EDO- Equacoes diferenciais ordinarias

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Universidade Estadual de Campinas
Faculdade de Tecnologia - FT
Turma de Engenharia de Telecomunicações
1a Lista de Exercícios
Professora: Elaine Cristina Catapani Poletti
Data: 16/03/2016
1a) Mostre que y = x− x−1 é uma solução da equação diferencial xy′ + y = 2x.
2a) Classifique as equações diferencias abaixo em ordinárias ou parciais, lineares ou não-lineares
(caso seja EDO) e determine o grau e a ordem delas.
a) x.y′ + x2.y′′ + ex.yiv = (cos(x))2.
b) uxy + ux + uy = (uxx)2.
c) y.
(
d4y
dx4
)5
= x.
(
d5y
dx5
)4
.
3a) A lei de resfriamento de Newton diz que a temperatura de um objeto muda a uma taxa pro-
porcional à diferença de temperatura entre o objeto e o meio ambiente. Considere a temperatura do
objeto T apenas uma variável do tempo t e a temperatura ambiente Tm constante durante o período
de tempo considerado. Encontre equação diferencial que modela o fenômeno e resolva-a encontrando
a função T (t) que descreve a temperatura do objeto em função do tempo.
4a) A dinâmica de uma população de bactérias P (t) obedece a lei de Malthus que afirma: A
população cresce a uma taxa proporcional ao tamanho da população. Suponha que no instante t =
0 existam 120 bactérias em uma lâmina de laboratório. Responda as seguintes perguntas:
a) Qual a equação diferencial ordinária que modela o crescimento da população de bactérias?
b) Encontre a solução da EDO encontrada no item (a).
c) Supondo que a taxa de variação instantânea seja o dobro da população a cada instante de tempo,
quantas bactérias existirão na lâmina no tempo t = 3 unidades de tempo?
1
5a) Resolva o problema de valor inicial abaixo:

dy
dx
=
−2.x.y2 − 2.y
2.x2.y + 2.x
y(0) = 0
(1)
6a) Um corpo de massa constante m é projetado da Terra em uma direção perpendicular à super-
fície da mesma com uma velocidade inicial v0. Supondo que não há resistência do ar, mas levando
em consideração a variação do campo gravitacional da Terra com a distância chegamos a seguinte
equação diferencial:
dv
dx
=
−g.R2
v.(R + x)2
(2)
encontre uma expressão para a velocidade durante o movimento resultante. Use as condições
v(0) = v0 e x(0) = 0.
7a) Considere um circuito que elétrico simples que contém uma força eletromotriz (pilha) que
produz uma voltagem E(t) volts (V) e uma corrente i(t) em amperes em um instante t. O circuito
também possui um resistor com resistência R ohms (Ω) e um indutor com indutância de L henrys (H).
A Lei de Ohm fornece a queda na voltagem em razão do resistor como R.I e a queda de voltagem por
causa do indutor é L.
di
dt
. Uma das leis de Kirchhoff diz que a soma das quedas de voltagem é igual a
voltagem fornecida E(t), então:
L.
di
dt
+ Ri = E(t) (3)
Responda as seguintes perguntas, se nesse circuito a resistência for 12Ω e a indutância 4H e a
pilha fornece uma voltagem constante de 60V .
a) Qual a solução geral dessa EDO?
b) Encontre a solução particular no caso que o valor da corrente for zero no instante t = 0.
c) Qual o valor-limite da corrente nesse circuito?
2