Aula 5 - Geometria Analítica

Prévia do material em texto

GGM00160 
Geometria Analítica e Cálculo Vetorial I
24/08/2010- Turma A1
Dirce Uesu 
APLICAÇÕES DE PRODUTO ESCALAR
ÂNGULO ENTRE VETORES
Vimos : 
- Definição de produto escalar entre dois vetores .
- Definição de vetores ortogonais ou perpendiculares. 
- Aplicações de produto escalar ou produto interno:
- (i) norma
- (ii) distância entre dois pontos. 
 e vu
APLICAÇÕES DE PRODUTO ESCALAR
ÂNGULO ENTRE VETORES
Vimos : 
- Definição de produto escalar entre dois vetores .
- Definição de vetores ortogonais ou perpendiculares. 
- Aplicações de produto escalar ou produto interno:
- (i) norma
- (ii) distância entre dois pontos. 
- Nesta aula, continuando : Aplicações de produto escalar:
- (i) ângulo entre dois vetores
-
 e vu
APLICAÇÕES DE PRODUTO ESCALAR
ÂNGULO ENTRE VETORES
Vimos : 
- Definição de produto escalar entre dois vetores .
- Definição de vetores ortogonais ou perpendiculares. 
- Aplicações de produto escalar ou produto interno:
- (i) norma
- (ii) distância entre dois pontos. 
- Nesta aula, continuando : Aplicações de produto escalar:
- (i) ângulo entre dois vetores
- (ii) projeção ortogonal 
 e vu
APLICAÇÕES DE PRODUTO ESCALAR
ÂNGULO ENTRE VETORES
Dados dois vetores não nulos, e o ângulo entre os
vetores, então:
de: temos:
 e vu
cos vuvu

APLICAÇÕES DE PRODUTO ESCALAR
ÂNGULO ENTRE VETORES
Dados dois vetores não nulos, e o ângulo entre os
vetores, então:
de: temos:
 e vu
cos vuvu

 
 
 
vu
vu


 cos
APLICAÇÕES DE PRODUTO ESCALAR
ÂNGULO ENTRE VETORES
Dados dois vetores não nulos, e o ângulo entre os
vetores, então:
de: temos:
 e vu
cos vuvu

 
 
 
vu
vu


 cos











 
 
 
vu
vu
arccos
APLICAÇÕES DE PRODUTO ESCALAR
ÂNGULO ENTRE VETORES
Dados dois vetores não nulos, e o ângulo entre os
vetores, então:
de: temos:
Exemplo:
 e vu
cos vuvu

 
 
 
vu
vu


 cos











 
 
 
vu
vu
arccos
APLICAÇÕES DE PRODUTO ESCALAR
ÂNGULO ENTRE VETORES
Dados dois vetores não nulos, e o ângulo entre os
vetores, então:
de: temos:
Exemplo: Determine o ângulos entre os vetores .
(a) Se , 
(b) Se ,
(c) Se , 
 e vu
cos vuvu

 
 
 
vu
vu


 cos
),( 33 e (0,2)  vu
 e vu
),( 12 e (2,1)  vu











 
 
 
vu
vu
arccos
),( 12 e (1,2)  vu
APLICAÇÕES DE PRODUTO ESCALAR
ÂNGULO ENTRE VETORES
Dados dois vetores não nulos, e o ângulo entre os
vetores, então:
de: temos:
Exemplo: Determine o ângulos entre os vetores .
(a) Se , 
(b) Se ,
(c) Se , 
(d) Faça o desenho desses vetores no plano cartesiano
 e vu
cos vuvu

 
 
 
vu
vu


 cos
),( 33 e (0,2)  vu
 e vu
),( 12 e (2,1)  vu











 
 
 
vu
vu
arccos
),( 12 e (1,2)  vu
APLICAÇÕES DE PRODUTO ESCALAR
ÂNGULO ENTRE VETORES
Se 
 0  vu
APLICAÇÕES DE PRODUTO ESCALAR
ÂNGULO ENTRE VETORES
Se 
 0  vu agudo ângulo 
APLICAÇÕES DE PRODUTO ESCALAR
ÂNGULO ENTRE VETORES
Se 
 0  vu agudo ângulo 
2
 0 

 
APLICAÇÕES DE PRODUTO ESCALAR
ÂNGULO ENTRE VETORES
Se 
 0  vu agudo ângulo 
2
 0 

 
 0  vu
 0  vu
APLICAÇÕES DE PRODUTO ESCALAR
ÂNGULO ENTRE VETORES
Se 
 0  vu agudo ângulo 
2
 0 

 
 0  vu reto ângulo 
 0  vu
APLICAÇÕES DE PRODUTO ESCALAR
ÂNGULO ENTRE VETORES
Se 
 0  vu agudo ângulo 
2
 0 

 
 0  vu reto ângulo 
2
 

 
 0  vu
APLICAÇÕES DE PRODUTO ESCALAR
ÂNGULO ENTRE VETORES
Se 
 0  vu agudo ângulo 
2
 0 

 
 0  vu reto ângulo 
2
 

 
 0  vu obtuso ângulo 


2
 
APLICAÇÕES DE PRODUTO ESCALAR
PROJEÇÃO ORTOGONAL DE VETORES
Dados dois vetores não nulos, e o ângulo entre os
vetores
 e vu 
APLICAÇÕES DE PRODUTO ESCALAR
PROJEÇÃO ORTOGONAL DE VETORES
Dados dois vetores não nulos, e o ângulo entre os
vetores
 e vu 
APLICAÇÕES DE PRODUTO ESCALAR
PROJEÇÃO ORTOGONAL DE VETORES
Dados dois vetores não nulos, e o ângulo entre os
vetores
 e vu 
APLICAÇÕES DE PRODUTO ESCALAR
PROJEÇÃO ORTOGONAL DE VETORES
Dados dois vetores não nulos, e o ângulo entre os
vetores
 e vu 
APLICAÇÕES DE PRODUTO ESCALAR
PROJEÇÃO ORTOGONAL DE VETORES
Dados dois vetores não nulos, e o ângulo entre os
vetores
 e vu 
APLICAÇÕES DE PRODUTO ESCALAR
PROJEÇÃO ORTOGONAL DE VETORES
Dados dois vetores não nulos, e o ângulo entre os
vetores
 e vu 
  0 vvt-u
APLICAÇÕES DE PRODUTO ESCALAR
PROJEÇÃO ORTOGONAL DE VETORES
Dados dois vetores não nulos, e o ângulo entre os
vetores
Vetor Projeção ortogonal de 
 e vu 
 
 
 
 
2
v
v
vu
vtP
u
v

: sobre vu
APLICAÇÕES DE PRODUTO ESCALAR
PROJEÇÃO ORTOGONAL DE VETORES
Dados dois vetores não nulos, e o ângulo entre os
vetores
Vetor Projeção ortogonal de 
 e vu 
 
 
 
 
2
v
v
vu
vtP
u
v

: sobre vu
APLICAÇÕES DE PRODUTO ESCALAR
PROJEÇÃO ORTOGONAL DE VETORES
Exemplo: Determine a projeção ortogonal do vetor
onde
a) 
b)
c)
Analise cada um dos resultados obtidos!
 sobre vu
 
 
 
 
2
v
v
vu
vtP
u
v


),( 01 e ) 1 , 1 (  vu
),( 632 e ) 1 , 3 (  vu
),( 01 e )2 , 1 (  vu
APLICAÇÕES DE PRODUTO ESCALAR
PROJEÇÃO ORTOGONAL DE VETORES
Exemplo: Determine a projeção ortogonal do vetor
onde
a) 
b)
c)
Analise cada um dos resultados obtidos!
Exercício: 1) Para cada item do exemplo anterior calcule a 
projeção ortogonal de .
2) Desenhe os vetores que representam cada item tanto do 
exemplo quanto do exercício 1).
 sobre vu
 
 
 
 
2
v
v
vu
vtP
u
v


),( 01 e ) 1 , 1 (  vu
),( 632 e ) 1 , 3 (  vu
 sobre uv
),( 01 e )2 , 1 (  vu
APLICAÇÕES DE PRODUTO ESCALAR
PROJEÇÃO ORTOGONALDE VETORES
Proposição: Sejam vetores quaisquer, então
(i) (desigualdade Cauchy-Schwarz)
(ii) (desigualdade triangular)
 e vu
 vuvu 
 vuvu 
EQUAÇÕES DE RETA NO PLANO
Exercício: Dados os pontos A e B da figura, determine a equa-
ção da reta que passa por esses pontos.
EQUAÇÕES DE RETA NO PLANO
Exercício: Dados os pontos A e B da figura, determine a equa-
ção da reta que passa por esses pontos.
EQUAÇÕES DE RETA NO PLANO
Exercício: Dados os pontos A e B da figura, determine a equa-
ção da reta que passa por esses pontos.
EQUAÇÕES DE RETA NO PLANO
EQUAÇÃO CARTESIANA DA RETA
Definição: Qualquer vetor não nulo paralelo a uma reta chama-
se vetor diretor dessa reta. 
Geogebra 
EQUAÇÕES DE RETA NO PLANO
EQUAÇÃO CARTESIANA DA RETA
A equação cartesiana da reta r é definida por :
com não são simultaneamente nulos. 
0 cbyaxr :
ba e 
EQUAÇÕES DE RETA NO PLANO
EQUAÇÃO CARTESIANA DA RETA
A equação cartesiana da reta r é definida por :
com não são simultaneamente nulos. 
Exercício: Determine a equação da cartesiana da reta que passa 
por A(1,2) e B(4,4). (exemplo anterior)
0 cbyaxr :
ba e 
EQUAÇÕES DE RETA NO PLANO
EQUAÇÃO CARTESIANA DA RETA
Observe que a equação cartesiana que passa A(1,2) e B(4,4) é
0432  yx
diretor vetor (3,2), u
(-2,3) n
EQUAÇÕES DE RETA NO PLANO
EQUAÇÃO CARTESIANA DA RETA
A equação cartesiana da reta r é definida por :
com não são simultaneamente nulos, 
0 cbyaxr :
ba e 
EQUAÇÕES DE RETA NO PLANO
EQUAÇÃO CARTESIANA DA RETA
A equação cartesiana da reta r é definida por :
com não são simultaneamente nulos, 
0 cbyaxr :
ba e 
diretor vetor a),(-b, u
EQUAÇÕES DE RETA NO PLANO
EQUAÇÃO CARTESIANA DA RETA
A equação cartesiana da reta r é definida por :
com não são simultaneamente nulos, 
0 cbyaxr :
ba e 
diretor vetor a),(-b, u
, diretor vetor ao ortogonal vetor b),(a, un 
EQUAÇÕES DE RETA NO PLANO
EQUAÇÃO CARTESIANA DA RETA
A equação cartesiana da reta r é definida por :
com não são simultaneamente nulos, 
0 cbyaxr :
ba e 
diretor vetor a),(-b, u
, diretor vetor ao ortogonal vetor b),(a, un 
e reta a ormal vetor b)(a, rnn  0 un
EQUAÇÕES DE RETA NO PLANO
EQUAÇÃO CARTESIANA DA RETA
A equação cartesiana da reta r é definida por :
com não são simultaneamente nulos, 
Exercício: Determine o vetor normal e o vetor diretor da reta r: 
3x-4y-1 = 0 e desenhe esta reta no plano cartesiano.
0 cbyaxr :
ba e 
diretor vetor a),(-b, u
, diretor vetor ao ortogonal vetor b),(a, un 
e reta a ormal vetor b)(a, rnn  0 un
EQUAÇÕES DE RETA NO PLANO
EQUAÇÃO VETORIAL DA RETA
Definição: Dados pontos da reta r.
Um ponto P(x,y) pertence à reta r se, e somente se existe 
tal que 
),(),( 2211 e yxByxA
 ABtAP 
real) número tRt (
EQUAÇÕES DE RETA NO PLANO
EQUAÇÃO VETORIAL DA RETA
Definição: Dados pontos da reta r.
Um ponto P(x,y) pertence à reta r se, e somente se existe 
tal que 
),(),( 2211 e yxByxA
 ABtAP 
real) número tRt (
RtABtOAOP  ,
EQUAÇÕES DE RETA NO PLANO
EQUAÇÃO VETORIAL DA RETA
Definição: Dados pontos da reta r.
Um ponto P(x,y) pertence à reta r se, e somente se existe 
tal que 
),(),( 2211 e yxByxA
 ABtAP 
real) número tRt (
RtABtOAOP  ,
RtABtOAOP  ,
EQUAÇÕES DE RETA NO PLANO
EQUAÇÃO VETORIAL DA RETA
Definição: Dados pontos da reta r.
Um ponto P(x,y) pertence à reta r se, e somente se existe 
tal que 
),(),( 2211 e yxByxA
 ABtAP 
real) número tRt (
RtABtOAOP  ,
RtABtOAOP  ,








 
 
121
121
tyyyy
Rt
txxxx
r
)(
)(
:
EQUAÇÕES DE RETA NO PLANO
EQUAÇÃO VETORIAL DA RETA
Definição: Dados pontos da reta r.
Um ponto P(x,y) pertence à reta r se, e somente se existe 
tal que 
Sistema de equações paramétricas
da reta r, ou sistema de equações 
da reta na forma paramétrica.
),(),( 2211 e yxByxA
 ABtAP 
real) número tRt (
RtABtOAOP  ,
RtABtOAOP  ,








 
 
121
121
tyyyy
Rt
txxxx
r
)(
)(
:
EQUAÇÕES DE RETA NO PLANO
EQUAÇÃO VETORIAL DA RETA
- Exemplos:
EQUAÇÕES DE RETA NO PLANO
EQUAÇÃO VETORIAL DA RETA
- Exemplos:
- A equação paramétrica não é única. 
EQUAÇÕES DE RETA NO PLANO
EQUAÇÃO VETORIAL DA RETA
- Exemplos:
- A equação paramétrica não é única. 
- Dado a equação paramétrica da reta
a equação da reta r na forma simétrica é: 
-





 onde
 
1
1
Rtbtyy
atxx
r
,
:
EQUAÇÕES DE RETA NO PLANO
EQUAÇÃO VETORIAL DA RETA
- Exemplos:
- A equação paramétrica não é única. 
- Dado a equação paramétrica da reta
a equação da reta r na forma simétrica é: 





 onde
 
1
1
Rtbtyy
atxx
r
,
:
b
yy
a
xx
r 11



:
EQUAÇÕES DE RETA NO PLANO
EQUAÇÃO VETORIAL DA RETA
- Exemplos:
- A equação paramétrica não é única. 
- Dado a equação paramétrica da reta
a equação da reta r na forma simétrica é: 
- Exemplos: Encontre sua forma simétrica de 





 onde
 
1
1
Rtbtyy
atxx
r
,
:
b
yy
a
xx
r 11



:






Rtty
tx
r
 onde , 2
 3
2
1
: