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Geometria Analítica
Aula 4
Prof. Lauro Igor Metz
Problematização
� Imagine um quadrilátero 
que tem como vértices os 
pontos A(0,0), B(4,0), 
C(4,2) e D(0,2). Encontre as 
coordenadas que representam 
o centro desse quadrilátero
Retas e Planos
4o encontro
� Posições relativas de 
retas e planos
� Intersecção entre retas
� Intersecção entre planos
Condição de Alinhamento 
de Três Pontos
� Três pontos estão alinhados, 
ou seja, pertencem à 
mesma reta, se e somente 
se o determinante da 
matriz formada pelas 
suas coordenadas for nulo
� Mostre que os pontos (3,1), 
B(0,3), C(–3,5) pertencem 
à mesma reta
Equação Geral da Reta
� ax+by+c=0
� 2x+1y–2=0
� 2x+y=2
X Y
0 2
1 0
2
X Y
0 2
1 0
� Os pontos A(0,2) e 
B(1,0) pertencem a 
uma reta, encontrar a 
equação geral dessa reta
� A(0,2)
� B(1,0)
� A(0,2)
� B(1,0)
Equação Fundamental 
da Reta
Posições entre Retas
� Paralelas: duas retas 
são paralelas se tiverem o 
mesmo coeficiente angular
� Concorrentes: se os 
coeficientes angulares 
forem diferentes
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� r:2x–3y+5=0 e s:4x–6y–1=0
� Coeficiente angular
• m=–a/b
• (r): m=2/3
• (s):m=4/6=2/3 
• r e s são paralelas
� r:2x–3y+5=0 e s:4x–6y–1=0
� r:x+y+3=0 e s:x+3y–1=0
� Coeficiente angular
• m=–a/b
• (r): m=–1 
• (s):m=–1/3, r e s são 
concorrentes
� r:x+y+3=0 e s:x+3y–1=0
Retas Perpendiculares
� Duas retas são 
perpendiculares quando 
a multiplicação de seus 
coeficientes angulares for –1
m1.m2=–1
� r:3x–2y+1 e s:4x+6y–1=0
� m=–a/b mr=3/2
� ms=–4/6=–2/3
� mr.ms=–1
� (3/2).(–2/3)=–1 
(perpendiculares)
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� r:3x–2y+1 e s:4x+6y–1=0 Intersecção entre Planos
� Encontre a equação da reta 
que identifica a intersecção 
entre os planos: 
5x – 2y + z + 7 = 0 
3x – 3y + z + 4 = 0
Síntese
� Quadrilátero de 
vértices A(0,0), B(4,0), 
C(4,2) e D(0,2)
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� Equação geral que contenha 
A(0,0) e C(4,2)
� Equação geral que contenha 
B(4,0) e D(0,2)
Conclusão
� Ressalta-se os aspectos 
relacionais existentes entre 
as equações da reta, como 
é o caso da equação geral 
e a reduzida
� Em relação às posições 
relativas, o encontro 
de duas retas é um 
ponto e o encontro de 
dois planos é uma reta
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Na Prática
� Considerando um triângulo 
com vértices A(2,2), B(2,4) 
e C(4,1), determinar a 
equação geral da reta 
que contém o ponto médio 
do lado AB e o vértice C
� Triângulo A(2,2), 
B(2,4), C(4,1)
� Ponto médio de AB = (2,3)
� C(4,1)
� AB(2,3)