ESTUDO DE TÉCNICAS DE CONTROLE APLICADA AO SISTEMA PÊNDULO INVERTIDO fuzzy

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO 
ESCOLA DE MINAS 
COLEGIADO DO CURSO DE ENGENHARIA DE 
CONTROLE E AUTOMAÇÃO - CECAU 
 
 
 
 
 
 
MOZZER ANTONIO DE OLIVEIRA SILVA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESTUDO DE TÉCNICAS DE CONTROLE APLICADA AO SISTEMA PÊNDULO 
INVERTIDO 
 
 
 
 
 
 
MONOGRAFIA DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE CONTROLE E 
AUTOMAÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ouro Preto, 2009 
 
MOZZER ANTONIO DE OLIVEIRA SILVA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MONOGRAFIA DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE CONTROLE E 
AUTOMAÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Monografia apresentada ao Curso de 
Engenharia de Controle e Automação 
da Universidade Federal de Ouro Preto 
como parte dos requisitos para a 
obtenção do Grau de Engenheiro de 
Controle e Automação. 
 
 
Orientador: Paulo Marcos de Barros 
Monteiro
 
 
 
 
 
Ouro Preto 
Escola de Minas – UFOP 
Agosto/2009 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
“Pássaros têm asas e voam, animais têm patas e andam. 
 O que você tem feito com o pensamento?” 
 
 
Sumário 
LISTA DE FIGURAS ................................................................................................................6 
LISTA DE TABELAS ...............................................................................................................6 
RESUMO ...................................................................................................................................9 
ABSTRACT ...............................................................................................................................10 
1 . INTRODUÇÃO...................................................................................................................11 
1.1. Descrição do problema ..................................................................................................11 
1.2. Objetivo .........................................................................................................................11 
1.3. Metodologia...................................................................................................................11 
1.4. Estrutura do trabalho .....................................................................................................11 
2. CONTROLE INTELIGENTE................................................................................................2 
2.1 Controle Clássico vs Controle inteligente ........................................................................2 
2.2 Escolha do Controlador ..................................................................................................14 
3. LÓGICA FUZZY ....................................................................................................................2 
3.1. A Lógica Clássica X Lógica Fuzzy .................................................................................2 
3.2 Conjuntos nebulosos.........................................................................................................2 
3.3 Função de pertinência.....................................................................................................18 
3.4 Operações em Conjuntos Nebulosos ..............................................................................20 
3.5 Sistemas Fuzzy................................................................................................................22 
3.5.1 Fuzzificação.................................................................................................................. 22 
3.5.2 Base de Conhecimento .................................................................................................. 24 
3.5.3 Inferência...................................................................................................................... 24 
3.5.4 Defuzzificação .............................................................................................................. 25 
4. PÊNDULO INVERTIDO.......................................................................................................2 
4.1 Trabalhos anteriores .......................................................................................................29 
4.2 Modelo Matemático........................................................................................................31 
5. Controle Fuzzy para pêndulo invertido...................................................................................1 
5.1 Modelagem do controlador Fuzzy ....................................................................................1 
5.2 Resultados.......................................................................................................................39 
CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS.......................................2 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRAFICAS .......................................................................................3 
 
8. ANEXO I: Fuzzy Logic Toolbox ............................................................................................2 
 
LISTA DE FIGURAS 
Figura 3.1- Função característica do conjunto “crisp”. ............................................................18 
Figura 3.2 - Função característica do conjunto nebuloso. ........................................................18 
Figura 3.3 - Função de Pertinência Triangular .........................................................................19 
Figura 3.4 - Função de Pertinência Trapeizodal.......................................................................19 
Figura 3.5 - Função de Pertinência Gaussiana .........................................................................20 
Figura 3.6- Principais t-normas. ...............................................................................................21 
Figura 3.7 - Principais t-conormas. ..........................................................................................21 
Figura 3.8 - Arquitetura básica de um sistema Fuzzy...............................................................22 
Figura 3.9 - Função de pertinência para a variável lingüística temperatura.............................23 
Figura 3.10 - Modelo Mamdani................................................................................................25 
Figura 3.11 - Modelo Larsen ....................................................................................................25 
Figura 3.12 - Método de defuzzificação da Média dos Máximos ............................................26 
Figura 3.13 - método de defuzzificação do Centro de Área.....................................................27 
 
Figura 4.1 - Esquema de um pêndulo invertido Duplo ..............................................................2 
Figura 4.2 - Segway..................................................................................................................29 
Figura 4.3 - Modelo físico do pêndulo invertido......................................................................32 
Figura 4.4 - Diagrama de Corpo Livre .....................................................................................32 
 
Figura 5. 1 - Modelo físico do pêndulo invertido.......................................................................1 
Figura 5.2 - Função de pertinência da entrada Posição da Barra .............................................36 
Figura 5.3 - Função de pertinência da entrada Velocidade Angular ........................................36 
Figura 5.4 - Função de pertinência da saída Tensão aplicada no Motor ..................................37 
Figura 5.5 - Telacom as Regras do sistema.............................................................................38 
Figura 5.6 - Rule Viewer ..........................................................................................................39 
Figura 5.7 - Surface ..................................................................................................................39 
Figura 5.8 - Modelo Simulink para Controlador PID...............................................................40 
Figura 5. 9 - Resposta do modelo com o Controlador PID ......................................................41 
Figura 5.10 - Modelo Simulink para Controlador Fuzzy..........................................................41 
Figura 5.11 - Resposta do modelo com o Controlador Fuzzy ..................................................42 
Figura 5. 12 - Sinal de Controle do Controlador PID...............................................................42 
 
Figura 5. 13 - Sinal de Controle do Controlador Fuzzy............................................................43 
 
Figura 8. 1 - FIS Editor...............................................................................................................2 
Figura 8. 2 - Membership Function Editor ...............................................................................49 
Figura 8. 3 - Rule Editor...........................................................................................................50 
Figura 8. 4 - Rule Viewer .........................................................................................................50 
 
 
 
LISTA DE TABELAS 
 
Tabela 3.1 - Tabela de pertinência para os conjuntos clássicos. ..............................................17 
Tabela 3.2 - Tabela de pertinência para os conjuntos Fuzzy....................................................17 
Tabela 3.3 - Principais t-normas e t-conormas. ........................................................................21 
 
Tabela 4. 1 - Variáveis para o Modelo Matemático do pêndulo invertido...............................32 
 
Tabela 5. 1 - Variáveis de Entrada e Saída.................................................................................1 
Tabela 5. 2- Tabela de inferência .............................................................................................37 
Tabela 5. 3 - Comparação dos resultados do controlador PID e Fuzzy. ...................................42 
 
RESUMO 
Com o avanço tecnológico, recursos computacionais estão sendo utilizados nas mais diversas 
técnicas de controle. Além da teoria de controle clássica, estão hoje em foco o uso de 
controladores inteligentes que se diferenciam dos sistemas convencionais por sua habilidade 
de tomar decisão e por sua capacidade de aprendizagem. Diante deste contexto, propõe-se um 
estudo de uma dessas técnicas de controle, o controle Fuzzy, aplicada ao pêndulo invertido. A 
escolha do sistema pêndulo invertido se deu devido ao seu comportamento. O pêndulo 
invertido é percebido em situações típicas tais como o controle de atitude de um satélite em 
órbita terrestre, ou a trajetória de foguetes e mísseis ou em equipamentos como o Segway. 
Fisicamente ele é composto por um carro móvel e uma haste oscilante cujo objetivo é manter 
a haste na posição vertical, como equilibrar um bastão na palma da mão. O sistema pêndulo 
invertido, por ser bastante conhecido, possibilita a aplicação de várias técnicas de controle 
lineares, não-lineares e otimizantes, podendo-se fazer a comparação e validação dessas 
técnicas de forma consistente. O controlador Fuzzy é um controlador baseado no 
conhecimento, sem a necessidade de modelagem do sistema a ser controlado. Esse fato é 
muito importante quando se trata de sistemas dinâmicos complexos como o pêndulo invertido. 
Assim, desenvolve-se um controlador Fuzzy comparando-o com um controlador PID. O 
controlador Fuzzy desenvolvido possui resposta a distúrbio mais eficaz que aquela obtida pelo 
controlador PID. 
Palavras-chave: Pêndulo Invertido, Controlador Fuzzy, Controlador PID 
 
 
ABSTRACT 
With the advance technology, computer resources are being used in several techniques of 
control. Today are on focus the use of intelligent controllers that are different from 
conventional systems because they have ability to take decision and for their ability to learn. 
It is proposed a study of one of these techniques of control, Fuzzy control, applied to the 
inverted pendulum. The choice of the inverted pendulum was because of their behavior. The 
inverted pendulum is seen in typical situations such as control the attitude of a satellite in 
earth orbit, or the trajectory of rockets and missiles or in equipments as the Segway. 
Physically it is composed by a mobile car and oscillating stick whose goal is to keep the stick 
upright, just like equilibrate a stick in the palm of your hand. The inverted pendulum system, 
as well known, allows the implementation of various control techniques for linear, nonlinear 
and otimizantes and can be made for comparison and validation of these techniques 
consistently. The Fuzzy controller is a controller based on knowledge, without the need for 
modeling the system to be controlled. This fact is very important when dealing with systems 
of complex dynamic such as the inverted pendulum. Thus, the Fuzzy controller developed is 
compared with a PID controller. The Fuzzy controller has developed response to disorder 
more effective than the PID controller. 
Keywords: Inverted pendulum, Fuzzy controller
 
1 . INTRODUÇÃO 
Devido aos avanços tecnológicos, cada vez mais os sistemas de controle estão usando de 
recursos computacionais para atuar em suas plantas. Esses recursos permitem os mais 
diversos tipos de controle. Eles estão presentes em vários setores da indústria, tais como 
controle de qualidade e fabricação de produtos, linha de montagem automática, controle de 
ferramentas, tecnologia espacial e de armamento, sistemas de transporte, sistemas de potência, 
robôs e muitos outros. Nesse contexto, este trabalho busca desenvolver um controlador Fuzzy 
aplicado ao sistema pêndulo invertido. 
O pêndulo invertido é percebido em situações típicas tais como o controle de atitude de um 
satélite em órbita terrestre, ou a trajetória de foguetes e mísseis ou em guindastes navais. 
Outro sistema de compreensão semelhante é o Segway, uma espécie de patinete em que as 
rodas estão acopladas ao mesmo eixo. O pêndulo invertido pode ser comparado a uma barra 
sendo equilibrada na palma da mão. Para se manter barra na posição vertical movimenta-se a 
mão a fim de compensar algum movimento que contrarie o equilíbrio. Muitas vezes sistemas 
de comportamento conhecido são usados para análise de eficiência e robustez dos mais 
diversos controladores. Esse é o caso do pêndulo invertido, em que técnicas de controle 
lineares, não-lineares e otimizantes são empregadas. 
O uso de controladores baseados na Lógica Fuzzy proporciona a possibilidade de supervisão 
inteligente usando apenas informações qualitativas sobre a operação do sistema, não havendo 
necessidade de modelagem. A escolha de um controlador desse tipo para atuar num sistema 
tão instável quanto o pêndulo invertido é devido a habilidade que um controlador Fuzzy tem 
em tratar vários objetivos, mesmo com requisições conflitantes, de forma se obter um bom 
compromisso na estratégia de controle. 
1.1. Descrição do problema 
Desenvolver um controlador Fuzzy para manter a estabilidade de um pêndulo invertido, ou 
seja, manter a barra na posição vertical e que o sistema reaja a perturbações de forma rápida. 
1.2. Objetivo 
Estudar e analisar um sistema de controle Fuzzy desenvolvidopara um pêndulo invertido.
11 
 
1.3. Metodologia 
As tarefas desenvolvidas durante a pesquisa podem ser divididas em três etapas: 
• Formulação de uma base teórica; 
• Desenvolvimento do controlador 
• Análise dos resultados comparando o controle Fuzzy com um controle PID para o 
mesmo sistema. 
A execução do trabalho foi baseada no seguinte roteiro de atividades: 
• Estudo de como desenvolver um sistema de controle Fuzzy; 
• Simulação no Matlab; 
• Análise dos resultados obtidos. 
1.4. Estrutura do trabalho 
Para uma melhor compreensão do trabalho, a monografia foi dividida em 6 capítulos, a lista 
de referências bibliográficas e um anexo. 
No Capítulo 2 é descrito o que é controle inteligente sua importância e utilização. É feito, 
também, um paralelo com o controle clássico e descreve-se quando é necessário a 
implantação de um Sistema de controle inteligente. 
No Capítulo 3 aborda-se a Lógica Fuzzy. É realizado um estudo sobre os conjuntos Fuzzy e 
sobre todo o funcionamento de um sistema Fuzzy. 
No Capítulo 4 tem-se uma descrição sobre o pêndulo invertido e de trabalhos anteriores sobre 
o tema. É apresentado o modelo matemático do pêndulo invertido utilizado na monografia. 
No Capítulo 5 é apresentado o controlador desenvolvido e a análise dos resultados obtidos em 
comparação a um controlador PID para o mesmo sistema. No Capítulo 6, tem-se as 
conclusões do trabalho e sugestões para trabalhos futuros.
 
 
 
 
2. CONTROLE INTELIGENTE 
Sistema de controle inteligente é um sistema que possui a habilidade de sentir o seu ambiente, 
processar as informações para reduzir as incertezas nos parâmetros do processo, planejar, 
gerar e executar ações de controle. Um sistema de controle inteligente deve ser capaz de 
distribuir as tarefas de decisão entre um conjunto de executores de tarefas, utilizando 
intensivamente os computadores disponíveis para inferir o estado atual do sistema e detectar 
mudanças no seu estado interno e na sua vizinhança. Um sistema de controle inteligente se 
diferencia de sistemas convencionais por sua habilidade de tomar decisão e por sua 
capacidade de aprendizagem. Isto permite ao sistema de controle inteligente inferir sobre a 
dinâmica do processo de uma forma adaptativa e preditiva (CAVALCANTI, 1999). 
Um sistema de controle inteligente pode ser implementado com técnicas usuais de controle: 
controladores lineares do tipo PID e controladores adaptativos propostos por Ribeiro (2007) e 
Bugeja (2003) ou pode ser acoplado a técnicas de inteligência artificial: neurônios artificiais, 
lógica Fuzzy ou sistemas especialistas propostos por Drummond (1999), Miranda (2003) e 
Cavalcanti (1999). Tudo isso utilizando-se microcomputadores para o controle digital e a 
gerência do sistema. Há também Controladores de Automação Programável, conhecidos 
como PAC’s. Os PAC’s combinam a robustez de um CPL (Controlador Lógico Programável) 
com funcionalidade de um PC em uma arquitetura de software aberto. Com esses 
controladores, você pode construir sistemas avançados que incorporam recursos de software, 
tais como controle avançado, comunicação, armazenamento de dados e processamento de 
sinal. 
2.1 Controle Clássico vs Controle inteligente 
No controle clássico é necessário, antes de mais nada, ter um modelo matemático para que 
exista o controle de um processo. 
Um modelo é uma representação dos aspectos essenciais de um sistema, que apresenta 
conhecimento desse sistema em uma forma utilizável (EYKHOFF, 1974). Como dito, o 
modelo não exprime todo o sistema. Ele o representa apenas em uma faixa de espaço. Essa 
faixa é escolhida para corresponder à faixa de trabalho do sistema. Uma vez fora dessa faixa o 
sistema pode ter um comportamento imprevisível gerando respostas inadequadas ao seu 
propósito. Na busca de se obter modelos matemáticos simples, certas restrições são feitas, por 
exemplo, assumindo-se que o processo é linear, ou seja, que variações nas entradas produzem 
13 
 
variações proporcionais nas saídas. Ao se assumir a propriedade de linearidade, pode-se 
utilizar técnicas extremamente poderosas e conhecidas na área de engenharia e tecnologia, 
com soluções analíticas ideais. Entretanto, sistemas não-lineares não possuem uma teoria 
geral para solução analítica, e muitas vezes necessitam ser linearizados em torno de um ponto 
de operação. 
Uma vez a análise do modelo não fornece resultados compatíveis com a realidade, o modelo 
precisa ser aprimorado utilizando métodos de identificação. Outra restrição muito utilizada 
em análises de sistemas lineares é que os parâmetros de processo não se alteram, ou seja, que 
o sistema seja invariante no tempo, apesar de na realidade ocorrer deterioração dos 
componentes dos sistemas com o passar do tempo, além de impactos ambientais, tais como 
influencias de temperatura e pressão. Devido a tais simplificações, o projetista em geral 
encontra serias dificuldades no desenvolvimento de uma descrição matemática significativa e 
realista de um processo industrial. 
Desta forma é importante que os projetistas que aplicam tal conhecimento sejam capazes de 
compreender processos estocásticos, álgebra multivariável e processamento digital de sinais, 
por exemplo. No entanto, o conhecimento necessário para se projetar, implementar e manter 
um sistema de controle desse porte está muito além do que é necessário para se operar 
sistemas PID em plantas industriais. Na realidade, os controladores PID representam 
exatamente o máximo da teoria compreensível pela maioria dos operadores de plantas 
industriais, enquanto que equipamentos que utilizam teoria de controle multivariável 
necessitam de pessoal com um nível maior de compreensão matemática. 
O controlador PID (Proporcional – Integral – Derivativo) tem esse nome devido a forma que 
ele atua no sistema. A parte P atua de forma proporcional a um erro, a parte I atua de forma 
proporcional à integral no tempo deste erro e aparte D atua de forma proporcional à derivada 
no tempo deste erro. 
A equação de um controlador PID é dada por: 
 
Em que Kp é o ganho proporcional, Ki é o ganho integral e Kd é o ganho derivativo. 
14 
 
O controlador Proporcional atua de forma a diminuir o erro em regime permanente, isto é, 
melhor a precisão do sistema em malha fechada. Esse erro pode ser diminuído aumentando o 
Kp. Por outro lado, quanto maior o ganho, maior a variação no comportamento transitório do 
sistema em malha fechada. Na maioria dos processos físicos, o aumento excessivo do ganho 
proporcional pode levar o sistema a instabilidade. O controlador Integral garante erro nulo em 
regime permanente, aumentando a precisão do sistema. A ação integral tem assim uma função 
"armazenadora de energia". A partir de um determinado tempo t o erro é igual a zero, isto é, 
e(t) = 0, o sinal o sinal de controle u(t) será mantido em um valor constante proporcional a 
"energia armazenada" até o instante t, garantindo o erro nulo em regime permanente. O 
controlador Derivativo é dito de ação antecipatória ou preditiva, porque tende a fazer com que 
o sistema reaja mais rapidamente. Este fato faz com que a ação derivativa seja utilizada para a 
obtenção de respostas transitórias mais rápidas, ou seja, para a melhora do comportamento 
dinâmico do sistema em malha fechada. O controlador Derivativo atua apenas durante a 
resposta transitória, devido ao fato de que em regime permanente, o sinal de erro é constante a 
ação derivativa será igual a zero. 
A propriedade fundamental de controladores inteligentes, especialmente os controladores 
Fuzzy, é de serem baseados em experiência de operadores humanos e/ou especialistas em um 
determinado processo industrial, em vez de utilizarem modelosmatemáticos, fazendo com 
que o treinamento de operadores e técnicos de manutenção seja muito mais fácil e barato, 
permitindo que pessoal menos qualificado possa ser utilizado para operar uma planta 
industrial. Por isso, esse fator pode se tornar um argumento poderoso ao se decidir pela 
adoção de controladores Fuzzy em certas aplicações específicas (BARROS, 2003; LIMA, 
2007). 
2.2 Escolha do Controlador 
A utilização de controle inteligente não pode ser vista como uma solução para o controle em 
todos os processos mais complexos, sendo incorreta a atitude de simplesmente trocar todos os 
controladores convencionais por controladores Fuzzy. Há diversas análises que devem ser 
feitas ao se decidir qual controlador deve ser utilizado (SIMOES; SHAW, 2007). 
Se a planta ou o processo que está sendo controlado não é completamente linear, mas a não 
linearidade entre a entrada e a saída é conhecidamente uma função suave, sem 
descontinuidades, ou se apesar do processo ser não linear ele opera em um ponto fixo, a 
15 
 
solução com controladores PID é ainda uma excelente solução custo/benefício. Em tais 
condições, os controladores PID podem controlar plantas, mesmo com dinâmica 
desconhecida, uma vez que a componente P representa o erro de realimentação instantâneo, a 
componente I representa a integral do erro que contribui para a história passada da 
realimentação e a componente D representa a derivada do erro, a qual tende a antecipar o 
comportamento futuro do erro de realimentação. 
Se os parâmetros de cada componente são sintonizados para o desempenho específico da 
planta, a ação do controlador será satisfatória. A tarefa de sintonia implica na otimização de 
características de resposta, tais como amortecimento, sobre-sinal, tempo de acomodação e 
erro em regime permanente. A propriedade de linearidade garante que as três estratégias 
individuais de controle (P + I + D) possam ser combinadas em uma forma aditiva, fazendo 
com que a malha de realimentação consiga compensar, por mudanças nos parâmetros da 
planta, ruídos e alterações ambientais, enquanto que a ocorrência de não-linearidade impõe 
uma certa interação entre tais fenômenos, podendo tornar difícil a sintonia, ou até mesmo 
impossível. Assim o controlador PID representa três estratégias de controle, que 
dinamicamente ajustam o comportamento do sistema por meio do erro da malha de 
realimentação. 
Uma das mais importantes características de controladores Fuzzy é a habilidade em se 
executar controle multiobjetivos, mesmo com requisições conflitantes, de forma se obter um 
bom compromisso na estratégia de controle. Usando-se sensores apropriados, um controlador 
Fuzzy de duas entradas e uma saída e capaz de emular a ação de controle multiobjetiva do 
operador humano. Seria muito difícil se utilizar um controlador PID de entrada e saída únicas, 
para tal propósito multiobjetivo (OLIVEIRA, 2008) 
16 
 
 
 
 
3. LÓGICA FUZZY 
O uso de controladores baseados na Lógica Fuzzy proporciona a possibilidade de supervisão 
inteligente usando apenas informações qualitativas sobre a operação do sistema, não havendo 
necessidade de modelagem. A Lógica Fuzzy (que significa algo como vago ou impreciso e é 
tratada também como Lógica Nebulosa ou Difusa) propõe uma análise diferente da análise 
proposta pela Lógica Clássica. 
3.1. A Lógica Clássica X Lógica Fuzzy
A Lógica Clássica ou Lógica aristotélica, por ser creditado a Aristóteles o primeiro estudo 
formal do raciocínio, tem dois princípios centrais: a lei da não-contradição e a lei do terceiro 
excluído. A lei da não-contradição diz que nenhuma afirmação pode ser verdadeira e falsa ao 
mesmo tempo e a lei do terceiro excluído diz que qualquer afirmação da forma “P” ou “não-
P” é verdadeira, ou seja, P ou a sua negação é verdadeira. Pode-se observar que a Lógica 
Clássica trabalha somente com os conceitos de falso ou verdadeiro. 
A Lógica Fuzzy ou Lógica Nebulosa, proposta por Zadeh (1965), permite inferências 
intermediárias entre o falso (zero) e o verdadeiro (um). Zadeh (1965) analisou que, 
frequentemente, alguns objetos não podem ser definidos segundo um critério. Por exemplo, a 
classe dos animais inclui claramente os cachorros, peixes e pássaros e excluem as árvores, 
água e pedras. Porém, objetos como a estrela-do-mar possuem ambigüidades quando se trata 
da classe animal. Outro exemplo se dá para perguntas como: “Aquele homem é alto ou 
baixo?” ou “A taxa de risco para aquele empreendimento é grande ou pequena?”, um sim ou 
um não como resposta a estas questões é, na maioria das vezes, incompleta. Na verdade, entre 
a certeza de ser e a certeza de não ser, existem infinitos graus de incerteza (ZADEH, 1965). 
3.2 Conjuntos nebulosos 
Zadeh (1965), então, propôs os conjuntos nebulosos (Fuzzy set) que diz que: dado um 
determinado elemento que pertence a um domínio, é verificado o grau de pertinência do 
elemento em relação ao conjunto. O grau de pertinência é a referência para verificar o quanto 
“é possível” esse elemento pertencer ao conjunto. O grau é calculado por meio de uma 
determinada função que retorna geralmente um valor real que varia entre 0 a 1, sendo que 0 
indica que não pertence ao conjunto, e 1 pertence. Utilizando-se o exemplo para classificar a
17 
 
 estatura de uma pessoa em alta, média ou baixa, dividiremos a classificação em três grupos: 
“baixo”, “médio”, e “alto”. 
Tabela 3.1 - Tabela de pertinência para os conjuntos clássicos. 
 Baixo Médio Alto 
1,50m 1 0 0 
1,60m 1 0 0 
1,70m 0 1 0 
1,80m 0 1 0 
1,90m 0 0 1 
2,00m 0 0 1 
 
 
Tabela 3.2 - Tabela de pertinência para os conjuntos Fuzzy. 
 Baixo Médio Alto 
1,50m 1 0 0 
1,60m 0,5 0,4 0 
1,70m 0 1 0 
1,80m 0 0,4 0,5 
1,90m 0 0 1 
2,00m 0 0 1 
Fica claro, pela análise das tabelas, a diferença entre os conjuntos clássicos e os conjuntos 
nebulosos. Enquanto nos conjuntos clássicos apenas se classifica em verdadeiro ou falso os 
conjuntos nebulosos permitem a classificação em vários tipos intermediários entre verdadeiro 
e falso. 
Formalmente, um conjunto nebuloso A do universo de discurso Ω é definido por uma função 
de pertinência µA : Ω → [0,1]. Essa função associa a cada elemento x de Ω o grau µA(x), com 
o qual x pertence a A. A função de pertinência µA(x) indica o grau de compatibilidade entre x 
e o conceito expresso por A (SANDRI e CORREA, 1999): 
• µA(x) = 1 indica que x é completamente compatível com A; 
• µA(x) = 0 indica que x é completamente incompatível com A; 
• 0 < µA(x) < 1 indica que x é parcialmente compatível com A, com grau µA(x). 
18 
 
Um conjunto A da teoria dos conjuntos clássicos pode ser visto como um conjunto nebuloso 
específico, denominado usualmente de “crisp”, para o qual µA : Ω → {0,1}, ou seja, a 
pertinência é do tipo “verdadeiro ou falso” e não gradual como para os conjuntos nebulosos. 
3.3 Função de pertinência 
Cada conjunto nebuloso é caracterizado pela sua função de pertinência que é uma curva que 
define o grau de pertinência (valor entre 0 e 1) de cada entrada. 
Para representar melhor o conceito de função de pertinência utiliza-se o exemplo anterior para 
mostrar os conjuntos de pessoas de estatura baixa, média e alta pelo método convencional de 
conjuntos (crisp) e pelo método Fuzzy, no qual são mostradas as funções de pertinência de 
cada um dos conjuntos. 
 
Figura 3.1- Função característica do conjunto “crisp”. 
 
 
 
Figura 3.2 - Função característica do conjunto nebuloso. 
 
19 
 
Nas Figuras 1 e 2 o eixo vertical esta representado pelos graus de pertinência (intervalo de 0 
a 1) e o eixo horizontal representa a altura de cada pessoa. A função de pertinência associa 
cada entrada (altura) comuma saída (grau de pertinência). Observe que uma pessoa com que 
mede 1,85m possui um grau de pertinência de 0,7 para estatura alta e 0,2 para estatura média. 
Diferentemente da FIG. 1 que fica impossível definir se a estatura de uma pessoa de 1,85m é 
média ou alta. 
Vale salientar que as funções de pertinência podem assumir várias formas, ficando a cargo do 
projetista a escolha da forma mais conveniente para sua aplicação, as mais utilizadas são: 
• Triangular 
 
Figura 3.3 - Função de Pertinência Triangular 
 
A função de pertinência triangular é definida da seguinte forma: 
 (3.1) 
• Trapezoidal 
 
Figura 3.4 - Função de Pertinência Trapeizodal 
20 
 
 
 A função de pertinência trapezoidal é definida da seguinte forma: 
 (3.2) 
 
• Gaussiana 
 
Figura 3.5 - Função de Pertinência Gaussiana 
A função de pertinência triangular é definida da seguinte forma: 
 (3.3) 
As funções triangulares e trapezoidais são as mais populares devido a simplicidade dessas 
funções e ao fato de que o custo computacional adicional exigido pelos outros tipos de função 
não refletem, em geral, em uma melhoria significativa na qualidade dos valores de saída dos 
sistemas (YEN & LANGARI1, 1999, apud ORTEGA, 2001). 
3.4 Operações em Conjuntos Nebulosos 
Sejam A e B conjuntos nebulosos definidos em Ω. Pode-se expressar a interseção destes 
conjuntos, como outro conjunto E = A∩B. Da mesma forma, pode-se expressar a união como 
um conjunto . Na teoria dos conjuntos nebulosos, a interseção é implementada por 
 
1 Yen J. & Langari R. 1999. Fuzzy Logic: Intelligence, Control, and Information. Prentice Hall, EUA.
21 
 
uma família de operadores denominados de t-normas e a união é implementada por uma 
família de operadores denominados de t-conormas ou S-normas (SANDRI e CORREA, 
1999). 
É importante notar que as t-normas e t-conormas se reduzem aos operadores clássicos de 
união e interseção quando os conjuntos são “crisp”. A Tabela abaixo indica as t-normas e t-
conormas mais utilizadas e as Figuras 6 e 7 mostram alguns destes operadores, em relação a 
dois conjuntos nebulosos A e B. Estes operadores satisfazem as leis de De Morgan em relação 
ao operador de negação: ¬a = 1 – a. 
Tabela 3.3 - Principais t-normas e t-conormas. 
t-norma t-conorma Nome 
min(a,b) max(a,b) Zadeh 
a . b a + b – ab Probabilista 
max(a + b – 1, 0) min(a + b, 1) Lukasiewicz 
 
Weber 
 
Figura 3.6- Principais t-normas. 
 
 
Figura 3.7 - Principais t-conormas. 
 
Os operadores mais usualmente utilizados são os operadores de Zadeh e os probabilistas. 
22 
 
3.5 Sistemas Fuzzy 
O controlador nebuloso tem aplicação extremamente ampla e é usado em sistemas de 
dinâmica complexa, incluindo não-linearidade. Ele é um controlador baseado nos 
conhecimentos obtidos pela descrição parcial do comportamento do sistema, por especialistas 
utilizando-se do seu conhecimento heurístico, ou esse conhecimento pode ser inferido a partir 
de dados de entrada-saída do sistema. Isso tudo, sem a necessidade de modelagem do sistema 
a ser controlado. Tais afirmações podem ser observadas nos trabalhos desenvolvidos por Lima 
(2007), Barros (2003) e Pinheiro (2000). 
Assim, os sistemas Fuzzy são sistemas baseados em regras que utilizam variáveis lingüísticas 
difusas (conjuntos nebulosos) para executar um processo de tomada de decisão. Um sistema 
Fuzzy pode ser expresso por: 
 
Figura 3.8 - Arquitetura básica de um sistema Fuzzy 
 
3.5.1 Fuzzificação 
A primeira etapa de um sistema Fuzzy é a fuzzificação (ou fuzzification, em inglês). Esse 
processo consiste em transformar as variáveis de entrada em variáveis lingüísticas. 
Variável lingüística é uma tripla: (V, X, T) onde: 
• V é o nome da variável lingüística 
• X é o conjunto de referência 
• T é o conjunto de valores lingüísticos que a variável V pode assumir 
23 
 
Cada valor lingüístico é um conjunto nebuloso definido por uma função de pertinência. 
Considerando-se um sistema em que se deseja saber se uma pessoa está com febre. Esse 
sistema terá um dado de entrada: a temperatura do corpo. 
Transformando para uma variável lingüística temos: 
• V → temperatura 
• X → conjunto de temperaturas válidas, por exemplo, {25°C, 50°C} 
• T → {sem_febre, febre, febre_alta} 
 
 
Figura 3.9 - Função de pertinência para a variável lingüística temperatura 
 
Para uma entrada do sistema, o conjunto nebuloso deve cobrir inteiramente o eixo horizontal. 
O mapeamento para o eixo vertical varia de 0 a 1 e representa o grau com que um valor de 
entrada pertence aquele conjunto nebuloso. A sobreposição dos limites é desejável e também 
fundamental para o funcionamento harmonioso do sistema. Esta sobreposição permite a 
pertinência em múltiplos conjuntos, mesmo que aparentemente contraditórios. Uma 
sobreposição de 25% entre conjuntos nebulosos adjacentes é uma boa regra prática 
(MIRANDA, 2003). 
Na Figura 9, para uma Temperatura de 36°C representa tanto o conjunto sem_febre quanto o 
conjunto febre, mas com um maior grau de pertinência para sem_febre. 
O processo de fuzzificação permite que uma forte ligação ocorra entre os termos lingüísticos e 
suas funções de pertinência fazendo os termos significativos para um computador. Como 
resultado é possível expressar ou modificar o comportamento de um sistema, usando termos 
da linguagem natural, aumentando-se, assim, a possibilidade de se ter descrições claras e 
concisas de tarefas complexas. 
24 
 
3.5.2 Base de Conhecimento 
Base de Conhecimento consiste de uma base de dados e uma base de regras, de maneira a 
caracterizar a estratégia de controle e as suas metas. Na base de dados ficam as definições das 
funções de pertinência dos termos nebulosos. A base de regras é formada por estruturas do 
tipo Se <premissa > Então <conclusão>. A parte Se, contém uma ou mais condições que 
correspondem, diretamente, aos graus de pertinência calculados durante o processo de 
fuzzificação. A parte Então contém uma ou mais ações que vão definir onde e como será o 
comportamento do controlador. 
Em um dado controlador nebuloso, é importante que existam tantas regras quantas forem 
necessárias para mapear totalmente as combinações dos termos das variáveis, isto é, que a 
base seja completa, garantindo que exista sempre ao menos uma regra a ser disparada para 
qualquer entrada. 
3.5.3 Inferência 
A inferência é a etapa mais importante de um sistema Fuzzy, é por meio dela que é feita a 
tomada de decisão. Quando várias regras inferem a mesma variável lingüística, os resultados 
são agregados por meio de alguma operação matemática. 
Os tipos de inferência mais utilizados são os modelos clássicos, que são modelos propostos 
por Mamdani e por Larsen. Nos modelos clássicos, a conclusão de cada regra resulta em um 
termo nebuloso dentre um conjunto fixo de termos (geralmente em número menor que o 
número de regras), ou seja, a inferência é feita analisando separadamente o resultado de cada 
regra da base de conhecimento, assim, é feita a agregação dos resultados das regras. 
Além dos modelos clássicos há o modelo de interpolação, proposto por Sugeno. Nesse 
modelo a conclusão é dada por meio de uma combinação linear das entradas, tendo como 
parâmetros um conjunto de constantes. Para cada regra obtêm-se um único valor para a 
variável de controle. Finalmente, uma ação de controle global é obtida fazendo-se uma média 
ponderada dos valores individuais obtidos, onde cada peso é o próprio grau de 
compatibilidade entre a premissa da regra e as entradas, normalizado. 
Para o modelo de Mamdani, a inferência é dada por: I = min(a, b). Para o modelo de Larsen a 
inferênciaé dada por: I = a * b. Como pode ser observado nas Figuras 10 e 11: 
25 
 
 
 
Figura 3.10 - Modelo Mamdani 
 
Figura 3.11 - Modelo Larsen 
 
3.5.4 Defuzzificação 
É o processo que faz o mapeamento de um conjunto nebuloso para um valor numérico, o qual 
pode ser um comando para algum atuador. Uma vez que o procedimento de inferência produz 
como resultado um conjunto nebuloso e, o que se deseja é um valor numérico para que seja 
possível atuar no sistema, é necessário aplicar um método de conversão que chamamos de 
defuzzificação. 
Os métodos mais utilizados são: o da média dos máximos, e o do centro de área; que são 
descritos a seguir. 
26 
 
3.5.4.1 Média dos Máximos 
No método de defuzzificação da Média dos Máximos (MM), calcula-se a média de todos os 
valores de saída que tenham os maiores graus de possibilidade. Sua fórmula matemática é 
dada por: 
 (3.4) 
 A principal limitação do método de defuzzificação MM é que ele não considera a forma total 
do conjunto Fuzzy de saída. Sendo assim, duas distribuições de possibilidades que apresentem 
diferentes formas, porém o mesmo conjunto de valores com grau de pertinência máximo, 
quando defuzzificados com esta técnica fornecerá o mesmo valor clássico, o que é contra-
intuitivo. A Figura 12 mostra um exemplo onde isso ocorre. 
 
 
Figura 3.12 - Método de defuzzificação da Média dos Máximos 
 
3.5.4.2 Método do Centro de Área - COA 
Na técnica do Centro de Área para calcular o valor representativo considera-se toda a 
distribuição de possibilidade de saída do modelo. O procedimento é similar ao usado para 
calcular o centro de gravidade em física quando se considera a função de pertinência μA(x) 
como a densidade de massa de x. Por outro lado, o método do Centro de Área pode ser 
27 
 
compreendido como uma média ponderada, onde μA(x) funciona como o peso do valor x. Se x 
é discreto, então a defuzzificação da conclusão Fuzzy A é dada por: 
 (3.5) 
A Figura 13 exemplifica o método de defuzzificação com o Método do Centro de Área. 
 
Figura 3.13 - método de defuzzificação do Centro de Área 
28 
 
 
 
 
4. PÊNDULO INVERTIDO 
O pêndulo invertido é um sistema inerentemente instável e bastante complexo. Uma 
implementação relativamente recente é o controle da oscilação de arranha-céus. Na 
atualidade, engenheiros e arquitetos têm surpreendido o mercado de construções com 
edifícios de alturas cada vez maiores. Estas construções tendem a apresentar o inconveniente 
de se tornarem vulneráveis a ações de ventos, causando oscilações desagradáveis e em alguns 
locais do mundo sendo até mesmo perigosas. A solução criativa que vem sendo adotada é a de 
se instalar grandes contrapesos móveis no topo destes edifícios de forma que eles possam se 
mover de um lado para o outro compensando a ação da força do vento e reduzindo a 
amplitude do movimento da estrutura (RIBEIRO, 2007). 
Modelos biomecânicos do modo de caminhar dos seres humanos têm aplicações em muitas 
áreas como esportes, fabricação de calçados, robótica etc. A posição ereta estável de um ser 
humano ao caminhar se aproxima muito de um pêndulo invertido pivotado em suas 
articulações. A modelagem resultante é conhecida como pêndulo invertido Humano (HIP - 
Human Inverted Pendulum). 
A maioria dos trabalhos desenvolvidos com o sistema pêndulo invertido para simulações e 
controles dos mais diversos, é composto da haste articulada (pêndulo) presa a um carro móvel 
que se move sobre um trilho. Porém, é possível encontrar sistemas com mais de um grau de 
liberdade como o Double inverted pendulum proposto por Bogdanov (2004) e Rubí (2002) ou 
onde o movimento do carro não está limitado a somente um eixo como o veículo de duas 
rodas baseado no pêndulo invertido proposto por Ooi (2003). Há também o Segway, uma 
versão comercial desse sistema. 
 
Figura 4.1 - Esquema de um pêndulo invertido Duplo
29 
 
 
 
Figura 4.2 - Segway 
 
4.1 Trabalhos anteriores 
A abordagem mais comum é com o uso de um controlador PID. Ribeiro (2007) utilizou do 
Matlab/Simulink para a implementação prática do algoritmo de controle PID com o Toolbox 
de tempo real. Foi analisada também a reação a distúrbios e pode-se concluir que a malha de 
controle é capaz de compensar estes distúrbios dentro de determinada faixa de perturbação. 
Destacou-se também nesse trabalho a construção física do modelo com partes de sucatas de 
uma impressora e componentes eletrônicos. 
Machado (2006) desenvolveu um programa em C/C++ para implementar o controlador PID. 
Usou o sistema operacional QNX Neutrino, que é muito utilizado por profissionais que 
necessitam de equipamentos com estabilidade total na realização das tarefas. O acionamento 
do motor do carro é realizado por PWM. O controlador desenvolvido teve boas respostas a 
pequenas perturbações, compensando o desequilíbrio com os deslocamentos rápidos do 
carrinho. 
Leonor e Neves (2004) desenvolveram o pêndulo invertido sobre um robô móvel. Utilizaram 
o executivo (kernel) de tempo real SHaRK para implementação do controlador. Porém, todo o 
projeto do controlador foi feito usando-se o Matlab. O controlador utilizado foi o PD e 
obteve-se um bom equilíbrio para o Pêndulo, apesar do robô não conseguir parar na 
determinada posição. 
30 
 
Outros autores que usaram um controlador PID foram Muralikrishna e Morais (2004). O 
sistema enfatiza a modelagem dinâmica que foi obtida usando-se a Mecânica Lagrangeana. 
Eles também usaram o Matlab para simulação e testes do sistema. 
Soares (2005) apresentou uma análise matemática sobre a estabilidade do pêndulo não-linear 
Invertido empregando o critério de estabilidade segundo Lyapunov. Analisou o pêndulo 
invertido não-linear e concluiu que para manter o sistema em equilíbrio deve-se aplicar uma 
excitação externa periódica com amplitudes pequenas e altas freqüências no seu ponto de 
suspensão, ou seja, no carro. 
Uma variação mais elaborada do controle de um pêndulo é apresentada por Bugeja (2003), no 
qual o equilíbrio de um pêndulo invertido é iniciado com a haste na sua posição de descanso 
inferior. O algoritmo de controle utiliza técnicas de linearização por retroação de estados e 
considerações sobre a energia do sistema para mover a haste até sua posição superior para ser 
equilibrada. Para o controle do equilíbrio da haste, é utilizado um controlador projetado em 
espaço de estados. A técnica de controle em cascata é empregada para reduzir a complexidade 
do sistema permitindo-se que duas malhas de controles independentes sejam implementadas. 
Lam (2004) usa um sistema de controle em cascata semelhante a Bugeja (2003). Para fazer o 
levantamento do Pêndulo (swing-up) usou-se de dois métodos distintos: um controlador não 
linear heurístico e um controlador baseado na energia do sistema. Uma vez o Pêndulo estando 
na posição vertical, passa a atuar no sistema um regulador linear quadrático para manter o 
equilíbrio da barra. Observou-se que os dois controladores desenvolvidos para o levantamento 
do Pêndulo mostraram-se capazes. Porém, o controlador baseado na energia do sistema foi 
considerado mais robusto e confiável do que o controlador heurístico. 
Åström e Furuta (1996) também apresentam o controle feito pela informação da energia do 
pêndulo ao invés dos dados da sua posição e velocidade. O comportamento do levantamento 
da haste é completamente caracterizado pela razão entre a máxima aceleração da haste e a 
aceleração da gravidade. 
Outro tipo de abordagem é feita utilizando-se controladores inteligentes. Drummond (1999) 
utiliza redes neurais de Base Radial como o controlador do sistema. O treinamento da rede foi 
realizada pelo Toolbox de Redes Neuraisdo MATLAB. A rede treinada era composta de 274 
neurônios, sendo o espalhamento da função de ativação gaussiana de 0,5. Ele comparou o seu 
31 
 
controlador com outros dois: um controlador PI e um controlador Fuzzy. Observou que o 
controlador PI possui um comportamento mais instável e que o controlador Fuzzy apresentou 
resultados semelhantes ao seu controlador. 
Miranda (2003) projetou um controlador Fuzzy para o pêndulo invertido. Definiu-se como 
entradas para o sistema as variáveis: ângulo e velocidade angular, e como saída a variável 
força que é a que será controlada. Em suas conclusões, observou que para implementação do 
controlador seria necessário considerar mais variáveis de entrada como massa da esfera na 
ponta do Pêndulo, massa da base, atrito da base com a superfície, atrito com o ar. Mesmo 
assim, Miranda afirmou que o controlador forneceu bons resultados. 
Muralikrishna e Morais (2005) desenvolveram um controlador Fuzzy com o Toolbox de 
Lógica Fuzzy do Matlab, abordando o sistema com três entradas e uma saída. As entradas 
foram definidas como: ângulo da barra, derivada do erro da barra e a posição e velocidade do 
carro. Como a saída a ser controlado foi definida a força horizontal aplicada ao carro. Ele 
observa a aplicabilidade do controlador Fuzzy uma vez que pode ser projetado baseando-se 
apenas em informações qualitativas sobre a operação do sistema. Por fim, comparou-se o 
desempenho do controlador com o um controlador PID e o controlador Fuzzy mostrou-se 
superior. 
Cavalcanti (1999) descreve um novo sistema de controle inteligente Evolucionário para um 
pêndulo invertido, baseado em controlador neural, lógica nebulosa e algoritmo genético. 
Algoritmos genéticos são usados para gerar diferentes parâmetros do controlador híbrido, 
composto de um controlador neural direto e lógica nebulosa, para posicionar o pêndulo 
invertido com peso desconhecido na posição de equilíbrio instável com sucesso. 
4.2 Modelo Matemático 
Para simulação e validação do controlador a ser desenvolvido é necessário ter um modelo 
matemático do comportamento do sistema. O modelo apresentado foi desenvolvido por 
Messner e Tilbury (2008) que determinou que o Pêndulo não se moveria mais do que alguns 
graus de distância da referência. Da mesma forma, o modelo não se preocupou com a posição 
do carro tendo o foco somente no controle da posição da barra. 
32 
 
 
Figura 4.3 - Modelo físico do pêndulo invertido 
Para esse trabalho, assumimos que: 
Tabela 4. 1 - Variáveis para o Modelo Matemático do pêndulo invertido 
Variável Significado Valores 
M Massa do carro 0.5 kg 
m Massa do Pêndulo 0.2 kg 
b Atrito do carro 0.1 
l Altura do centro de massa do Pêndulo 0.3 m 
I Inércia do Pêndulo 0.006 kg*m^2 
F Força Aplicada no carro 
x Coordenada da posição do carro 
θ Ângulo do Pêndulo com a vertical 
Apresenta-se o diagrama de corpo livre do sistema: 
 
Figura 4.4 - Diagrama de Corpo Livre 
Por meio das forças na direção horizontal do diagrama de corpo livre do carro tem-se a 
seguinte equação de movimento: 
 (4.1) 
33 
 
É possível, também, obter-se equações para as forças verticais do carro. Porém, nenhuma 
informação útil seria adquirida. 
Por meio das forças na direção horizontal do diagrama de corpo livre do Pêndulo, tem-se a 
seguinte equação de movimento: 
 (4.2) 
Substituindo-se a equação (1) em (2), tem-se a primeira equação do movimento para este 
sistema:
 (4.3) 
 A segunda equação de movimento vem por meio das forças perpendiculares ao Pêndulo: 
 (4.4) 
Para se excluir as variáveis P e N, calcula-se os momentos em torno do centróide do pêndulo: 
 (4.5) 
Combinando-se estas duas últimas equações, obtém-se a segunda equação dinâmica: 
 (4.6) 
Fazendo-se a linearização do modelo e definindo-se que . Assim, , 
 e . Desta forma, as duas equações de movimento são (em que u 
representa a entrada): 
34 
 
 (4.7) 
Para se obter a função de transferência, deve-se aplicar a transformada de Laplace e organizar 
a função em torno dos dados de entrada e saída. A função de transferência desse sistema é 
dada por: 
 (4.8) 
em que: 
 (4.9) 
Aplicando-se os valores das variáveis presentes na Tabela 4, tem-se: 
 (4.10) 
 
35 
 
 
 
 
5. Controle Fuzzy para pêndulo invertido 
 
5.1 Modelagem do controlador Fuzzy 
 
Figura 5. 1 - Modelo físico do pêndulo invertido 
Para desenvolver o controlador Fuzzy para o pêndulo invertido foi utilizado o Toolbox de 
Lógica Fuzzy (Fuzzy Logic Toolbox). Primeiro, definiu-se as variáveis de entrada e saída com 
o seus respectivos domínios, apresentado na tabela abaixo: 
Tabela 5. 1 - Variáveis de Entrada e Saída 
 Variável Range 
Posição da barra (rad) [-0.8 0.8] 
Entradas 
Velocidade angular (rad/s) [-2 2] 
Saída Força aplicada ao carro (V) [-20 20] 
O domínio das variáveis adotadas foi determinado empiricamente por Dietrich (2008) em que, 
os limites máximos para os valores de θ (ângulo) foram definidos como ±45º, que equivale a 
0.8 rad. Para a velocidade, as simulações definiram valores de ±2 rad/s como limites 
aceitáveis. A saída, tensão de controle, foi limitada em ± 20V, supondo-se um motor acionado 
por esta tensão. 
As funções de pertinência foram definidas por meio de simulações. Buscou-se organizar as 
variáveis de forma que o movimento da haste e do carro fosse eficaz e suave ao mesmo 
tempo. Para as entradas definiu-se apenas três valores e a faixa do valor desejado para a 
posição e velocidade angular da barra possui um domínio muito estreito. Para a variável de 
saída definiu-se cinco valores o aumento no número de valores se deu para a suavização do 
movimento do carro e maior precisão no controle. As funções ficaram da seguinte forma: 
36 
 
 
 
Figura 5.2 - Função de pertinência da entrada Posição da Barra 
 
Figura 5.3 - Função de pertinência da entrada Velocidade Angular 
37 
 
 
Figura 5.4 - Função de pertinência da saída Tensão aplicada no Motor 
Baseado na observação e análise do movimento do pêndulo invertido e nos conhecimentos da 
física newtoniana, definiu-se a tabela de inferência, que representa a ação do controlador para 
as situações possíveis nas quais o modelo pode se encontrar. Os dados de entrada, posição e 
velocidade angular são interpretados como medidas nebulosas. Os valores de entrada são 
divididos em três regiões: Negativo (N), Zero (Z) e Positivo (P), onde a primeira coluna da 
tabela representa os valores para posição e a primeira linha os valores de velocidade angular. 
 
Tabela 5. 2- Tabela de inferência 
 VELOCIDADE ANGULAR 
 N ZERO P 
N MN MN PN 
ZERO PN ZERO PP 
P
O
S
IÇ
Ã
O
 
P PP MP MP 
 
Na tabela de inferência representa-se a ação do controlador para as situações possíveis nas 
quais o modelo pode se encontrar. A solução da tabela se dá interpolando-se os valores de 
entrada posição e velocidade. O intervalo de saída foi dividido em cinco regiões: Muito 
Negativo (MN), Pouco Negativo (PN), Zero (Z), Pouco Positivo (PP) e Muito Positivo (MP). 
Abaixo as regras para o controle do sistema. 
 
38 
 
 
Figura 5.5 - Tela com as Regras do sistema 
 
As regras adotadas para esse sistema são: 
1. If (Posicao is NEG) and (Velocidade is NEG) then (Motor is MUITONEG) 
2. If (Posicao is NEG) and (Velocidade is ZERO) then (Motor is MUITONEG) 
3. If (Posicao is NEG) and (Velocidade is POS) then (Motor is POUCONEG) 
4. If (Posicao is ZERO) and (Velocidade is NEG) then (Motor is POUCONEG) 
5. If (Posicao is ZERO) and (Velocidade is ZERO) then (Motor is ZERO) 
6. If (Posicao is ZERO) and (Velocidade is POS) then (Motor is POUCOPOS)7. If (Posicao is POS) and (Velocidade is NEG) then (Motor is POUCOPOS) 
8. If (Posicao is POS) and (Velocidade is ZERO) then (Motor is MUITOPOS) 
9. If (Posicao is POS) and (Velocidade is POS) then (Motor is MUITOPOS) 
O Toolbox permite duas formas de verificação do controlador: o Rule Viewer e o Surface. 
Com o Rule Viewer é possível selecionar valores para as variáveis de entrada e verificar como 
o controlador Fuzzy responde a cada regra previamente estipulada, além do valor numérico 
obtido na defuzzificação. 
39 
 
 
Figura 5.6 - Rule Viewer 
O Surface permite verificar todas as relações entre entrada e saída por meio de uma superfície 
que relaciona duas variáveis de entrada com uma variável de saída. 
 
Figura 5.7 - Surface 
5.2 Resultados 
Os resultados obtidos têm por finalidade avaliar o desempenho, assim como a robustez do 
controlador nebuloso para o problema do pêndulo invertido, comparando-o com um método 
de controle clássico, o controlador PID desenvolvido por Messner e Tilbury (2008). Todos os 
experimentos foram realizados utilizando-se a formulação matemática da dinâmica de 
comportamento do Pêndulo apresentados na sessão 4.2. 
40 
 
A implementação do sistema foi desenvolvida no Simulink. O Simulink permite a simulação 
de fenômenos físicos e, assim, ajustar os controladores para que eles tenham o melhor 
desempenho. As simulações foram feitas iniciando-se com a construção do diagrama de 
blocos que representa o sistema pêndulo invertido. Definiu-se como zero a posição de 
referencia, ou seja, a posição de equilíbrio do Pêndulo. Colocou-se o bloco para o controlador; 
acrescentou-se um bloco (Transfer Fcn) que possui o modelo matemático do pêndulo 
invertido, equação 10. Fez-se a realimentação da saída do sistema para comparação entre a 
referencia e a posição atual, gerando um sinal de erro para que o controlador possa atuar. 
Além disso, aos 5 segundos é adicionado um distúrbio do tipo impulso unitário para verificar 
o comportamento do controlador. 
A planta de simulação para o controlador PID desenvolvido por Messner & Tilbury (2008) 
apresentou o seguinte resultado: 
 
Figura 5.8 - Modelo Simulink para Controlador PID 
41 
 
 
Figura 5. 9 - Resposta do modelo com o Controlador PID 
Os parâmetros utilizados no controlador PID são: P = 100, I = 1 e D = 20. Observa-se que o 
sistema com o controlador PID apresenta uma boa reação ao distúrbio voltando a posição 
inicial em pouco mais de 2 segundos. 
O controlador Fuzzy possui como entrada, além da posição do Pêndulo, a velocidade angular 
da barra, que é obtida por meio da derivada da posição. O controlador Fuzzy conseguiu ser 
mais eficiente quanto à resposta ao distúrbio porém, há um pequeno erro em regime 
permanente após o distúrbio. A reação ao distúrbio ficou em pouco mais de 1 segundo. 
 
Figura 5.10 - Modelo Simulink para Controlador Fuzzy 
42 
 
 
Figura 5.11 - Resposta do modelo com o Controlador Fuzzy 
 
Abaixo, a tabela de comparação entre os dois controladores: 
Tabela 5. 3 - Comparação dos resultados do controlador PID e Fuzzy. 
 Sinal de Controle Sobre sinal Tempo de acomodação (2%) Erro em regime permanente
PID -1,18 2,30% 2s 0 
Fuzzy -1,18 1% 1,4s 0.000086 
O sinal de controle do sistema aplicado está descrito nas Figuras 28 e 29: 
 
Figura 5. 12 - Sinal de Controle do Controlador PID 
43 
 
 
Figura 5. 13 - Sinal de Controle do Controlador Fuzzy 
 
44 
 
 
 
CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS 
Os controladores Fuzzy vem sendo aplicados com sucesso no controle de processos onde os 
controladores convencionais falham ou não exibem um bom desempenho devido, 
principalmente, a um conhecimento impreciso do comportamento dinâmico e dos parâmetros 
do processo. Assim, é de extrema importância estudar e desenvolver sistemas com essa 
abordagem. 
Os controladores Fuzzy permitem o controle de sistemas por meio de informações 
qualitativas, sem necessidade de modelar o sistema. Desta forma, sistemas de dinâmica 
complexa podem ter um controle eficiente sem necessidade de linearização do sistema. É 
importante saber que à medida que o sistema fica mais complexo é necessário definir as 
regras de controle buscando-se abranger a complexidade do sistema. 
O sistema pêndulo invertido é um excelente modelo para implementação de diversos tipos de 
controle por ser um sistema extremamente instável e de dinâmica conhecida. 
As perspectivas para trabalhos futuros são a montagem física do sistema pêndulo invertido 
para aplicação desse controlador e, também, para o desenvolvimento de outros controladores. 
É interessante também utilizar de outras formas de funções de pertinência e de inferência 
buscando-se gerar novos controladores. 
 
 
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS 
ÅSTRÖM, K. J., FURUTA K.; Swing-up a Pendulum by Energy Control; 13th IFAC 
World Congress, San Francisco-CA, 1996 
BARROS, L. C.; BASSANEZI, R. C.; JAFELICE, R. S. M.; Controle Fuzzy Aplicado à 
Biomatemática; IMECC – UNICAMP, Campinas, 2003 
BOGDANOV, Alexander; Optimal Control of a Double Inverted Pendulum on a Cart; 
Oregon Health & Science University, Department of Computer Science & Electrical 
Engineering, 2004 
BUGEJA, M.; Non-linear Swing-up and Stabilizing Control of an Inverted Pendulum 
System; EUROCOM 2003, Slovenia, 2003 
CAVALCANTI - Posicionamento de um Pêndulo Invertido Usando Algoritmos 
Genéticos - SBA Volume 10 – número 1, 1999 
DIETRICH, J. V.; SILVA, Y. G.; Modelagem de um controlador fuzzy para pêndulo 
invertido utilizando a Fuzzy Logic Toolbox; 2008 
DRUMMOND, A. C. et al; Estudo do Controle de Pêndulo Inverso sobre Carro 
utilizando Rede Neural de Base Radial; IV Congresso Brasileiro de Redes Neurais pp. 320-
325; ITA, São José dos Campos, 1999 
FEITOSA, H. A.; Sobre a história da lógica; Disponível em: 
<ftp://ftp.cle.unicamp.br/pub/arquivos/educacional/ArtGT.pdf> 
FUZZY Logic Toolbox User’s Guide, 1995. THE MATHWORKS, Inc. Disponivel em: 
<http://www.mathworks.com>. 
GARCIA, C.; Modelagem e Simulação de Processos Industriais e de Sistemas 
Eletromecânicos; 2. Ed.; São Paulo: Editora da Universidade de São Paulo, 2005 
KOHAGURA, T.; Lógica fuzzy e suas aplicações; Departamento de Computação, 
Universidade Estadual de Londrina, Londrina, 2007
46 
 
LAM, J.; Control of an Inverted Pendulum; University of California, Santa Barbara, 2004. 
Disponível em: < http://www.ece.ucsb.edu/~roy/cgi-bin/makepage.pl?nav=projects>. 
LEONOR, M.; NEVES, M.; Construção de um pêndulo invertido sobre um robô móvel 
controlado com o executivo SHaRK; revista do DETUA, VOL. 4, Nº 2, 2004 
LIMA, M. P.; AMORIM, C. A.; Proposta de um modelo fuzzy para apoio à tomada de 
decisão no Controle de Tráfego Aéreo do Aeroporto Internacional de Salvador; 
Universidade do Estado da Bahia, Salvador – BA, 2007 
MACHADO, A. G.; Sistemas em Tempo Real: Controlo de pêndulo invertido; Faculdade 
de Engenharia, Universidade do Porto, 2006 
MESSNER, W.; TILBURY, D.; Control Tutorials for MATLAB and Simulink, 1998. 
Disponível em: < http://www.engin.umich.edu/class/ctms/index.htm>
MIRANDA, P.; Sistema de Controle Difuso de Mamdani Aplicações: Pêndulo Invertido e 
outras; Monografia (Graduação em Análise de Sistemas). Departamento de Computação e 
Estatística, Universidade Federal de Mato Grosso do Sul, 2003 
MORAIS, M. et al. Pêndulo Invertido; INPE; 2004 
MORAIS, M. H. E.; MURALIKRISHNA, A.; BRAVO, R.; GUIMARÃES, L. N. F. Um 
Controlador Nebuloso Aplicado ao Problema do Pêndulo Invertido. São Paulo. 2005. 
OGATA, K.; Engenharia de Controle Moderno; São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2003 
OLIVEIRA, I. S.; Controle fuzzy PI de temperatura num modelo de edificaçãoem escala 
reduzida; Monografia (Graduação em Engenharia de Controle e Automação), Escola de 
Minas, Universidade Federal de Ouro Preto, Ouro Preto, 2008 
OOI, R. C.; Balancing a Two-Wheeled Autonomous Robot; Faculty of Engineering and 
Mathematical Sciences, University of Western Australia, 2003 
ORTEGA, N. R. S.; Aplicação da Teoria de Conjuntos Fuzzy a Problemas da 
Biomedicina; Tese (Doutorado em Ciências); UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO, São 
Paulo, 2001 
47 
 
PINHEIRO, C. A. M.; Análise e Projeto de Sistemas de Controle Fuzzy; Tese (Doutorado 
em Engenharia Elétrica); Universidade Estadual de Campinas, Campinas, 2000 
RIBEIRO, R; Implementação De Um Sistema De Controle De Um Pêndulo Invertido; 
Dissertação de Mestrado; Itajubá – MG; 2007 
RUBÍ, J.; RUBIO, Á.; AVELLO, A.; Swing-up control problem for a self-erecting double 
inverted pendulum, IEE Proceedings Control Theory and Applications, p. 169-175, Vol. 
149, No. 2, 2002 
SANDRI, S; CORREA, C; Lógica Nebulosa; V Escola de Redes Neurais; INPE; São José 
dos Campos – SP, 1999
SIMOES, M. G; SHAW, I. S. Controle e modelagem Fuzzy. 1a ed. São Paulo: Editora 
Edgard Blucher Ltda., 2007 
SOARES, P. H.; Estabilidade Do Pêndulo Não-Linear Invertido Sob Excitação 
Paramétrica; Faculdade de Matemática, Universidade Federal de Uberlândia, Uberlândia, 
2005 
ZADEH, L.A; Fussy Sets; Information and Control, v.8, n.1, p.338-353, 1965.
48 
 
 
 
 
8. ANEXO I: Fuzzy Logic Toolbox 
Nesse Toolbox há cinco interfaces gráficas para auxiliar no projeto de um sistema Fuzzy, das 
quais três são editores de dados e duas são observadores de resultados. A ferramenta suporta a 
criação de controlador do tipo Mamdani e Sugeno. Para iniciar a modelagem de um 
controlador Fuzzy, deve-se digitar Fuzzy na janela de comando do MATLAB. Esta ação 
resulta na abertura do editor do sistema de inferência Fuzzy (FIS Editor – Fuzzy Inference 
System Editor). 
 
Figura 8. 1 - FIS Editor 
Nesta janela verifica-se a partir de uma ilustração o conjunto de entradas e saídas que se 
relacionam com o controlador. É nesta interface onde se deve escolher os parâmetros a serem 
utilizados pelas funções de pertinência e defuzzificação, além da determinação do número de 
entradas e saídas. 
Para escolher o tipo do controlador, basta acessar no FIS Editor a seqüência: File → New FIS 
→ {Mamdani ou Sugeno}. Para adicionar novas entradas ou saídas segue a seqüência: Edit → 
Add Variable →{Input ou utput}. Para remover uma entrada ou saída a seqüência se torna 
selecionar a variável a ser removida: Edit → Remove Selected Variable. 
Na configuração das funções de pertinência utiliza-se a ordem de comando: Edit → 
Membership Function, o que acarreta na abertura da janela Membership Function Editor.
49 
 
 
Figura 8. 2 - Membership Function Editor 
Nesta tela escolhe-se a quantidade e o tipo de função de pertinência que se quer aplicar a cada 
entrada e saída do controlador. Também é determinado o domínio da grandeza para qual se 
quer estipular o valor de pertinência. 
Para alterar a configuração da função de pertinência deve-se primeiro remover as funções de 
pertinências inicialmente carregadas pelo Membership Function Editor, o que é feito por 
selecionar a entrada: Edit → Remove All MFs. Posteriormente adicionam-se as novas funções 
de pertinências: Edit → Add MFs. Isto abre uma nova janela que permite selecionar o tipo de 
função e o número de funções. 
Para adequar as funções à especificação desejada, deve-se digitar no campo Params de cada 
função o valor do intervalo para o qual a função de pertinência assume valores diferentes de 
zero. Tal procedimento também pode ser realizado arrastado com o mouse os pontos de cada 
função no gráfico. O domínio da grandeza é alterado através do campo: Range do 
Membership Funtion Editor. 
A configuração das regras é feita acessando a janela Rule Editor, que pode ser acessada a 
partir do FIS Editor por Edit →Rules. A figura abaixo ilustra o Rule Editor. Uma regra é 
determinada selecionando diferentes entradas e associando-as a um conector (AND ou OR) e 
impondo uma conseqüência de saída. Cada regra possui um peso, representando o quanto se 
“acredita” na regra, que pode ser atribuído pelo campo weight. 
50 
 
 
Figura 8. 3 - Rule Editor 
As interfaces gráficas descritas até agora estão ligadas são do tipo editores de dados. Para 
complementar o processo de desenvolvimento, o Fuzzy Logical Toolbox disponibiliza ainda 
as interfaces Rule Viewer e Surface Viewer. 
 
Figura 8. 4 - Rule Viewer 
Através do Rule Viewer é possível selecionar valores para as variáveis de entrada e verificar 
como o controlador Fuzzy responde a cada regra previamente estipulada, além do valor 
numérico obtido na defuzzificação. Os valores de entrada devem ser inseridos no campo 
Input. Para abrir o Rule Viewer acesse: View → Rule Viewer a partir do FIS Editor. A figura 
acima demonstra claramente esta situação para um controlador de uma entradas e uma saída. 
51 
 
É possível ainda visualizar uma superfície que relaciona duas variáveis de entrada com uma 
variável de saída. Isto pode ser feito pela seqüência View →Surface a partir do FIS Editor. 
 
	LISTA DE FIGURAS
	LISTA DE TABELAS
	 RESUMO
	 ABSTRACT
	 1 . INTRODUÇÃO
	1.1. Descrição do problema
	1.2. Objetivo
	1.3. Metodologia
	1.4. Estrutura do trabalho
	 
	2. CONTROLE INTELIGENTE
	2.1 Controle Clássico vs Controle inteligente
	2.2 Escolha do Controlador
	 
	3. LÓGICA FUZZY
	3.1. A Lógica Clássica X Lógica Fuzzy
	3.2 Conjuntos nebulosos
	3.3 Função de pertinência
	3.4 Operações em Conjuntos Nebulosos
	3.5 Sistemas Fuzzy
	3.5.1 Fuzzificação
	3.5.2 Base de Conhecimento
	3.5.3 Inferência
	3.5.4 Defuzzificação
	3.5.4.1 Média dos Máximos
	3.5.4.2 Método do Centro de Área - COA
	 
	4. PÊNDULO INVERTIDO
	4.1 Trabalhos anteriores
	4.2 Modelo Matemático
	 
	5. Controle Fuzzy para pêndulo invertido
	5.1 Modelagem do controlador Fuzzy
	5.2 Resultados
	 
	CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS
	 REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
	 
	8. ANEXO I: Fuzzy Logic Toolbox