Aula 3 - Estatística Descritiva II

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Estatística Descritiva II
Prof.: Alexandra Augusti Boligon
Universidade Federal do Pampa
Campus São Gabriel
Curso de Biotecnologia
Medidas Descritivas
Medidas de tendência central ou de posição
• Resumem as informações contidas em um conjunto de dados
estabelecendo o valor de um ponto central em torno do qual os dados se
distribuem.
• Exemplos: média, mediana, moda.
1 – Média
1.1 - Média aritmética ou simplesmente média 
• Mais conhecida e utilizada. 
n
x
x
n
i
i
 1
Onde:
n= número de elementos da amostra.
xi = todos os valores observados.
Exemplo 1:
Determinar a média aritmética simples dos valores abaixo:
3, 7, 8, 10, 11.
8,7
5
1110873


x
OBS.: Média de dados apresentados em tabelas e
distribuições de frequencia.
n
fx
x
k
i
i
 1
*
Onde:
= pontos médios das classes.
= frequencia absoluta da classe. 
ix
if
Exemplo 2: 
Dada a seguinte distribuição:
Determine a média:
xi 1 2 3 4
fi 1 3 5 1
xi 1 2 3 4
fi 1 3 5 1
xi*fi 1 6 15 4
6,2
10
26
x
Exemplo 3:
Determine a média da distribuição:
Renda familiar (salários) 2 Ⱶ 4 4 Ⱶ 6 6 Ⱶ 8 8 Ⱶ 10 10 Ⱶ 12
Nº de famílias 5 10 14 8 3
Classes 2 Ⱶ 4 4 Ⱶ 6 6 Ⱶ 8 8 Ⱶ 10 10 Ⱶ 12 Total
fi 5 10 14 8 3 40
xi 3 5 7 9 11 ---
xi*fi 15 50 98 72 33 268
saláriosx 7,6
40
268

Solução:
Propriedades da média
1 – A média de uma constante é a própria constante.
2 – Multiplicando-se todos os valores de uma variável por uma
constante, a média do conjunto fica multiplicada por essa constante.
3 – Somando-se ou subtraindo-se uma constante a todos os valores de
uma variável, a média do conjunto fica acrescida ou diminuída dessa
constante.
4 – A soma dos desvios em torno da média é zero. Isto é,
5 – A soma dos quadrados dos desvios medidos em relação à média é
um mínimo, ou seja, é sempre menor que que a soma dos quadrados
dos desvio medidos em relação a outro valor qualquer. Isto é,
é mínimo.
  0 xxi
  2)( xxi
1. 2 - Média geral
• A média aritmética de vários conjuntos de dados é a média geral.
• Exemplo 4:
 4, 5, 6, 7, 8.
 1, 2, 3. 
 9, 10, 11, 12, 13. 
k
kk
nnn
xnxnxn
x



...
...
21
2211
6......5 11  xn
2........3 22  xn
11.........5 33  xn
Solução: 
7
535
11*52*36*5



x
1. 3 - Média geométrica
n
n
f
n
ff
xxxMg *...** 221
1
Exemplo 5: Calcular a média geométrica do conjunto de dados 
abaixo:
3, 6, 12, 24, 48.
5 11111 48*24*12*6*3Mg
Mg = 12
1. 4 - Média harmônica





n
i i
i
n
n
x
f
n
x
f
x
f
x
f
n
Mh
12
2
1
1 ...
Exemplo 6: Calcular a média harmônica do conjunto de dados 
abaixo:
2, 5, 8.
64,3
8
1
5
1
2
1
3


Mh
2 - Mediana
Colocando os valores de um conjunto de dados, mediana é o valor
que divide esse conjunto de dados em duas partes iguais.
0 50% 100%
Cálculo da mediana – variável discreta
Se n for ímpar, a mediana será o elemento central de ordem:
Se n for par, a mediana será a média entre os elementos centrais de 
ordem:
2
1n
1
22

n
e
n
Exemplo 7: n ímpar.
xi fi Fac
1 1 1
2 3 4
3 5 9
4 2 11
∑ 11
n = 11 (ímpar), logo:
Md = (11 + 1) / 2 = 6º elemento.
Contém o 6º elemento.
Assim, Md = 3.
Cálculo da mediana – variável discreta
Exemplo 8: se n for par:
n = 42
º22º211
2
42
2
42
eeMd 
xi fi Fac
82 5 5
85 10 15
87 15 30
89 8 38
90 4 42
∑ 42
Assim, a mediana é dada pela média entre o 21º e o 22º 
elemento.
Contém o 21º e o 22º elemento.
Assim, Md = (87+87) /2 = 87.
Cálculo da mediana – variável contínua
Não interessa se n é par ou ímpar.
1º passo: Calcula-se a ordem n/2.
2º passo: Pela Fac (frequencia acumulada), identifica-se a classe 
que contém a mediana.
3º passo: aplica-se a fórmula:
Md
Md
f
hf
n
lMd
*
2









Cálculo da mediana – variável contínua
Onde:
lMd = limite inferior da classe que contém a mediana.
n = número de elementos.
∑f = soma das frequências anteriores à classe que contém a mediana.
h = amplitude da classe que contém a mediana.
fMd = frequência da classe que contém a mediana.
Md
Md
f
hf
n
lMd
*
2









Exemplo 9
Dada a distribuição amostral, calcular a mediana. 
67,61
18
10*17
2
58
55 







Md
Classes Fi Fac
35 Ⱶ 45 5 5
45 Ⱶ 55 12 17
55 Ⱶ 65 18 35
65 Ⱶ 75 14 49
75 Ⱶ 85 6 55
85 Ⱶ 95 3 58
∑ 58
º292/582/ n
3 - Quartis
Os quartis dividem o conjunto de dados em quatro partes iguais.
0 50% 100%25% 75%
Q1 Q2 Q3
Cálculo – variáveis contínuas
Primeiro quartil (Q1)
1
1
*)
4
(
1
Q
Q
f
hf
n
lQ


1º passo: Calcula-se n/4.
2º passo: Identifica-se a classe Q1 pela Fac.
3º passo: Aplica-se a fórmula 
Terceiro quartil (Q3)
3
3
*)
4
3
(
3
Q
Q
f
hf
n
lQ


1º passo: Calcula-se 3n/4.
2º passo: Identifica-se a classe Q3 pela Fac.
3º passo: Aplica-se a fórmula 
Q2 = Md
Exemplo 10:
Dada a distribuição, determinar os quartis (Q1 e Q3) e mediana. 
Classes 
(xi)
fi Fac
07 Ⱶ 17 6 6
17 Ⱶ 27 15 21
27 Ⱶ 37 20 41
37 Ⱶ 47 10 51
47 Ⱶ 57 5 56
∑ 56
4 - Decis
Os decis dividem o conjunto de dados em dez partes iguais.
0 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 
1º PASSO: calcula-se (i*n) / 10, onde i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9.
2º PASSO: Identifica-se a classe Di pela Fac. 
3º PASSO: Aplica-se a fórmula.
Onde: 
lDi = limite inferior da classe Di = 1, 2, ..., 9.
n = tamanho da amostra.
h = amplitude da classe Di.
fDi = frequência da classe Di.
∑f = soma das frequências anteriores à classe Di (frequências acumulada da classe 
anterior).
i
i
D
Di
f
hf
ni
lD
*
10
*









5 - Percentis
Os percentis dividem o conjunto de dados em 100 partes iguais.
0 1% 2% 3% ......... 50% ......... 97% 98% 99% 100%
P1 P2 P3 P50 P97 P98 P99 
1º PASSO: calcula-se (i*n) / 100, onde i = 1, 2, 3, ...97, 98, 99.
2º PASSO: Identifica-se a classe Pi pela Fac. 
3º PASSO: Aplica-se a fórmula.
Onde: 
LPi = limite inferior da classe Pi = 1, 2, 3, ..., 97, 98, 99.
n = tamanho da amostra.
h = amplitude da classe Pi.
fPi = frequencia absoluta da classe Pi.
∑f = soma das frequencias anteriores à classe Pi (frequência acumulada).
i
i
P
Pi
f
hf
ni
lP
*
100
*









Exemplo 11:
Dada a distribuição, determinar o 4º decil e o 72º percentil. 
Classes 
(xi)
fi Fac
4 Ⱶ 9 8 8
9 Ⱶ 14 12 20
14 Ⱶ 19 17 37
19 Ⱶ 24 3 40
∑ 40
6 - Moda
É o valor mais frequente na distribuição. Quando os dados não estão
agrupados em classe, a moda é encontrada pela simples observação
do elemento de maior frequencia.
xi 243 245 248 251 307
fi 7 17 23 20 8
Moda = Mo = 248.
Quando os dados estão agrupados em classes
1º PASSO: Identifica-se a classe modal (maior frequencia).
2º PASSO: Aplica-se a fórmula.
Onde:
l = limite inferior da classe modal.
∆1 = diferença entre a frequencia da classe modal e a imediatamente 
anterior.
∆2 = diferença entre a frequencia da classe modal e a imediatamenteposterior.
h = amplitude da classe modal
hlMo *
21
1



Exemplo 12:
Determinar a moda para a distribuição:
1º PASSO: Identifica-se a classe modal: 3ª classe 2 Ⱶ 3. 
2º PASSO: Aplica-se a fórmula:
Classes 
(xi)
0 Ⱶ 1 1 Ⱶ 2 2 Ⱶ 3 3 Ⱶ 4 4 Ⱶ 5 ∑
fi 3 10 17 8 5 43
Medidas de dispersão
• São medidas estatísticas utilizadas para avaliar o grau de variabilidade, ou
dispersão, dos valores em torno da média. Servem para medir a
representatividade da média.
• Exemplos: amplitude, variância, desvio-padrão, coeficiente de variação.
1 - Amplitude total (H)
É a diferença entre o maior e o menor dos valores da série.
H = Xmáx – Xmín
Para o conjunto de dados:
10, 12, 20, 22, 25, 33, 38.
H = 38 – 10 = 28
OBS.: Sua utilização como medida de dispersão é muito limitada, pois, como 
depende apenas dos valores extremos, é instável, não sendo afetada pela 
dispersão dos valores internos. 
2 – Variância (σ2 ou S2)
É o quadrado do desvio de cada valor em relação à média:
VARIÂNCIA POPULACIONAL:
VARIÂNCIA AMOSTRAL:
 2xxi 
 
N
xi 

2
2


 
1
2
2




n
xx
S
i
 











N
fx
fx
N
ii
ii
2
22
*
*
1
 













n
fx
fx
n
S
ii
ii
2
22
*
*
1
1
3 – Desvio-padrão (σ ou s)
É a raiz quadrada da variância. 
Na variância a unidade de medida está ao quadrado. Para se ter a unidade
original, definiu-se o desvio-padrão.
DESVIO-PADRÃO POPULACIONAL:
DESVIO-PADRÃO AMOSTRAL:
2 
2SS 
Exemplo 13:
Determinar a média, variância e o desvio-padrão da distribuição amostral:
xi fi xi
*fi xi
2*fi
5 2
7 3
8 5
9 4
11 2
∑ 16
4 – Coeficiente de variação (CV)
Medida relativa de dispersão útil para a comparação quando as medidas de 
mensuração são diferentes, ou seja, para comparar o grau de variabilidade 
de amostras medidas em diferentes unidades de medida (Kg, m, l...).
DESVIO-PADRÃO POPULACIONAL:
DESVIO-PADRÃO AMOSTRAL:
100*%


CV
100*%
x
S
CV 
Exemplo 14:
Determinar a média, variância, desvio-padrão e coeficiente de variação:
Classes fi xi 
* xi*fi x2 xi
2fi
2 Ⱶ 4 2 3 6
4 Ⱶ 6 4 5 20
6 Ⱶ 8 7 7 49
8 Ⱶ 10 4 9 36
10 Ⱶ 12 3 11 33
∑ 20 144
*Xi = ponto médio da classe.
Exemplo 15:
Numa empresa, o salário médio dos homens é de R$ 4.000,00, com desvio-
padrão de R$ 1.500,00. Já o das mulheres é, em média, R$ 3.000,00 com
desvio-padrão de 1.200,00. Calcule o coeficiente de variação e interprete o
resultado.