AULA TEÓRICA 5 - Geometria Analítica - SLIDES

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1
Geometria Analítica
Aula 5
Prof. Nacib Mattar Jr
Distâncias e Cônicas
Organização da Aula
� Distâncias
� Cônicas: circunferência
� Cônicas: elipse
� Cônicas: hipérbole
� Cônicas: parábola
��� = ��
��� = �� − �� 	 + �� − �� 	 + �� − �� 	
Distância entre dois pontos
� A distância entre dois pontos, 
A e � é dada pelo módulo 
do vetor ��:
Exemplo
� Distância entre A = 4,8,2
e � = 1,2,5 :
� Distância entre A = 4,8,2
e � = 1,2,5 :
��� = ��
��� = 1 − 4
	 + 2 − 8 	 + 5 − 2 	
��� = −3
	 + −6 	 + 3	
��� = 9 + 36 + 9
��� = 54 	≅ 7,35	�. �.
2
Produto vetorial
� � � �� = � �� senθ, sendo θ
o ângulo entre � e ��
senθ =
$%
&'(
senθ =
$%
)
�* = �� senθ
Produto vetorial
� � � �� = � �� senθ, sendo θ
o ângulo entre � e ��
Distância entre ponto e reta
� � �� = � �� senθ
�� senθ =
� � ��
�
Exemplo
� Distância entre o ponto 
P = 1,2,3 e a reta 
r:	 �, �, � = ., 1 + 3., −2 − 3.
� Distância entre o ponto 
P = 1,2,3 e a reta 
r:	 �, �, � = ., 1 + 3.,−2 − 3. :
� = 1,3, −3 → �0.*1	�210.*1	�0	1
Para	t = 0: � = 0,1, −2 → 6*7.*	�0	1
�� = �8 = 98 − 9� = 1,2,3 − 0,1,−2 = 1,1,5
� � �� = � �� senθ
� :,; =
<�)
<
�� senθ =
<�)
<
3
� � �� = �0.
=� >� ?
1 2 −3
1 1 5
� � �� = 13=�− 8>�− ? = 13,−8,−1
� � �� = 13	 + −8 	 + −1 	 = 234
� = 1	 + 3	 + −3 	 = 19
� = 1,3, −3 e �� = 1,1,5
� :,; =
<�)
<
� :,; =
	@A
BC
� :,; ≅ 3,5
Distância de ponto a plano
� :,∝ =
EFGHIJGH$KGHL
EMHIMH$M
8 = �N, �N, �N
∝: O� + P� + �� + � = 0
Exemplo
� Distância entre o ponto 
P = 1,2,3 e o plano 
∝: 2x + 5y − 3z − 7 = 0
� Distância entre o ponto P = 1,2,3
e o plano ∝: 2x + 5y − 3z − 7 = 0
� :,∝ =
EFGHIJGH$KGHL
EMHIMH$M
� :,∝ =
	∙BHU∙	H V@ ∙@H VW
	MHUMH V@ M
� :,∝ =
	HBNVCVW
AH	UHC
� :,∝ =
VA
@X
=
A
@X
≅ 0,65	�. �.
8 = �N, �N, �N e			∝: O� + P� + �� + � = 0
Cônicas
Circunferência
4
Cônicas 
� Curvas que podem ser obtidas a 
partir de uma superfície cônica
� Cônicas degeneradas
Circunferência
� Conjunto de 
pontos no plano 
cuja distância 
ao ponto C 
é igual a R
Y = �N, �N →
�07.1*	�O	�21��7Z01ê7�2O
8 = �, � →
6*7.*	601.07�07.0	à	�21��7Z01ê7�2O
] = �:^ →
1O2*	�O	�21��7Z01ê7�2O
Circunferência: equação reduzida
Y = �N, �N → �07.1*	�O	�21��7Z01ê7�2O
8 = �, � → 6*7.*	601.07�07.0	
à	�21��7Z01ê7�2O
] = �:^ → 1O2*	�O	�21��7Z01ê7�2O
] = �:^ = � − �N
	 + � − �N
	
� − �N
	 + � − �N
	 = ]	
Circunferência: equação geral
� − �N
	 + � − �N
	 = ]	
�	−2��N + �N
	 + �	 − 2��N + �N
	 = ]	
�	 + �	−2��N − 2��N + �N
	 + �N
	 = ]	
�	 + �	 − 2��N − 2��N = ]
	 − �N
	 − �N
	
5
Exemplo 1 
� Determine a 
equação reduzida da 
circunferência de centro 
na origem e raio 3
� Circunferência de centro na 
origem e raio 3
� − �N
	 + � − �N
	 = ]	
� − 0 	 + � − 0 	 = 3	
�	 + �	 = 9
Exemplo 2
� Determine qual é 
a cônica dada por 
2�	 + 2�	 − 8� − 4� + 9 =
0
� Cônica dada por 2�	 + 2�	 − 8� − 4� + 9 = 0
2�	 + 2�	 − 8� − 4� + 9 = 0
2�	 − 8� + 2�	 − 4� + 9 = 0
2 �	 − 4� + 2 �	 − 2� + 9 = 0
2 �	 − 4� + 4 − 4 + 2 �	 − 2� + 1 − 1 + 9 = 0
2 � − 2 	 − 4 + 2 � − 1 	 − 1 + 9 = 0
2 � − 2 	 − 8 + 2 � − 1 	 − 2 + 9 = 0
2 � − 2 	 + 2 � − 1 	 − 10 + 9 = 0
2 � − 2 	 + 2 � − 1 	 − 1 = 0
2 � − 2 	 + 2 � − 1 	 − 1 = 0
� Cônica dada por 2�	 + 2�	 − 8� − 4� + 9 = 0
2 � − 2 	 + 2 � − 1 	 = 1
	 FV	 MH	 JVB M
	
=
B
	
� − 2 	 + � − 1 	 =
B
	
Circunferência 
Centro: 2,1
Raio: 
B
	
≅ 0,71
Translação de eixos
x_ = x − 2		e		y_ = y − 1
6
Para x_ = x − 2		e		y_ = y − 1:
� − 2 	 + � − 1 	 =
1
2
�′ 	 + �′ 	 =
1
2
Cônicas
Elipse
Elipse: equação canônica
� Conjunto de pontos no plano 
cuja soma das distâncias a 
dois pontos, aB e a	, é igual 
a um mesmo valor a
FVFG
M
EM
+
JVJG
M
IM
= 1
C= �N, �N
Circunferência: elipse com a=b
� − �N
	
O	
+
� − �N
	
P	
= 1
� − �N
	
O	
+
� − �N
	
O	
= 1
� − �N
	 + � − �N
	 = O	
Exemplo 1
� Determine as equações da elipse:
7
� Equações da elipse:
Y07.1*:	 1,2
O = 2
P = 4
� − �N
	
O	
+
� − �N
	
P	
= 1
� − 1 	
2	
+
� − 2 	
4	
= 1
� − 1 	
4
+
� − 2 	
16
= 1
Equação canônica 
ou equação reduzida
Y07.1*:	 1,2 O = 2 P = 4
� − 1 	
4
+
� − 2 	
16
= 1
4 � − 1 	
16
+
� − 2 	
16
=
16
16
4 � − 1 	 + � − 2 	 = 16
4 �	 − 2� + 1 + �	 − 4� + 4 = 16
4�	 − 8� + 4 + �	 − 4� + 4 − 16 = 0
4�	 + �	 − 8� − 4� + 4 + 4 − 16 = 0
4�	 + �	 − 8� − 4� − 8 = 0
Equação geral
Exemplo 2
� Determine qual é 
a cônica dada por 
9�	 + 4�	 + 18� − 8� − 23 = 0
� Cônica dada por 9�	 + 4�	 + 18� − 8� − 23 = 0
9�	 + 4�	 + 18� − 8� − 23 = 0
9�	 + 18� + 4�	 − 8� − 23 = 0
9 �	 + 2� + 4 �	 − 2� − 23 = 0
9 �	 + 2� + 1 − 1 + 4 �	 − 2� + 1 − 1 − 23 = 0
9 � + 1 	 − 1 + 4 � − 1 	 − 1 − 23 = 0
9 � + 1 	 − 9 + 4 � − 1 	 − 4 − 23 = 0
9 � + 1 	 + 4 � − 1 	 − 13 − 23 = 0
9 � + 1 	 + 4 � − 1 	 − 36 = 0
� Cônica dada por 
9�	 + 4�	 + 18� − 8� − 23 = 0
9 � + 1 	 + 4 � − 1 	 = 36
C FHB M
@b
+
A JVB M
@b
=
@b
@b
 
FHB M
A
+
JVB M
C
= 1 
cd26e0
Centro:	 −1,1
O = 2 e b =3 
8
Cônicas
Hipérbole
Hipérbole
� Conjunto de pontos no plano 
cuja diferença, em módulo, das 
distâncias a dois pontos, aB e a	, 
é igual a um mesmo valor a
Hipérbole: equação canônica
FVFG
M
EM
−
JVJG
M
IM
= 1
]Oi*e	à	0ej�01�O	0	à	�2102.O
−
FVFG
M
EM
+
JVJG
M
IM
= 1
]Oi*e	O�2iO	0	OPO2�*
Exemplo 1
� Determine qual é a 
cônica dada por 
4�	 − �	 − 16� + 2� − 1 = 0
� Cônica dada por 4�	 − �	 − 16� + 2� − 1 = 0
4�	 − �	 − 16� + 2� − 1 = 0
4�	 − 16� − �	 + 2� − 1 = 0
4 �	 − 4� − 1 �	 − 2� − 1 = 0
4 �	 − 4� + 4 − 4 − �	 − 2� + 1 − 1 − 1 = 0
4 � − 2 	 − 4 − � − 1 	 − 1 − 1 = 0
4 � − 2 	 − 16 − � − 1 	 + 1 − 1 = 0
4 � − 2 	 − � − 1 	 − 16 = 0
4 � − 2 	 − � − 1 	 = 16
9
� Cônica dada por 4�	 − �	 − 16� + 2� − 1 = 0
4 � − 2 	 − � − 1 	 = 16
A FV	 M
Bb
−
JVB M
Bb
=
Bb
Bb
 
FV	 M
A
−
JVB M
Bb
= 1 
k26é1P*d0	�0	1Oi*e	dO.01O2e
Centro:	 2,1
O = 2 e b = 4
� Cônica dada por 4�	 − �	 − 16� + 2� − 1 = 0
k26é1P*d0	�0	1Oi*e	dO.01O2e
Centro:	 2,1
O = 2 e b = 4
Cônicas
Parábola
Parábola
� Conjunto de pontos no plano 
equidistantes do ponto F 
e da reta diretriz
Parábola “vertical”
Interseção com eixo x: x =
VIm IMVAE$
	E
� = O�	 + P� + �	 Interseção com eixo y: 0, �
Vértice: V = −
I
	E
, −
IMVAE$
AE
Interseção com eixo x: �, 0
x = O�	 + P� + �	 Interseção com eixo y: 
y =
VIm IMVAE$
	E
Vértice: V = −
IMVAE$
AE
, −
I
	E
Parábola “horizontal”
10
Exemplo 1
� Determine qual é 
a cônica dada por 
�	 − � + 2� = 0
� Cônica dada por �	 − � + 2� = 0
�	 − � + 2� = 0
�	 + 2� = �
� = �	 + 2� + 0
Parábola	"horizontal"
a = 1	, b = 2		, c = 0
Parábola � = �	 + 2� + 0
Parábola	"horizontal" a = 1	, b = 2		, c = 0
Interseção com eixo x: �, 0 → 0,0
Interseção com eixo y: 
y =
−P m P	 − 4O�
2O
→ y =
−2 m 2
2
→ � = −2	*�	� = 0
Vértice: 
V = −
P	 − 4O�
4O
,−
P
2O
→ V = −
4
4
, −
2
2
= −1,−1
Parábola � = �	 + 2� + 0
Exemplo 2
� Determine qual é 
a cônica dada por 
�	 − 5� − � + 6 = 0
� Cônica dada por �	 − 5� − � + 6 = 0
�	 − 5� − � + 6 = 0
y = �	 − 5� + 6
Parábola	"vertical"
a = 1	, b = −5		, c =6
11
Parábola y = �	 − 5�+6
Parábola	"vertical" a = 1	, b = −5		, c = 6
Interseção com eixo x: 
x =
−P m P	 − 4O�2O
→ x =
5 m 1
2
→ � = 2		*�		� = 3
Interseção com eixo y: 0, � → 0,6
Vértice: V = −
I
	E
, −
IMVAE$
AE
→
U
	
,
B
A
Parábola y = �	 − 5�+6