Aulas-RESMAT 1- Alunos

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Resistência dos Materiais 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
APONTAMENTOS DE AULA 
 
 
 
 Prof. Ricardo Karvat 
 
 
 
fevereiro 2008 
 
 
 
 
Departamento Acadêmico de Construção Civil
 
Curso Técnico em Construção Civil
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
PR 
 1
 
1. ESFORÇOS 
 
ESTRUTURAS: 
 
 
Estrutura é todo conjunto de peças resistentes, convenientemente associadas, sendo que o conjunto 
além de sofrer a ação do peso próprio, pode estar sujeito a ação de esforços externos, os quais são 
devidamente distribuídos entre as peças deste conjunto. 
 
 
PEÇAS OU ELEMENTOS ESTRUTURAIS: 
 
 
Peça ou elemento estrutural é todo o sólido capaz de receber e transmitir esforços ( Cargas ). 
 
1. ESCORA: é o caso particular de pilar, bastante delgados e com cargas concentradas. Não resiste 
a esforços transversais e trabalha sempre a compressão. 
 
2. TIRANTE: é delgado e com cargas concentradas. Não resiste a esforços transversais e trabalha 
a tração. 
 
3. VIGA: Na estática, entende-se por viga o elemento estrutural solicitado por forças 
perpendiculares ao seu eixo longitudinal. ( trabalha a flexão ). 
 
4. PILAR: é a haste gerada como uma viga, com cargas atuando paralelamente ao eixo 
longitudinal. ( trabalha a compressão) 
 
 
CLASSIFICAÇÃO DAS CARGAS: 
 
a) Conforme a maneira de atuar: 
 
a1) relativamente ao tempo: 
1. Cargas permanentes: atuam de modo permanente na estrutura, com intensidade e posição 
 definidas, como por exemplo o peso próprio dos elementos estruturais. 
 
2. Cargas acidentais ( sobrecargas ): atuam eventualmente na estrutura, como por exemplo o efeito 
 do vento, ou a presença de um veículo em uma ponte. 
 
a2) Relativamente ao espaço e tempo: 
1. Cargas fixas: são imutáveis em relação ao tempo 
2. Cargas móveis: são cargas que se deslocam sobre a estrutura. 
 
b) Conforme a sua aplicação: 
1. Cargas estáticas: são aplicadas gradualmente na estrutura, crescendo até atingir um valor final 
constante, como por exemplo a construção de uma parede sobre uma viga. 
2. Cargas dinâmicas: são aplicadas subitamente nas estruturas, com o seu valor máximo podendo 
ser:intermitentes ou oscilantes. 
2.1. Intermitentes: são cargas cujo valor cresce bruscamente de zero a um valor máximo ( impacto ). 
2.2. Oscilantes: O valor da carga oscila de um máximo a um mínimo. 
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 2 
3. Cargas de sujeição: São relacionadas às propriedades físicas dos materiais como por exemplo o 
efeito de temperatura. 
4. Outras: Retração e deformação lenta das peças de concreto, recalques diferenciais das 
fundações, etc. 
 
c) Conforme a sua atuação: 
1. Diretas: Atuam diretamente na estrutura 
2. Indiretas: A carga é transmitida à estrutura através de outro elemento estrutural. 
 
d) Conforme o seu tipo: 
1. Concentradas: Suponhamos a roda de um caminhão, descarregando um carga “P” sobre uma 
ponte. 
 
Esta carga “P”será descarregada ao longo da área de contato da roda com a ponte, que é bastante 
pequena, mas não nula. Não haverá então, a aplicação rigorosa de uma carga concentrada “P”na 
estrutura, mas a aplicação de uma carga distribuída, segundo um área tão pequena, que poderemos 
considerá-la nula em presença das dimensões da estrutura. Podemos então, por facilidades de 
cálculo, considerar esta carga como sendo aplicada em um ponto. 
• Cargas concentradas: 
Quando a carga é aplicada em um único ponto. Unidade: N, tf, kgf, etc. 
 
 Modelo Representação 
 
 P 
 ↓ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 3
2. Distribuídas: São cargas que se distribuem em uma ou duas direções. 
2.1. Carga uniformemente distribuída: 
Quando a carga é aplicada ao longo de um elemento estrutural, podendo distribuir-se em uma 
direção (unidade: N / m , tf / m, kgf / m, etc.) ou em duas direções (unidade: N / m2 , tf / m2, kgf / 
m2, etc. 
 
 
 
2.2. Carga triangular: 
 
 
2.3 Carga trapezoidal: 
 
 
2.4 Carga de variação qualquer: 
 
 
3.Carga momento: 
3.1 Carga momento Concentrada: 
 
 
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 4 
32 Carga momento Distribuída: 
 
 
 
 
CLASSIFICAÇÃO GERAL DOS ESFORÇOS 
 
Seja um prisma qualquer (elemento estrutural ) o qual está sujeito a ação das cargas externas P1, P2, 
..., Pn, que são equilibradas pelas reações de apoio. 
 
 
É sabido que para efeitos de cálculo, podemos substituir a parte da direita as seção “ABCD” pelo 
efeito que a mesma causa sobre a parte da esquerda, ou seja, pela resultante das projeções no plano 
da seção, pela resultante das projeções normais ao plano da seção, pelo momento resultante no 
plano da seção e pelo momento resultante normal ao plano da seção, aos quais chamamos 
respectivamente de: ESFORÇO CORTANTE ( Q ), ESFORÇO NORMAL ( N ), MOMENTO 
TORÇOR ( Mt ) e MOMENTO FLETOR ( M ). 
 
a) ESFORÇO NORMAL: É a soma algébrica das projeções normais ao plano da seção, de todas as 
forças que atuam em uma qualquer das duas partes da estrutura, que se limita na seção considerada. 
 
 
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b) ESFORÇO CORTANTE: É a soma algébrica das projeções paralelas ao plano da seção, de todas 
as forças que atuam em uma qualquer das duas partes da estrutura, que se limita na seção 
considerada. 
 
c) MOMENTO FLETOR: É a soma algébrica dos momentos em relação ao centro de gravidada da 
seção, de todos os esforços que atuam em uma qualquer das duas partes da estrutura, que se limita 
na seção considerada. 
 
 
d) MOMENTO TORÇOR: É a soma algébrica dos momentos em relação a um eixo normal ao 
plano da seção que passa pelo centro de gravidada, de todas as forças que atuam em uma qualquer 
das duas partes da estrutura, que se limita na seção considerada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CLASSIFICAÇÃO DOS ESFORÇOS 
 
 
1. Externos: 
1.1. Ativos – São representados pelas cargas que atuam sobre as estruturas. 
1.2. Reativos – São representados pelas Reações de Apoio. 
 
2. Internos 
2.1. Solicitantes 
2.1.1 Esforço Normal 
2.1.2. Esforço Cortante 
2.1.3. Momento Fletor 
2.1.4. Momento Torçor 
 
2.2. Tensões 
2.2.1. Tensões Normais – São as tensões produzidas pelo esforço normal na seção considerada. 
 σ = N / A 
 
2.2.2. Tensões cisalhantes – São as tensões produzidas pelo esforço cortante 
 τ = Q / A 
 
 
ELEMENTOS ESTRUTURAIS 
 
• Representação dos elementos estruturais 
 
Os elementos estruturais são representados pelo seu eixo longitudinal e os elementos de 
apoio pelas suas respectivas representações. 
 
 
 VIGA 
 
 
 
 
 PILAR PILARKarvat fevereiro - 2008 
 
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7
• Elementos de apoio: 
 
Sendo que no plano tem-se três movimentos: translação ( movimento vertical e movimento 
horizontal ) e rotação, então, apoio é qualquer elemento estrutural que impede pelo menos um 
destes movimentos. 
 
 
• Apoio articulado móvel 
 
• Apoio articulado fixo 
 
 
• Engastamento 
 
 8 
 
• Vigas estaticamente determinadas e estaticamente indeterminadas: 
 
 
 
Equações de equilíbrio da estática: 
 
 
Σ H = 0 → significa que o elemento estrutural ou a estrutura não possui movimento horizontal. 
 
Σ V = 0 → significa que o elemento estrutural ou a estrutura não possui movimento vertical. 
 
Σ M = 0 → significa que o elemento estrutural ou a estrutura não possui movimento rotacional. 
 
 
 
 
• Vigas estaticamente determinadas: 
 
• Vigas hipostáticas 
 
Quando o número de incógnitas (reações de apoio) é menor que o número de equações da estática. 
 
 
 
• Vigas isostáticas 
 
Quando o número de incógnitas (reações de apoio) é igual ao número de equações da estática. 
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• Vigas estaticamente indeterminadas: 
 
• Vigas hiperestáticas 
 
Quando o número de incógnitas (reações de apoio) é maior que o número de equações da estática. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2. TENSÃO X DEFORMAÇÃO 
 
 
Introdução: 
 
No ensaio de tração estudado para o aço doce, mostra que não se ultrapassando certo limite, os 
alongamentos são proporcionais aos esforços aplicados, e mais, que para um dado esforço, os 
alongamentos são diretamente proporcionais ao comprimento da peça e inversamente proporcionais 
à área da seção transversal. 
 
 
GRÁFICO TENSÃO X DEFORMAÇÃO: 
 
 
 
1. Ponto “A”: Limite de Proporcionalidade – a deformação é proporcional à tensão até o ponto 
“A”. 
 
2. Ponto “B”: Limite de elasticidade – até este ponto o material comporta-se de modo que se a 
força for cessada, o material volta ao ponto de partida pelo mesmo caminho. 
 
3. Ponto “C”: Limite de escoamento – o material começa a sofrer desarranjo estrutural. Os 
alongamentos crescem rapidamente sem que seja necessário um aumento de carga. 
 
4. Trecho “CD”: Patamar de escoamento – neste trecho o material comporta-se 
desordenadamente. 
 
5. Ponto “1”: se cessarmos a tensão no material, este volta pelo caminho “1 → 2” sofrendo uma 
deformação permanente. 
 
6. Trecho “AB”: Período elástico 
 
7. Trecho “BR” Período semiplástico 
 
8. Trecho “RR’ ” Período plástico 
 
9. Trecho “O 2 ” Deformação permanente 
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10. Trecho “2 1” Deformação elástica 
 
11. Ponto “R”: Limite de carga máxima 
 
12. Ponto “R’ ”: Ponto de rotura: neste ponto o material rompe-se 
 
 
 
Lei de HOOKE: 
 
 l = comprimento inicial 
 σ E = módulo de elasticidade 
 ε2 E = módulo de Young 
 ∆l = deformação 
 ε1 ε = deformação específica 
 σ2 N = esforço normal 
 A = área da seção transversal 
 σ1 
 θ 
 ε 
 
 
 
1
2
1
2
σ
σ
ε
ε = ε α E α = 1 / E 
 
E = tg θ = σ / ε → ε = σ / E (1) lei de HOOKE 
 
ε = ∆l / l σ = N / A 
 
substituindo em (1) tem-se: ∆l / l = σ / E → ∆l / l = N / A.E 
 
∆l = 
EA
N
.
.l ou ∆l = σ.l / E 
 
 
 
Módulo de Elasticidade para alguns materiais: 
 
Eaço = 2.100.000 kgf / cm2
Eferro = 1.000.000 kgf / cm2
Ebronze = 1.200.000 kgf / cm2
Elatão = 800.000 kgf / cm2
Ealumínio = 2.100.000 kgf / cm2
Econcreto = 210.000 kgf / cm2
 
 
 
 
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EFEITO DA TEMPERATURA: 
 
 
∆l = α0 . l . ∆t 
 
sendo: α0 = Coeficiente de Dilatação Linear 
 ∆l = variação do comprimento ( deformação ) 
 l = comprimento inicial 
 ∆t = variação de temperatura em graus centígrados 
 
 
Coeficiente de dilatação Linear de alguns materiais: 
 
α0 aço = 0,000.012 / oC 
α0 cobre = 0,000.018 / oC 
α0 latão = 0,000.012 / oC 
α0 alumínio = 0,000.024 / oC 
α0 concreto = 0,000.010 / oC 
 
 
 
ELASTICIDADE E PLASTICIDADE DOS MATERIAIS 
 
 
• Introdução: 
Nenhum material de construção é perfeitamente rígido, cedendo mais ou menos sob a 
influência das cargas (alongamento, encurtamento, flexão, torção e escorregamento). 
Exige-se por isso que as deformações permaneçam tão pequenas que não sejam 
visíveis, não constituindo inconveniente para as obras. 
 
 
• Elasticidade: é a propriedade que tem os corpos de armazenar sob forma de energia potencial 
interna o trabalho mecânico de deformação, devolvendo esta energia total ou 
parcialmente quando desaparece a causa que gerou a deformação. 
 
 
• Quando a energia potencial interna é devolvida inteiramente sob a forma de trabalho mecânico, 
diz-se que o corpo que sofreu deformação é perfeitamente elástico, ou seja, se cessada a 
aplicação da força, o corpo retorna a forma original, diz-se que o material que o constitui é 
elástico. 
 
 antes da aplicação da força 
 
 
N N durante a aplicação da força 
 
 cessada aplicação da força 
 
 
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• Se a restituição de energia potencial interna sob a forma de trabalho mecânico for parcial, diz-se 
que o material é semi-elástico, ou seja, se cessada a aplicação da força que o deformou 
verificarmos que a deformação deixou resíduos, diz-se que o material que o constitui é semi-
elástico. 
 
 antes da aplicação da força 
 
 
N N durante a aplicação da forçacessada aplicação da força 
 
 ∆l 
 
 
 
• Se não houver restituição de energia potencial interna sob a forma de trabalho mecânico, diz-se 
que o material é plástico, ou seja, se cessada a aplicação da força que o deformou verificarmos 
que este permanece deformado. 
 
 antes da aplicação da força 
 
 
N N durante a aplicação da força 
 
 cessada aplicação da força 
 
 ∆l 
 
 
 
• Trabalho de deformação: é o trabalho mecânico desenvolvido pelas forças externas, para fazer 
um corpo chegar a um estado de deformação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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TENSÕES 
 
 
 
• Ductibilidade: denomina-se ductibilidade a capacidade do material de se deformar sob a ação de 
cargas. 
 
 
• Fragilidade: é o oposto da ductibilidade, ou seja, o material rompe-se sem que haja grandes 
deformações.. 
 
 
• Tensões(σ): Nas aplicações estruturais, umas das grandezas mais utilizadas são as tensões. 
 
 
 N. N 
 seção transversal (A) 
 
 
Consideremos na figura acima, uma haste reta solicitada por um esforço de tração “N” aplicado na 
direção do eixo da peça. Esse estado de solicitação chama-se tração simples. 
Dividindo-se a força “N” pela área da seção transversal “A” obtemos a tensão “σ”. 
 
 
A
N=σ 
 
 
No exemplo acima (tração simples) as tensões são iguais em todos os pontos da seção. 
 
 
• Diagrama “Tensão X deformação” de um material dúctil: 
 
 
 σ 
 
σR 
 σe 
 σadm 
 
 
 ε 
 
 
• Tensão admissível (σadm): é a tensão máxima que pode ser considerada no material, fixada em 
cada caso particular, cuja finalidade é o dimensionamento. 
 
 σadm = σe / s sendo “s” o coeficiente de segurança. 
 
 
 
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• Diagrama “Tensão X deformação” de um material frágil: 
 
 σ 
 
 
 σR 
 σadm 
 
 
 ε 
 
 
• Tensão admissível (σadm): 
 
 σadm = σR / s sendo “s” o coeficiente de segurança. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2.1 Calcular a tensão na barra abaixo figurada: 
 
 
 N = 5 tf 
 
 A = 10 cm2 
 
 σ = ? 
 
 N 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.2 Dimensionar a barra abaixo figurada: 
 dados: 
 
 seção N = 20 tf 
 σadm = 800 kgf / cm2 
 a 
 
 2a 
 
 
 N 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2.3 Qual a carga máxima que pode resistir o pilar abaixo figurada? 
 N = ? 
 a = 5 cm 
 seção σadm = 50 kgf / cm2
 
 a a 
 
 a 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.4 Calcular a deformação da barra abaixo figurada: 
 
 A = 6,0 cm2 
 E = 2.100.000 kgf / cm2 
 ℓ ℓ = 100 cm 
 
 
 
 
 N = 2,5 tf 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2.5 Calcular a deformação total da barra abaixo figurada: 
 
 Q Q = 5.000 kgf
 A P = 2.500 kgf 
 ℓ/3 E = 2.100.000 kgf / cm2 
 B P ℓ ℓ = 75 cm 
 ℓ/3 P A = 6,0 cm2
 C 
 ℓ/3 
 D 
 Q 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.6 A força total de uma viga conforme esquema, sobre o seu apoio é de 800 kgf. Calcular o 
comprimento “x” do apoio, sabendo-se que este é de alvenaria cuja tensão admissível é 
 σadm = 5,0 kgf / cm2. 
 
 
 P = 800 kgf 
 
 
 
 
 b = 30 cm 
 
 
 x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2.7 Uma barra de aço de 3,0 m de comprimento sofre um aumento de temperatura de 15 oC. 
Calcular o comprimento da barra após o aumento da temperatura, sabendo-se que o coef. de dil. 
linear do aço é α = 0,000.012 / oC. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.8 Uma barra de aço de 5,0 m de comprimento e 15 cm2 de seção transversal encontra-se instalada 
entre dois muros de alvenaria. Qual a força que a barra exercerá sobre a alvenaria e qual deverá 
ser a seção extrema da barra para que esta não esmague a alvenaria quando a temperatura variar 
de 10o C para 20o C? 
 
 a 
 
 a 
 
 
Dados: 
αaço = 0,000.012 / oC 
Eaço = 2.100.000 kgf / cm2
σadm alvenaria = 5,0 kgf / cm2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2.9 Dimensionar as barras de sustentação abaixo figuradas ( diâmetro (d) da seção “A” e lado (a) 
da seção “B”: 
 
 
 seção A seção B σadm = 800 kgf / cm2
 P = 25 tf 
 AB 
 
 
 P = 25 tf 
 
 
 j k l 
 3,0 m 5,0 m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.10 Para os mesmos dados do exercício 4.9 considerar “ℓ” e “E” iguais para os dois tirantes. 
Qual deve ser a relação entre as áreas “AA e AB” para que a barra “jl” permaneça na 
horizontal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.11 Para os mesmos dados e resultados das seções do exercício 4.9 considerar “ℓ” , “E” e “α” 
iguais para os dois tirantes. 
Supondo não haver variação de temperatura na barra “Bℓ”, qual deverá ser a variação de 
temperatura na barra “Aj” para que a barra “jℓ” permaneça na horizontal e sendo 
αA = 0,000 012 /oC E = 2 100 000 kgf/cm2
 
 
 
 
 
 
 
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2.12 Qual o máximo valor de “P” para que a parede resista com segurança e de quanto deve 
variar a temperatura da barra vertical para que a barra “A-B” permaneça na horizontal? 
 
 P = ? Dados: 
 4,0 m 5,0 m σadm alvenaria = 5,0 kgf / cm2
 αaço = 0,000.012 / oC 
 A C B Eaço = 2.100.000 kgf / cm2
 
 A = 10 cm2
 20 x 20 cm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.13 Para os mesmos dados do exercício 4.12 e sendo ℓ=1,0 m, qual deve ser a variação de 
temperatura para que a variação de comprimento seja igual a 0,002 cm? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2.14 Calcular a altura “h”do nível d’água que pode suportar a estrutura abaixo figurada e 
dimensionar os pilares para essa altura de água. 
Obs.: Desprezar o peso da estrutura. 
 
 50 cm 
 
 
 50 cm 
 
 h 
 2,0 m 
 
 
 
 3,0 m 
 
 a x a 
 
 
 “CORTE” “PLANTA” 
DADOS: 
σadm terreno = 0,95 kgf / cm2
σadm pilar = 150 kgf / cm2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2.15 Para os mesmos dados do exercício “4.14” Calcular a altura “h”do nível d’água sendo o peso 
da estrutura igual a 3,0 tf. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.16 Para os mesmos dados do exercício “4.14” Calcular a dimensão das sapatas para uma altura 
“h= 1,6 m” do nível d’água e sendo o peso da estrutura igual a 3,0 tf. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2.17 Qual a carga “N” necessária para causar um alongamento de 0,015 cm no tirante “1”, quando 
se aplica simultaneamente uma diminuição de temperatura de 10o C? 
 
 
 N = ? 
 ∆ℓ = 0,015 cm 
 A C B 
 
 
 1 ℓ = 5,0 m 
 
 
 
 
 2,0 m 3,0 m 
 
 
Dados: 
αo = 0,000 015 / o C 
E = 2 100 000 kgf/cm2
Área A1 = 6,5 cm2
∆t = -10oC 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3. CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE SUPERFÍCIES PLANAS 
 
 
• Baricentro geométrico: 
 
• Maneira prática de se determinar o baricentro geométrico: 
 
 
 1 2 
 
 
 1 
 2 
 
 
 
 fio de prumo fio de prumo 
 
 
O Centro de Gravidade está na intersecção das linhas delimitadas pelo fio de prumo. 
 
 
• Regras de Arquimedes: 
 
• a) Se um corpo admite um eixo de simetria, o centro de gravidade estará obrigatoriamente sobre 
este eixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• b) Se um corpo admite um centro de simetria, o centro de gravidade obrigatoriamente coincide 
com este centro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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• Centro de gravidade de superfícies: 
 
 
Def.: Centro de Gravidade de uma superfície plana é o ponto em torno do qual a área daquela 
superfície está igualmente distribuída. 
 
 y 
 
 
 y1
 
 y3
 Yg y2
 
 
 y4
 
 
 O x 
 x2 x1 x4 x3 
 Xg
 
 
Sendo: 
A1, A2, ..., An → área de cada partícula, 
 
A = A1 + A2 + ... + An → área total da superfície 
 
Temos: 
 
Xg . A = x1 . A1 + x2 . A2 + ... + xn . An
 
Xg = ( x1 . A1 + x2 . A2 + ... + xn . An ) / A 
 
e 
 
Yg . A = y1 . A1 + y2 . A2 + ... + yn . An
 
Yg = ( y1 . A1 + y2 . A2 + ... + yn . An ) / A 
 
Onde: 
Xg é a abcissa do centro de gravidade da superfície 
Yg é a ordenada do centro de gravidade da superfície 
 
Eixos Baricentrais: São os eixos paralelos aos eixos de referência ( X e Y ) para os quais Xg = zero 
e Yg = zero. 
 
 
 
 
 
Karvat fevereiro - 2008 
 27
 
• Momento de inércia de superfícies planas 
 
o Momento de Inércia (Jx e Jy ) ou ( Ix e Iy ) é a propriedade das superfíciesplanas de se deixarem 
girar em torno de um eixo. Quanto maior for a oposição a este giro, maior será o Momento de 
Inércia relativamente ao eixo de referência. O Momento de Inércia relaciona a área da superfície 
com o quadrado da distância em relação a um eixo de referência. 
 
 y 
 
 
 y1
 
 y3
 y2
 
 
 y4
 
 
 O x 
 x2 x1 x4 x3 
 
então: 
 
Jx = Σ Jo + Σ ( dy2 . A) 
Jy = Σ Jo + Σ ( dx2 . A) 
 
Onde: 
Jo = Momento de Inércia baricentral de cada figura simples; 
dx e dy = distância do centro de gravidade de cada figura ao eixo de referência; e 
A = área de cada figura. 
 
 
• Raio de giração: 
 
A
Ji = 
 
Sendo: 
i = raio de giração em relação ao eixo x ou y; 
J = Momento de Inércia em relação ao mesmo eixo do raio de giração 
A = área da superfície 
 
 
 
 
 
 
 
 
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• Módulo de resistência: 
 
y
Jw = 
Sendo: 
y = distância do eixo em questão a uma tangente à superfície paralela a este eixo. 
 y 
 
 
 
 
 y” 
 
 
 x 
 
 y’ 
 
 x’ x” 
 
 
Por tanto: 
'
'
y
Jxwx = 
"
"
y
Jxwx = 
'
'
x
Jywy = 
"
"
x
Jywy = 
 
 
 
 
• Produto de inércia: 
 
φxy = Σ φx’y’ + Σ ( dx . dy . A ) 
 
 
• Rotação de eixos: 
 
Jξ = Jx . cos2 α + Jy . sen2 α - φxy . sen (2α) 
Jη = Jx . sen2 α + Jy . cos2 α + φxy . sen (2α) 
φξη = 0,5 . (Jx – Jy) . sen 2α + φxy . cos 2α 
 
 
• Máximos e Mínimos momentos de inércia: 
 
tg (2α) = 2 . φxy / (Jy – Jx) 
 
Para este ângulo α → φξη = 0,0 (zero) 
 
Jx + Jy = Jξ + Jη = Jmáx + Jmín
 
 
 
 
Karvat fevereiro - 2008 
 29
3.1 Calcular o centro de gravidade da seção transversal abaixo figurada. (Unidades em cm) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.2 Calcular o centro de gravidade da seção transversal abaixo figurada. (Unidades em cm) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3.3 Calcular o centro de gravidade da seção transversal abaixo figurada. (Unidades em cm) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.4 Calcular o centro de gravidade da seção transversal abaixo figurada. (Unidades em cm) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 31
3.5 Calcular o centro de gravidade da seção transversal abaixo figurada. (Unidades em cm) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.6 Calcular o centro de gravidade da seção transversal abaixo figurada. (Unidades em cm) 
diâmetro do vazio = 10 cm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3.7 Calcular os momentos de inércia em relação aos eixos baricentrais “x” e “y” da seção 
transversal abaixo figurada. (Unidades em cm) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.8 Calcular os momentos de inércia em relação aos eixos baricentrais “x” e “y” da seção 
transversal abaixo figurada. (Unidades em cm) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3.9 Calcular os momentos de inércia em relação aos eixos baricentrais “x” e “y” da seção 
transversal abaixo figurada. (Unidades em cm) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.10 Calcular os momentos de inércia em relação aos eixos baricentrais “x” e “y” da seção 
transversal abaixo figurada. (Unidades em cm) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Karvat fevereiro - 2008 
 34 
3.11 Calcular os raios de giração em relação aos eixos baricentrais “x” e “y” e o núcleo central de 
inércia da seção transversal abaixo figurada. (Unidades em cm) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.12 Calcular os raios de giração em relação aos eixos baricentrais “x” e “y” e o núcleo central de 
inércia da seção transversal abaixo figurada. (Unidades em cm) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Karvat fevereiro - 2008 
 35
3.13 Calcular o produto de inércia em relação aos eixos baricentrais “x” e “y” da seção transversal 
abaixo figurada. (Unidades em cm) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.14 Calcular o produto de inércia em relação aos eixos baricentrais “x” e “y” da seção transversal 
abaixo figurada. (Unidades em cm) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Karvat fevereiro - 2008 
 36 
3.15 Calcular os máximos e mínimos momentos de inércia em relação ao baricentro da seção 
transversal abaixo figurada. (Unidades em cm) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 37
3.16 Calcular os máximos e mínimos momentos de inércia em relação ao baricentro da seção 
transversal abaixo figurada. (Unidades em cm) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Karvat fevereiro - 2008 
 38 
3.17 Calcular os máximos e mínimos momentos de inércia em relação aos eixos baricentrais “x” e 
“y” da seção transversal abaixo figurada. (Unidades em cm) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Karvat fevereiro - 2008 
 39
3.18 Calcular os máximos e mínimos momentos de inércia em relação aos eixos baricentrais “x” e 
“y” da seção transversal abaixo figurada. (Unidades em cm)Karvat fevereiro - 2008 
 40 
3.19 Calcular os máximos e mínimos momentos de inércia em relação aos eixos baricentrais “x” e 
“y” das seções transversais abaixo figuradas. (Unidades em cm) 
 
 
 1 10 
 
 2 
 
 30 50 
 
 
 3 10 
 
 20 10 10 
 
 40 
 
 
 
3.20 Calcular os máximos e mínimos momentos de inércia em relação aos eixos baricentrais “x” e 
“y” das seções transversais abaixo figuradas. (Unidades em cm) 
 
 
 
 10 
 
 
 10 
 50 
 
 20 
 
 
 10 
 
 10 15 5 10 10 
 
 50 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Karvat fevereiro - 2008 
 41
ANEXOS 
 
ALFABETO GREGO 
 
 
MINÚSCULA MAIÚSCULA SIGNIFICADO 
α Α ALFA 
β Β BETA 
γ Γ GAMA 
δ ∆ DELTA 
ε Ε ÉPSILON 
ζ Ζ DZETA 
η Η ETA 
θ θ TETA 
ι Ι IOTA 
κ Κ KAPA 
λ Λ LÂMBDA 
µ Μ UM 
ν Ν NU 
ξ Ξ KSI 
ο Ο ÔMICRON 
π Π PI 
ρ Ρ RO 
σ Σ SIGMA 
τ Τ TAU 
υ Υ ÚPSILON 
ϕ - φ Φ FI 
χ Χ QUI 
ψ Ψ PSI 
ω ϖ ÔMEGA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Karvat fevereiro - 2008 
 42 
TABELA DE CONVERSÃO DE UNIDADES 
 
Definições: 
 
Metro é o comprimento do trajeto percorrido pela luz no vácuo, durante um intervalo de tempo de 
1/299 792 458 de segundo. (Unidade de Base ratificada pela 17ª CGPM - 1983.) 
 
Um segundo é a duração de 9 192 631 770 períodos da radiação correspondente à transição entre os 
dois níveis hiperfinos do estado fundamental do átomo de césio 133. (Unidade de Base ratificada 
pela 13ª CGPM - 1967.) 
 
UNIDADE UNIDADE 
equivalente 
Obs. 
1,0 tf 1.000 kgf tf = tonelada força 
1,0 m 100 cm 
1 kgf 10 N N = Newton 
1 N 0,1 kgf Kgf = kilograma força 
1 Pa 1 N / m2 P = Pascal 
1 MPa 10 kgf / cm2 Mpa = Mega Pascal 
1 kgf / cm2 0,1 MPa 
1 PSI 0,07 kgf / cm2 PSI = Libra / Pol2
1 polegada 2,54 cm 
1 pé 30,38 cm 
1 jarda 91,44 cm 
1 milha náutica 1.852 m 
1 milha terrestre 1.603 m 
1 nó 1,852 km/h 
1 onça 28,349 gramas 
1 libra 453,59 gramas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Karvat fevereiro - 2008 
 43
CARACTERÍSTICAS GEOMETRICAS DE SEÇÕES TRANSVERSAIS 
 
CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS 
 
 
 h/2 b 
 h a 
 h/2 
 
 
 b/2 b/2 
 
 b 
 
RETÂNGULO 
 
A = b x h 
 
Ja = b x h3 / 12 
 
Jb = h x b3 / 12 
 
φab = 0,00 
 
 
 
 2h/3 
 b 
 
 a 
 h/3 
 
 b/3 2b/3 
 b 
 
TRIÂNGULO 
 
A = b x h / 2 
 
Ja = b x h3 / 36 * + − 
 − + 
Jb = h x b3 / 36 
 
φab = * b2 x h2 / 72 
 
 
 
 
 b r 
 
 a D 
 r 
 
 r r 
 D 
 
CÍRCULO 
 
A = π x r2 = π x D2 / 4 
 
Ja = π x r4 / 4 
 
Jb = π x r4 / 4 
 
φab = 0,00 
 
 
 
 b 
 0,576 x r 
 a 
 0,424 x r 
 r r 
 
 D 
 
SEMI-CÍRCULO 
 
A = π x r2 / 2 = π x D2 / 8 
 
Ja = 0,1098 x r4 
 
Jb = 0,3927 x r4 
 
φab = 0,00 
 
 
tg (2α) = 2 . φxy / (Jy - Jx) 
Jξ = JX . cos2 α + Jy . sen2 α - φxy . sen (2α) 
Jη = JX . sen2 α + Jy . cos2α + φxy . sen (2α) 
φξη = 0,5 . ( JX - JY ).sen (2α) + φxy . cos (2α) 
Karvat fevereiro - 2008 
 44 
FORMULÁRIO: 
 
TENSÃO X DEFORMAÇÃO 
 
σ = N / A 
 
∆ℓ = 
EA
N
.
.l ou ∆ℓ = σ.ℓ / E Lei de HOOKE 
 
∆ℓ = α0 . ℓ . ∆t EFEITO DA TEMPERATURA 
 
• Tensão admissível σadm = σe / s sendo “s” o coeficiente de segurança. 
 
 
 
CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS 
 
• Baricentro Geométrico 
Xg = ( x1 . A1 + x2 . A2 + ... + xn . An ) / A 
Yg = ( y1 . A1 + y2 . A2 + ... + yn . An ) / A 
 
 
• Momento de inércia 
Jx = Σ Jo + Σ ( dy2 . A) 
Jy = Σ Jo + Σ ( dx2 . A) 
 
 
• Raio de giração: 
 
A
Ji = 
 
• Módulo de resistência: 
 
y
Jw = 
 
 
Karvat fevereiro - 2008 
	ESFORÇOS
	ESTRUTURAS:
	PEÇAS OU ELEMENTOS ESTRUTURAIS:
	CLASSIFICAÇÃO DAS CARGAS:
	CLASSIFICAÇÃO DOS ESFORÇOS
	ELEMENTOS ESTRUTURAIS
	Vigas estaticamente determinadas e estaticamente indetermina
	ANEXOS
	ALFABETO GREGO
	TABELA DE CONVERSÃO DE UNIDADES