5 METODO DA ITERACAO LINEAR

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3.3.2 MÉTODO DA ITERAÇÃO LINEAR (MIL)
Seja f(x) uma função contínua em [a , b], intervalo que contém uma raiz da equação f(x)=0.
O MIL consiste em transformar a equação f(x) = 0 em uma equação equivalente x = ((x), através de um artifício algébrico, e a partir de uma aproximação inicial x0 gerar a seqüência {xk} de aproximações para r pela relação:
xk+1 = ((xk)
Por outro lado, a função ((x) é tal que f(r) = 0, se e somente se ((r) = r.
Uma função ((x) que satisfaz a condição acima é chamada de função de iteração para a equação f(x) = 0.
Convergência do MIL
Antes de aplicar o MIL é necessário verificar se a função de iteração ((x) conduzirá a um processo convergente.
Teorema–2
Seja r uma raiz da equação f(x) = 0 que pertence ao intervalo I e ((x) contínua e diferenciável em I.
Se | (’(x) | ( k < 1 para todo os pontos em I e x0 ( I, então os valores dados pela equação xk+1 = ((xk) convergem para r.
Escolha da Função de Iteração
A partir de uma função f(x) pode-se obter varias funções de iteração ((x), porém nem todas poderão ser utilizadas para avaliar r.
OBS: Só se deve usar uma ((x) que satisfaça ao Teorema–2
Exemplo:
Avaliar a raiz de f(x)=x2+e3x-3=0, com ((10-3.
Fazendo-se um esboço gráfico da função observa-se que existe raiz real nos intervalos: [-2 , -1] e [ 0 , 1].
Gráfico da função f(x)
	f(x)=x2 + e3.x - 3
	
Dividindo a função f(x) em duas funções mais simples (g(x) e h(x)), temos o seguinte gráfico:
	g(x) = e3.x		h(x) = 3 – x2
	
1) Somando x aos dois membros:
x=x+x2+e3x-3 ( ((x) = x+x2+e3x-3
2) Somando -x2 aos dois membros e extraindo a raiz quadrada:
-x2= -x2+x2+e3x-3 ( x2=3-e3x ( x =(
((x) =(
3) Somando -e3x aos dois membros e calculando ln:
-e3x = -e3x+x2+e3x-3 ( e3x= - x2 + 3
ln e3x= ln(3 - x 2)
3x=ln(3 - x 2) ( ((x)=
 ln(3 - x 2)
ALGORITMO
Método da Iteração Linear (MIL)
	Supor que as hipóteses do Teorama-2 estão satisfeitas.
Dados iniciais:
a) x0 (:aproximação inicial
b) ( (precisão.
2) Se (f(x0)( < (, 	então faça r = xo. 	Fim.
3) k = 1
4) x1 = ( (x0)
5) Se |f(x1)| < (
	 ou
Se o (x1 –x0( < (
Então faça. r = x1 .	 Fim
6) x0 = x1
7) k = k +1
Volte ao passo 4.
Exercícios:
Calcular pelo menos uma raiz real das equações abaixo, com ( < 10-2.
f(x)=x3 - cos(x)
f(x) = cos(x) + ln(x) + x
f(x) = 3x4- x - 3
f(x) = ex + cos(x) - 5
f(x) = x2 - sen(x) - 1
f(x) = x3 – e2x + 3
f(x) = x2-3 x – 3
f(x) = x3 – e2x + 3
f(x) =cos(x) + x2 – 3,5
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