.
Não é um subespaço, pois não atende as duas relações
Questão 4 de 10
Por definição, um conjunto de vetores de um espaço vetorial é chamado de linearmente independente (LI) se,
image.png 5.17 KBOu seja, os coeficientes ai devem ser iguais a zero. Caso contrário, o conjunto é chamado de linearmente dependente (LD).  Desta forma, pode-se afirmar que o conjunto de vetores
image.png 5.79 KB
no espaço vetorial V  = R3 , é:
A - LI, pois a = 1, b = 0 e c = 0 
B - LD, pois a = 0, b = 0 e c = 0 
C - LI, pois a = 0, b = 0 e c = 0 check_circleResposta correta
D - LD, pois a = 2, b = 0 e c = 1 
E - LD, pois a = 1, b = 1 e c = 2 
Referência - Questão 4
Capítulo 4, Espaços Vetoriais Euclidianos, página 100.
Escrevendo a combinação linear e substituindo os vetores, fica
image.png 11.93 KB
Montando o sistema, temos
image.png 7.62 KB
Resolvendo, temos os coeficientes a = 0, b = 0 e c = 0, logo é LI.
Questão 5 de 10
Escrevendo um vetor v como uma combinação linear de uma base A, os escalares a1, a2, a3, ... an, são chamados de componentes da base. Considerando a base A = {(1,2),( 1,3)} do R2 e o vetor v = (4,5),  as componentes desta bases são: 
A - x = 7 e y = -3check_circleResposta correta
B - x = 3 e y = -3
C - x = 3 e y = -7
D - x = -7 e y = -7
E - x = -7 e y = -3
Referência - Questão 5
Capítulo 4, Espaços Vetoriais Euclidianos, página 127.
escrevendo a combinação linear
(4,5) = x(1,2) + y( 1,3)
Montamos o sistema
4 = x + y
5 = 2x + 3y
Resolvendo o sistema encontramos
x = 7 e y = -3
Questão 6 de 10
Um conjunto vetorial é dito como espaço vetorial se todos os axiomas do espaço vetorial são satisfeitos. O conjunto vetorial V representado por  R2 = {(x, y) / x, y ∈ R não é considerado um espaço vetorial se for munido das as operações
image.png 1.32 KBpois não satisfaz os axiomas: 
A -image.png 6.98 KBcheck_circleResposta correta
B -image.png 6.23 KB
C -image.png 7.09 KB
D -image.png 8.9 KB
E -image.png 7.04 KB
Referência - Questão 6
Cápitulo 4, página 74
Os axiomas que não são satisfeitos são:
image.png 6.98 KBpois temos,
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image.png 4.89 KB
image.png 6.94 KB
image.png 31.05 KB
Questão 7 de 10
Ao tratar do assunto de base de um espaço vetorial, temos que ter em mente que Base  é o menor conjunto de vetores no espaço vetorial V, que representa completamente V. Para se determinar tal conjunto, deve-se conseguir qualquer vetor de V que pode ser escrito como combinação linear desses.
Desta forma, o conjunto B = { (3,3,1),(2,4,1 ), (9,9,3) } é uma base para o R3?
A - Sim, pois o conjunto B é LI 
B - Sim, pois o conjunto B é LD 
C - Não, pois o conjunto B é LIcancelRespondida
D - Não, pois o conjunto B é LD
check_circleResposta correta
E - Não, pois o conjunto B é LI e LD ao mesmo tempo 
Referência - Questão 7
Não,  pois o conjunto B é LD, ou seja,
(9,9,3) = 3(3,3,1).
Assim,  o conjunto não forma uma base do R³.
Questão 8 de 10
Um espaço vetorial (sobre o conjunto dos Reais de escalares) é um conjunto equipado com as operações de soma de vetores e de multiplicação por escalar e que satisfazem as propriedades usuais dos espaços n-ésimos. A ideia é que vários conjuntos mais abstratos possuem a estrutura parecida com a dos espaços n-ésimos e esta abordagem permite que façamos uma análise sistemática de todos estes casos. De forma mais precisa, um espaço vetorial sobre o conjunto dos Reais é um conjunto V, cujos elementos são chamados vetores, equipado com duas operações: Multiplicação e Adição. Sendo que cada uma deve ser verificada em 4 axiomas. Os axiomas da multiplicação são os seguintes:
Eq 1.PNG 14.46 KBDisponível em: (https://www.ufrgs.br/reamat/AlgebraLinear/livro/s5espax00e7os_vetoriais.html) Modificado , Acesso em: 24/04/2020.
Observando os dados sobre espaço vetorial verifique a operações de multiplicação para o seguinte conjunto de pares ordenados do R², com:Eq 2.PNG 2.08 KBCom isso, assinale a alternativa correta: 
A - Apenas as propriedades a e b são atendidascancelRespondida
B - Apenas as propriedades  a, b, e c são atendidas check_circleResposta correta
C - Apenas as propriedades b, c e d são atendidas 
D - Apenas as propriedades a, c e d são atendidas 
E - Apenas as propriedades a, b e d são atendidas 
Referência - Questão 8
Solução: Capítulo 4 do livro de Álgebra Linear página 74.
Apenas a propriedade d não é atendida, pois
Eq 3.PNG 4.23 KBCom isso as propriedades corretas são a, b e c. 
Questão 9 de 10
Os axiomas que devem ser satisfeitos para que um espaço vetorial real se defina como tal são num total de oito. O axioma que trata da existência do elemento nulo da soma é:
A -image.png 420 Bytescheck_circleResposta correta
B -image.png 513 Bytes
C -image.png 900 Bytes
D -image.png 518 Bytes
E -image.png 481 Bytes
Referência - Questão 9
Capítulo 4, Espaços Vetoriais Euclidianos, página 74.
O axioma que trata  da existência do elemento nulo da soma é
image.png 420 Bytes
Questão 10 de 10
Por definição, dizemos que um subconjunto W, não vazio, será um subespaço vetorial de V se, e somente se, forem satisfeitas as seguintes condições:
a) Para quaisquer vetores u e v ∈ W,  u + v ∈ W
b) Para quaisquer α ∈ R, u ∈ W, α.u ∈ W
Desta forma, se V = R2 e o subconjunto W = {(x, y) ∈ R2, tal que y = 3x}, com as operações de adição e multiplicação por escalar usuais, sob o R2, podemos afirmar: α
I – W não é um subespaço vetorial de V, pois a soma dos vetores pertence a W, mas a multiplicação não. 
II – W é um subespaço vetorial de V, pois as duas condições são satisfeitas.
III – W é um subespaço vetorial de V, pois a soma dos vetores pertence a W, mas a multiplicaçãonão.
IV - W é um subespaço vetorial de V, pois a soma dos vetores não pertence a W, mas a multiplicação sim.
A(s) afirmativa(s) correta(s) é(são):
A - Apenas I 
B - Apenas II check_circleResposta correta
C - Apenas III 
D - Apenas II e III 
E - Apenas I e IV 
Referência - Questão 10
Capitulo 4, Espaços vetoriais Euclidiano, página 83.
Fazendo a verificação das duas condições , temos 
u + v = (x1, 3x1) + (x2, 3x2) = (x1 + x2, 3(x1 + x2))
α.u = α.(x1, 3x1) = (α.x1, 3α.x1)
Logo, o W é um subespaço vetorial de V, pois as duas condições são satisfeitas.