FVV-diferencial.v2012

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Ca´lculo diferencial a va´rias varia´veis
O limite mais importante para func¸o˜es de uma varia´vel e´ sem du´vida o que define a derivada de
uma func¸a˜o. A derivada tem o significado de uma taxa instantaˆnea de variac¸a˜o entre duas grandezas,
e aparece naturalmente nos modelos matema´ticos de todas as cieˆncias naturais. Se f : I → R e´ uma
func¸a˜o deriva´vel de um intervalo aberto I com valores reais temos
f ′(x) =
df
dx
(x) = lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
.
Para generalizar este conceito para func¸o˜es de va´rias varia´veis temos as derivadas parciais.
1 Derivadas Parciais
A primeira estrate´gia para derivarmos uma func¸a˜o de duas ou mais varia´veis e´ tentar reproduzir
a ide´ia usada no caso de uma varia´vel apenas. Escolhemos uma das varia´veis independentes e
derivarmos a func¸a˜o relativamente a esta varia´vel, esquecendo as demais.
Definic¸a˜o 1.1. Dado f : D ⊂ R2 → R e P0 = (a, b) ∈ D. Assuma que para todo (x, y) bastante
pro´ximo de (a, b) tenhamos necessariamente (x, y) ∈ D.
A derivada parcial de f relativo a x, no ponto (a, b), e´ o limite (se existir)
∂f
∂x
(a, b) = lim
h→0
f(a+ h, b)− f(a, b)
h
= lim
x→a
f(x, b)− f(a, b)
x− a .
Analogamente, a derivada parcial de f relativamente a y e´
∂f
∂y
(a, b) = lim
k→0
f(a, b+ k)− f(a, b)
k
= lim
y→b
f(a, y)− f(a, b)
y − b .
Se g = g(x, y, z) e´ uma func¸a˜o a treˆs varia´veis independentes, definem-se de forma ana´loga as
derivadas parciais (caso existam) ∂g
∂x
(a, b, c), ∂g
∂y
(a, b, c) e ∂g
∂z
(a, b, c), onde (a, b, c) e´ um ponto interior
ao domı´nio de g.
Quando calculamos o limite que define uma derivada parcial num ponto (x, y), ou (x, y, z), e o
consideramos uma func¸a˜o do ponto, obtemos a func¸a˜o derivada parcial relativo a x, y ou z.
Outras notac¸o˜es para derivadas parciais:
∂f
∂x
(a, b) = fx(a, b) = D1f(a, b) ,
∂f
∂y
(a, b) = fy(a, b) = D2f(a, b) ,
e se f tem 3 varia´veis
∂f
∂z
(a, b, c) = fz(a, b, c) = D3f(a, b, c) .
1
Significado Geome´trico: O gra´fico de f(x, y) e´ uma superf´ıcie em R3. A intersec¸a˜o dessa
superf´ıcie com o plano y = b nos da´ uma curva sobre a superf´ıcie, paralela ao plano xz. A derivada
∂f
∂x
(a, b) e´ a inclinac¸a˜o da reta tangente a essa curva no ponto (a, b, f(a, b)). Da mesma forma, o
plano x = a intercepta z = f(x, y) em uma curva cuja reta tangente tem inclinac¸a˜o ∂f
∂y
(a, b) no ponto
(a, b, f(a, b)).
Exemplos 1. Calcule as derivadas parciais:
a) f(x, y) = x3 + x2y − xy2 + 4 calcule ∂f
∂x
(2, 1),
∂f
∂y
(2, 1).
b) f(x, y) = x2 − xy + y2 calcule fx(0, 1) e fy(0, 1).
c) f(x, y) = arctan
(y
x
) ∂f
∂x
(x, y),
∂f
∂y
(x, y).
d) f(x, y) = xy
∂f
∂x
,
∂f
∂y
.
e) Dado f(x, y) =
∫ y
x
cos(t2) dt. Ache
∂f
∂x
(x, y) e
∂f
∂y
(x, y).
Soluc¸a˜o. a) Fazendo y constante a func¸a˜o dada se torna um polinoˆmio em x, cujos coeficientes
dependem de y, e vice-versa. Portanto, as derivadas parciais sa˜o apenas derivadas de polinoˆmios nas
respectivas varia´veis:
∂f
∂x
=
∂
∂x
(x3 + x2y − xy2 + 4) = 3x2 + 2xy − y2 e ∂f
∂y
=
∂
∂y
(x3 + x2y − xy2 + 4) = x2 − 2xy .
Portanto, ∂f
∂x
(2, 1) = 3.22 + 2.2.1− 12 = 14 e ∂f
∂y
(2, 1) = 22 − 2.2.1 = 0.
b) Como na letra a) o ca´lculo e´ direto:
fx(0, 1) =
∂
∂x
∣∣∣∣
(0,1)
(x2 − xy + y2) = [2x− y](0,1) = −1 ,
fy(0, 1) =
∂
∂y
∣∣∣∣
(0,1)
(x2 − xy + y2) = [−x+ 2y](0,1) = 2 .
c) Aqui pede-se apenas as func¸o˜es derivadas parciais aonde sa˜o definidas. Para calcularmos ∂f
∂x
(e
similarmente ∂f
∂y
) devemos fazer y constante (x constante) e olhar f como a composta da func¸a˜o
arctan com uma outra func¸a˜o de x (de y). Como arctan′(u) = 1
1+u2
obtemos
∂f
∂x
(x, y) =
∂
∂x
(
arctan
(y
x
)
))
= arctan′
(y
x
) ∂
∂x
(y
x
)
=
=
1
1 +
(
y
x
)2 .−yx2 = −yx2 + y2 .
Um ca´lculo parecido fornece ∂f
∂y
(x, y) = x
x2+y2
.
d) Fazendo y constante a func¸a˜o obtida e´ uma poteˆncia na varia´vel x. Portanto,
∂f
∂x
=
∂
∂x
(xy) = y.xy−1 .p
Lembramos que para derivarmos expresso˜es exponenciais, devemos converteˆ-las em exponenciais de
base “e”. Isso ocorre na outra derivada parcial de f . Escrevendo f(x, y) = xy = ey ln(x) derivamos
pela regra da cadeia usual:
∂f
∂y
=
∂
∂y
(ey ln(x)) = ey ln(x).
∂
∂y
(y ln(x)) = xy ln(x) .
2
e) Aqui devemos usar o Teorema sobre derivada de uma integral. Fixando y calculamos
∂
∂x
(f(x, y)) =
∂
∂x
[∫ y
x
cos(t2) dt
]
= − ∂
∂x
[∫ x
y
cos(t2) dt
]
= − cos(x2) .
E fixando x,
∂f
∂y
(x, y) =
∂
∂y
[∫ y
x
cos(t2) dt
]
= cos(y2) .
Nos casos anteriores usamos as regras de derivac¸a˜o comuns em uma varia´vel. No pro´ximo exemplo
o uso da definic¸a˜o 1.1 e´ indispensa´vel pois a func¸a˜o e´ definida “por partes”.
Exemplo 2. Para
f(x, y) =


x3 + y4
x2 + y2
(x, y) 6= (0, 0)
0 (x, y) = (0, 0).
Determine ∂f
∂x
e ∂f
∂y
.
Soluc¸a˜o. Para acharmos as derivadas parciais devemos considerar duas regio˜es distintas do plano: os
pontos (x, y) 6= (0, 0) e a origem isoladamente. Na regia˜o (x, y) 6= (0, 0) a func¸a˜o e´ definida por uma
u´nica expressa˜o f(x, y) = x
3+y4
x2+y2
, que sabemos ser cont´ınua, e deriva´vel parcialmente em qualquer
varia´vel. Enta˜o, como o ca´lculo ocorre em uma varia´vel,
∂f
∂x
(x, y) =
∂
∂x
(
x3 + y4
x2 + y2
)
=
(x2 + y2)(3x2)− (x3 + y4)(2x)
(x2 + y2)2
=
x4 + 3x2y2 − 2xy4
(x2 + y2)2
.
e para ∂f
∂y
,
∂f
∂y
(x, y) =
∂
∂y
(
x3 + y4
x2 + y2
)
=
(x2 + y2)(4y3)− (x3 + y4)(2y)
(x2 + y2)2
=
4x2y3 + 2y5 − 2yx3
(x2 + y2)2
.
Agora queremos obter ∂f
∂x
(0, 0) e ∂f
∂y
(0, 0) (caso existam). Devemos aplicar a definic¸a˜o de deri-
vada parcial:
∂f
∂x
(0, 0) = lim
x→0
f(x, 0)− f(0, 0)
x
= lim
x→0
x3+0
x2+0
− 0
x
= lim
x→0
1 = 1 .
∂f
∂y
(0, 0) = lim
y→0
f(0, y)− f(0, 0)
y
= lim
y→0
0+y4
0+y2
− 0
y
= lim
y→0
y = 0 .
Exemplo 3. Seja S a curva que e´ intersec¸a˜o do gra´fico de z =
√
x2
9
+ y
2
4
− 1 com o plano y = 4.
Encontre a inclinac¸a˜o da reta tangente a essa curva, no ponto (3,4,2).
Soluc¸a˜o. O problema equivale a fazer y constante no gra´fico de uma func¸a˜o nas varia´veis x,y. A
curva obtida sobre o gra´fico tem varia´vel independente x. Enta˜o a derivada parcial relativa a` x sera´
a derivada da func¸a˜o de uma varia´vel que gera a curva. Calculando, obtemos a inclinac¸a˜o:
∂z
∂x
=
1
2
√
x2
9
+ y
2
4
− 1
2x
9
⇒ ∂z
∂x
(3, 4) =
1
2
1
3
=
1
6
.
A inclinac¸a˜o no ponto vale 1
6
.
3
2 Derivada Direcional
Ate´ aqui temos estudado func¸o˜es de duas ou treˆs varia´veis independentes com valores reais, ou seja,
a imagem sa˜o nu´meros reais. Torna-se necessa´rio introduzir uma func¸a˜o que foge a esses dois casos.
Definic¸a˜o 2.1. Dados I um intervalo de nu´meros reais e D um subconjunto de R2 (ou R3). Uma
curva de I para D e´ uma func¸a˜o σ : I → D da forma σ(t) = (x(t), y(t)) (ou σ(t) = (x(t), y(t), z(t)) ).
As func¸o˜es x(t), y(t) ou z(t) sa˜o de uma varia´vel a valores reais, sa˜o chamadas func¸o˜es coordenadas.
A curva σ e´ diferencia´vel quando cada func¸a˜o coordenada tambe´m e´ diferencia´vel. Chamamos
derivada de σ no ponto t ao vetor ~σ′(t) = (x′(t), y′(t)) (no caso de σ ser plana). Note que a imagem
da func¸a˜o σ e´ oque no´s comumente chamamos de curva.
Exemplo 4. Para σ(t) = (cos(t), sen(t)) com 0 ≤ t ≤ 2π obtemos uma circunfereˆncia centrada na
origem de raio 1. A derivada no ponto t vale ~σ′(t) = (−sen(t), cos(t)).
-2
-1
 0
 1
 2
-2 -1 0 1 2
Exemplo 5. Sejam A = (−1, 2) e B = (4, 6) . Definimos ~v = B − A = (4, 6) − (−1, 2) = (5, 4).
Enta˜o a curvadada por γ(t) = A + t~v e´ uma reta que passa por A e B. As func¸o˜es coordenadas
de γ sa˜o x(t) = −1 + 5t e y(t) = 2 + 4t. Note que a derivada de γ e´ o pro´prio vetor ~v: γ′(t) =
(x′(t), y′(t)) = (5, 4) = ~v.
-3
-2
-1
 0
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
A
B
v=(5,4)
Definic¸a˜o 2.2. Dado ~v ∈ R2 um vetor qualquer. Considere (a, b) um ponto do R2. Pelo exemplo
5 a func¸a˜o γ : [0, 1] → R2, dada por γ(t) = (a, b) + t~v descreve uma reta no plano, que passa por
(a, b) quando t = 0. Se f : D → R e´ uma func¸a˜o de duas varia´veis tal que a reta acima esta´
contida no seu domı´nio, podemos compor as func¸o˜es f e γ, obtendo uma func¸a˜o de uma varia´vel
real: f ◦ γ(t) : I → R. A Derivada Direcional de f no ponto (a, b), relativo ao vetor ~v (se existir)
e´ o limite
∂f
∂~v
(a, b) = lim
t→0
f(γ(t))− f(γ(0))
t− 0 .
Escrevendo explicitamente as func¸o˜es coordenadas de γ a fo´rmula acima fica:
∂f
∂~v
(a, b) = lim
t→0
f(a+ tv1, b+ tv2)− f(a, b)
t
.
Vemos que ∂f
∂~v
(a, b) e´ a derivada da composta f(γ(t)), onde γ(t) parametriza uma reta passando por
(a, b), e com vetor diretor ~v. As derivadas direcionais sa˜o definidas de forma ideˆntica para func¸o˜es
de treˆs varia´veis.
4
-2
-1
 0
 1
 2
 3
-2
-1
 0
 1
 2
 3
S
v
Interpretac¸a˜o Geome´trica: Por simplicidade consideramos o caso f = f(x, y). Chamemos de
S a` intersec¸a˜o do gra´fico de f com o plano vertical que passa pela reta (a, b) + t~v. Enta˜o a derivada
direcional ∂f
∂~v
(a, b) e´ a inclinac¸a˜o dessa curva, no ponto (x, y, z) = (a, b, f(a, b)).
Exemplo 6. Para ~v = (1, 2), calcule ∂f
∂~v
(1, 3). f(x, y) = x2y − xy2.
Soluc¸a˜o. Seguindo a definic¸a˜o de derivada direcional, efetuamos
∂f
∂~v
(1, 3) = lim
t→0
f(1 + t, 3 + 2t)− f(1, 3)
t
=
= lim
t→0
(1 + t)2(3 + 2t)− (1 + t)(3 + 2t)2 + 6
t
=
= lim
t→0
−6− 13t− 9t2 − 2t3 + 6
t
=
= lim
t→0
−13− 9t− 2t2 = −13
Exemplo 7. Calcule a derivada de g(x, y) = 3xy + x na direc¸a˜o do vetor ~w = (3,−1) e no ponto
(a, b) arbitra´rio.
Soluc¸a˜o.
∂g
∂~u
(a, b) = lim
t→0
g(a+ 3, b− t)− g(a, b)
t
=
= lim
t→0
3(a+ 3t)(b− t) + (a+ 3t)− [3ab+ a]
t
=
= lim
t→0
3ab− 3at+ 9bt− 9t2 + a+ 3t− 3ab− a
t
= 9b− 3a+ 3 .
Observac¸a˜o 2.3. As derivadas parciais ∂f
∂x
, ∂f
∂y
e ∂f
∂z
sa˜o casos particulares de derivadas direcionais.
~e1 = (1, 0)⇒ ∂f
∂x
=
∂f
∂ ~e1
= lim
t→0
f(x+ t, y)− f(x, y)
t
~e2 = (0, 1)⇒ ∂f
∂y
=
∂f
∂ ~e2
= lim
t→0
f(x, y + t)− f(x, y)
t
e no caso tridimensional,
~e3 = (0, 0, 1)⇒ ∂f
∂z
=
∂f
∂ ~e3
= lim
t→0
f(x, y, z + t)− f(x, y, z)
t
.
5
3 Gradiente
Dada f : D → R uma func¸a˜o de duas ou treˆs varia´veis. Assuma que f possui derivadas parciais no
ponto P ∈ D. O gradiente de f em P , denotado ∇f(P ) ou ~∇f(P ) e´ um vetor cujas coordenadas
sa˜o as derivadas parciais de f no ponto P . Explicitamente, se D ⊂ R2 enta˜o
∇f(P ) =
(
∂f
∂x
(P ),
∂f
∂y
(P )
)
.
e se D ⊂ R3,
∇f(P ) =
(
∂f
∂x
(P ),
∂f
∂y
(P ),
∂f
∂z
)
.
Note que o vetor gradiente de uma func¸a˜o esta´ associado a um ponto do domı´nio da func¸a˜o - onde
calcularam-se as derivadas parciais. Naturalmente, se a func¸a˜o possuir derivadas parciais em todo
seu domı´nio, havera´ um vetor gradiente para cada ponto de D. O conjunto de todos esses vetores
forma o campo gradiente da func¸a˜o.
Exemplos 8. Calcule os gradientes.
1) f(x, y) = x2 + y2.
2) f(x, y) = 3x+ 2y.
3) f(x, y, z) = x2 + y2 − z2.
Soluc¸a˜o. 1) ∇f = (fx, fy) = (2x, 2y).
2) ∇f = (3, 2).
3) ∇f = (2x, 2y,−2z)
Interpretac¸a˜o geome´trica: O gradiente indica a direc¸a˜o e o sentido em que o crescimento de
f e´ mais ra´pido. A demonstrac¸a˜o desse fato requer uso da Regra da Cadeia (veremos mais adiante),
mas por hora importa usarmos essa ide´ia associada aos conjuntos de n´ıvel.
Se a func¸a˜o cresce ou decresce mais ra´pido na direc¸a˜o do seu gradiente enta˜o ela deve ter variac¸a˜o
pequena em uma direc¸a˜o ortogonal ao gradiente. Realmente isso ocorre, e mais preciso e´ dizer que a
func¸a˜o e´ “aproximadamente”constante numa curva que passa pelo ponto e e´ ortogonal ao gradiente
naquele ponto. Enta˜o, essa e´ um pedac¸o da curva de n´ıvel: curvas de n´ıvel sa˜o ortogonais
aos vetores gradientes em cada um de seus pontos. Isso para uma func¸a˜o de duas varia´veis.
No caso de func¸a˜o no R3, podemos dizer que superf´ıcies de n´ıvel sa˜o sempre ortogonais aos
vetores gradientes em cada ponto.
Exemplo 9. Esboce as curvas de n´ıvel 1,3 e 4 da func¸a˜o dada no exemplo 8 1). Esboce alguns
vetores gradientes sobre cada curva.
Soluc¸a˜o
-3
-2
-1
 0
 1
 2
 3
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
c=1
c=3
c=4
6
Exemplo 10. Abaixo esta˜o esboc¸ados o campo gradiente de f(x, y) = y2 − x2 e algumas curvas de
n´ıvel.
-4
-3
-2
-1
 0
 1
 2
 3
 4
 5
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
f=-2
f=-1f=1
f=2
4 Func¸o˜es Diferencia´veis
O que estudaremos nessa sec¸a˜o e´ essencial para compreendermos a aproximac¸a˜o de func¸o˜es de va´rias
varia´veis e para usarmos os principais teoremas da teoria diferencia´vel. Comec¸amos com uma func¸a˜o
f(x, y) definida em D ⊂ R2, e tal que exista o gradiente de f (ou seja, as derivadas parciais) num
ponto (a, b) contido em D. Com todos esses elementos, podemos definir uma nova func¸a˜o de duas
varia´veis:
r(x, y) = f(a, b) +∇f(a, b).(x− a, y − b) . (1)
Note que a func¸a˜o r(x, y) acima foi definida sabendo-se apenas o valor de f no ponto (a, b) e os
valores de suas derivadas parciais nesse ponto. Uma conta fornece
r(a, b) = f(a, b) e ∇r(a, b) = ∇f(a, b) .
Logo, os valores de r(x, y) e f(x, y) e de suas derivadas parciais sa˜o respectivamente
iguais no ponto (a, b). E´ poss´ıvel mostrar pela ana´lise que nessas condic¸o˜es as duas func¸o˜es esta˜o
pro´ximas uma da outra, quando (x, y) esta´ pro´ximo de (a, b). Esse fato e´ matematicamente
expresso pelo limite
lim
(x,y)→(a,b)
|f(x, y)− r(x, y)|
|(x− a, y − b)| = 0 .
Definic¸a˜o 4.1. Dizemos que f e´ diferencia´vel no ponto (a, b) se as derivadas parciais de f existem
em (a, b), e ale´m disso a func¸a˜o r(x, y) definida em (1) juntamente com f satisfazem o limite nulo
acima. Dizemos que f e´ diferencia´vel se for diferencia´vel em todos os pontos (a, b) em seu domı´nio.
Para func¸o˜es de treˆs varia´veis, a definic¸a˜o de diferenciabilidade em um ponto e´ equivalente, com
a diferenc¸a que no limite acima teremos func¸o˜es f e r nas varia´veis x,y e z, e no denominador, a
distaˆncia entre (x, y, z) e um ponto fixo (a, b, c) do espac¸o.
Olhamos o limite acima apenas do ponto de vista conceitual: Quando (x, y) → (a, b) o denomi-
nador da frac¸a˜o - que e´ a distaˆncia entre os pontos - tende para zero. Logo, para que o limite seja
zero, e´ necessa´rio que o numerador tambe´m se aproxime de zero, contudo isso se da´ mais ra´pido que
a convergeˆncia do denominador. Sempre que isso ocorre em um limite dizemos que o numerador e´
um infinite´simo do denominador.
Na˜o e´ dif´ıcil perceber, portanto, que ao menos para valores de (x, y) pro´ximos de (a, b), os valores
de r e f devem estar pro´ximos entre si.
Que func¸o˜es sa˜o diferencia´veis ?
Essa questa˜o e´ mais dif´ıcil de ser respondida em geral, pois envolve um nu´mero diverso de fatores.
Faremos um resumo de alguns dos principais fatos associados a` questa˜o da diferenciabilidade.
7
1. Se f e g sa˜o duas func¸o˜es diferencia´veis em P enta˜o f + g, f − g, f.g e f/g sa˜o tambe´m
diferencia´veis em P (onde estiverem definidas).
2. Se f possui as derivadas parciais cont´ınuas em um ponto P enta˜o f e´ diferencia´vel em P .
Uma func¸a˜o pode ser diferencia´vel em um ponto e alguma(s) de suas(s) derivadas parciais na˜o
ser(em) cont´ınua(s).3. Toda func¸a˜o diferencia´vel e´ cont´ınua. Ha´ func¸o˜es cont´ınuas que na˜o sa˜o diferencia´veis.
Usando os fatos acima conclu´ımos rapidamente que:
1. As projec¸o˜es w = x, w = y e w = z sa˜o func¸o˜es diferencia´veis. Pois suas derivadas parciais sa˜o
constantes, portanto cont´ınuas.
2. Combinando essas projec¸o˜es em somas, produtos, quocientes, etc., conclu´ımos que as func¸o˜es
racionais sa˜o diferencia´veis em seus domı´nios.
3. As func¸o˜es dos exemplos 1 sa˜o diferencia´veis, por inspec¸a˜o na continuidade de suas derivadas
parciais. A func¸a˜o do exemplo 2 na˜o e´ diferencia´vel na origem, oque pode ser visto aplicando-se o
limite da definic¸a˜o.
5 Regra da Cadeia para derivac¸a˜o
Nos interessam duas verso˜es da regra da cadeia, que trata da derivada de uma func¸a˜o composta.
Enunciamos os Teoremas usando apenas a palavra “diferencia´vel” significando “diferencia´vel numa
regia˜o de seu domı´nio” ou enta˜o “diferencia´vel em um ponto”, o qual deve ser especificado.
Regra da Cadeia 1a versa˜o. Dados f(x, y) func¸a˜o e σ(t) = (x(t), y(t)) curva, ambos diferencia´veis.
Assuma que a imagem de σ esta´ contida no domı´nio de f . Enta˜o a composta f ◦ σ(t) = f(x(t), y(t))
e´ diferencia´vel. Sua derivada (relativo a t) e´ dada pela fo´rmula
d
dt
f(σ(t)) =
∂f
∂x
(x, y)
dx
dt
(t) +
∂f
∂y
(x, y)
dy
dt
(t) . (2)
Note que as letras x e y desempenham papel amb´ıguo nessa expressa˜o, ora sendo varia´veis indepen-
dentes (∂x e ∂y), ora sendo func¸o˜es de uma varia´vel x(t) e y(t).
Outra fo´rmula equivalente a` (2):
d
dt
f ◦ σ(t) = ∂f
∂x
dx
dt
+
∂f
∂y
dy
dt
= ∇f.(dx
dt
,
dy
dt
) = ∇f(σ(t)).~σ′(t) . (3)
Escrita para func¸o˜es de mais de duas varia´veis, a Regra da Cadeia mante´m o mesmo padra˜o, bas-
tando que se considere na somato´ria do 2o membro de (2) todas as derivadas parciais da func¸a˜o, e
coordenadas da curva. Para g(x, y, z) e γ(t) = (x(t), y(t), z(t)), por exemplo, fica
∂
∂t
g(γ(t)) =
∂g
∂x
dx
dt
+
∂g
∂y
dy
dt
+
∂g
∂z
dz
dt
.
Equac¸a˜o (3) traduz a Regra da Cadeia da mesma forma que (2), mas da´ um significado geome´trico
importante. A derivada da composta de uma func¸a˜o com uma curva e´ o gradiente da func¸a˜o,
calculado na curva, produto escalar com o vetor derivada da curva. Esse fato nos da´ uma
fo´rmula para o ca´lculo de derivadas direcionais de func¸o˜es diferencia´veis sem o uso de limites.
Teorema 5.1. Se f(x, y) e´ diferencia´vel e ~v e´ vetor unita´rio enta˜o a derivada direcional num ponto
(a, b) pode ser calculada como
∂f
∂~v
(a, b) = ∇f(a,b).~v .
8
A prova deste teorema consiste em fazer σ(t) = (a, b) + t~v, observar que σ e´ claramente dife-
rencia´vel e aplicar a regra da cadeia a` composta f(σ(t)),
(
d
dt
f ◦ σ)(0) = ∂f
∂~v
= ∇f(a,b).~σ′(0) = ∇f(a,b).~v .
Exemplo 11. Revendo os exemplos 6 e 7: em ambos os casos as func¸o˜es envolvidas sa˜o diferencia´veis
(polinoˆmios). Portanto o Teorema acima se aplica. Para o exemplo 6 o gradiente de f fica (2xy −
y2,−2xy + x2), e no ponto (1, 3) obtemos ∇f(1,3) = (−3,−5). Calculando a derivada direcional,
∂f
∂~v
(1, 3) = ∇f(1,3).(1, 2) = (−3,−5).(1, 2) = −13 .
De forma parecida, obtemos para o exemplo 7 o gradiente de g, ∇g(x, y) = (3y + 1, 3x). Derivando
g ao longo do vetor ~u fica
∂g
∂~u
(a, b) = ∇g(a,b).(3,−1) = (3b+ 1, 3a).(3,−1) = 9b+ 3− 3a .
Exemplo 12. Sendo f(x, y) =
√
x2 + y2 e σ(t) = (t3 − 5, t2) obtenha a derivada de f(σ(t)) em
t = 2.
Exemplo 13. Sendo f(x, y) =
√
x2 + y2 e σ(t) = (t3 − 5, t2) obtenha a derivada de f(σ(t)) em
t = 2.
Soluc¸a˜o. As func¸o˜es envolvidas sa˜o diferencia´veis. Usando t = 2 obtemos o ponto da curva σ(2) =
(3, 4). Calculamos o gradiente de f neste ponto.
∇f =
(
x√
x2 + y2
,
y√
x2 + y2
)
⇒ ∇f(3,4) =
(
3
5
,
4
5
)
.
Como a derivada da curva tem expressa˜o ~σ′(t) = (3t2, 2t), a derivada em t = 2 e´ (12, 4). Logo, a
regra da cadeia resulta em
d(f(σ))
dt
(2) =
(
3
5
,
4
5
)
.(12, 4) =
52
5
.
Exemplo 14. A func¸a˜o g(x, y, z) : R3 → R e´ diferencia´vel, assim como a curva γ(s). Definimos a
func¸a˜o h(s) = g(γ(s)). Sabendo que ∂g
∂x
(1, 2, 2) = −3, ∂g
∂y
(1, 2, 2) = −1, ∂g
∂z
(1, 2, 2) = 4
3
, γ(1) = (1, 2, 2)
e ~γ′(1) = (6, 0, 5) calcule h′(1).
Soluc¸a˜o. Aplicac¸a˜o direta da regra da cadeia, apo´s observar que a curva γ passa pelo ponto (1, 2, 2)
no instante s = 1. Fazendo γ(s) = (x(s), y(s), z(s)) fica
h′(1) =
∂g
∂x
(1, 2, 2)
dx
ds
(1) +
∂g
∂y
(1, 2, 2)
dy
ds
(1) +
∂g
∂z
(1, 2, 2)
dz
ds
(1) = −34
3
.
Na Regra da Cadeia 1a versa˜o tratamos da composic¸a˜o de func¸o˜es com curvas, e suas derivadas.
A segunda versa˜o desta regra considera que as func¸o˜es que ocorrem “dentro” da composta na˜o sa˜o
curvas, mas auteˆnticas func¸o˜es de va´rias varia´veis. Assim, e´ dado f(x, y), e supomos que tanto
x como y sa˜o varia´veis dependentes de outras, por exemplo, x = x(u, v) e y = y(u, v).
Assumindo que todas as func¸o˜es acima sa˜o diferencia´veis, desejamos saber quanto vale ∂f
∂u
e ∂f
∂v
,
posto que f = f(x(u, v), y(u, v)) pode ser vista como func¸a˜o de u e v, apo´s a composic¸a˜o.
9
Regra da Cadeia 2a versa˜o. Nas condic¸o˜es do para´grafo acima, a func¸a˜o dada por h(u, v) =
f(x(u, v), y(u, v)) e´ diferencia´vel, e suas derivadas parciais sa˜o:
∂h
∂u
(u, v) =
∂f
∂x
∂x
∂u
+
∂f
∂y
∂y
∂u
,
∂h
∂v
(u, v) =
∂f
∂x
∂x
∂v
+
∂f
∂y
∂y
∂v
.
Para uma func¸a˜o de treˆs varia´veis g(x, y, z), supondo x = x(r, s), y = y(r, s) e z = z(r, s), as
derivadas parciais de h = g(x(r, s), y(r, s), z(r, s)) ficam
∂h
∂r
(r, s) =
∂g
∂x
∂x
∂r
+
∂g
∂y
∂y
∂r
+
∂g
∂z
∂z
∂r
,
∂h
∂s
(r, s) =
∂g
∂x
∂x
∂s
+
∂g
∂y
∂y
∂s
+
∂g
∂z
∂z
∂s
.
Observac¸a˜o 5.2. Na˜o ha´ diferenc¸a real entre as duas verso˜es da regra da cadeia, a na˜o ser o fato
de que na segunda a composta e´ func¸a˜o de va´rias varia´veis. Portanto a derivada e´ sempre parcial e
calculada com as demais varia´veis feitas constantes.
Exemplo 15. Dado f(x, y) = x2 − 5y2, e sabendo-se que x = u + v e y = u − v, (a) encontre a
func¸a˜o h(u, v) = f(x(u, v), y(u, v)), e (b) ache ∂h
∂u
e ∂h
∂v
diretamente e pela regra da cadeia.
Soluc¸a˜o. Substituindo as expresso˜es em u,v de x e de y na definic¸a˜o de f encontramos facilmente a
composta,
h(u, v) = f(u+ v, u− v) = (u+ v)2 − 5(u− v)2 = u2 + 2uv + v2 − 5u2 + 10uv − 5v2 =
= −4u2 − 4v2 + 12uv .
Tendo a parte (a) resolvida, fazemos a parte (b) derivando diretamente,
∂h
∂u
=
∂
∂u
(−4u2 − 4v2 + 12uv) = −8u+ 12v
∂h
∂v
=
∂
∂v
(−4u2 − 4v2 + 12uv) = −8v + 12u .
e para verificarmos o Teorema, tambe´m aplicamos a Regra da Cadeia,
∂h
∂u
=
∂f
∂x
∂x
∂u
+
∂f
∂y
∂y
∂u
= 2x.1− 10y.1 = 2(u+ v)− 10(u− v) = −8u+ 12v
∂h
∂v
=
∂f
∂x
∂x
∂v
+
∂f
∂y
∂y
∂v
= 2x.1− 10y.(−1) = 2(u+ v) + 10(u− v) = 12u− 8v .
Exemplo 16. Sendo w = xy+ z2 e x = 2u, y = u+3v e z = uv encontre as derivadas parciais ∂w
∂u
e
∂w
∂v
.
Soluc¸a˜o. Aplicando a regra da cadeia.
∂w
∂u
=
∂w
∂x
∂x
∂u
+
∂w
∂y
∂y
∂u
+
∂w
∂z
∂z
∂u
= y.2 + x.1 + 2z.v = 2u+ 6v + 2u+ 2uv2 = 4u+ 6v + 2uv2
∂w
∂v
=
∂w
∂x
∂x
∂v
+
∂w
∂y
∂y
∂v
+
∂w
∂z
∂z
∂v
= y.0 + x.3 + 2z.u = 6u+ 2u2v .
10
6 Reta e Plano Tangentes
Recordemos que qualquer reta no plano pode ser descrita pela equac¸a˜o ax + by = c, onde a, b, c
sa˜o constantes reais. Mais ainda, o significado geome´trico de a e b e´ o de coeficientes de um vetor
ortogonal a` reta. Similarmente, um plano qualquer tem por equac¸a˜o ax + by + cz = d onde as 3
primeiras constantes formam um vetor (a, b, c)em R3 que e´ ortogonal ao plano descrito.
Seja enta˜o f : D ⊂ R2 → R e considere a curva de n´ıvel k de f . Escolha um ponto P nessa
curva e assuma que ∇f(P ) 6= 0. Enta˜o esse gradiente e´ perpendicular a` curva de n´ıvel, ou seja, e´
perpendicular a` reta tangente no ponto P a` curva de n´ıvel. Podemos enta˜o obter a equac¸a˜o
dessa reta tangente. Se Q = (x, y) e´ um ponto arbitra´rio da reta o vetor Q − P e´ paralelo a` reta.
Logo,
(Q− P ).∇f(P ) = 0 .
Substituindo na equac¸a˜o acima Q = (x, y), P = (x0, y0) e ∇f(P ) =
(
∂f
∂x
(P ), ∂f
∂y
(P )
)
= (a, b) fica
[(x, y)− (x0, y0)].(a, b) = 0 ⇒ ax+ by = c .
onde a constante c vale ax0 + by0.
-1
 0
 1
 2
 3
 4
-3 -2 -1 0 1 2
P
grad f(P)
f(x,y)=k
De forma similar, dados g : R3 → R e S a superf´ıcie de n´ıvel k de g, tomamos um ponto P de S
onde ∇g(P ) 6= 0. O plano tangente a` S em P tem por equac¸a˜o:
(Q− P ).∇g(P ) = 0 ⇒ ax+ by + cz = d .
A equac¸a˜o do plano acima foi obtida fazendo-se Q = (x, y, z), d = P.∇g(P ) e ∇g(P ) =(
∂f
∂x
(P ), ∂f
∂y
(P ), ∂f
∂z
(P )
)
.
11
P
grad g(P)
g(x,y,z)=k
Exemplo 17. Determine a equac¸a˜o da reta tangente a` curva x2 + xy + y2 − 3y = 1 em (1, 2).
Soluc¸a˜o. Inicialmente associamos uma func¸a˜o em duas varia´veis a` curva dada: esta sera´ uma curva
de n´ıvel daquela func¸a˜o. A escolha para tal func¸a˜o na˜o e´ u´nica, mas no caso, podemos tomar
f(x, y) = x2 + xy + y2 − 3y (outra possibilidade: f(x, y) = x2 + xy + y2 − 3y + constante). A curva
dada e´ o n´ıvel 1 de f , f(x, y) = 1. Note tambe´m que f(1, 2) = 1. Calculando o gradiente de f em
(1, 2) obtemos
∇f(x, y) = (2x+ y, 2y − 3 + x) ⇒ ∇f(1, 2) = (4, 2) .
Usando o ponto de tangeˆncia (1, 2) para calcular a constante independente chegamos no valor 4x0 +
2y0 = 8. Logo a equac¸a˜o da reta fica
4x+ 2y = 8 .
Exemplo 18. Determine a equac¸a˜o do plano tangente a` superf´ıcie S de equac¸a˜o x2 + 3y2 + 4z2 = 8
no ponto (1,−1, 1).
Soluc¸a˜o. Devemos perceber S como superf´ıcie de n´ıvel 8 da func¸a˜o f(x, y, z) = x2 + 3y2 + 4z2.
Enta˜o, calculando gradiente no ponto,
∇f(x, y, z) = (2x, 6y, 8z) ⇒ ∇f(1,−1, 1) = (2,−6, 8) .
Ate´ aqui temos por equac¸a˜o do plano 2x−6y+8z = d. A constante d e´ determinada substituindo-se
na equac¸a˜o as coordenadas de um ponto que sabemos pertencer ao plano, nesse caso, (1,−1, 1).
(1,−1, 1) ∈ plano ⇒ 2(1)− 6(−1) + 8(1) = d ⇒ d = 16 .
A equac¸a˜o do plano tangente e´ 2x− 6y + 8z = 16.
7 Derivadas Parciais Superiores
Dado f uma func¸a˜o definida em duas ou mais varia´veis independentes. Por simplicidade vamos
supor f = f(x, y). Admitimos tambe´m que f possui as derivadas parciais em todo (x, y) de seu
domı´nio. Enta˜o obtivemos duas novas func¸o˜es em x e y, ∂f
∂x
(x, y) e ∂f
∂y
(x, y). Se as mesmas hipo´teses
que tomamos para f valerem tambe´m para ∂f
∂x
(ou ∂f
∂y
) podemos repetir o argumento e obter duas
novas func¸o˜es de x,y, que sa˜o ∂
∂x
(∂f
∂x
) e ∂
∂y
(∂f
∂x
). De forma ana´loga conseguimos ∂
∂x
(∂f
∂y
) e ∂
∂y
(∂f
∂y
). Essas
quatro u´ltimas func¸o˜es, obtidas das derivadas parciais de f sa˜o as derivadas parciais segundas
de f .
12
Essa ide´ia pode ser aplicada repetidamente, desde que em cada etapa as func¸o˜es obtidas possuam
derivadas parciais em todos os pontos. Definimos a ordem de uma derivada como o nu´mero de vezes
que algum operador derivada parcial (seja ∂
∂x
ou ∂
∂y
) foi aplicado na func¸a˜o f para se obter aquela
derivada. Note que f e´ considerada uma derivada de ordem 0 de si mesma. Podemos resumir com
um diagrama:
f(x, y)
{{vv
vv
vv
vv
vv
vv
**UU
UUU
UUU
UUU
UUU
UUU
UUU
UUU
UUU
UU
∂f
∂x
}}zz
zz
zz
zz
zz
zz
""
DD
DD
DD
DD
DD
D
∂f
∂y
}}zz
zz
zz
zz
zz
z
!!
DD
DD
DD
DD
DD
DD
∂2f
∂x2





��
∂2f
∂y∂x
}}zz
zz
zz
zz
z
��
∂2f
∂x∂y
�� !!
DD
DD
DD
DD
∂2f
∂y2
��
��
??
??
??
??
?
∂3f
∂x3
∂3f
∂y∂2x
∂3f
∂x∂y∂x
∂3f
∂2y∂x
∂3f
∂2x∂y
∂3f
∂y∂x∂y
∂3f
∂x∂2y
∂3f
∂y3
Em geral, falamos nas ene´simas derivadas parciais, ou derivadas de ordem n da func¸a˜o f .
∂nf
∂x3∂y2 · · ·∂x, · · ·
Outra notac¸a˜o:
∂2f
∂y∂x
= fyx,
∂2f
∂x2
= fxx,
∂3f
∂2y∂x
= fyyx, etc.
Exemplo 19. Calculemos as derivadas de ordem 2 da func¸a˜o g(x, y) = exy
2 − tan(4x − 3y).
Comec¸amos com as derivadas de ordem 1.
∂g
∂x
= y2exy
2 − 4 sec2(4x− 3y) e ∂g
∂y
= 2yxexy
2
+ 3 sec2(4x− 3y) .
As derivadas segundas sa˜o:
∂2g
∂x2
= y4exy
2 − 32 sec2(4x− 3y) tan(4x− 3y)
∂2g
∂y∂x
= 2yexy
2
+ 2y3xexy
2
+ 24 sec2(4x− 3y) tan(4x− 3y)
∂2g
∂x∂y
= 2yexy
2
+ 2y3xexy
2
+ 24 sec2(4x− 3y) tan(4x− 3y)
∂2g
∂y2
= 2xexy
2
+ 4y2x2exy
2 − 18 sec2(4x− 3y) tan(4x− 3y)
Definic¸a˜o 7.1. f : D ⊂ R2 → R. Dizemos que f e´ de classe Ck (k e´ inteiro na˜o negativo) se f
possui todas as derivadas parciais ate´ ordem k e elas sa˜o cont´ınuas. Dizemos que f e´ de classe C∞
se ela possui derivadas de qualquer ordem cont´ınuas, ou seja, se ela e´ infinitamente deriva´vel.
Observac¸a˜o 7.2. Para qualquer inteiro na˜o negativo k podemos ver que Ck ⊃ Ck+1. Assim temos
um encadeamento decrescente
C0 ⊃ C1 ⊃ C2 ⊃ · · · ⊃ Ck ⊃ Ck+1 ⊃ · · ·
Em particular, temos que C∞ = ∩∞i=1Ci.
13
Regra de Schwarz. Se f e´ de classe C2 enta˜o
∂2f
∂x∂y
=
∂2f
∂y∂x
.
Exemplo 20. Calcule as derivadas de ordem 2 mistas
∂2
∂x∂y
e
∂2
∂y∂x
de f(x, y) = sen(x2y)−x3+xey.
Soluc¸a˜o. Notamos que a func¸a˜o f possui derivadas de todas as ordens cont´ınuas, porque e´ composta
de func¸o˜es que possuem infinitas derivadas (func¸o˜es trigonome´tricas, exponenciais e polinomiais).
Enta˜o f e´ de classe C∞, logo f e´ de classe C2 e necessitamos calcular apenas uma das derivadas
pedidas, a qual sera´ igual a` outra. Escolhemos obter
∂2f
∂x∂y
. Calculando primeiro ∂f
∂y
,
∂f
∂y
= x2 cos(x2y) + xey .
Agora obtemos a derivada parcial segunda:
∂2f
∂x∂y
= 2x cos(x2y)− 2x3ysen(x2y) + ey .
8 Otimizac¸a˜o
Nas aplicac¸o˜es a`s cieˆncias, frequentemente surge a necessidade de se achar pontos de ma´ximo e
mı´nimo de func¸o˜es em duas ou mais varia´veis, assim como seus valores de ma´ximo e mı´nimo. Na
F´ısica busca-se o mı´nimo da energia potencial U(x,y,z) definida no espac¸o. Na Economia deseja-se
maximizar a func¸a˜o lucro, que pode depender de diversos paraˆmetros. Na Qu´ımica interessa saber
a temperatura e a quantidade do reagente A que maximizam a produc¸a˜o de uma substaˆncia B,
numa certa reac¸a˜o “in vitro”. A otimizac¸a˜o e´ o procedimento do ca´lculo que nos permite analisar
esses problemas. Para tal, devemos antes definir com cuidado os conceitos acima. Nessas notas nos
restringiremos a`s func¸o˜es de duas varia´veis no plano e func¸o˜es de duas varia´veis restritas a curvas
no plano.
8.1 Func¸o˜es definidas em regio˜es do plano
Definic¸a˜o 8.1. Seja f(x, y) definida em uma regia˜o D ⊂ R2. Tome um ponto P = (x0, y0) ∈ D.
Dizemos que P e´ ponto de. . .
MI´NIMO LOCAL: Se f(x, y) ≥ f(x0, y0) para todos os pontos (x, y) suficientemente pro´ximos de
(x0, y0) em D. Por suficientemente pro´ximo entende-se que existe um raio r > 0 (pequeno) para o
qual a propriedade f(x, y) ≥ f(x0, y0) vale desde que a distaˆncia entre (x, y) e (x0, y0) seja menor
que r.
MA´XIMO LOCAL: Se f(x, y) ≤ f(x0, y0) para todos os pontos (x, y) suficientemente pro´ximos
de (x0, y0) em D.
Um ponto de mı´nimo local no qual a condic¸a˜o f(x, y) ≥ f(x0, y0) vale para todo (x, y) no domı´nio
de f e´ chamado MI´NIMO GLOBAL. Assim tambe´m, um ponto de ma´ximo local sera´MA´XIMO
GLOBAL se a desigualdade respectiva valer para toda a regia˜o D. Qualquer ponto de ma´ximo ou
mı´nimo e´ chamado PONTO EXTREMO, oqual pode serlocal ou global.
Lembramos que a regia˜o D pode ser o plano todo, ou enta˜o apresentara´ uma fronteira C. Os
pontos extremos de f podem ocorrer no interior de D e tambe´m em sua fronteira. Um Teorema do
Ca´lculo I generalizado nos da´ uma consequeˆncia da existeˆncia de pontos extremos:
14
Teorema 8.2. Seja P um ponto extremo de f no interior de D. Enta˜o OU o gradiente de f na˜o
existe em P (uma das derivadas parciais, ou ambas, na˜o existem), OU o gradiente existe e vale (0,0).
O Teorema acima nos motiva a` definic¸a˜o seguinte:
Definic¸a˜o 8.3. Um Ponto Cr´ıtico de uma func¸a˜o f e´ um ponto P do seu domı´nio no qual o vetor
∇f(P ) na˜o existe, ou enta˜o existe e vale ∇f(P ) = (0, 0).
Exemplo 21. A func¸a˜o f(x, y) = x2 + y2 e´ diferencia´vel no R2 e so´ pode ter pontos cr´ıticos do tipo
∇f = (0, 0). Como ∇f(x,y) = (2x, 2y) vemos que o u´nico ponto cr´ıtico de f e´ a origem (0, 0).
Exemplo 22. A func¸a˜o g(x, y) = x
3
3
−3y2+2xy−x e´ diferencia´vel no plano. Resolvemos a equac¸a˜o
∇g(x,y) = (0, 0):
∇g(x,y) = (x2 + 2y − 1,−6y + 2x) = (0, 0) =⇒
{
x2 + 2y − 1 = 0
−6y + 2x = 0 .
O sistema de equac¸o˜es obtido tem por soluc¸a˜o os pontos {(−1+
√
10
3
, −1+
√
10
9
), (−1−
√
10
3
, −1−
√
10
9
)}. Estes
sa˜o pois os u´nicos pontos cr´ıticos de g.
O teorema 8.2 e a definic¸a˜o 8.3 nos permitem concluir que todo ponto extremo INTERIOR
ao domı´nio e´ ponto cr´ıtico da func¸a˜o. Contudo, nem todo ponto cr´ıtico necessita ser ponto
extremo. Isso sugere mais uma definic¸a˜o.
Definic¸a˜o 8.4. Um ponto cr´ıtico P = (x0, y0) de f(x, y) e´ chamado ponto de sela se vale a
propriedade seguinte: podemos encontrar pontos (x1, y1) ta˜o pro´ximos de (x0, y0) quanto desejarmos
com f(x1, y1) ≤ f(x0, y0); e podemos encontrar pontos (x2, y2) ta˜o pro´ximos de (x0, y0) quanto
desejarmos e com f(x2, y2) ≥ f(x0, y0).
Note que a definic¸a˜o de ponto de sela so´ vale para pontos cr´ıticos. Um ponto P no qual∇f(P ) 6= 0
na˜o pode ser classificado como ponto de sela, mesmo que ambas desigualdades da definic¸a˜o acima
valham para P .
Exemplo 23. Veˆ-se atrave´s de um ca´lculo que o u´nico ponto cr´ıtico de f(x, y) = y2 − x2 e´ (0, 0).
Tomando x = 0 e valores arbitrariamente pequenos para y obtemos pontos onde f(0, y) = y2 > 0,
logo f(0, y) > f(0, 0) = 0. E se tomarmos y = 0 e x arbitrariamente pequeno obtemos pontos onde
f(x, 0) < f(0, 0). Isso mostra ser a origem um ponto de sela.
Similar ao Ca´lculo I temos um crite´rio para classificar pontos cr´ıticos a partir das derivadas
segundas de f(x, y). E´ conveniente introduzir a definic¸a˜o seguinte:
Definic¸a˜o 8.5. Seja f uma func¸a˜o de classe C2. A matriz hessiana de f e´ a matriz tipo 2× 2
Hf =


∂2f
∂x2
∂2f
∂y∂x
∂2f
∂x∂y
∂2f
∂y2

 .
O determinante da matriz hessiana e´
detHf =
∂2f
∂x2
∂2f
∂y2
−
(
∂2f
∂x∂y
)2
.
15
Teorema 8.6. Dado f(x, y) de ordem C2 e P um ponto cr´ıtico no interior do domı´nio de f . Enta˜o:
1. Se detHf > 0 e
∂2f
∂x2
> 0 ⇒ P e´ ponto de mı´nimo local.
2. Se detHf > 0 e
∂2f
∂x2
< 0 ⇒ P e´ ponto de ma´ximo local.
3. Se detHf < 0 ⇒ P e´ ponto de sela.
4. Se detHf = 0 ⇒ teste inconclusivo.
Vamos analisar alguns exemplos anteriores atrave´s deste teorema.
Exemplo 24. No exemplo 21 a func¸a˜o f tem matriz hessiana calculada num ponto (x, y) arbitra´rio
Hf =
(
2 0
0 2
)
⇒ detHf = 2.2 = 4 > 0.
Como
∂2f
∂x2
= 2 > 0 vemos pelo teste que (0, 0) e´ ponto de mı´nimo local, oque ja´ pod´ıamos infe-
rir diretamente antes devido ao crescimento da func¸a˜o afastando-se da origem. Note que (0, 0) e´
efetivamente um mı´nimo global.
Ja´ para a func¸a˜o g do exemplo 22 na˜o parece o´bvio qual a classificac¸a˜o dos dois pontos cr´ıticos
antes de aplicarmos o teste da segunda derivada. Vamos obter a matriz hessiana em (x, y):
Hg(x, y) =
(
2x 2
2 −6
)
.
Temos dois pontos cr´ıticos, P1 = (
−1+
√
10
3
, −1+
√
10
9
) e P2 = (
−1−
√
10
3
, −1−
√
10
9
). Calculando os determi-
nantes fica
detHg(P1) = 2(
−1 +√10
3
)(−6)− 2.2 = −4
√
10 < 0 ,
detHg(P2) = 2(
−1−√10
3
)(−6)− 2.2 = +4
√
10 > 0 .
Conclu´ımos primeiro que P1 e´ ponto de sela. Agora, como a derivada
∂2g
∂x2
(P2) = 2(
−1−
√
10
3
) e´ negativa,
mas seu determinante e´ positivo, temos que P2 e´ ponto de ma´ximo local.
Exemplo 25. Encontre os valores extremos locais de f(x, y) = xy − x2 − y2 − 2x− 2y + 4.
Soluc¸a˜o. A func¸a˜o e´ diferencia´vel em todo o plano, por isso os pontos extremos ocorrem somente
nos pontos cr´ıticos. Calculando as derivadas primeiras,
∂f
∂x
= y − 2x− 2 e ∂f
∂y
= x− 2y − 2 ,
vemos que a soluc¸a˜o do sistema {
y − 2x− 2 = 0
x− 2y − 2 = 0
nos da´ o u´nico ponto cr´ıtico: P = (−2,−2). Como o determinante da hessiana e´
detHf = det
( −2 1
1 −2
)
= 3 > 0 ,
o sinal de
∂2f
∂x2
= −2 enta˜o nos indica ser (−2,−2) ponto de ma´ximo local. O valor de ma´ximo
correspondente e´ f(−2,−2) = 8.
16
8.2 Func¸o˜es do plano restritas a curvas - Multiplicadores de Lagrange
Se f(x, y) esta´ definida em uma regia˜o D ⊂ R2 e C e´ uma curva contida em D, podemos estudar
pontos extremos de f somente ao longo da curva C. Em geral, a curva C e´ vista como curva de n´ıvel.
Isso significa que existe outra func¸a˜o g(x, y) tal que C e´ a curva de n´ıvel k de g, g(x, y) = k. Enta˜o,
encontrar e classificar pontos extremos de f na curva g(x, y) = k equivale a impor uma restric¸a˜o
na procura de pontos extremos, dada pela equac¸a˜o
g(x, y) = k .
Se P e´ um ponto da curva g(x, y) = k, seja ~v algum vetor na˜o nulo e tangente a` curva no ponto
P . Sabemos que ∇g(P ) e´ ortogonal a` curva, logo ∇g(P ) e´ ortogonal ao vetor ~v. Duas situac¸o˜es
podem ocorrer relativo ao gradiente de f:
1. Gradiente de f e´ ortogonal a ~v;
2. Gradiente de f na˜o e´ ortogonal a ~v.
No caso da segunda situac¸a˜o ocorrer teremos ∇f(P ).~v 6= 0. Isso quer dizer que a derivada direcional
ao longo da curva em P , ∂f
∂~v
(P ) = ∇f(P ).~v 6= 0. Enta˜o P na˜o pode ser ponto extremo, pois uma
derivada direcional positiva significa que f cresce ao longo da curva no sentido de ~v, e vice-versa.
Conclu´ımos que a u´nica forma de P ser ponto extremo de f em g(x, y) = k e´ na primeira situac¸a˜o.
A´ı o gradiente de f e´ ortogonal a ~v, portanto, e´ paralelo a ∇g. Esse e´ o fato que vamos explorar.
Definic¸a˜o 8.7. Um ponto cr´ıtico da func¸a˜o f(x, y) restrita a` curva g(x, y) = k e´ um ponto (x, y)
nessa curva que verifica, para algum λ real,
∇f(x, y) = λ∇g(x, y) .
Ou seja, e´ um ponto onde os dois gradientes sa˜o paralelos.
Note que o conceito de ponto cr´ıtico de f com restric¸a˜o na˜o implica que o gradiente de f seja
zero.
Teorema 8.8. Seja P um ponto extremo de f(x, y) na curva de n´ıvel g(x, y) = k (ou sujeito a`
restric¸a˜o g(x, y) = k). Enta˜o o vetor gradiente de f em P e´ paralelo ao vetor gradiente de g em P .
Ou seja, P e´ ponto cr´ıtico de f restrito a` curva.
Um fato ba´sico que apenas enunciamos e´: Toda func¸a˜o cont´ınua definida em uma curva fechada
do plano possui pontos de ma´ximo e mı´nimo globais.
Exemplo 26. Encontre os valores de ma´ximo e mı´nimo de f(x, y) = xy restrito a curva x
2
8
+ y
2
2
= 1.
Soluc¸a˜o. Definindo g(x, y) = x
2
8
+ y
2
2
estamos olhando primeiro para o seguinte problema: Encontrar
os pontos (x, y) do plano tais que, para algum λ real,{
∇f(x, y) = λ∇g(x, y)
g(x, y) = 1
.
Calculando os gradientes ∇f = (y, x) e ∇g = (x/4, y), chegamos no sistema de equac¸o˜es
 y = λ
x
4
x = λy .
(4)
Aqui a ana´lise pode ser feita assim: se fosse x = 0 enta˜o necessariamente y = 0, mas (0, 0) na˜o e´
soluc¸a˜o de g(x, y) = 1. Logo deve ser x 6= 0. Dividindo a primeira pela segunda equac¸a˜o em (4)
obtemos
y
x
=
x
4y
=⇒ 4y2 = x2 .
17
Substituindoem g(x, y) = 1 fica
4y2
8
+
y2
2
= 1 =⇒ y2 = 1 ⇒ y = ±1 .
Para esses valores de y calculamos que x pode ser ±2, ou seja, os u´nicos candidatos a pontos cr´ıticos
sa˜o {(2, 1), (2,−1), (−2, 1), (−2,−1)}. Testando diretamente esses pontos chegamos a f(2, 1) =
2 = f(−2,−1) e f(2,−1) = −2 = f(−2, 1). Portanto, o valor ma´ximo de f e´ 2, alcanc¸ado em
{(2, 1), (−2,−1)}. O valor mı´nimo e´ -2 em {(−2, 1), (2,−1)}. Observe que a func¸a˜o f(x, y) na˜o tem
ma´ximo nem mı´nimo no plano cartesiano.
Exemplo 27. Ache o(s) ponto(s) cr´ıticos de f(x, y) = 5x+ 2y na para´bola y = 3x2 − 4x+ 1.
Soluc¸a˜o. Definimos g(x, y) = y − 3x2 + 4x e queremos analisar a curva g(x, y) = 1. A condic¸a˜o de
ponto cr´ıtico nos da´ ∇f = λ∇g e as equac¸o˜es ficam{
5 = λ(−6x+ 4)
2 = λ.1
⇒ λ = 2 e x = 1
4
.
Substituindo o valor de x na equac¸a˜o da curva calculamos y = 3
16
. Logo o u´nico ponto cr´ıtico de f
restrito a g(x, y) = 1 e´ (1
4
, 3
16
).
Observac¸a˜o 8.9. No u´ltimo exemplo, e´ poss´ıvel mostrar com um argumento geome´trico que o ponto
cr´ıtico e´ de mı´nimo global. No exemplo anterior, ja´ sab´ıamos de antema˜o que existiam pontos de
ma´ximo e mı´nimo globais porque a curva e´ fechada. Contudo, o problema de se classificar pontos
cr´ıticos no caso de haver restric¸o˜es e´ mais complicado do que no caso sem restric¸o˜es. E´ importante
tambe´m notar que todos os me´todos das duas u´ltimas sec¸o˜es se generalizam facilmante para o espac¸o
R
3.
18