Matemática para Negócios _ Aula_08

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MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS
Aula 8- Função Quadrática; Função Receita Quadrática e Função Lucro Quadrática
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS
Função Quadrática; Função Receita Quadrática; Função Lucro Quadrática – AULA 8
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Função Quadrática; Função Receita Quadrática; Função Lucro Quadrática – AULA 8
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CONTEÚDO PROGRAMÁTICO DESTA AULA
Função Quadrática
Função Receita Quadrática
Função Lucro Quadrática
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Uma função do 2º grau é definida pela seguinte lei de formação 
f(x) = ax² + bx + c 
Ou
 y = ax² + bx + c, 
onde a, b e c são números reais e a ≠ 0. 
FUNÇÃO QUADRÁTICA
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*
EXEMPLOS
y = f(x) = x2 + 3x – 1
	é uma função quadrática com a = 1 e b = 3 e c = –1.
y = f(x) = –x2 + 5
	é uma função quadrática com a = –1 e b = 0 e c = 5.
y = f(x) = –2x2 + 4x
	é uma função quadrática com a = –2 e b = 4 e c = 0.
y = f(x) = x2
	é uma função quadrática com a = 1 e b = 0 e c = 0.
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A equação do 2º grau possui duas soluções distintas, isto é, a função do 2º grau terá duas raízes reais e distintas. A parábola intersecta o eixo das abscissas (x) em dois pontos.
y = ax² + bx + c
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A equação do 2º grau possui uma única solução, isto é, a função do 2º grau terá apenas uma raiz real. A parábola irá intersectar o eixo das abscissas (x) em apenas um ponto.
y = ax² + bx + c
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A equação do 2º grau não possui soluções reais, portanto, a função do 2º grau não intersectará o eixo das abscissas (x).
y = ax² + bx + c
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PONTOS NOTÁVEIS DO GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO DO 2º GRAU
 
O vértice da parábola constitui um ponto importante do gráfico, pois indica o ponto de valor máximo e o ponto de valor mínimo. De acordo com o valor do coeficiente a, os pontos serão definidos.
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Quando o valor do coeficiente a for menor que zero, a parábola possuirá valor máximo.
Quando o valor do coeficiente a for maior que zero, a parábola possuirá valor mínimo.
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O valor do coeficiente c na lei de formação da função corresponde ao valor do eixo y onde a parábola o intersecta.
y = ax² + bx + c
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NÚMERO DE RAÍZES DA EQUAÇÃO DE 2º GRAU
Para resolver uma equação de 2º grau usamos a fórmula de Bhaskara
O número real  é o discriminante da equação. O valor dele indica se a função tem ou não raízes reais.
  > 0 ⇔ tem duas raízes reais distintas.
  = 0 ⇔ tem duas raízes reais iguais
	(ou 1 raiz real dupla).
  < 0 ⇔ não tem raízes reais.
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Exemplo 1:	
y = 3x2 – x – 2
O discriminante da função é
 = b2 – 4ac
⇒  = (–1)2 – 4.3.(–2)
⇒  = 25
Raízes: x’ = 1 ou x” = –2/3
⇒ A parábola corta o eixo x em (1, 0) e (–2/3, 0) 
Como a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima.
O coeficiente c =–2, indica que a parábola corta o eixo y no ponto (0, –2) 
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Veja o gráfico da função 
y = 3x2 – x – 2
x
y
0
1/6
1
–2/3
–2
–25/12
Raiz
Raiz
= 
2.(3)
= 1/6 
xV = 
–b
2a
–(–1)
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Exemplo 2: 
y = x2 + 2x + 3
O discriminante da função é
 = b2 – 4ac
⇒  = (2)2 – 4.1.(3)
⇒  = –8
Como a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima.
O coeficiente c = 3, indica que a parábola corta o eixo y no ponto (0, 3) 
 < 0, a função não tem raízes reais, logo a parábola não corta o eixo x.
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Veja o gráfico da função 
y = x2 + 2x + 3
x
y
0
3
2
–1
–2
3
–2
2
–1
3
0
y
x
= 
2.(1)
= –1 
xV = 
–b
2a
–2
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*
*
Exemplo 3: 
f(x) = x² - 4x – 5
Solução:
Como ∆ > 0 a função tem dois zeros reais. Assim:
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*
*
Logo, os zeros da função são – 1 e 5 
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*
*
Exemplo 4: 	
y = x² - 2x + 6
Como ∆ < 0, a função não tem zero real
Solução:
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DE OLHO NA IMAGEM
SEBRAE-MG –
Videopalestra sobre Preço de Venda
 
http://www.youtube.com/watch?v=n74pb5Q1YQU&feature=BFa&list=PLC7B3B7D833C5A208
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FUNÇÃO RECEITA E LUCRO QUADRÁTICA
Um fabricante vende, mensalmente, x unidades de um determinado artigo por R(x) = x² – x, sendo o custo da produção dado por 
C(x) = 2x² – 7x + 8. Quantas unidades devem ser vendidas mensalmente, de modo que se obtenha o lucro máximo? 
 L(x) = R(x) – C(x)  L(x) = x² – x – (2x² – 7x + 8) 
 L(x) = x² – x – 2x² + 7x – 8 
 L(x) = – x² + 6x – 8 
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O número de unidades vendidas mensalmente para se obter o lucro máximo será determinado por Xv. 
FUNÇÃO RECEITA E LUCRO QUADRÁTICA
L(x) = – x² + 6x – 8 
= 
2.(-1)
= 3 unidades
xV =
–b
2a
–6
-2
–6
= 
Para se obter o lucro máximo, basta que 3 unidades sejam vendidas.
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RESUMINDO
Função Quadrática
Função Receita Quadrática
Função Lucro Quadrática
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