PORTFÓLIO CÁLCULO 1 semana 6

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CÁLCULO I – SEMANA 6 – AULA 21 
 
1. Seja a integral 𝐼 = ∫ 𝑥𝑑𝑥
1
0
. Calcule as Somas de Riemann superior Sn e 
inferior sn. Sem calcular o valor de I da Integral, estime quantos termos devem 
ter as Somas de Riemann para que o valor de I seja conhecido com um erro 
𝜀 < 0,01. 
Fórmulas: 
𝑺𝒏 = ∑ 𝒇(𝒙𝒊 𝒎𝒂𝒙) ∗ ∆𝒙
𝒏
𝒊=𝟏
 
 
𝒔𝒏 = ∑ 𝒇(𝒙𝒊 𝒎𝒊𝒏) ∗ ∆𝒙
𝒏
𝒊=𝟏
 
a=0 e b=1: 
∆𝒙 =
(𝒃 − 𝒂)
𝒏
=
(𝟏 − 𝟎)
𝒏
=
𝟏
𝒏
 
𝒙𝒊 𝒎𝒂𝒙 = 𝒊 ∗ ∆𝒙 = 𝒊
𝟏
𝒏
=
𝒊
𝒏
 
𝒙𝒊 𝒎𝒊𝒏 = (𝒊 − 𝟏) ∗ ∆𝒙 = (𝒊 − 𝟏)
𝟏
𝒏
=
(𝒊 − 𝟏)
𝒏
 
 Colocando superior Sn e inferior sn na fórmula: 
𝑺𝒏 = ∑ 𝒇 (
𝒊
𝒏
) ∗
𝒏
𝒊=𝟏
𝟏
𝒏
= ∑ 𝒊
𝟏
𝒏𝟐
𝒏
𝒊=𝟏
=
𝟏
𝒏𝟐
∑ 𝒊
𝒏
𝒊=𝟏
 
𝒔𝒏 = ∑ 𝒇 (
𝒊 − 𝟏
𝒏
) ∗
𝒏
𝒊=𝟏
𝟏
𝒏
= ∑ (𝒊 − 𝟏)
𝟏
𝒏𝟐
𝒏
𝒊=𝟏
=
𝟏
𝒏𝟐
∑(𝒊
𝒏
𝒊=𝟏
− 𝟏) 
Sabemos que: 
∑ 𝒊 =
𝒏(𝒏 + 𝟏)
𝟐
𝒏
𝒊=𝟏
 
∑(𝒊 − 𝟏) =
𝒏(𝒏 − 𝟏)
𝟐
𝒏
𝒊=𝟏
 
 
Então as somas de Riemann são: 
𝑺𝒏 =
𝟏
𝒏𝟐
∗
𝒏(𝒏 + 𝟏)
𝟐
=
𝒏 + 𝟏
𝟐𝒏
 
𝒔𝒏 =
𝟏
𝒏𝟐
∗
𝒏(𝒏 − 𝟏)
𝟐
=
𝒏 − 𝟏
𝟐𝒏
 
E o erro 𝜀 < 0,01 é: 
𝟐𝜺 =
𝒏 + 𝟏
𝟐𝒏
−
𝒏 − 𝟏
𝟐𝒏
=
𝟐
𝟐𝒏
=
𝟏
𝒏
 
𝜺 =
𝟏
𝟐𝒏
< 𝟎, 𝟎𝟏 
𝒏 >
𝟏
𝟐 ∗ 𝟎, 𝟎𝟏
 
𝒏 > 𝟓𝟎 
 
 
 
 
CÁLCULO I – SEMANA 6 – AULA 22 
 
1.a. Encontre o intervalo no qual a curva dada por 𝑦 = ∫
1
1+𝑡+𝑡2
𝑑𝑡
𝑥
0
 é côncava para 
cima: 
𝑦 = ∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 𝑒 𝑦′ = 𝑓(𝑥)
𝑥
0
 
Substituindo: 
𝑦′ =
1
𝑥2 + 𝑥 + 1
 
A segunda derivada:𝑦′′ > 0 
𝑦′′ = −(𝑥2 + 𝑥 + 1)−2 ∗ (2𝑥 + 1) 
𝑦′′ =
−(2𝑥 + 1)
(𝑥2 + 𝑥 + 1)2
 
−(2𝑥 + 1)
(𝑥2 + 𝑥 + 1)2
> 0 
O numerador é sempre menor que zero para a fração poder existir. 
Pois (𝑥2 + 𝑥 + 1)2>0. 
(2𝑥 + 1) < 0 
Então o intervalo no qual a curva é côncava para cima é: 𝑥 < −
1
2
 
1.b. Em que intervalo ela é crescente? 
 
Ela é crescente em (∞, −
1
2
] 
CÁLCULO I – SEMANA 6 – AULA 23 
 
1- Calcule as integrais indefinidas: 
 
𝑬𝒙𝒆𝒓𝒄í𝒄𝒊𝒐 𝒂: ∫
𝒔𝒆𝒏(𝐥𝐧 𝒙)
𝒙
𝒅𝒙 
 
 
∫ 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 = − 𝐜𝐨𝐬 𝒙 
 
∫ 𝒔𝒆𝒏 (𝐥𝐧 𝒙) 𝒅𝒙 
 
𝒖 = 𝐥𝐧 𝒙 
 
𝒅𝒖 = 
𝟏
𝒙
 𝒅𝒙 
 
∫ 𝒔𝒆𝒏(𝒖)𝒅𝒖 
 
𝑰𝒏𝒕𝒆𝒈𝒓𝒂𝒏𝒅𝒐: 
 
− 𝐜𝐨𝐬(𝒖) + 𝒄 = 
 
− 𝐜𝐨𝐬(𝐥𝐧 𝒙) + 𝒄 
 
 
𝑬𝒙𝒆𝒓𝒄í𝒄𝒊𝒐 𝒃: ∫
𝒙𝟐
√𝟏 − 𝒙
𝒅𝒙 
 
∫
𝒙𝟐
(𝟏−𝒙)
𝟏
𝟐
𝒅𝒙 
 
∫ 𝒙𝟐(𝟏 − 𝒙)
−
𝟏
𝟐 𝒅𝒙  u = 1 – x  u – 1 = - x  x = -u + 1 
 du = -dx  dx=-du 
∫ 𝒙𝟐(𝒖)
−
𝟏
𝟐 𝒅𝒖 
 
∫(−𝒖 + 𝟏)𝟐(𝒖)
−
𝟏
𝟐(− 𝒅𝒖) 
 
∫(−𝒖 + 𝟏)𝟐(𝒖)
−
𝟏
𝟐 (−𝒅𝒖) 
 
∫(𝟏 − 𝟐𝒖 + 𝒖𝟐)(𝒖)
−
𝟏
𝟐 (−𝒅𝒖) 
 
∫ 𝒖
−
𝟏
𝟐 − 𝟐𝒖𝟏−
𝟏
𝟐 + 𝒖𝟐−
𝟏
𝟐 (−𝒅𝒖) 
 
∫ −𝒖
−
𝟏
𝟐 + 𝟐𝒖
𝟏
𝟐 − 𝒖
𝟑
𝟐 𝒅𝒖 
 
∫ −𝒖
−
𝟏
𝟐 𝒅𝒖 + 𝟐 ∫ 𝒖
𝟏
𝟐 𝒅𝒖 − ∫ 𝒖
𝟑
𝟐 𝒅𝒖 Integrando: 
 
−
𝒖−
𝟏
𝟐+𝟏
−
𝟏
𝟐 + 𝟏
+
𝟐𝒖
𝟏
𝟐+𝟏
𝟏
𝟐 + 𝟏
−
𝒖
𝟑
𝟐+𝟏
𝟑
𝟐 + 𝟏
+ 𝒄 
 
−
𝒖
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
+
𝟐𝒖
𝟑
𝟐
𝟑
𝟐
−
𝒖
𝟓
𝟐
𝟓
𝟐
+ 𝒄 
 
−𝟐𝒖
𝟏
𝟐 + 𝟐
𝟐
𝟑
𝒖
𝟑
𝟐 −
𝟐
𝟓
𝒖
𝟓
𝟐𝒄 
 
substituindo “u”: 
 
−𝟐(𝟏 − 𝒙)
𝟏
𝟐 +
𝟒
𝟑
(𝟏 − 𝒙)
𝟑
𝟐 −
𝟐
𝟓
(𝟏 − 𝒙)
𝟓
𝟐 + 𝒄 
 
−𝟐√(𝟏 − 𝒙) +
𝟒
𝟑
√(𝟏 − 𝒙)𝟑 −
𝟐
𝟓
√(𝟏 − 𝒙)𝟓 + 𝒄 
CÁLCULO I – SEMANA 6 – AULA 24 
1. Considere dois quadrados concêntricos, com centro no ponto C=(1,1). O 
quadrado maior tem lado 2 e o menor 1. Calcule o volume do sólido de 
revolução, em torno do eixo-x, gerado pela região entre os dois quadrados. 
 
 
𝒇(𝒙) = 𝟐 𝒄𝒐𝒎 (𝒂; 𝒃) = (𝟎; 𝟐)  
 
 
𝒈(𝒙) =
𝟑
𝟐
𝒄𝒐𝒎 (𝒂; 𝒃) = (
𝟏
𝟐
;
𝟑
𝟐
)  
 
 
 
 
 
𝒉(𝒙) =
𝟏
𝟐
 𝒄𝒐𝒎 (𝒂; 𝒃) = (
𝟏
𝟐
;
𝟑
𝟐
)  
 
 
 
𝑽 = 𝝅𝒃
𝒂 ∫(𝒇(𝒙)𝟐)𝒅𝒙 
𝑽𝒉 = 𝝅𝟏
𝟐
𝟑
𝟐 ∫ (
𝟏
𝟐
)
𝟐
𝒅𝒙 = 𝝅 (
𝟏
𝟒
)
𝟏
𝟐
𝟑
𝟐
∫ 𝒅𝒙 = 𝝅 (
𝟏
𝟒
) 𝒙 =
𝟏
𝟒
𝝅 
𝝅 (
𝟏
𝟒
) (
𝟑
𝟐
) − 𝝅 (
𝟏
𝟒
) (
𝟏
𝟐
) = 𝝅 (
𝟏
𝟒
) ((
𝟑
𝟐
) − (
𝟏
𝟐
)) = 𝝅 (
𝟏
𝟒
) 
 
𝑽𝒈 = 𝝅𝟏
𝟐
𝟑
𝟐 ∫ (
𝟑
𝟐
)
𝟐
𝒅𝒙 = 𝝅 (
𝟗
𝟒
)
𝟏
𝟐
𝟑
𝟐
∫ 𝒅𝒙 = 𝝅 (
𝟗
𝟒
) 𝒙 =
𝟗
𝟒
𝝅 
𝝅 (
𝟗
𝟒
) (
𝟑
𝟐
) − 𝝅 (
𝟗
𝟒
) (
𝟏
𝟐
) = 𝝅 (
𝟗
𝟒
) ((
𝟑
𝟐
) − (
𝟏
𝟐
)) = 𝝅 (
𝟗
𝟒
) 
 
𝑽𝒇 = 𝝅𝟎
𝟐 ∫(𝟐)𝟐𝒅𝒙 = 𝝅(𝟒)𝟎
𝟐 ∫ 𝒅𝒙 = 𝝅(𝟖)𝒙 = 𝟖𝝅 
𝝅(𝟒)(𝟐) − 𝝅(𝟒)(𝟎) = 𝝅(𝟒)((𝟐) − (𝟎)) = 𝝅(𝟖) 
 
𝑽𝒔ó𝒍𝒊𝒅𝒐 = 𝑽𝒇 − 𝑽𝒈 + 𝑽𝒉 = 𝟖𝝅 −
𝟗
𝟒
𝝅 +
𝟏
𝟒
𝝅 = 𝟔𝝅 
 
𝑽𝒔ó𝒍𝒊𝒅𝒐 = 𝟔𝝅