Planos cristalográficos (aula 4)

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CIÊNCIAS E ENGENHARIA DOS 
MATERIAIS 
Prof: Jailson Rolim Teodosio 
 2014.2 
ESTRUTURA DOS MATERIAIS 
 
 
 
Polimorfismo: fenômeno no qual alguns metais e ametais 
podem apresentar mais de uma estrutura cristalina. 
Quando o polimorfismo é encontrado em sólidos 
elementares, o fenômeno é usualmente denominado alotropia. 
A estrutura cristalina ou forma alotrópica que prevalece no 
sólido depende da: 
• temperatura; 
• pressão externa. 
POLIMORFISMO E ALOTROPIA 
Exemplos: 
1. Formas alotrópicas do carbono (C): 
• Grafita: polimorfo estável sob condições ambientais. 
• Diamante: formado sob pressões extremamente elevadas. 
2. Formas alotrópicas do ferro puro (Fe): 
• Estrutura CCC: à temperatura ambiente. 
• Estrutura CFC: à temperatura > 912º C. 
Na maioria das vezes uma transformação polifórmica é 
acompanhada de mudança na massa específica e em 
outras propriedades físicas do material. 
POLIMORFISMO E ALOTROPIA 
Como há muitas estruturas cristalinas diferentes, convém 
dividi-las em grupos ou sistemas, conforme as configurações 
das células unitárias e/ou dos arranjos atômicos. 
Um dos enfoques está baseado na geometria da CU, 
independente das posições dos átomos, e consiste de um 
sistema de coordenadas xyz com as seguintes características: 
• origem localizada em um dos vértices da CU; 
• cada eixo x, y e z coincide com uma das três arestas do 
paralelepípedo; 
SISTEMAS CRISTALINOS 
• A geometria da CU é completamente definida em termos de 
seis parâmetros (parâmetros de rede cristalina): 
i. os comprimentos das três arestas: a, b e c; 
ii. os três ângulos entre os eixos: α, β e γ. 
Célula unitária mostrando: 
• os eixos coordenados: x, y e z. 
• os comprimentos axiais: a, b e c; 
• os ângulos entre eixos: α, β e γ. 
SISTEMAS CRISTALINOS 
A partir da combinação dos parâmetros de rede cristalina (a, 
b, c, α, β e γ ), podem ser definidos sete sistemas cristalinos: 
 
• Cúbico: a = b = c; α = β = γ = 90˚ 
 
 
 
• Hexagonal: a = b ≠ c; α = β = 90˚, 
 γ = 120˚ 
SISTEMAS CRISTALINOS 
 
• Tetragonal: a = b ≠ c; 
 α = β = γ = 90˚ 
 
 
 
• Romboédrico: a = b = c; 
 (trigonal) α = β = γ ≠ 90˚ 
SISTEMAS CRISTALINOS 
 
• Ortorrômbico: a ≠ b ≠ c; 
 α = β = γ = 90˚ 
 
 
 
 
• Monoclínico: a ≠ b ≠ c; 
 α = γ = 90º ≠ β 
SISTEMAS CRISTALINOS 
 
• Triclínico: a ≠ b ≠ c; 
 α ≠ β ≠ γ ≠ 90˚ 
 
 Importante! 
• As estruturas CFC e CCC pertencem ao sistema cristalino 
cúbico. 
• A estrutura HC se enquadra no sistema hexagonal. 
SISTEMAS CRISTALINOS 
 Objetivos 
 Descrever a geometria, as posições atômicas, 
os planos e direções cristalográficas; 
 Calcular a densidade linear e planar dos 
sólidos metálicos. 
PONTOS, DIREÇÕES E 
PLANOS CRISTALOGRÁFICOS 
O estudo de planos e direções atômicas é importante para: 
– A determinação da estrutura cristalina; 
– Analisar o comportamento da deformação plástica; 
– Auxiliar na compreensão das propriedades de 
transporte. 
 
 Exemplo: Nos supercondutores a base de YBa2Cu3O7, 
alguns planos contêm somente Cu e O. Estes planos 
conduzem pares de elétrons (chamados pares de Cooper) 
que são os responsáveis pela supercondutividade. 
PONTOS, DIREÇÕES E PLANOS 
CRISTALOGRÁFICOS 
 Para localizar as posições atômicas em células 
unitárias cúbicas, usam-se os eixos ortogonais 
x, y e z. Em cristalografia, o sentido positivo do 
eixo x tem geralmente a direção que sai do 
papel, o sentido positivo do eixo y aponta para 
a direita do papel, e o sentido positivo do eixo 
z aponta para cima Os sentidos negativos são 
os opostos aos que acabamos de descrever. 
PONTOS, DIREÇÕES E PLANOS 
CRISTALOGRÁFICOS 
PONTOS, DIREÇÕES E PLANOS 
CRISTALOGRÁFICOS 
Eixos ortogonais x, y, z utilizados para localizar as posições dos 
átomos nas células unitárias cúbicas. 
 Fazer referência a 
direções específicas nas 
redes cristalinas é 
particularmente importante 
no caso dos metais e ligas 
com propriedades que 
variam com a orientação 
cristalográfica. 
Três índices são empregados para 
designar as localizações de pontos, 
as direções e os planos 
cristalográficos do sistema cristalino. 
Conforme visto, nos sistemas 
cristalinos hexagonal, romboédrico, 
monoclínico e triclínico, os três eixos 
não são mutuamente 
perpendiculares, como no sistema de 
coordenadas cartesianas familiar. 
PONTOS, DIREÇÕES E PLANOS 
CRISTALOGRÁFICOS 
A posição de qualquer ponto P no interior de uma 
CU é especificada por suas coordenadas na forma 
de múltiplos fracionários q, r e s (valores ≤ 1) dos 
comprimentos das arestas unitárias a, b e c nas 
direções x, y e z, respectivamente. Logo: 
 P = (qa, rb, sc) 
COORDENADAS DOS 
PONTOS 
EXEMPLO 
1. Para a célula unitária mostrada na figura, localize o ponto com 
coordenadas ¼ 1 ½. 
 
 
 
2. Especifique as coordenadas dos pontos para todas as posições 
atômicas na célula unitária CCC da figura. 
 
 
APLICAÇÃO 1 
 É definida como uma linha entre dois pontos ou um vetor. 
 
 As seguintes etapas são consideradas para determinar os três 
índices direcionais: 
1. Um vetor de comprimento conveniente é posicionado de maneira tal 
que passe na origem do sistema de coordenadas. Qualquer vetor pode 
ser transladado por toda a rede cristalina sem sofrer alternação, desde 
que o paralelismo seja mantido; 
2. São determinados os comprimentos das projeções do vetor sobre cada 
um dos três eixos. Esses comprimentos são medidos em termos das 
dimensões a, b, e c da CU; 
3. Esses três números são multiplicados ou divididos por um fator comum, 
para reduzi-los aos menores valores inteiros; 
4. O três índices, sem separação por vírgulas, são colocados entre 
colchetes: [u v w]. Os inteiros u, v e w correspondem às projeções 
reduzidas ao longo dos eixos x, y e z. 
DIREÇÕES 
CRISTALOGRÁFICAS 
• Para cada um dos três eixos existirão tanto coordenadas positivas 
quanto negativas; 
• Os índices negativos são representados por uma barra sobre o 
número: 
DIREÇÕES 
CRISTALOGRÁFICAS 
 IMPORTANTE 
 No sistema cúbico, as direções que possuem índices iguais, 
independentemente da ordem em que aparecem ou de seus 
sinais, são equivalentes. 
 Por exemplo, os índices 
 são equivalentes e por conveniência , são a grupados como 
uma família, a qual é representada como 
 Isto não é válido para outros sistemas cristalinos. 
 Por exemplo, nos cristais com simetria tetragonal, as direções 
 e , são equivalentes, mas as direções , não o são. 
 
DIREÇÕES 
CRISTALOGRÁFICAS 
1. Determine os índices para a direção mostrada na figura 
abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
2. Desenhe a direção em uma célula cúbica. 
 
 
APLICAÇÃO 2 
 Desenhe os seguintes vetores-direção, em células 
unitárias cúbicas: (a) [100] e [110]; (b) [112]; (c) 
[110] e (d) [321] 
APLICAÇÃO 2 
É um sistema de coordenadas com quatro eixos, utilizado 
para definir as direções cristalográficas no sistema hexagonal, 
visando resolver questões relacionadas a famílias de índices 
equivalentes. Os três eixos, a1, a2 e a3, estão contidos em um 
único plano, denominado plano basal, e formam entre si 
ângulos de 120º. O eixo z é perpendicular ao plano basal e 
coincide com o centro do hexágono. 
Os índices direcionais são representados por quatro índices 
no formato [u v t w], que pertencem aos eixos a1, a2, a3 e z, 
respectivamente. 
SISTEMA DE MILLER - BRAVAISSistema de eixos co-
ordenados para uma célula 
unitária hexagonal – 
Esquema de Miller-Bravais. 
SISTEMA DE MILLER - BRAVAIS 
SISTEMA DE MILLER - BRAVAIS 
Conversão do sistema de 3 índices para o sistema de 4 
índices 
é obtida com o uso das seguintes equações: 
SISTEMA DE MILLER - BRAVAIS 
 Numa estrutura cristalina é, por vezes, necessário fazer 
referência a determinados planos de átomos, ou pode haver 
interesse em conhecer a orientação cristalográfica de um 
plano ou conjunto de planos de uma rede cristalina. 
 Em todos os sistemas cristalográficos, à exceção do 
hexagonal, os planos cristalográficos são especificados por 
três índices de Miller na forma (hkl). A sua determinação tem 
por base também a célula unitária. 
 Quaisquer dois planos paralelos entre si são 
equivalentes e possuem índices idênticos. 
 
PLANOS 
CRISTALOGRÁFICOS 
Procedimento para determinação de h, k e l: 
 Se o plano passa através da origem que foi selecionada, deve-
se: 
 Construir outro plano paralelo no interior da CU mediante uma 
translação apropriada; ou 
 Estabelecer uma nova origem no vértice de outra célula unitária. 
 O plano cristalográfico intercepta ou é paralelo a um dos três 
eixos. O comprimento da interseção planar é determinado em 
termos dos parâmetros a, b e c. 
 Obter os valores inversos desses números. Um plano paralelo a 
um eixo pode ser considerado como tendo uma interseção no 
infinito e, portanto, um índice igual a zero. 
PLANOS 
CRISTALOGRÁFICOS 
4. Se necessário, mudar os três números para um conjunto de 
números inteiros menores, multiplicando ou dividindo por 
um fator comum; 
5. Colocar os índices inteiros, não separados por vírgula, 
entre parênteses (h k l). 
PLANOS 
CRISTALOGRÁFICOS 
PLANOS 
CRISTALOGRÁFICOS 
trado na figura abaixo. 
 
Resp: 
Densidade Linear na 
Célula Unitária 
1. Calcule a densidade atômica linear ρL na 
direção [110] da rede cristalina do cobre, em 
átomos por mm. O cobre é CFC e o 
parâmetro de rede é 0,361 nm. 
 Resp: ρL = 3,92 x 10
6 átomos /mm 
APLICAÇÃO 
Densidade Planar na 
Célula Unitária 
APLICAÇÃO 
1. Calcule a densidade atômica planar ρp, em átomos 
por milímetro quadrado, no plano (110) do ferro-α, 
cuja rede é CCC. O parâmetro de rede do ferro-α é 
0,287 nm. 
 Resp: ρp = 1,72 x 10
13 átomos /mm2