00-Prova 1 e Gabarito

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1a Prova de A´lgebra Linear — Turma B — 29/04/2014
Prof. Lu´ıs Fernando Crocco Afonso
Aluna(o): Turma:
1) (15 pontos) Determine se R2 munido das operac¸o˜es
(x, y) + (x′, y′) = (0, 0)
α(x, y) = (αx, αy)
e´, ou na˜o, um espac¸o vetorial.
2) (15 pontos) Seja V o espac¸o das matrizes 2× 2. Determine se o conjunto
S = {A ∈ V ; A2 = A}
e´ um subespac¸o de V.
3) (15 pontos) Sejam v1, v2, v3 e v vetores no espac¸o vetorial V tais que v = αv1 + βv2 + γv3 e
v = av1 + bv2 + cv3 com α 6= a. Mostre que v1, v2 e v3 sa˜o LD.
4) (15 pontos) Determine se o polinoˆmio p = t2 + 4t − 3 e´ combinac¸a˜o linear dos polinoˆmios
p1 = t
2 − 2t+ 5, p2 = 2t2 − 3t e p3 = t+ 3.
5) (20 pontos) Sejam v1 = (2, 0, 4, 0), v2 = (1, 0, 1, 0) e v3 = (1, 0, 4,−2) vetores do espac¸o vetorial
R4.
a) Determine uma base de [v1, v2, v3].
b) Complete a base obtida em a) para se obter uma base de R4.
6) (20 pontos) Determine uma base e a dimensa˜o do espac¸o-soluc¸a˜o do sistema de equac¸o˜es lineares
x + 2y − 2z − t + r = 0
x + y + z + t + 2r = 0
x + 2y + 3z + 2t = 0
.
1a Prova de A´lgebra Linear — Turma B — 29/04/2014
Prof. Lu´ıs Fernando Crocco Afonso
Gabarito
1) (15 pontos) Determine se R2 munido das operac¸o˜es
(x, y) + (x′, y′) = (0, 0)
α(x, y) = (αx, αy)
e´, ou na˜o, um espac¸o vetorial.
Uma Soluc¸a˜o
Observe que qualquer que seja (x, y) temos
(x, y) + (1, 0) = (0, 0) 6= (1, 0).
Assim, nenhum (x, y) faz o papel do vetor nulo. Logo, na˜o ha´ vetor nulo nesta operac¸a˜o, e, portanto,
R2 com estas operac¸o˜es na˜o e´ um espac¸o vetorial.
2) (15 pontos) Seja V o espac¸o das matrizes 2× 2. Determine se o conjunto
S = {A ∈ V ; A2 = A}
e´ um subespac¸o de V.
Uma Soluc¸a˜o
Observe que I =
[
1 0
0 1
]
∈ S pois I2 = I. Observe agora que 2I =
[
2 0
0 2
]
/∈ S pois
(2I)2 = 4I 6= 2I. Logo, S na˜o e´ um subespac¸o vetorial de V.
3) (15 pontos) Sejam v1, v2, v3 e v vetores no espac¸o vetorial V tais que v = αv1 + βv2 + γv3 e
v = av1 + bv2 + cv3 com α 6= a. Mostre que v1, v2 e v3 sa˜o LD.
Uma Soluc¸a˜o
Temos
av1 + bv2 + cv3 = αv1 + βv2 + γv3,
ou seja,
(a− α)v1 + (b− β)v2 + (c− γ)v3 = 0.
Logo, a equac¸a˜o xv1 + yv2 + zv3 = 0 possui a soluc¸a˜o x = a − α, y = b − β, z = c − γ . Como
a− α 6= 0 segue que v1, v2 e v3 sa˜o LD.
4) (15 pontos) Determine se o polinoˆmio p = t2 + 4t − 3 e´ combinac¸a˜o linear dos polinoˆmios
p1 = t
2 − 2t+ 5, p2 = 2t2 − 3t e p3 = t+ 3.
Uma Soluc¸a˜o
Consideremos a equac¸a˜o p = xp1 + yp2 + zp3, isto e´,
t2 + 4t− 3 = (x+ 2y)t2 + (−2x− 3y + z)t+ 5x+ 3z.
Ela e´ equivalente ao sistema 
x + 2y = 1
− 2x − 3y + z = 4
5x + 3z = −3
,
cuja soluc¸a˜o e´ x = −3, y = 2 e z = 4. Logo, p = −3p1 + 2p2 + 4p3 e p e´ combinac¸a˜o linear de p1, p2
e p3.
5) (20 pontos) Sejam v1 = (2, 0, 4, 0), v2 = (1, 0, 1, 0) e v3 = (1, 0, 4,−2) vetores do espac¸o vetorial
R4.
a) Determine uma base de [v1, v2, v3].
b) Complete a base obtida em a) para se obter uma base de R4.
Uma Soluc¸a˜o
a) Formamos a matriz M cujas linhas sa˜o os vetores v1, v2 e v3, isto e´,
M =
 2 0 4 01 0 1 0
1 0 4 −2
 .
A matriz escalonada reduzida equivalente a` matriz M e´ a matriz
N =
 1 0 0 00 0 1 0
0 0 0 1
 .
As linhas de N formam os vetores e1 = (1, 0, 0, 0), e3 = (0, 0, 1, 0) e e4 = (0, 0, 0, 1). Temos, enta˜o,
que
[v1, v2, v3] = [e1, e3, e4] = {(x, 0, z, w) ; x, z, w ∈ R}.
Claramente a dimensa˜o do subespac¸o [v1, v2, v3] e´ 3 e uma de suas bases e´ {e1, e3, e4}. (Outra
base e´ {v1, v2, v3}.)
b) Observando as colunas que conte´m os pivoˆs da matriz N verificamos que o vetor e2 = (0, 1, 0, 0) e´
tal que {e1, e2, v3, e4} e´ uma base de R4. (Caso se tenha utilizado a outra base do subespac¸o, ficamos
com {v1, v2, v3, e2}.
6) (20 pontos) Determine uma base e a dimensa˜o do espac¸o-soluc¸a˜o do sistema de equac¸o˜es lineares
x + 2y − 2z − t + r = 0
x + y + z + t + 2r = 0
x + 2y + 3z + 2t = 0
.
Uma Soluc¸a˜o
O sistema acima possui soluc¸a˜o 
x = −3
5
t− 19
5
r
y =
1
5
t+
8
5
r
z = −3
5
t+
1
5
r
t, r ∈ R
.
Logo, o espac¸o-soluc¸a˜o do sistema e´
S =
{(
−3
5
t− 19
5
r,
1
5
t+
8
5
r,−3
5
t+
1
5
r, t, r
)
t, r ∈ R
}
.
Uma base deste subespac¸o e´ {(−3, 1,−3, 5, 0), (−19, 8, 1, 0, 5)} e sua dimensa˜o e´ 2.