Aula 8 - Receita quadrática, função lucro quadrática

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Matemática para Negócios
Aula 8 - Receita quadrática, função lucro quadrática,
função quadrática e inequações do 2º grau
INTRODUÇÃO
Nesta aula, estudaremos a receita quadrática, além da função lucro quadrática e as inequações do 2º grau. 
Bons estudos!
OBJETIVOS
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Reconhecer a função quadrática como uma parábola.
Elaborar a representação grá�ca da curva da função quadrática.
Resolver função quadrática e inequação de 2º grau.
Descrever a função lucro quadrática.
Interpretar o grá�co da função lucro quadrática.
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FUNÇÃO QUADRÁTICA
EXERCÍCIOS!
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Determine m para que a função f(x) = (m – 1)x + 2x – 3 seja do 2º grau.
Escreva sua resposta aqui.
Resposta Correta
Determine o valor de p para que a função real f(x) = (p – 5p + 4) x – 4x + 5 seja do 2º grau.
Escreva sua resposta aqui.
Resposta Correta
Identi�que os coe�cientes a, b e c das seguintes funções quadráticas: 
Escreva sua resposta aqui.
Resposta Correta
Fonte da Imagem:
Grá�co 
O grá�co de uma função polinomial do 2º grau 
y = ax + bx + c, onde a ≠ 0, é uma curva chamada parábola. 
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EXERCÍCIO!
Construa o grá�co da função y = -x + 1
Escreva sua resposta aqui.
Resposta Correta
Valores máximo e mínimo de uma função de 2º grau
O grá�co da função do 2º grau y = ax + bx + c é sempre uma parábola de eixo vertical. Observe:
Propriedades do grá�co y = ax + bx + c
Podemos de�nir as seguintes propriedades do grá�co y = ax + bx + c:
Propriedade 1
Se a > 0, a parábola tem um ponto de mínimo e com concavidade voltada para cima.
Propriedade 2
Se a < 0, a parábola tem um ponto de máximo e com concavidade voltada para baixo.
Propriedade 3
2
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O vértice da parábola é o ponto V(xv, yv) onde: 
xv = -b/2a 
yv = -D/4a, onde D = b – 4ac, isto é, (fórmula de Bhaskara) 
Propriedade 4
A parábola intercepta o eixo dos x nos pontos de abscissas x’ e x”, que são as raízes da equação ax + bx + c = 0.
Propriedade 5
A parábola intercepta o eixo dos y no ponto (0, c).
Propriedade 6
O eixo de simetria da parábola é uma reta vertical de equação x = -b/2a.
Propriedade 7
ymax = - D / 4a ( a < 0).
Propriedade 8
ymin = - D / 4a (a > 0).
Propriedade 9
Forma fatorada: sendo x e x as raízes de f(x) = ax + bx + c; então, ela pode ser escrita na forma fatorada
seguinte: 
y = a(x – x ) . (x - x )
EXERCÍCIO!
Sabe-se que -2 e 3 são raízes de uma função quadrática. Se o ponto (-1, 8) pertence ao grá�co dessa função, então:
O seu valor máximo é 1,25
O seu valor mínimo é 1,25
O seu valor máximo é 0,25
O seu valor mínimo é 12,5
O seu valor máximo é 12,5
Justi�cativa
Que número excede o seu quadrado o máximo possível?
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1 2
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1/2
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1
4
-1/2
Justi�cativa
Função receita/lucro quadrática
Para de�nirmos a função receita/lucro quadrática, vamos analisar a situação a seguir:
Certa indústria fabrica um único tipo de produto, que é vendido ao preço unitário de x reais. Considerando que a receita mensal dessa indústria
em reais é calculada pela expressão R(x) = 80000x – 8000x , vamos calcular o valor que cada unidade do produto deve ser vendida para ser
gerada uma receita mensal de R$200.000,00. 
 
 
A receita é dada por: 
 
R(x) = 80.000x – 8.000x onde x é o preço unitário. 
 
Se a empresa teve uma receita de R$200.000,00, devemos substituir o valor 200.000 na R(x). 
 
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200.000 = 80.000x – 8.000x 
 
Arrumando a equação do segundo grau: 
 
8.000x – 80.000x + 200.000 = 0 
 
Para facilitar a aplicação de Bhaskara, devemos dividir por 8.000: 
 
x – 10x + 25 = 0 
 
Aplicando Bhaskara, encontramos o valor x = 5. 
 
Portanto, cada unidade deve ser vendida por R$5,00. 
Função Lucro
Observe a situação a seguir: 
 
Um grupo de estudantes resolveu montar uma pequena indústria de estampas em camisas. Para tornar o negócio rentável, é preciso levantar
os custos de produção e conhecer o número provável de camisetas vendidas. Esta última estimativa pode ser obtida por meio de uma pesquisa
de mercado e depende do preço de venda de cada camiseta.
O grupo levantou os seguintes custos: 
Vamos determinar o custo C para estampar x camisetas. 
 
O custo C para estampar x camisetas é dado por: 
 
C(x) = 1650 + 7,50x.
EXERCÍCIO!
O lucro na venda de x unidades de um produto é dado por: 
L(x) = x + 2x – 3 
Determine: 
a) O lucro na venda de 10 unidades do produto. 
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2
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b) A quantidade vendida para um lucro zero. 
c) A quantidade vendida para que o lucro seja o maior possível. 
d) O grá�co de L(x). 
Escreva sua resposta aqui.
Resposta Correta
INEQUAÇÕES DE 2º GRAU
Fonte da Imagem:
Vamos aplicar o estudo do sinal da função quadrática na resolução de inequações. 
Para resolver inequações do segundo grau, precisamos, antes, recordar que as inequações de primeiro grau são resolvidas seguindo-se o
mesmo procedimento utilizado na resolução das equações de primeiro grau e observando-se as propriedades das desigualdades e o
signi�cado da solução.
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x – 3x – 4 > 0 .... (então y > 0 lembrando que a função x – 3x – 4 = y). 
 
Inicialmente, igualamos a equação a 0 para calcular as raízes. 
 
x – 3x – 4 = 0 
 
x = -1 e x = 4 
 
Assim, podemos desenhar a parábola função. 
 
Para determinar o ponto em que a parábola corta o eixo y, temos que fazer x = 0. Logo: 
 
y = -4
Estudo do sinal da função
Estudando o sinal da função, temos: a função é côncava para cima, pois (a > 0): (onde a é o coe�ciente em x ).
2 2
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1 2
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Fonte da Imagem:
Logo, os valores de x que fazem com que a expressão seja positiva são x < -1 ou x > 4. 
E o conjunto:
S = {x ∈ R | x < -1 ∨ x > 4}
,
O sinal ∨ signi�ca “ou”.
Vejamos um exemplo!
Vamos determinar o sinal da função:
Achando as raízes da função, usando Bhaskara, temos: 
 
x = 2 
x = 3 
 
E o estudo do sinal (a função é côncava para baixo, pois a < 0):
1
2
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A solução é S = {x ∈ R | 2 ≤ x ≤ 3}
EXERCÍCIOS!
Determine o sinal da função: -x + 4x – 4 ≥ 0.
Escreva sua resposta aqui.
Resposta Correta
Determine o sinal da função: -x + 2x – 4 > 0
Escreva sua resposta aqui.
Resposta Correta
ATIVIDADES
1 - Determine as raízes reais da seguinte função: 3x – 7x + 2.
1 e 2
2/3 e 3
3 e 7
2 e 1/3
Justi�cativa
2 – Determine as raízes reais da seguinte função: x – 2x .
1 e 0
0 e ½
½ e 1
0 e -½
Justi�cativa
3 – Determine os zeros reais da função: x – 5x + 4.
2
2
2
2
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-2 e 2
-1, -2, 2 e 3
-1, -2, 1 e 2
1, -1, 2 e -3
Justi�cativa
4 – Resolva a inequação: x – 3x + 2 > 0.
S = {x ∈ R | x < 2 ou x > 1}
S = {x ∈ R | x < -1 ou x > -2}
S = {x ∈ R | x < 1 ou x > -2}
S = {x ∈ R | x < 1 ou x > 2}
Justi�cativa
Glossário
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