Aula 6 - Geometria Analítica

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GGM00160 
Geometria Analítica e Cálculo Vetorial I
26/08/2010- Turma A1
Dirce Uesu 
GGM00160 
RETAS NO PLANO CARTESIANO
- Exemplos de sistema de equações paramétricas.
- Equação simétrica de uma reta,
- Ângulo entre duas retas, 
- Posições relativas entre duas retas, 
- Interseção de retas no plano, 
- Distância: do ponto à retas,
- Distância: entre duas retas,
 e vu
EQUAÇÕES DE RETA NO PLANO
EQUAÇÃO VETORIAL DA RETA
Definição: Dados pontos da reta r.
Um ponto P(x,y) pertence à reta r se, e somente se existe 
tal que 
Sistema de equações paramétricas
da reta r, ou sistema de equações 
da reta na forma paramétrica.
),(),( 2211 e yxByxA
 ABtAP 
real) número tRt (
RtABtOAOP  ,
RtABtOAOP  ,








 
 
121
121
tyyyy
Rt
txxxx
r
)(
)(
:
EQUAÇÕES DE RETA NO PLANO
Exemplo1: Dados os pontos A e B da figura, determine as equa-
ções paramétricas da reta que passa por esses pontos.
A(1,2)
B(4,4)
(3,2) AB 
EQUAÇÕES DE RETA NO PLANO
Exemplo2: Dados os pontos A(1,2) e B(3,2) da figura, determine 
as equações paramétricas da reta que passa por esses pontos.
(2,0) AB 
EQUAÇÕES DE RETA NO PLANO
Exercício1: Dados os pontos A(1,2) e B(1,5) da figura, determine 
as equações paramétricas da reta que passa por esses pontos.
(0,3) AB 
EQUAÇÕES DE RETA NO PLANO
EQUAÇÃO VETORIAL DA RETA
- Exemplo 3: Determine as equações paramétricas da reta r
dado o ponto A e o vetor normal à reta, veja figura. 
EQUAÇÕES DE RETA NO PLANO
EQUAÇÃO VETORIAL DA RETA
- Exemplo 3: Determine as equações paramétricas da reta r
dado o ponto A e o vetor normal à reta, veja figura. 
- A(5,-1)
(3,4) n 
(-4,3) u 
EQUAÇÕES DE RETA NO PLANO
EQUAÇÃO VETORIAL DA RETA
A equação paramétrica não é única. 
Exemplo4: Determine uma outra equação paramétrica para o 
exemplo 3.
EQUAÇÕES DE RETA NO PLANO
EQUAÇÃO VETORIAL DA RETA
A equação paramétrica não é única. 
Exemplo4: Determine uma outra equação paramétrica para o 
exemplo 3.
B(1,2) é ponto da reta r. 
Exercício:Verifique!
(-4,3) u 
- Dada a equação paramétrica da reta
que passa pelo ponto
e cujo vetor diretor é 
A equação da reta r na forma simétrica é: 
EQUAÇÕES DE RETA NO PLANO
FORMA SIMÉTRICA





 onde
 
1
1
Rtntyy
mtxx
r
,
:
 11 ),( yxA
),(),( nmvyxA  e 11
EQUAÇÕES DE RETA NO PLANO
FORMA SIMÉTRICA
- Dada a equação paramétrica da reta
que passa pelo ponto
e cujo vetor diretor é 
A equação da reta r na forma simétrica é: 





 onde
 
1
1
Rtntyy
mtxx
r
,
:
n
yy
m
xx
r 11



:
 11 ),( yxA
),(),( nmvyxA  e 11
EQUAÇÕES DE RETA NO PLANO
FORMA SIMÉTRICA
- Dada a equação paramétrica da reta
que passa pelo ponto
e cujo vetor diretor é 
A equação da reta r na forma simétrica é: 
- Exemplo 5 : Encontre sua forma simétrica de 





 onde
 
1
1
Rtntyy
mtxx
r
,
:
n
yy
m
xx
r 11



:






Rtty
tx
r
 onde , 2
 3
2
1
:
 11 ),( yxA
),(),( nmvyxA  e 11
EQUAÇÕES DE RETA NO PLANO
Exercício: Determine a equação cartesiana, sua forma 
paramétrica e também a forma simétrica das retas: 
a) Dados os pontos P(1,1) e Q(2,3)
b) Dados o ponto P( -3,2) e o vetor diretor
c) Dado o ponto P(1,-2) e cuja reta é paralela a reta s, tal que
d) A reta m que passa por P(1,-2) e é ortogonal a reta s, do 
item c) 
e) Para cada item acima, dê mais de um exemplo de 
equação paramétrica.





Rtty
tx
s
 onde , 2
 25
:
),( 07 v
Exemplo 6: Determine o menor ângulo entre as retas 
04 e 022  y-xs:yxr :
ÂNGULO ENTRE DUAS RETAS
Exemplo 6: Determine o menor ângulo entre as retas 
- vetores não nulos e normais as retas r e s
respectivamente 
04 e 022  y-xs:yxr :
ÂNGULO ENTRE DUAS RETAS
 
 
 
 arccos 
 
 
21
21
21
21














nn
nn
nn
nn
cos
 e 21 nn
 (-1,1) e (2,-1) 21  nn
Exemplo 6: Determine o menor ângulo entre as retas 
- vetores não nulos e diretores das retas 
respectivamente 
ÂNGULO ENTRE DUAS RETAS
 
 
 
 arccos 
 
 














vu
vu
vu
vu
cos
 e vu
 (2,-4) e (1,-3)  vu










 43
 22
 e 
 31
 1
21
Rkky
kx
s
Rtty
tx
s
,
:
,
:
 e 21 ss
POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS NO PLANO 
CARTESIANO
Dadas duas retas : 0 e 0 22221111  cybxa:rcybxar :
POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS NO PLANO 
CARTESIANO
Dadas duas retas : 
Seja 
seus respectivos vetores normais.
),( e ),( 222111 banban 
0 e 0 22221111  cybxa:rcybxar :
POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS NO PLANO 
CARTESIANO
Dadas duas retas : 
Seja 
seus respectivos vetores normais.
Quais são as posições relativas entre duas retas no plano?
),( e ),( 222111 banban 
0 e 0 22221111  cybxa:rcybxar :
POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS NO PLANO 
CARTESIANO
Dadas duas retas : 
Seja 
seus respectivos vetores normais.
Quais são as posições relativas entre duas retas no plano?
),( e ),( 222111 banban 
0 e 0 22221111  cybxa:rcybxar :
 1r
2 r
POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS NO PLANO 
CARTESIANO
Dadas duas retas : 
Seja 
seus respectivos vetores normais.
Quais são as posições relativas entre duas retas no plano?
),( e ),( 222111 banban 
0 e 0 22221111  cybxa:rcybxar :
 1r
21 rr 2 r
POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS NO PLANO 
CARTESIANO
Dadas duas retas : 
Seja 
seus respectivos vetores normais.
Quais são as posições relativas entre duas retas no plano?
),( e ),( 222111 banban 
0 e 0 22221111  cybxa:rcybxar :
 1r
21 rr 2 r
2 r 1r
POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS NO PLANO 
CARTESIANO
Dadas duas retas : 
Seja 
seus respectivos vetores normais.
Quais são as posições relativas entre duas retas no plano?
paralelas
),( e ),( 222111 banban 
0 e 0 22221111  cybxa:rcybxar :
 1r
21 rr 2 r
2 r 1r
21 // rr
POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS NO PLANO 
CARTESIANO
Dadas duas retas : 
Seja 
seus respectivos vetores normais.
Quais são as posições relativas entre duas retas no plano?
paralelas coincidentes
),( e ),( 222111 banban 
0 e 0 22221111  cybxa:rcybxar :
 1r
21 rr 2 r
2 r 1r
21 // rr
POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS NO PLANO 
CARTESIANO
Dadas duas retas : 
Seja 
seus respectivosvetores normais.
Quais são as posições relativas entre duas retas no plano?
paralelas coincidentes concorrentes
),( e ),( 222111 banban 
0 e 0 22221111  cybxa:rcybxar :
 1r
21 rr 2 r
2 r 1r
21 // rr
Dadas duas retas : 
Seja 
seus respectivos vetores normais.
paralelas coincidentes concorrentes
2
1
2
1
2
1 
c
c
b
b
a
a

POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS NO PLANO 
CARTESIANO
),( e ),( 222111 banban 
0 e 0 22221111  cybxa:rcybxar :
 1r 21 rr 
2 r
2 r
 1r
21 // rr
 0 e 0 0, 222  cba
Dadas duas retas : 
Seja 
seus respectivos vetores normais.
paralelas coincidentes concorrentes
2
1
2
1
2
1 
c
c
b
b
a
a

POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS NO PLANO 
CARTESIANO
),( e ),( 222111 banban 
0 e 0 22221111  cybxa:rcybxar :
 1r 21 rr 
2 r
2 r
 1r
21 // rr
2
1
2
1
2
1 
c
c
b
b
a
a

 0 e 0 0, 222  cba
Dadas duas retas : 
Seja 
seus respectivos vetores normais.
paralelas coincidentes concorrentes
2
1
2
1
2
1 
c
c
b
b
a
a

POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS NO PLANO 
CARTESIANO
),( e ),( 222111 banban 
0 e 0 22221111  cybxa:rcybxar :
 1r 21 rr 
2 r
2 r
 1r
21 // rr
2
1
2
1
2
1 
c
c
b
b
a
a
 
2
1
2
1
b
b
a
a

 0 e 0 0, 222  cba
POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS NO PLANO 
CARTESIANO
Exemplo: Determine as posições relativas das retas :
a) 
b)
c)
06421 e 043 21  yx:ryxr :
016421 e 043 21  yx:ryxr :
072 e 043 21  yx:ryxr :
POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS NO PLANO 
CARTESIANO
Dadas duas retas na forma paramétrica: 
seus respectivos vetores diretores.
Além disso pontos das respectivas retas. 
),( e ),( 222111 qpuqpu 
















 
 
 
 e 
 
 
 
22
22
2
11
11
1
kqyy
Rk
kpxx
s
tqyy
Rt
tpxx
s ::
),B( e ),( 2211 yxyxA
POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS NO PLANO 
CARTESIANO
Dadas duas retas na forma paramétrica: 
seus respectivos vetores diretores.
Além disso pontos das respectivas retas. 
paralelas
),( e ),( 222111 qpuqpu 
















 
 
 
 e 
 
 
 
22
22
2
11
11
1
kqyy
Rk
kpxx
s
tqyy
Rt
tpxx
s ::
),B( e ),( 2211 yxyxA
 B ou A
 
 que tal
12
2
1
2
1
21
ss
q
q
p
p
uuR


  ,
POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS NO PLANO 
CARTESIANO
Dadas duas retas na forma paramétrica: 
seus respectivos vetores diretores.
Além disso pontos das respectivas retas. 
paralelas coincidentes
),( e ),( 222111 qpuqpu 
















 
 
 
 e 
 
 
 
22
22
2
11
11
1
kqyy
Rk
kpxx
s
tqyy
Rt
tpxx
s ::
),B( e ),( 2211 yxyxA
 B ou A
 
 que tal
12
2
1
2
1
21
ss
q
q
p
p
uuR


  ,
 B ou A
 
 que tal
12
2
1
2
1
21
ss
q
q
p
p
uuR


  ,
POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS NO PLANO 
CARTESIANO
Dadas duas retas na forma paramétrica: 
seus respectivos vetores diretores.
Além disso pontos das respectivas retas. 
paralelas coincidentes concorrentes
),( e ),( 222111 qpuqpu 
















 
 
 
 e 
 
 
 
22
22
2
11
11
1
kqyy
Rk
kpxx
s
tqyy
Rt
tpxx
s ::
),B( e ),( 2211 yxyxA
 
2
1
2
1
q
q
p
p

 B ou A
 
 que tal
12
2
1
2
1
21
ss
q
q
p
p
uuR


  ,
 B ou A
 
 que tal
12
2
1
2
1
21
ss
q
q
p
p
uuR


  ,
POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS NO PLANO 
CARTESIANO
Exemplo: Determine as posições relativas das retas :
a) 
b)
c)













 
2
3
2
 
2
1
 e 
 31
 1
21
Rkky
kx
s
Rtty
tx
s
,
:
,
:










 64
 2
 e 
 31
 1
21
Rkky
kx
s
Rtty
tx
s
,
:
,
:










 43
 22
 e 
 31
 1
21
Rkky
kx
s
Rtty
tx
s
,
:
,
:
INTERSEÇÃO DUAS RETAS NO PLANO CARTESIANO
Exemplo: Determine as retas abaixo são concorrentes :
Em caso afirmativo, determine o ponto de interseção.










 23
 2
 e 
 2
 3
21
Rkky
kx
s
Rtty
tx
s
,
:
,
:
DISTÂNCIAS NO PLANO CARTESIANO:
DO PONTO À RETA
DISTÂNCIAS NO PLANO CARTESIANO:
DO PONTO À RETA
DISTÂNCIAS NO PLANO CARTESIANO:
DO PONTO À RETA
DISTÂNCIAS NO PLANO CARTESIANO:
DO PONTO À RETA
Considere a equação da reta 
),(, bannP  onde t Q
0 cbyaxr :
 QPrPdist ),(
22
00 Q
ba
cbxax
P



DISTÂNCIAS NO PLANO CARTESIANO:
DO PONTO À RETA
Considere a equação da reta 
Exemplo: Determine a distância do ponto P(2,8) à reta 
),(, bannP  onde t Q
0 cbyaxr :
 QPrPdist ),(
22
00 Q
ba
cbxax
P



023  yxr :
DISTÂNCIAS NO PLANO CARTESIANO:
DO PONTO À RETA
Considere a equação da reta 
Exemplo: Determine a distância do ponto P(2,8) à reta 
Exercício: Determine a distância do ponto P à reta r do exemplo
da figura 
),(, bannP  onde t Q
0 cbyaxr :
 QPrPdist ),(
22
00 Q
ba
cbxax
P



023  yxr :
DISTÂNCIAS NO PLANO CARTESIANO:
ENTRE DUAS RETAS
1) Se duas retas são concorrentes, então a distância entre elas é 
zero.
2) Se as retas são paralelas (não coincidentes) , então calcule a 
distância entre elas. Como?
Exercício: Determine a distância entre as retas:










 68
 2 2
 e 
 3 5
 1
21
Rkky
kx
s
Rtty
tx
s
,
:
,
:
CÔNICAS
DEFINIÇÃO GEOMÉTRICAExercício: Acesse o sitio abaixo e use o programa:
http://www.professores.uff.br/hjbortol/disciplinas/2005.1/gma04096/applets/conic/co
nic.html
CÔNICAS
DEFINIÇÃO GEOMÉTRICA
Exercício: Acesse o sitio abaixo e use o programa:
http://www.professores.uff.br/hjbortol/disciplinas/2005.1/gma04096/applets/conic/co
nic.html
Seções Cônicas: curvas obtidas pela interseção da superfície
cônica com um plano
CÔNICAS
CIRCUNFERÊNCIA
CÔNICAS
ELIPSE
CÔNICAS
PARÁBOLA
CÔNICAS
HIPÉRBOLE