Aula 6 Cálculo da armadura longitudinal em vigas sob flexão normal

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P r o f e s s o r : R i c a r d o F o n s e c a d e O l i v e i r a
D i s c i p l i n a : E s t r u t u r a s d e C o n c r e t o
C u r s o : E n g e n h a r i a C i v i l
P a r a c a t u
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AULA 6 – CÁLCULO DA 
ARMADURA LONGITUDINAL EM 
VIGAS SOB FLEXÃO NORMAL
1) DUTILIDADE EM VIGAS
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 Item 17.2.3 NBR 6118: Necessidade de garantir boas
condições de dutilidade nas vigas;
 Respeitar os limites da Linha Neutra (L.N.);
 L.N. (x/d) ⇒ item 14.6.4.3, sendo adotada, se
necessário, armadura de compressão;
 Finalidade: proporcionar o adequado
comportamento dútil em vigas e lajes.
1.1) POSIÇÃO DA L.N.
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a)
𝑥
𝑑
≤ 0,45→ 𝑓𝑐𝑘 ≤ 50 𝑀𝑃𝑎 (Eq. 1)
a)
𝑥
𝑑
≤ 0,35→ 50 𝑀𝑃𝑎 < 𝑓𝑐𝑘 ≤ 90 𝑀𝑃𝑎
Quanto menor a relação x/d, maior é a dutilidade.
1.2) Nomenclatura
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 x = distância da L.N. até a borda comprimida;
 d = altura útil: distância do C.G. da armadura
tracionada até a borda comprimida;
 L.N. : local em que as tensões são nulas, não tenho
nem tração nem compressão.
2) EQUAÇÕES PARA CONCRETO ATÉ C50
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• Na prática ⇒ seção retangular;
• Viga com armadura simples ⇒ armadura longitudinal 
resistente tracionada;
• Questões construtivas: barras longitudinais na região 
comprimida, para amarração dos estribos;
• Armadura simples: tensões de compressão resistidas 
pelo concreto.
2.1) EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO
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 𝑁 = 0 𝑀 = 0
Figura 1 - Distribuição de tensões e deformações em viga de seção 
retangular com armadura simples. Válidos para os concretos do Grupo I 
de resistência (fck ≤50 MPa).
Distribuição de tensões de compressão segundo os 
diagramas parábola-retângulo e retangular simplificado
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Figura 2 - Distribuição de tensões de compressão segundo os diagramas 
parábola-retângulo e retangular simplificado
a) Equilíbrio de forças normais
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 Considerando: Flexão simples não ocorrem forças 
normais solicitantes:
𝑅𝑐𝑐 = 𝑅𝑠𝑡 (Eq. 2)
 𝑅𝑐𝑐 = Força resultante das tensões de compressão no 
concreto;
 𝑅𝑠𝑡 = Força resultante das tensões de tração na 
armadura 𝐴𝑠.
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 Resistência dos Materiais: σ =
𝐹
𝐴
𝑅𝑐𝑐 = σ𝑐𝑑 . 𝐴′𝑐
 Considerando área de concreto comprimido (𝐴′𝑐) ⇒ 
diagrama retangular simplificado com altura 0,8x:
𝑅𝑐𝑐 = 0,85. 𝑓𝑐𝑑 . 0,8. 𝑥. 𝑏𝑤
𝑅𝑐𝑐= 0,68. 𝑏𝑤. 𝑥.𝑓𝑐𝑑 (Eq. 3)
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 Força resultante das tensões de tração na armadura 
tracionada:
𝑅𝑠𝑡 = σ𝑠𝑑 . 𝐴𝑠 (Eq. 4)
σ𝑠𝑑 = tensão de cálculo na armadura tracionada;
𝐴𝑠 = área de aço da armadura tracionada.
b) Equilíbrio de Momentos Fletores
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𝑀𝑠𝑜𝑙𝑖𝑐 = 𝑀𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡 = 𝑀𝑑
 Forças resistentes: concreto comprimido e pela armadura
tracionada → binário oposto ao momento fletor solicitante:
𝑀𝑑= 𝑅𝑐𝑐 . 𝑧𝑐𝑐 (Eq. 5)
𝑀𝑑= 𝑅𝑠𝑡 . 𝑧𝑐𝑐 (Eq. 6)
 𝑅𝑐𝑐 . 𝑧𝑐𝑐 = momento interno resistente, proporcionado pelo
concreto comprimido;
 𝑅𝑠𝑡. 𝑧𝑐𝑐= o momento interno resistente, proporcionado pela
armadura tracionada.
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 Como 𝑧𝑐𝑐 = 𝑑 − 𝑜, 4. 𝑥 e aplicando a Eq. 3 na Eq. 5:
𝑀𝑑= 0,68. 𝑏𝑤. 𝑥. 𝑓𝑐𝑑 . 𝑑 − 0,4. 𝑥 (Eq. 7)
𝑏𝑤 = largura da seção;
𝑥 = posição da L.N.;
𝑓𝑐𝑑 = resistência de cálculo do concreto à compressão;
d = altura útil;
𝑀𝑑 =momento interno resistente proporcionado pelo 
concreto comprimido. 
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 Resolvendo a Eq. 7 temos:
𝑀𝑑= 0,68. 𝑏𝑤 . 𝑥. 𝑓𝑐𝑑 . 𝑑 − 0,4. 𝑥
𝑀𝑑= (0,68. 𝑥. 𝑑 − 0,272. 𝑥²). 𝑏𝑤. 𝑓𝑐𝑑
𝑥 =
0,68. 𝑑 ± 0,68. 𝑑 2 − 4.0,272.
𝑀𝑑
𝑏𝑤 . 𝑓𝑐𝑑
0,544
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 Substituindo a Eq. 4 na Eq. 6 tem-se o momento interno
resistente proporcionado pela armadura tracionada:
𝑀𝑑 = σ𝑠𝑑 . 𝐴𝑠. 𝑑 − 0,4. 𝑥 (𝐸𝑞. 8)
 Isolando a área da armadura tracionada:
𝐴𝑠 =
𝑀𝑑
σ𝑠𝑑.(𝑑−0,4.𝑥)
(𝐸𝑞. 9)
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 Equações 7 e 9: dimensionamento das seções
retangulares com armadura simples;
 Sete variáveis: fixam-se os materiais (concreto e aço)
e a seção transversal, e o momento fletor solicitante
geralmente é conhecido;
 Incógnitas: posição da linha neutra (x) e a área de
armadura (As).
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 Eq. 7 → posição x para a linha neutra, e comparando
x com os valores 𝑥2𝑙𝑖𝑚 𝑒 𝑥3𝑙𝑖𝑚 define-se qual o
domínio em que a viga se encontra (2, 3 ou 4):
⇒ Domínios 2 ou 3: tensão na armadura tracionada
(σ𝑠𝑑) = à máxima tensão possível (𝑓𝑦𝑑).
 Definidos x e σ𝑠𝑑 → calcula-se a área de armadura
tracionada (𝐴𝑠) com a Eq. 9.
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 Domínio 4 → alguma alteração deve ser feita de modo a
tornar 𝑥 ≤ 𝑥3𝑙𝑖𝑚 , e resultar, como consequência, o
domínio 2 ou o 3.
 Conforme a Eq. 7 verifica-se que para diminuir x pode-
se:
⇒ diminuir o valor do momento fletor solicitante (𝑀𝑑);
⇒ aumentar a largura ou a altura da viga (> d);
⇒ aumentar a resistência do concreto.
 Prática: aumento da altura da viga (h);
 Arquitetônico: dimensionar a seção com armadura
dupla.
c) Permanência da seção plana
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 Diagrama de deformações na Figura 1 ⇒ define-se a
relação entre as deformações de cálculo na armadura
(ε𝑠𝑑 ) e no concreto correspondente à fibra mais
comprimida:
ε𝑐𝑑
𝑥
=
ε𝑠𝑑
𝑑 −𝑥
𝐸𝑞. 10
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 Considerando-se a variável β𝑥 , que relaciona a
posição da linha neutra com a altura útil d, tem-se:
β𝑥=
𝑥
𝑑
𝐸𝑞. 11
 Substituindo x por β𝑥. 𝑑 na Eq. 10 tem-se:
β𝑥=
ε𝑐𝑑
ε𝑐𝑑+ε𝑠𝑑
𝐸𝑞. 12
3) CÁLCULO MEDIANTE EQUAÇÕES COM 
COEFICIENTE K
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 Facilitar o cálculo manual: dimensionamento utilizando
tabelas com coeficiente k;
 Para diferentes posições da L.N. (β𝑥 = 𝑥/𝑑) ⇒ Tabelados
coeficientes 𝑘𝑐 𝑒 𝑘𝑠, relativos à resistência do concreto e à
tensão na armadura tracionada;
 Tabela A-1: Aço CA-50;
 Tabela A-2: Todos os aços aplicados ao concreto armado do
Grupo I (fck ≤ 50 MPa).
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 Considerando a eq. 7, e substituindo x por β𝑥 . 𝑑 tem-
se:
𝑀𝑑= 0,68. 𝑏𝑤 . 𝑥. 𝑓𝑐𝑑 . 𝑑 − 0,4. 𝑥
𝑀𝑑= 0,68. 𝑏𝑤 . (β𝑥. 𝑑). 𝑓𝑐𝑑 . 𝑑 − 0,4. (β𝑥. 𝑑)
𝑀𝑑= 0,68. 𝑏𝑤 . β𝑥 . 𝑑². 𝑓𝑐𝑑 . 1 − 0,4. β𝑥
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 Introduzindo o coeficiente 𝑘𝑐:
𝑀𝑑 =
𝑏𝑤. 𝑑²
𝑘𝑐
1
𝑘𝑐
= 0,68. β𝑥 . 𝑓𝑐𝑑 . 1 − 0,4. β𝑥 (Eq. 13)
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 Isolando o coeficiente 𝑘𝑐 tem-se:
𝑘𝑐 =
𝑏𝑤.𝑑²
𝑀𝑑
(Eq. 14)
 𝑘𝑐: tabelas A-1 e A-2;
 Eq. 9 ⇒ 𝑘𝑐 depende da resistência do concreto à
compressão (𝑓𝑐𝑑 ) e da posição da linha neutra,
expressa pela variável β𝑥 .
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 O coeficiente tabelado 𝑘𝑠 é definido substituindo-se x 
por β𝑥. 𝑑 na Eq. 9:
𝐴𝑠 =
𝑀𝑑
σ𝑠𝑑.(𝑑−0,4.𝑥)
⇒𝐴𝑠 =
𝑀𝑑
σ𝑠𝑑.(𝑑−0,4.(β𝑥.𝑑))
⇒
𝐴𝑠 =
𝑀𝑑
σ𝑠𝑑 . 1 − 0,4. β𝑥 . 𝑑
𝑘𝑠 =
1
σ𝑠𝑑 . 1 − 0,4. β𝑥
(Eq. 15)
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 A área de armadura tracionada 𝐴𝑠, em função do coeficiente 𝑘𝑠 é:
𝐴𝑠 = 𝑘𝑠.
𝑀𝑑
𝑑
(Eq. 16)
 𝑘𝑠 → Tabela A-1 e na Tabela A-2. 
 𝑘𝑠 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒 → tensão na armadura tracionada (σ𝑠𝑑) e da posição da
linha neutra, expressapor β𝑥 ;
 É muito importante observar que os coeficientes K foram calculados
considerando as unidades de kN e cm, de modo que as variáveis
mostradas na Eq. 14 e na Eq. 16 (𝑏𝑤 , d,𝑀𝑑 ) devem ter essas
unidades.
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Vigas: Problemas a serem resolvidos
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 Dimensionamento: consiste em se determinar qual a
armadura necessária para uma viga, sendo previamente
conhecidos: os materiais, a seção transversal e o momento
fletor solicitante. Feito durante a fase de projeto das
estruturas.
 Verificação: a incógnita principal é o máximo momento
fletor que a seção pode resistir. Ocorrem quando a viga
pertence a uma construção já executada e em utilização, e se
deseja conhecer a capacidade de carga de uma viga. Para isso
é necessário conhecer os materiais que compõem a viga, como
a classe do concreto (fck), o tipo de aço, a quantidade de
armadura e o seu posicionamento na seção transversal, as
dimensões da seção transversal, etc.
REFERÊNCIAS
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 Carvalho, Roberto Chust. Cálculo e detalhamento de estruturas
usuais de concreto armado: segundo a NBR 6118: 2014 / Roberto
Chust Carvalho, Jasson Rodrigues de Figueiredo Filho. 4ª edição. São
Carlos: EDUFSCAR, 2014.
 Pinheiro, Libânio M. Apostila: Fundamentos do concreto e projeto
de edifícios. Universidade de São Paulo. Escola de Engenharia de São
Carlos.
 Bastos, Paulo Sérgio dos Santos. Estruturas de concreto armado.
Universidade Estadual Paulista. UNESP.
 ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Projeto de
estruturas de concreto – Procedimento. NBR 6118, ABNT, 2014,
238p.
 Material de uso particular.