Métodos_EDO1

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Equações Diferenciais Ordinárias 
Disciplina: Métodos Matemáticos I 
Cefet/RJ – Campus Petrópolis 
 
 
 
DEFINIÇÃO 1: Equação diferencial é um tipo de equação que estabelece relação 
entre uma variável independente(x) , a função y=f(x) e suas derivadas. 
 
 
 
 
 
 
Quando a equação diferencial venha plicada em um problema que envolva tempo 
denotaremos a função y por y=f(t). 
 
 
DEFINIÇÃO 2: A ordem de uma equação diferencial é dada pela ordem da 
derivada mais elevada presente na equação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
, , ... 
DEFINIÇÃO 3: A ordem de uma equação diferencial é chamada linear quando 
pode ser escrita como: 
 
 
 
 
onde e são funções somente da variável x. Uma equação que não 
é linear é dita não linear. 
)()()(...)()( 011
1
1 xbyxa
dx
dy
xa
dx
yd
xa
dx
yd
xa
n
n
nn
n
n  


niai ,...,0, 
)(xb
xy
dx
yd
xyyy
xy
dx
dy
dx
yd
ydxdyx




2
4
4
2
2
3
2'8''
cos65
0
LINEAR 
LINEAR 
NÃO LINEAR 
NÃO LINEAR 
DEFINIÇÃO 4: A solução de uma EDO, em um intervalo I, é toda função que 
torna uma sentença verdadeira em I. 
 O gráfico de uma solução de uma EDO é chamado curva integral da 
equação. Portanto a solução geral de uma equação diferencial produz uma família 
de curvas integrais. 
 
 
 Exemplo: 
 
 
As soluções se classificam em: 
 
 
Solução geral - 
apresenta n constantes independentes entre si (n = ordem da EDO). Essas 
constantes, de acordo com a conveniência, podem ser escritas C, 2C, C2, 
lnC, etc. 
 
 
 
Solução Particular - 
Obtida da geral, mediante condições dadas (chamadas condições iniciais ou 
condições de contorno). 
 
 
 
 
 
CLASSIFICAÇÃO DAS EQUAÇÕES 
DIFERENCIAIS 
 
EQUAÇÃO DIFERENCIAL ORDINÁRIA (EDO): 
 
Envolve derivadas de uma função de uma só variável independente. 
 
 
EQUAÇÃO DIFERENCIAL PARCIAL (EDP): 
 
Envolve derivadas parciais de uma função de mais de uma variável independente. 
 
Exemplos de EDOs na Física 
 Para resolver um problema de equação diferencial em geral 
há condições que determinam valores específicos para as constantes 
arbitrárias. 
 Numa equação diferencial de primeira ordem só temos uma 
constante arbitrária para satisfazer as condições do problema de valor 
inicial. 
Problemas de valor inicial 
Softwares Matemáticos para EDO 
Maple 
 
Matlab 
 
Máxima 
O software Máxima 
- O software Máxima é um sistema de computação algébrica ; 
 
- Seus recursos possibilitam um tratamento computacional para resolver : 
EDO, integrais, derivadas, etc. 
 
-Possui uma versão com interface gráfica chamada, wxMaxima. 
 
- Tanto o Maxima quanto o wxMaxima são softwares livres. 
 
- Usaremos em nosso curso a versão wxMaxima 12.0.1 com o windows. 
 
-Disponível em: http://wxmaxima.sourceforge.net 
Equações Lineares de primeira ordem 
As equações lineares de 1ª ordem podem ser escritas como: 
Resolvendo uma EDO de 1ª ordem 
Existem diversos métodos para a resolução de EDOs de 1ª ordem. 
 
 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS GERAIS 
 
 
Resolver a equação diferencial: 
 
 
 
3' xy 
1) Método do Fator Integrante 
 
 
 Considere uma EDO de primeira ordem: 
 
 
 
 
 
 
onde P e Q são funções contínuas em um intervalo dado. 
 Método do Fator Integrante 
 Consiste na multiplicação de ambos os lados da equação por uma função adequada 
I(x) chamada FATOR INTEGRANTE. 
 
 
 
 Onde: 
 
 
 
 
 Para resolver uma EDO linear basta multiplicar ambos os lados da equação pelo 
fator integrante e em seguida, integrar ambos os lados. 
))'()(()))(')(( xQxIyxPyxI 

dxxP
exI
)(
)(
Exemplos: 
1) Resolver a EDO: 
 
 
2) Considere um circuito elétrico simples. Com uma força eletromotriz (PILHA OU 
GERADOR) que produz uma voltagem de E(t) volts (V) e uma corrente de I(t) 
amperes em um instante t. O circuito também possui um resistor com resistência R 
ohms e um indutor com uma indutância L. 
 
 
 
 
 
 Esse problema pode ser expresso pela 
 equação diferencial linear de primeira ordem : 
 
 
1'2 xyyx
 Segundo a Lei de Ohm: 
 
 a queda de voltagem por causa do resistor é RI 
 a queda da voltagem por causa do indutor é L(dI/dt) 
 Leis de Kirchhoff: A soma das quedas de voltagem é igual E(t). 
 
 
 Agora vamos ao problema: 
 
 Suponha um circuito simples conforme mostrado anteriormente. 
Considere uma resistência de 10Ω e a indutância seja 4H. Se uma pilha 
fornecer uma voltagem constante de 60 V e o interruptor for fechado 
quando t=0, então a corrente começa com I(0)=0. Encontre a I(t) usando a 
EDO apresentada anteriormente. 
 
3) Resolver o problema de valor inicial usando o método do fator 
integrante: 
 
 
 



 
75,0)0(
2'
y
eyy x
Existência e unicidade de um problema 
de valor inicial 
 Num problema de valor inicial temos que observar 2 situações: 
 
 1. A solução do problema existe? 
 2. Se essa solução existe, ela é única? 
 
 A maior parte das EDOs terá soluções e as soluções do problema de valor inicial 
serão únicas. 
 
 TEOREMA: Existência de uma única solução 
 Seja R uma região retangular no plano xy definida por e 
 que contém o ponto (x,y). Se f(x,y) e a derivada de f em relação a y são contínuas 
em R, existe algum intervalo 
 
 contido em[a,b] e uma única função y(x) definida em I que é uma solução do 
problema de valor inicial. 
bxa 
dyc 
0),()(: 000  hhxxhxI
 
 2)Campo de Direções 
 Algumas EDOs são difíceis de resolver através de uma solução explícita. 
Sendo assim, podemos fazer uma abordagem gráfica dessa equação. 
 
 Suponha que tenhamos uma equação diferencial de primeira ordem: 
 
y’=F(x,y) 
 
 onde F(x,y) é uma expressão em x e y. 
 
 Podemos desenhar pequenos segmentos de reta com inclinação F(x,y) em 
 vários pontos (x,y), o resultado será chamado CAMPO DE DIREÇÕES. 
 Exemplo: 
 
 Esboçar o campo de direções para a equação diferencial: 
 
 
1' 22  yxy