notas de aula v.3

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INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAC¸A˜O CIEˆNCIA E TECNOLOGIA DE SA˜O PAULO
Geometria Anal´ıtica e Vetorial (GAV)
Conceitos e comenta´rios gerais
HMC
1 Definic¸o˜es e notac¸o˜es
O objeto mais importante do presente estudo e´ o vetor, que pode ser descrito como um segmento
de reta orientado, isto e´, um elemento geome´trico que tem como atributos mo´dulo, direc¸a˜o e
sentido.
Com relac¸a˜o a` representac¸a˜o simbo´lica convencionada, um vetor pode ser indicado como −→u ,−→
AB ou como o par ordenado (x, y) (em uma representac¸a˜o restrita ao plano). Neste u´ltimo caso
(o par ordenado), entende-se que o vetor em questa˜o e´ um exemplar de um conjunto 1 de todos os
segmentos de reta orientados com as propriedades comuns (mo´dulo, direc¸a˜o e sentido) que possui
sua origem coincidente com a origem do sistema de coordenadas.
No caso da notac¸a˜o
−→
AB, os pontos A e B recebem, respectivamente, os nomes de origem e
extremidade do vetor e, conhecidas suas coordenadas, dadas tambe´m por pares ordenados (e´
importante na˜o confundir pontos com vetores, apesar desta simbologia similar), pode-se obter a
seguinte equivaleˆncia de representac¸o˜es:
−→
AB = (xB, yB)− (xA, yA) = (xB − xA, yB − yA)
Nesta representac¸a˜o, e´ comum associar ao vetor
−→
AB a` ideia de deslocamento do ponto A ate´
o ponto B, o que se indica simbolicamente como A +
−→
AB = B, ou, como feito anteriormente,−→
AB = B − A
1Chama-se esse conjunto de uma classe de equipoleˆncia.
1.1 Mo´dulo
O mo´dulo de um vetor corresponde a` medida do comprimento do segmento de reta, obtido pela
me´trica usual. Aproveitando a figura anterior, temos:
||−→AB|| =
√
(xB − xA)2 + (yB − yA)2
Esta expressa˜o e´ apoiada no chamado Teorema de Pita´goras 2, que relaciona as medidas dos
lados menores de um triaˆngulo retaˆngulo (catetos) com a medida de seu lado maior (hipotenusa).
As barras verticais duplas sa˜o usadas como indicac¸a˜o do mo´dulo de um vetor, para distiguir
da notac¸a˜o de mo´dulo de nu´mero real, que se faz com as barras simples. Ja´ que foi mencionado o
conceito, vale a recordac¸a˜o: o mo´dulo de um nu´mero real e´ o pro´prio nu´mero, se este for positivo
ou nulo, e e´ o seu oposto (sime´trico), se o nu´mero original for negativo. Simbolicamente:
|x| =
{
x, se x > 0
−x, se x < 0
Retornando ao mo´dulo de vetores, sa˜o va´lidas as seguintes propriedades:
1. ||−→u || > 0, para qualquer −→u .
2. ||α · −→u || = |α| · ||−→u ||.
3. ||−→u +−→v || 6 ||−→u ||+ ||−→v ||. (Desigualdade triangular)3
Estas propriedades sa˜o melhor compreendidas apo´s o estudo das operac¸o˜es vetoriais, apresen-
tadas pouco mais adiante.
1.2 Direc¸a˜o e sentido
A direc¸a˜o de um vetor corresponde a` sua inclinac¸a˜o em relac¸a˜o aos eixos coordenados e pode ser
medida pelo aˆngulo formado com um deles.
Se considerarmos o aˆngulo formado entre a reta que conte´m o vetor (reta diretora ou diretriz)
e o eixo horizontal (eixo x), medido no sentido anti-hora´rio (α, na figura seguinte), podemos iden-
tificar as coordenadas do vetor descritas como relac¸o˜es trigonome´tricas do triaˆngulo ABC.
2Pita´goras (Πυθαγ o´ ρας) e´ o nome associado a um matema´tico grego do se´culo VI a.C. Na˜o ha´ informac¸o˜es
biogra´ficas seguras sobre esta pessoas, mas ha´ garantia da existeˆncia de uma comunidade de filo´sofos e matema´ticos
que ficaram conhecidos pelo adjetivo de pitago´ricos.
3esta desigualdade e´ assim conhecida pois quando se verifica, e´ poss´ıvel construir um triaˆngulo com os segmentos
de tais medidas.
O triaˆngulo ABC e´ retaˆngulo no ve´rtice C e, dessa forma, valem as seguintes relac¸o˜es trigo-
nome´tricas:
cosα =
AC
AB
senα =
BC
AB
Nas expresso˜es acima, AB, AC e BC indicam as medidas dos segmentos que sa˜o lados do
triaˆngulo em questa˜o.
Como ja´ apresentado, o vetor
−→
AB pode ser escrito como
−→
AB = (xB − xA, yB − yA); ale´m disso,
o comprimento do segmento AB e´ exatamente o mo´dulo do vetor
−→
AB. Assim, as expresso˜es
anteriores podem ser reescritas como:
cosα =
xB − xA
||−→AB|| ⇒ xB − xA = ||
−→
AB|| · cosα
senα =
yB − yA
||−→AB|| ⇒ yB − yA = ||
−→
AB|| · senα
Portanto, o vetor
−→
AB pode ser respresentado tambe´m como:
−→
AB =
(
||−→AB|| · cosα, ||−→AB|| · senα
)
Isto correponde a dizer que um vetor fica plenamente definido, desde que se conhec¸a o aˆngulo
formado entre sua reta diretriz e o eixo horizontal (α) e seu mo´dulo (||−→AB||).
2 Operac¸o˜es com vetores
2.1 Multiplicac¸a˜o por um nu´mero
Dados um vetor −→u = (x, y) e um nu´mero real k (normalmente chamado de escalar), o produto
k · −→u e´ dado por:
k · −→u = (k · x, k · y)
Assim, para se multiplicar um vetor por um nu´mero, devem ser operados os produtos deste
nu´mero com cada uma das coordenadas do vetor.
Geometricamente, um mu´ltiplo escalar de um vetor e´ um outro vetor que tem - sempre - a
mesma direc¸a˜o, pode ter o sentido oposto (dependendo se o escalar e´ positivo ou negativo) e o
mo´dulo aumentado ou reduzido (dependendo se o escalar e´, em mo´dulo, maior ou menor que 1).
Um vetor −→u e seu mu´ltiplo k−→u teˆm sempre a mesma direc¸a˜o, e, portanto, sa˜o paralelos.
VETORES PARALELOS ⇒ MESMA DIREC¸A˜O ⇒ MU´LTIPLOS ESCALARES
2.2 Versores
Um versor e´ um vetor cujo mo´dulo e´ unita´rio, isto e´, se ||−→u || = 1, enta˜o −→u e´ um versor.
Dado um vetor na˜o nulo qualquer −→u , e´ poss´ıvel obter o seu versor correspondente (que tenha
a mesma direc¸a˜o, mesmo sentido e mo´dulo unita´rio) pela expressa˜o:
−→u
||−→u || .
A partir da noc¸a˜o de versor, qualquer vetor na˜o nulo pode ser entendido como um mu´ltiplo de
seu versor correspondente.
2.3 Soma vetorial
Dados dois vetores −→u = (x1, y1) e −→v = (x2, y2), sua soma e´ dada algebricamente por:
−→u +−→v = (x1 + x2, y1 + y2)
Dizendo de outra forma, para obter a soma de dois vetores, basta que se somem as coordenadas
respectivas, respeitando as regras de soma de nu´meros reais usualmente empregadas.
Na soma de vetores valem as seguintes propriedades.
1. −→u +−→O = −→u (elemento neutro)
2. −→u +−→−u = −→O (elemento oposto)
3. −→u +−→v = −→v +−→u (Comutativa)
4. (−→u +−→v ) +−→W = −→u + (−→v +−→w ) (Associativa)
Se retomarmos a ideia que associa um vetor a um deslocamento, o vetor nulo
−→
O = (0, 0)
corresponde ao deslocamento nulo ou, se pensarmos na aplicac¸a˜o de forc¸as, corresponde a um
sistema equilibrado (resultante nula).
Regra do Paralelogramo
Uma interpretac¸a˜o geome´trica u´til para a soma de vetores e´ a seguinte: tomados os dois vetores
que devem ser somados, estes sa˜o dispostos de tal forma que a origem do segundo vetor coincida
com a extremidade do primeiro.
Em seguida, vetores paralelos aos vetores que devem ser somados, completam a figura de um
paralelogramo. O vetor soma e´ dado pela diagonal maior deste quadrila´tero (ver figura abaixo).
3 Combinac¸a˜o Linear
Dados treˆs vetores −→u , −→v e −→w , se houver dois nu´meros reais a e b de tal forma que
−→w = a · −→u = b · −→v
dizemos que −→w e´ combinac¸a˜o linear dos vetores −→u e −→v .
Se forem conhecidos os pares ordenados relativos a cada um dos vetores mencionados temos:
−→u = (x1, y1)
−→v = (x2, y2)
−→w = (x, y)
O que nos permite escrever:
−→w = (x, y) = a · (x1, y1) + b · (x2, y2)
(x, y) = (ax1, ay1) + (bx2, by2)
Para que a igualdade se verifique, deve ser solucionado o seguinte sistema de equac¸o˜es:{
x = ax1 + bx2
y = ay1 + by2
3.1 Dependeˆncia linear
Sejam −→u e −→v dois vetores no plano R2. Dizemos que sa˜o linearmente dependentes se um deles e´
mu´ltiplo escalar do outro (isto e´, se −→v = k · −→u , com k ∈ R).
Negando a sentenc¸a anterior, dizemos que dois vetores no plano R2, −→u e −→v , sa˜o linearmente
independentes (L.I) se um deles na˜o e´ mu´ltiplo escalar do outro, o que tambe´m significa que
na˜o sa˜o paralelos.
4 Bases
Uma basee´ uma sequeˆncia de vetores linearmente independentes que geram o espac¸o em
questa˜o. No caso do plano R2, sa˜o necessa´rios dois vetores na˜o paralelos.
4.1 Bases ortogonais
Bases ortogonais sa˜o aquelas formadas por dois vetores que formam um aˆngulo reto (90◦) entre
si.
Bases ortonormais
Sa˜o bases ortogonais, cujos vetores teˆm mo´dulo unita´rio (ou seja, sa˜o versores).
4.2 Base canoˆnica
A base canoˆnica e´ uma base ortonormal formada pelos vetores −→e1 = (1, 0) e −→e2 = (0, 1).
Nesse caso, qualquer vetor, expresso em suas coordenadas usuais (−→v = (x, y)) e´ dado por:−→v = x · −→e1 + y · −→e2 .
5 Vetores no espac¸o (R3)
Os vetores no plano sa˜o representados por uma terna ordenada, da seguinte maneira: −→u = (x, y, z)
e as operac¸o˜es de multiplicac¸a˜o por escalar e soma vetorial sa˜o uma ampliac¸a˜o do que ja´ foi apre-
sentado para vetores no plano.
Produto por escalar:
Dados um vetor −→u = (x, y, z) e um nu´mero real k, o produto k · −→u e´ dado por:
k · −→u = (kx, ky, kz)
Soma vetorial:
Dados dois vetores −→u = (x1, y1, z1) e −→v = (x2, y2, z2), sua soma e´ dada algebricamente por:
−→u +−→v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)
6 Produto escalar
Para definir a operac¸a˜o produto escalar (na˜o confundir com produto por escalar), e´ va´lido recordar
a chamada “Lei dos cossenos”, que relaciona lados de um triaˆngulo e um dos seus aˆngulos internos.
Considerando um triaˆngulo de ve´rtices ABC, e conhecido o aˆngulo θ formado pelos lados AB e
AC, temos:
(BC)2 = (AB)2 + (AC)2 − 2 · AB · AC · cos θ
O chamado “Teorema de Pita´goras” e´ interpretado como um caso particular desta expressa˜o,
quando o aˆngulo em questa˜o e´ reto e pode ser reescrita como (BC)2 = (AB)2 + (AC)2.
Considerando o triaˆngulo da figura abaixo, que tem como lados os vetores −→u , −→v e −→w (que
pode ser entendido como −→u −−→u
Pela Lei dos cossenos antes mencionada e, considerando que o comprimento dos segmentos e´
entendido como o mo´dulo dos vetores, pode ser escrito:
||−→w ||2 = ||−→u ||2 + ||−→v ||2 − 2 ||−→u || ||−→v || cos θ
||−→u −−→v ||2 = ||−→u ||2 + ||−→v ||2 − 2 ||−→u || ||−→v || cos θ
Considerando −→u = (x1, y1) e −→v = (x2, y2), temos −→w = −→u −−→v = (x1 − x2, y1 − y2).
Assim:
(√
(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2
)2
=
(√
x21 + y
2
1
)2
+
(√
x22 + y
2
2
)2
− 2 ||−→u || ||−→v || cos θ
(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 = x21 + y21 + x22 + y22 − 2 ||−→u || ||−→v || cos θ
x21 − 2 x1 x2 + x22 + y21 − 2 y1 y2 + y22 = x21 + y21 + x22 + y22 − 2 ||−→u || ||−→v || cos θ
−2 x1 x2 − 2 y1 y2 = −2 ||−→u || ||−→v || cos θ
−2 ( x1 x2 + y1 y2) = −2 ||−→u || ||−→v || cos θ
x1 x2 + y1 y2 = ||−→u || ||−→v || cos θ
Definimos que estas duas expresso˜es equivalentes x1 x2 + y1 y2 e ||−→u || ||−→v || cos θ sa˜o o pro-
duto escalar dos vetores −→u e −→v , denotado por −→u • −→u
Algumas observac¸o˜es sobre o produto escalar:
• −→u • −→u = 0⇔ θ = 90◦
• −→u • −→u > 0⇔ 0 6 θ < 90◦
• −→u • −→u < 0⇔ 90◦ < θ 6 180◦
Produto escalar como verificac¸a˜o de ortogonalidade entre vetores :
Para verificar se pares de vetores sa˜o ortogonais, basta calcular o produto escalar que deve ser
nulo para que esta propriedade se verifique.
Por exemplo, para que uma sequeˆncia de vetores linearmente independentes {−→v1 ,−→v2 ,−→v3} de R3
seja uma base ortogonal, devem-se ter: −→v1 • −→v2 = 0, −→v1 • −→v3 = 0 e −→v2 • −→v3 = 0
6.1 Ca´lculo do aˆngulo formado entre vetores
Se −→u • −→v = ||−→u || ||−→v || cos θ, temos que:
cos θ =
−→u • −→v
||−→u || ||−→v ||
ou
θ = arccos
( −→u • −→v
||−→u || ||−→v ||
)
ou ainda
θ = arccos
 x1 x2 + y1 y2(√
x21 + y
2
1
)
·
(√
x22 + y
2
2
)

6.2 Projec¸a˜o de vetores
Na figura a seguir, o vetor α−→v , que e´ um mu´ltiplo escalar de −→v e´ a projec¸a˜o do vetor −→u sobre
a reta diretora de −→v .
Considerando a relac¸a˜o trigonome´trica do cosseno de θ (cateto adjacente sobre a hipotenusa),
temos:
cos θ =
||α−→v ||
||−→u ||
Usando a informac¸a˜o apresentada anteriormente:
cos θ =
||α−→v ||
||−→u || =
−→u • −→v
||−→u || ||−→v ||
Logo,
||α−→v ||
||−→u || =
−→u • −→v
||−→u || ||−→v ||
|α| ||−→v ||
||−→u || =
−→u • −→v
||−→u || ||−→v ||
Multiplicando por
||−→u ||
||−→v || os dois membros da equac¸a˜o, temos:
|α| =
−→u • −→v
||−→v || ||−→v ||
e, finalmente, o vetor projec¸a˜o de −→u sobre a direc¸a˜o de −→v e´ igual a
α −→v =
−→u • −→v
||−→v || ||−→v || ·
−→v
7 Produto vetorial
Esta operac¸a˜o tambe´m chamada de produto externo e´ definida apenas para vetores em R3 e de-
pende de uma definic¸a˜o preliminar que e´ a de orientac¸a˜o positiva.
Um exemplo trivial de uma orientac¸a˜o positiva do espac¸o e´ a base canoˆnica de R3, isto e´
B = {−→i ,−→j ,−→k }.
Esta propriedade normalmente e´ associada a` chamada “regra da ma˜o direita”, expressa com a
seguinte formulac¸a˜o: se a base {−→u ,−→v ,−→w } e´ possitiva e´ poss´ıvel fazer o seguinte: abra a sua ma˜o
direita, espalmada, e alinhe o primeiro vetor, digamos −→u , com o dedo indicador. Dobre o dedo
me´dio, como na figura, alinhando com o vetor −→v e o polegar com o vetor −→w .
O produto vetorial produto vetorial de −→u por −→v , denotado por −→u ×−→v e´ definido como:
O vetor nulo
−→
0 , se um dos vetores for nulo ou se {−→u ,−→v } for L.D.;
ou, caso contra´rio, um vetor com as seguintes caracter´ısticas:
i) mo´dulo igual a ||−→u || · ||−→v || · sen θ, sendo θ a medida do aˆngulo formado entre os vetores;
ii) sua direc¸a˜o e´ ortogonal ao plano que conte´m −→u e −→v , isto e´, o vetor dado pelo produto
vetorial e´ simultaneamente ortogonal a −→u e −→v ; e
iii) o sentido e´ tal que {−→u ,−→v ,−→u ×−→v } e´ uma base positivamente orientada do espac¸o.
7.1 Produto vetorial dos vetores da base canoˆnica
Analisemos o resultado do produto vetorial dos vetores
−→
i ,
−→
j e
−→
k :
−→
i ×−→i = −→0 −→i ×−→j = −→k −→i ×−→k = −−→j−→
j ×−→i = −−→k −→j ×−→j = −→0 −→j ×−→k = −→i−→
k ×−→i = −→j −→k ×−→j = −−→i −→k ×−→k = −→0
7.2 Representac¸a˜o alge´brica (matricial) do produto vetorial
Considere que os vetores −→u e −→v sejam escritos como combinac¸o˜es lineares dos vetores da base
canoˆnica:
−→u = x1−→i + y1−→j + z1−→k
−→v = x2−→i + y2−→j + z2−→k
O produto vetorial −→u ×−→v pode ser reescrito como:
−→u ×−→v =
(
x1
−→
i + y1
−→
j + z1
−→
k
)
×
(
x2
−→
i + y2
−→
j + z2
−→
k
)
ou, ainda (por distributividade):
−→u ×−→v = (x1x2)−→i ×−→i + (x1y2)−→i ×−→j + (x1z2)−→i ×−→k +
+(y1x2)
−→
j ×−→i + (y1y2)−→j ×−→j + (y1z2)−→j ×−→k +
+(z1x2)
−→
k ×−→i + (z1y2)−→k ×−→j + (z1z2)−→k ×−→k
Usando o resultado do produto vetorial dos versores da base, temos:
−→u ×−→v = (x1x2)−→0 + (x1y2)−→k − (x1z2)−→j +
−(y1x2)−→k + (y1y2)−→0 + (y1z2)−→i +
+(z1x2)
−→
j − (z1y2)−→i + (z1z2)−→0
Descartando as parcelas que esta˜o multiplicas por vetores nulos e organizando os nu´meros que
multiplicam o mesmo versor:
−→u ×−→v = ((y1z2)− (y2z1))−→i + ((z1x2)− (z2x1))−→j + ((x1y2)− (x2y1))−→i
Para facilitar a operac¸a˜o, e´ usual empregar uma representac¸a˜o matricial, como um determi-
nante “simbo´lico” (pois nem todas as informac¸o˜es sa˜o numeros), como a seguinte:
∣∣∣∣∣∣
−→
i
−→
j
−→
k
x1 y1 z1
x2 y2 z2
∣∣∣∣∣∣
ou ainda: ∣∣∣∣∣∣
−→
i
−→
j
−→
k
x1 y1 z1
x2 y2 z2
∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣ y1 z1y2 z2
∣∣∣∣−→i + ∣∣∣∣ z1 x1z2 x2
∣∣∣∣−→j + ∣∣∣∣ x1 x2y1 y2
∣∣∣∣−→k