Métodos_EDO2

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Equações Diferenciais Ordinárias 
Disciplina: Métodos Matemáticos I 
Cefet/RJ – Campus Petrópolis 
 
Equações Separáveis 
 
 É um tipo de EDO que pode ser resolvida explicitamente. Uma 
equação separável é um tipo de EDO de primeira ordem na qual a expressão: 
 
 
 
 
pode ser fatorada. 
 
DEFINIÇÃO: Uma equação diferencial de primeira ordem da forma: 
 
 
 
 
 
É chamada separável. 
 
 
 
dx
dy
)()( yhxg
dx
dy

 Uma EDO de primeira ordem pode ser escrita como um produto de x com y. 
A EDO de primeira ordem não linear pode ser escrita como: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Onde M depende apenas de x e N depende apenas de y. 
dyyxNdxxM
dx
dy
yxNyxM
dx
dy
yxNyxM
yyxNyxM
),()(
),(),(
0),(),(
0').,(),(




 Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Sendo a primeira equação separável e a segunda não separável. 
 
 
 
 
xseny
dx
dy
xey
dx
dy yx

 432
 
 Resolva as EDOs pelo método das equações separáveis: 
 
 
 
 1) 
 
 
 
 
 
 2) 
)1(2
243 2



y
xx
dx
dy
3)4( 

y
y
x
dx
dy
Trajetórias Ortogonais 
 É uma curva que intercepta cada curva ortogonalmente . Como exemplo 
podemos pensar em cada membro da família y=mx de retas que passa pela origem 
é uma trajetória ortogonal da família : 
 
 
 
222 ryx 
 Exemplo: 
 
 Encontrar as trajetórias ortogonais da família de curvas: 
 
 
 
 onde k é uma constante arbitrária. 
2kyx 
Equações diferenciais como modelos matemáticos 
 
 A descrição matemática de um sistema ou fenômeno físico é chamada de 
modelo matemático. Para construir um modelo matemático é necessário: 
 
 1. Identificar as variáveis responsáveis pela variação do sistema. 
 
 2. Elaborar um conjunto de hipóteses razoáveis ou pressuposições o sistema que 
estamos tentando descrever. 
 
 
 Como num sistema as hipóteses envolvem geralmente uma taxa de variação 
de duas ou mais variáveis. A descrição dessas hipótese pode ser uma ou mais 
equações envolvendo variáveis. 
Compare as predições do modelo com fatos 
conhecidos. 
 Hipóteses 
Formulação Matemática 
Resolução de Equações 
Diferenciais 
Obter as soluções 
Modelos Matemáticos 
 Modelos para crescimento populacional 
 
 
 
 
 
 Sendo k=constante. Quando k>0 a população P(t) aumenta e quando k<0 a 
população diminui. 
 Decaimento Radioativo 
 
 A taxa segundo a qual o núcleo de uma substância decai: 
 
 
 
 Sendo A(t) a substância remanescente no instante t, sendo k<0. 
 
 
kA
dt
dA

 Lei de Newton do Esfriamento/Aquecimento 
 
 A taxa segundo a qual a temperatura do corpo varia: 
 
 
 
 Sendo T(t) a temperatura do corpo no instante t. 
 
 Tm é a temperatura do meio que o rodeia 
 
 k é constante de proporcionalidade 
)( mTTk
dt
dT

 Circuito em Série 
 Considere um circuito em série contendo um indutor e capacitor. Uma vez 
que a corrente i(t) está relacionada com a carga q(t) no capacitor, a equação 
diferencial de segunda ordem: 
 
 
 
 
 
 
 Onde a 1ª parcela: indutor, 2ª parcela: resistor e a 3ª parcela: capacitor. 
 E(t): Voltagem aplicada em uma malha. i(t): A corrente no circuito depois que a 
chave foi fechada. 
)(
1
2
2
tEq
Cdt
dq
R
dt
qd
L 
 Corpos em Queda 
 O movimento de um corpo em um campo de força pela segunda lei de 
Newton: 
 
 F=m.a 
 
 Imagine uma pedra jogada para cima de um topo de um prédio. A aceleração 
da pedra será dada por: 
 
 
 
 Força líquida = m .g 
 
 
2
2
dt
Sd
gm
dt
Sd
m .
2
2

 Sistemas Predator-Presa 
 É um modelo que leva em consideração a interação de duas espécies no 
mesmo ambiente. Nesses tipos de modelos teremos um par de equações 
diferenciais acopladas. Teremos duas espécies: 
 
 PRESA – Tem um amplo suprimento alimentar. 
 
 PREDADOR – Se alimenta da presa 
 
 Exemplos: coelhos e lobos, peixes e tubarões, etc. 
 
 Considere C(t) o número de presas e L(t) o número de predadores 
 Um sistema de equações que incorporam essas duas situações é mostrado 
através das equações diferenciais: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Sendo k, r, a, b constantes positivas. Observe que o termo: 
 
 - aCL diminui a taxa natural de crescimento das presas 
 bCL aumenta a taxa de crescimento natural dos predadores 
 
 
bCLrL
dt
dL
aCLkC
dt
dC


Resumo dos métodos de resolução de EDO