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Lista extra 12 - curvas de n´ıvel, gra´ficos, limites e continuidade 1. Esboce as curvas de n´ıvel e o gra´fico das func¸o˜es abaixo. a) f(x, y) = x+ y b) f(x, y) = y2 − x c) f(x, y) = x2 + 2y2 d) f(x, y) = √ x2 + y2 e) f(x, y) = e−x 2 −y 2 f) f(x, y) = y2 − x2 g) f(x, y) = ysen(x) h) f(x, y) = 1 x2 + y2 2. Obtenha e esboce os conjuntos de n´ıvel poss´ıveis de cada uma das func¸o˜es. a) f(x, y) = arcsin(xy) b) f(x, y, z) = x2 + y2 − z2 c) f(x, y, z) = x+ y + z d) f(x, y, z) = z − x2 − y2 e) f(x, y) = x2 + y2 f) f(x, y) = x y − 1 g) f(x, y) = ysen(x) h) f(x, y) = arctan(x2 + y2) 3. A temperatura em um ponto (x, y) em uma placa de metal plana e´ T graus, onde T = 8x2 + 2y2. Trace as isotermas para T = 8, T = 2 e T = 0. 4. O potencial ele´trico em um ponto (x, y) de uma placa no plano xy e´ dado por V = 4√ 9− x2 − y2 . Trace as curvas equipotenciais para V = 4 e V = 2 volts. 5. Seja f(x, y, z) = x2 − y2 + z2. Desenhe a superf´ıcie de n´ıvel que conte´m o ponto (1, 0, 0). 6. Calcule os limites, quando existirem. a) lim (x,y)→(0,0) x+ y y4 + x2 + 2 b) lim (x,y)→(0,0) sen(xy) x c) lim (x,y)→(0,0) x x+ y d) lim (x,y)→(0,0) x2 − y2 x2 + y2 e) lim (x,y,z)→(0,0,0) x3 + y + z2 x4 + y2 + z3 f) lim (x,y)→(1,1) x2 − 2x+ 1 x2 − y2 − 2x+ 2y g) lim (x,y)→(1,2) 1− cos(xy − 2x) (y − 2)2 h) lim (x,y)→(0,0) x3 − y3 x2 + y2 7. Obtenha o maior subconjunto de Rn, n=2 ou 3, no qual a func¸a˜o e´ cont´ınua. a) f(x, y) = x+ y x− y b) f(x, y) = x3 + y2 + xy c) f(x, y) = x2y x2 + y2 ; (x, y) 6= (0, 0) 0; (x, y) = (0, 0) d) f(x, y, z) = sen(xy) + cos(xy) x2 + y2 + z2 − 4 e) f(x, y, z) = √ 2− x2 − y2 − z2 8. A func¸a˜o f(x, y) = |x+ y − 1| e´ cont´ınua em R2 ? Justifique. Respostas: (1) -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 -3 -2 -1 0 1 2 3 (a) -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 -10-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 -20-15 -10-5 0 5 10 15 20 (a) -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -6 -3 0 3 6 9 12 15 18 (b) -10 -5 0 5 10 15 20 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -30 0 30 (b) -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 (c) -4 0 4 -4 -2 0 2 4 0 2 4 6 8 10 (c) -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 (d) -4 -2 0 2 4 -4 -2 0 2 4 0 2 4 (d) -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 (e) -2 -1 0 1 2 -2 -1 0 1 2 0 1 (e) -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 (f) -2 -1 0 1 2 -2 -1 0 1 2-4 -2 0 2 4 (f) -30 -20 -10 0 10 20 30 40 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 (g) -3 -2 -1 0 1 2 3 -15 -10 -5 0 5 10 15 -18 -12 -6 0 6 12 18 (g) -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 (h) -2 -1 0 1 2 -2 -1 0 1 2 0 2 4 6 8 10 (h) (2) Conjuntos de n´ıvel -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 -2 -1 0 1 2 (a) -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -4-3-2-1 0 1 2 3 4 -4 -2 0 2 4 (b) -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -4 -2 0 2 4 6 8 (c) -2 -1 0 1 2-2 -1 0 1 2 -2 0 2 4 (d) -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 (e) -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 -2 -1 0 1 2 3 (f) -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 (g) -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 (h) (2) Equac¸o˜es: a) xy = sen(c) para −pi 2 < c < pi 2 b)x2 + y2 − z2 = c hip. 1-folha se c > 0, hip. 2 folhas se c < 0, cone se c = 0 c)x + y + z = c planos perpendiculares a` direc¸a˜o (1, 1, 1) d)z−x2 − y2 = c parabolo´ides e)x2 + y2 = c c´ırculos centrados na origem. f) x y−1 = c, x = 0 p/ c = 0, y = 1 + x c p/ c 6= 0. g)ysen(x) = c, p/ c = 0 fica y = 0 ou x = k.pi;para c 6= 0 fica y = c.cossec(x). h)x2 + y2 = tan(c) c´ırculos. (3) -2 -1 0 1 2 -2 -1 0 1 2 T=8 T=2 T=0 (4) -3 -2 -1 0 1 2 3 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 V=4 V=2 (5) -4 -2 0 2 4 -4 -2 0 2 4 -4 -2 0 2 4 (1,0,0) (6)a)0 b)0 c)na˜o existe d)na˜o existe e)na˜o existe f)na˜o existe g)1/2 h)0 (7)a){(x, y) ∈ R2; x 6= y} b)R2 c)R2 d){(x, y, z) ∈ R3; x2+y2+z2 6= 4} e){(x, y, z) ∈ R3; x2+y2+z2 < 2} (8) Sim. E´ a composta do mo´dulo com o polinoˆmio x+ y − 1, ambas func¸o˜es cont´ınuas.
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