Aula de Exercicios de Geometria Analitica

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EXERCÍCIOS SOBRE GEOMETRIA ANALÍTICA
QUESTÃO 1
Demonstre que o triângulo de vértices A(8 , 2), B(3 , 7) e C(2 , 1) é isósceles. Em seguida, calcule seu perímetro.
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QUESTÃO 2
Quais são os possíveis valores de c para que os pontos (c , 3), (2 , c) e (14, -3) sejam colineares?
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QUESTÃO 3
. Determine o valor de x para que o ponto M(2 , 3) seja o ponto médio do segmento de extremos A(x , 5) e B(3 , x).
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QUESTÃO 4
(Fuvest-SP)
Se (m+2n , m – 4) e (2 – m , 2n) representam o mesmo ponto do plano cartesiano, então mn é igual a:
a) – 2      
b) 0        
c) √2        
d) 1        
e) ½ 
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QUESTÃO 5
(FEI-SP)
Num sistema de coordenadas cartesianas são dados os pontos A(0 , 0) e P(3 , h). Assinale a alternativa cuja expressão representa a distância do ponto P ao ponto A em função de h.
a) d=√(9+h2 )       
b) d=h+3      
c) d=3h    
d) d= √(9+6h+h2 )   
e) d=9+h
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RESPOSTAS
Questão 1
Para demonstrar que o triângulo ABC é isósceles se faz necessário mostrar que ele possui dois lados com a mesma medida. Assim, vamos calcular a distância entres seus vértices, que será a medida de cada lado.
Agora, vamos calcular o seu perímetro. Lembrando que perímetro é a soma das medidas dos lados e é representado por 2P, temos:
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Questão 2
Questão 3
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Questão 4
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Questão 5
 
Prova Resolvida PM Pará – Questão 22. Os pontos (2,3), (5,3) e (2,7) são vértices de um triângulo retângulo. A área desse triângulo é:
a) 5 u.a
b) 6 u.a
c) 7 u.a
d) 8 u.a
e) 9 u.a
 
Resolução:
Desenhando o triângulo do plano cartesiano:
 
Fórmula para cálculo de área:
A = base x altura / 2
base = 5 – 2 = 3
altura = 7 – 3 = 4
A = 3.4/2 = 6
 
 
Exatus – CFO ES 2013 – Questão 76. Sendo “S” denominada de área do polígono determinado pelas coordenadas cartesianas dos pontos A(5,0), B(2,3), C(1,0) e D(6,5), qual o valor de S?
 
 
Resolução:
Para resolver a questão vamos alongar o lado BD até o eixo x, encontrando o ponto E (-4, 0), veja figura.
 
 
Veja que a área procurada é a diferença das áreas dos triângulos AED e EBC.
Área do triângulo AED:
A = 9×5/2 = 45/2 = 22,5
 
Área do triângulo EBC:
A = 5×3/2 = 15/2 = 7,5
 
Temos então 22,5 – 7,5 = 15
 
 
Prova Resolvida PM ES 2013 – Exatus – Questão 57. Clarence desenhou o triângulo determinado pelas coordenadas dos pontos cartesianos A(7;5), B(3;2) e C(7;2). Ao calcular a área e o perímetro desse triângulo, os valores obtidos foram, respectivamente:
a) 3 e 3
b) 3 e 6
c) 6 e 6
d) 6 e 12
e) 12 e 12
 
Resolução:
Pela figura, temos um triângulo retângulo com BC = 4 e AC = 3. Vamos descobrir AB usanto teorema de pitágoras:
AB² = 4² + 3²
AB² = 16 + 9
AB² = 25
AB = 5
Perímetro = 3 + 4 + 5 = 12
Área = 3×4/2 = 6
 
 
 
Prova Resolvida PM Paraná 2010 – Cops – Questão 12. Considere uma colisão de dois veículos. Num sistema de coordenadas cartesianas, as posições finais destes veículos após a colisão são dadas nos pontos A = (2,2) e B = (4, 1). Para compreender como ocorreu a colisão é importante determinar a trajetória retilínea que passa pelos pontos A e B.
Essa trajetória é dada pela equação:
a) x – y = 0
b) x + y – 5 = 0
c) x – 2y + 2 = 0
d) 2x + 2y – 8 = 0
e) x + 2y – 6 = 0
 
Resolução:
 
Devemos calcular o determinante entre os pontos P(x,y),  A(2,2)  e  B(4,1):
|  x    y   1  |   x   y
|  2    2   1  |   2   2
| 4     1   1  |   4   1
 
Fazendo o produto das diagonais principais menos o produto das diagonais secundárias:
2x + 4y + 2 – 8 – x – 2y = 0
x + 2y – 6 = 0
Exercícios Sobre Distância Entre Dois Pontos
Qual é a distância entre os pontos A e B, em centímetros, sabendo que suas coordenadas são A = (2,3) e B = (-2,-2)?
a) 41 cm
b) 6 cm
c) 49 cm
d) 41,5 cm
e) 6,4 cm
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Questão 2
Determine a área, em metros quadrados, do triângulo a seguir, sabendo que ele é retângulo em B.
Triângulo retângulo em B
a) 2 m2
b) 5,66 m2
c) 2,83 m2
d) 8 m2
e) 9 m2
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Questão 3
(Cesgranrio) A área do triângulo, cujos vértices são (1, 2), (3, 4) e (4, -1), é igual a:
a) 6.
b) 8.
c) 9.
d) 10.
e) 12.
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Questão 4
(PUC) O ponto B = (3, b) é equidistante dos pontos A = (6, 0) e C = (0, 6). Logo, o ponto B é:
a) (3, 1).
b) (3, 6).
c) (3, 3).
d) (3, 2).
e) (3, 0).
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Respostas
Resposta Questão 1
Basta utilizar a fórmula para Distância entre dois pontos. Observe:
Gabarito: Letra E.
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Resposta Questão 2
Calcule as distâncias entre B e C (dBC) e entre B e A (dBA), que são a base e a altura desse triângulo, uma vez que ele é retângulo em B.
Primeiramente, calcularemos dBC:
Agora, calcularemos dBA:
Para finalizar o exercício, basta calcular a área desse triângulo, lembrando que a área de um triângulo pode ser calculada multiplicando sua base por sua altura e dividindo o resultado por 2:
Gabarito: Letra D.
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Resposta Questão 3
Primeiro, desenharemos o triângulo e mostraremos que um de seus ângulos é reto. Caso um dos ângulos do triângulo não seja reto, é necessário descobrir sua altura, o que pode ser feito utilizando distância entre ponto e reta.
Observe que possivelmente o ângulo A é um ângulo reto. Caso isso ocorra, AB já é a altura do triângulo com relação à base AC. Para garantir isso, basta calcular os coeficientes angulares de AB e de AC. Caso o coeficiente angular de AB seja o “inverso do oposto” do coeficiente angular de AC, então AC e AB são perpendiculares e A é um ângulo reto.
Primeiramente, o coeficiente angular de AC:
Agora, o coeficiente angular de AB:
Os coeficientes angulares são inversos e opostos. Logo, AC é perpendicular a AB. Assim, AB é a altura do triângulo ABC, enquanto AC é a base. Para calcular a área desse triângulo, é necessário calcular antes os comprimentos de sua base e altura, que são os segmentos perpendiculares AC e AB. Para tanto, utilizaremos a fórmula da distância entre dois pontos. Observe:
Cálculo da altura do triângulo ABC:
Cálculo da base do triângulo ABC:
Agora, basta calcular a área do triângulo ABC, sabendo que sua base mede aproximadamente 4,2 e sua altura mede aproximadamente 2,8.
Como os valores das distâncias foram arredondados para baixo, então o valor obtido na área é um pouco menor que 6. Logo, conforme as alternativas de resposta, a área desse triângulo é 6.
Gabarito: Letra A.
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Resposta Questão 4
Para resolver esse exercício, basta resolver a equação dAB = dBC. Antes disso, porém, calcularemos dAB e dBC separadamente e elevaremos seus resultados ao quadrado. Primeiramente, a distância entre A e B:
Agora, a distância entre B e C:
O resultado final é obtido resolvendo a equação gerada por (dAB)2 = (dBC)2. Observe:
Gabarito: Letra C