aulas funcoes limites

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CÁLCULO A 
Curso de Engenaharia Florestal - turma 18 
 Funções de uma variável real 
 Limites e continuidade de funções 
 
Conjuntos numéricos 
  ,4 ,3 ,2 ,1 ,0N
  ,3 ,2 ,1 ,0 ,1 ,2 ,3 , Z






 0 e , ,/ qZqZp
q
p
xxQ














718281828,2
141592654,3
7320508,13
41421356,12
e

Conjunto dos números naturais 
Conjunto dos números inteiros 
Conjunto dos números racionais 
Conjunto dos números irracionais 
Conjunto dos números reais  irracional é ou racional é ,/ xxxIQR 
Área superficial de frangos de corte 
Retirado de: http://www.scielo.br/pdf/eagri/v29n1/a01v29n1.pdf 
A figura acima mostra a área superficial estimada por meio 
de equações propostas por três autores. 
Área superficial (S) da pele     32pkpS   , 3 2pkpS 
onde p é o peso em quilos 
 k constante positiva (depende do animal considerado) 
O que é uma função? 
FUNÇÃO 
DEPENDÊNCIA 
variável independente (vi) variável dependente (vd) 
•TABELA 
•GRÁFICO 
•FÓRMULA (álgebra) 
•DIAGRAMA DE FLECHAS 
•VERBALMENTE 
Definição. Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Uma função 
f de A em B é uma lei (ou regra) que associa a cada 
elemento de A um único elemento de B. 
Conceito matemático de função 
f : A  B 
x  y 
Escrevemos: 
regra 
(cálculos) 
entrada 
(x) 
saída 
(y) 
ou f : A  B 
x  f x 
Algebricamente ... 
Então, qual é o valor de x ? 
f x 2x − 7 
f  5   ?  
3
2



x
x
xf
Qual é a imagem de x = 1? 
Neste caso, dizemos que 3 é imagem de 5. 
f x 2x − 7 
f  x   −2 
Determinação do domínio de uma função 
O domínio, D(f), de uma função é o conjunto de todos os números 
reais (valores de x) para os quais a função está definida. 
sabemos que para esta função “existir”, o denominador deve ser 
diferente de zero. Assim o seu domínio é 
Por exemplo, dada 
 
xx
xf


2
1
 
Para a função 
 
1
3
 
2 


x
x
xg
o domínio é ___________________. 
Faça você !! 
x  2 
3x 1 
f (x)  D( f )  ? 
Gráfico 
Definição. O gráfico de uma função f(x), é o conjunto de todos os 
pontos (x, y) onde y = f(x) com x ∈ D(f). 
este gráfico 
representa uma 
função não representa o 
gráfico de uma 
função 
Considere P(t) a população humana mundial no instante t. E 
vamos medir t de modo que t = 0 corresponde ao ano de 1900. 
Veja tabela abaixo. 
Outro exemplo (do livro: “Cálculo”, Stewart) 
Este gráfico é chamado diagrama de dispersão. 
Mas qual é a fórmula para a função? 
É possível encontrar uma expressão para uma função que se 
aproxime de P(t). 
A figura mostra o ajuste feito para os dados 
coletados.   ttftP )01395,1()1043653,1()( 9 
A função f é chamada modelo matemático do crescimento 
populacional. 
observar 
 Também é importante saber analisar o sinal de uma função. 
Leitura de um gráfico 
domínio 
imagem 
intervalo de crescimento 
intervalo de decrescimento 
⁝ 
 No gráfico de uma função: dado um valor x, no domínio da 
função, podemos encontrar um valor y correspondente (imagem 
de x). 
Gráfico: domínio e imagem 
D(f) = 
Im(f) = 
y  f x) 
f é crescente em 
f é decrescente em 
Exemplo 1 
y  g(x) 
D(g) = 
Im(g) = 
g é crescente em 
g é decrescente em 
Exemplo 2 
Exemplo 3. O gráfico abaixo representa a função y=h(x). Determine 
seu domínio e sua imagem. 
D(h) = 
Im(h) = 
 Função constante 
 Função afim 
 Função quadrática 
Algumas funções (recordando) 
http://www.uesb.br/mat/download/publicacoes/Deusa.pdf 
Funções definidas por partes 
As funções nos exemplos a seguir são definidas por fórmulas 
distintas em diferentes partes de seus domínios. 
       . 2 e 1 ,0 calcule , 
1 se 
1 se 1
 Considere 1.
2
fff
xx
xx
xf






Esboce o gráfico de f . 
x 
y 
  . xxf 
2. Esboce o gráfico da função valor absoluto 
Encontre uma expressão para a função f cujo gráfico está na 
figura abaixo. 
x 
y 
0 1 
Temas 
Ax1, y1  
Bx2 , y2  
x2 x1 
y2 
y1 
Revisão: determinando a equação de uma reta ... 
A inclinação ou 
coeficiente angular 
é 
A inclinação de uma reta vertical não está definida. 
Uma equação da reta passando pelo ponto Px0, y0 com inclinação m 
é 
A equação de uma reta na forma ponto-inclinação 
Esboce a reta definida por cada par de pontos e determine sua 
equação. 
a) A(˗1, 4) e B(3, 2) 
b) A(2, 5) e B(˗2, ˗ 1) 
c) A(4, 3) e B(˗2, 3) 
d) A(4, ˗1) e B(4, 4) 
 00 xxmyy 
  2   2   
 
 
2 
 
 
2 
 
 
x 
y 
 









 2 , 3
20 ,1
0 , 
 função da gráfico o Trace 2
x
xx
xx
xf
Temas 
 









2 ,4
20 ,
0 ,1
2
x
xx
xx
xf  









1 ,1
12 ,1
2 ,3
2
xx
xx
x
xg
Trace o gráfico das seguintes funções. 
Modelos matemáticos 
Exemplo 1 Volume pulmonar e tensão muscular 
A relação entre a tensão T dos músculos e o volume pulmonar 
V, durante a inspiração é dada por 
Faça um esboço gráfico da função V, considerando 0 ≤ T ≤ T1 . 
 TfV 
onde k e vₒ são constantes positivas. 
kTv  0
Exemplo 2 Vendas de GPS 
As vendas (em bilhões de dólares) de sistemas de 
posicionamento global (GPS) do ano de 2000 ao ano de 2006 é 
mostrada na tabela abaixo, onde x = 0 corresponde ao ano 2000. 
Vendas anuais (y) 7,9 9,6 11,5 13,3 15,2 17 18,8 
Ano (x) 0 1 2 3 4 5 6 
a) Represente graficamente as vendas anuais (y) em função do 
ano (x) e trace a reta que passa pelos pontos correspondentes 
a 2000 e 2006; 
 
b) Determine uma equação para a reta (expresse y como função 
de x). 
Exemplo 3 
Biólogos notaram que a taxa de cricridos de uma certa espécie de 
grilo está relacionada com a temperatura de uma maneira que 
aparenta ser quase linear. Um grilo cricrila 112 vezes por minuto a 
20 ºC e 180 vezes por minuto a 29 ºC. 
a) Encontre uma equação linear que modele a temperatura T 
como uma função dos números de cricridos por minuto N. 
 
b) Qual é a inclinação do gráfico? O que ela representa? 
 
c) Se os grilos estiverem cricrilando 150 vezes por minuto, 
estime a temperatura. 
Temas 
Em um termômetro de mercúrio, a temperatura esta em função da 
altura do mercúrio. Sabendo que as temperaturas 0°C e 100°C 
correspondem, respectivamente, às alturas 20 ml e 270 ml do 
mercúrio. Então a temperatura correspondente a 112,5 ml, 
admitindo que este modelo é descrito por uma função afim, é: 
a) 36°C 
b) 37°C 
c) 37,5°C 
d) 38°C 
e) 40°C 
1. Em certos tecidos, as células têm a forma de um cilindro 
circular reto de altura h e raio r. considerando a altura fixa, 
expresse o volume V da célula em função do raio r. 
2. Em um experimento metabólico a massa M de glicose 
decresce de acordo com a fórmula     2 03,05,4 ttM 
Em quanto tempo a massa de glicose torna-se nula? 
(t em horas) 
Exercícios 
Famílias de funções 
 f(x) = k 
retas horizontais 
 f(x) = mx + b 
(b = 0 e m variando) 
  nxxf 
 Funções potência: 
 Zn para
1n 2n 3n
4n
  nxxf 
 Funções potência: 
 Zn para
Lei de Boyle: 
V
k 
P 
1n
2n  nxxf 1
Funções potência: 
 Zn para
n x
2n 3n
Polinômios 
  01
2
2
1
1 axaxaxaxaxp
n
n
n
n 

 
onde n é um número inteiro não negativo e os números aₒ, a₁, a₂ , 
... , aₙ são constantes chamadas coeficientes do polinômio. 
Se n ≠ 0 , então o grau do polinômio é n. 
Um polinômio pode ser escrito na forma 
Polinômio de grau dois 
Um polinômio de grau três tem a forma   0 23  adcxbxaxxp
13  xxy xxxy  24 3 xxxy 60253 35 
 
 
 
,
xq
 xp
xf 
Funções racionais 
  0 e polinômios são e onde xqqp
Uma função racional é a razão de dois polinômios   .
4
12
 exemplo,Por 
2
24



x
 xx
xf
É uma função racional com domínio 
   2/D  xRxf
Exemplo 
Em um experimento de adubação, a resposta do crescimento de 
uma planta (cm) pode ser dada por 
  ,
5
20


x
x 
xf
onde x é a quantidade de fertilizante adicionada (g/cm²), x > 0. 
Faça um esboço do gráfico desta função. 
Duas funções f e g , podem ser adicionadas, subtraídas, 
multiplicadas e divididas de forma natural para formar novas 
funções f + g , f − g, f g, f /g . 
Operações aritméticas sobre funções 
Definição Dadas as funções f e g, definimos 
 
 
 
 
 
 
 
 
      xgxfxgf       xgxfxgf       xgxfxfg       xgxfxgf // 
Para as funções f + g , f − g, f g , definimos o domínio como sendo 
a intersecção dos domínios de f e g; para a função f /g , o domínio 
é definido como sendo a intersecção dos domínios de f e g tais 
que g(x) ≠ 0. 
x 
f(x) f 
g(f(x)) 
g 
Definição Dadas as funções f e g, a composição de g e f indicada 
por g o f , é a função definida por 
 
 
     xfgxfg 
Composição de funções 
O domínio de g o f consiste em todo x no domínio de f com o qual 
f(x) está no domínio de g . 
Expresse esta função sob a forma de uma função composta. 
  .52 Considere 8 xy
   xfg 
   xgf 
Sejam fx  x² +3 e gx  √ x determine 
Temas 
O número de ramos de uma árvore 
de vidoeiro branco começou a ser 
contado quando continha apenas 8 
ramos. 
Modelo de crescimento exponencial 
Determine uma expressão que represente o número N(t) de ramos 
do vidoeiro em função do tempo t (em anos). 
Supondo que o número de ramos do vidoeiro (inicialmente com 
8), cresce exponencialmente a uma taxa de 15% ao ano. 
https://www.youtube.com/watch?v=Ax2yYInCKmc (adaptado) 
a  1, a  0 
f : R  R 
x  y  ax 
Exemplos de funções exponenciais: 
  xaxf 
Funções exponenciais 
Função exponencial de base a 
função 
crescente 
função 
decrescente 
x 
y 
x 
y 
(0,1) 
(0,1) 
a  1 a  1 
a  0 
Gráficos da função exponencial de base a 
Função exponencial de base e 
x 
y 
0 
1 
x 
y 
0 
1 
Voltando a trabalhar com o exemplo inicial... 
b) Se a taxa de crescimento permanecer de 15% por ano em 
quanto tempo o vidoeiro terá 2000 ramos? 
a) Se daqui a 4 anos o vidoeiro estiver com 22 ramos, qual foi a 
taxa de crescimento? 
a  1, a  0 
f : R*  R  
x  y  loga x 
Exemplos de funções logarítmicas 
   1log2  xxf  xxg 3log
Funções logarítmicas 
Função logarítmica de base a 
1 
 
 
y = loga x 
a > 1 
y = loga x 
a  1 
a > 0 
a < 1 
Gráficos da função logarítmica de base a 
Sejam p > 0 e q > 0 e r um número racional além disso 
então 
qpqp aaa logloglog i) 
qp
q
p
aaa logloglog ii) 
prp a
r
a loglog iii) 
base) de (mudança 
log
log
log vi)
a
p
p
c
c
a 
a, c  1, a, c  0, 
Recordando: propriedades dos logaritmos 
xelog
Logaritmos naturais 
O logaritmo na base e é chamado de logaritmo natural e tem a 
seguinte notação xln
x 
y 
1 
y = x 
1 
Gráficos 
Sejam p > 0 e q > 0 e r um número racional, então qppq lnlnln i) 
qp
q
p
lnlnln ii) 
prp r lnln iii) 
ppe lnlog :esqueça Não 
As propriedades escrita para logaritmos naturais 
(base e) 
2) Uma cultura de bactérias, após a fase lag, desenvolve-se em 
um meio adequado ao seu crescimento. Sabe-se a população 
de bactérias, y, em função do tempo t, é dada pela expressão 
a) Determine a população inicial de bactérias; 
  .10 6,08 tety 
17,5 1) 2 xe
Resolva 
b) Em que instante a população dobrará, mantidas as 
condições ideais de crescimento? 
c) Esboce o gráfico de y. 
Se vacas leiteiras ingerem capim contendo muito iodo 131, o leite 
que elas produzem será inadequado para o consumo. Suponha 
que algum capim contenha 10 vezes mais que o nível máximo de 
iodo 131 permitido. Sabe-se que a quantidade de iodo 131 é 
descrita por 
a) Sabendo que a meia-vida do iodo 131 é de 8 dias, obtenha 
uma fórmula para Q(t); 
Temas – decaimento exponencial 
c) Faça um esboço do gráfico de Q . 
  ,0
teQtQ 
b) Quantos dias o capim deverá ser armazenado, antes de ser 
utilizado na alimentação das vacas? 
onde λ é uma constante positiva e t é medido em dias. 
Exercício 
O efeito residual de um nutriente aplicado no solo e dado por   ,3615 128,0 tetf 
onde 0 ≤ t ≤ 18 anos e f (t) é dado em kg/ha. 
a) Determine o efeito residual inicial; 
b) Determine o tempo aproximado no qual a quantidade f (t) 
será a metade da inicial; 
c) Faça um esboço do gráfico de f . 
Limites de funções reais 
 Noção intuitiva e geométrica 
 Limites infinitos 
 Limites no infinito 
O que acontece com os valores de quando x se 
aproxima de 2? 
  2 xxf
Definição Suponhamos que f(x) seja definida próximo ao número a. 
 Então escrevemos 
 
 
se pudermos tornar os valores de f(x) arbitrariarmente próximos de 
L, tornando x suficientemente próximo de a (por ambos os lados de 
a), mas não igual a a (x ≠ a). 
Limites   Lxf
ax


lim
Isso significa que f é definida 
em algum intervalo aberto 
que contenha a, exceto 
possivelmente no próprio a. 
a 
L 
a 
L 
a 
L 
 .lim determine casos trêsNos xf
ax
f 
f 
f 
Quando x se aproxima de a pela direita, 
f(x) se aproxima de ___, 
Quando x se aproxima de a pela esquerda, 
f(x) se aproxima de ___, 
  ___lim seja,ou 

xf
ax
  ___lim seja,ou 

xf
ax
a 
M 
y  f x 
L 
Observe o gráfico 
Neste caso, 
  .__________ lim 

xf
ax
Note que 
  ___af
    ___limlim seja,ou 
 
xfxf
axax
Quando x se aproxima de a pela direita 
ou pela esquerda, os valores de f(x) se 
aproximam de ___, 
a 
L=M 
y  f x 
Quando L = M 
Neste caso, o limite existe e escrevemos 
Note que 
  ___af
Limites e gráficos 
Alguns exemplos 
  2   2   
 
 
2 
 
 
2 
 
 
x 
y 
y  f x 
 






0 se 2
0 se 1
x
xx
xf
Exemplo 1 
  ?lim
0


xf
x
  2   2   
 
 
2 
 
 
2 
 
 
x 
y 
 









3 ,1
30 ,2
0 ,3
2
x
xxx
xx
xg
 xgy 
Exemplo 2 
  2   2   
 
 
2 
 
 
2 
 
 
x 
y 
 









 2 se 4
20 se 
0 se 1
2
x
xx
xx
xh
 xhy 
Temas 
  

xh
x 1
lim
  

xhx 0
lim
  

xh
x 2
lim
  2   2   
 
 
2 
 
 
2 
 
 
x 
y  xfy 
 









1 ,1
12 ,1
2 ,3
2
xx
xx
x
xf
Temas 
  

xf
x 2
lim   

xf
x 0
lim
  

xf
x 1
lim
y  f x 
  

xf
x 1
lim
  

xf
x 0
limDetermine os limites 
  

xf
x 2
lim
Cálculo de limites 
   xgxf
axax 
lim e lim
Sejam a e k números reais. Então ax
ax


lim ii)
Sejam a e k números reais. Se existem os limites 
kk
ax


lim i)
então valem as seguintes propriedades: 
        xgxfxgxf
axaxax 
 limlimlim i)         xgxfxgxf
axaxax 
 limlimlim ii)
 
 
 
 xg
xf
xg
xf
ax
ax
ax









lim
lim
lim iii)
  0lim que desde 

xg
ax   xfkxfk
axax 
 lim lim iv)    n
ax
n
ax
xfxf

 limlim v)
  parfor se 0lim que desde nxf
ax


7lim 1)
4x x
x 9
lim 2)
  3lim 3)
5


x
x







 2
1
6lim 4)
1
x
x  x
x
51lim 5)
5
1


7
24
lim 6)
1 

 x
x
x  3
0
33lim 7) 

x
x  95lim 8) 2
0


xx
x
4
4
lim 10)
4 

 x
x
x
1
1
lim 9)
21 

 x
x
x
Exercícios. Calcule os seguintes limites 
  .
0 ,1
0 ,
 função a Dada
2
2







xx
xx
xf
 xf
x 0
lim

Exemplo 
Calcule 
  . 
1 ,3
1 ,1
 Considere






x
xx
xf
  ?lim o é Qual
1


xf
x
Exemplo 
 .lim Calcule
1
xf
x
  . 
1
1
 função a Dada
2



x
x
xf
  
2 se 4
2 se 
2
42










x
x
x
x
xg
Dada  .limexistir se Calcule,
2
xg
x 
Faça você 
20
1
lim
xx
Calcule o limite abaixo, se existir. 
x 
y 
0 
2
1
x
y 
x 
± 1 
± 1/2 
± 1/5 
± 1/10 
±1/100 
± 1/1000 
2
1
x
Definição Seja f uma função definida em ambos os lados de a, 
 exceto possivelmente no próprio a. Então 
 
 
 
 
 
 
Limites infinitos   

xf
ax
lim
significa que podemos fazer os valores de f(x) ficarem 
arbitrariarmente grandes (tão grandes quanto quisermos) 
tornando x suficientemente próximo de a, mas não igual a 
a. 
 xfy 
ax 
significa que os valores de f(x) podem ser arbitrariarmente grandes, 
porém negativos, ao tornarmos x suficientemente próximo de a, 
mas não igual a a. 
  

xf
ax
lim
 xfy 
ax 
Analogamente, escrever 
. 
1
lim exemplo,Por 
20







 xx
Definições equivalentes podem ser dadas no caso de limites laterais 
  

xf
ax
lim   

xf
ax
lim
  

xf
ax
lim
  

xf
ax
lim
  ?lim
0


xf
x
 xfy 
Use o gráfico para determinar o limite abaixo 
x 
y 
0 1 
−2 
2 
−1 
2 3 4 5 −1 
Faça o gráfico da função 
e analise o que acontece com os valores de f(x) quando x tende a 
zero. 
 
x
xf
1

Teorema. Se n é um número natural, então 





  ímpar é se ,
par é se ,1
lim e 
1
lim
00 n
n
xx nxnx
Agora, para a mesma função, analise o que acontece com os 
valores de y quando x cresce ou decresce sem limitação. 
Limites que envolvem infinito 
Vamos analisar o gráfico da função 
 
3
1


x
xf
Ainda limites infinitos 
 3
1
lim
3 xx 
 3
1
lim
3 xx
A reta x = 3 é 
denominada 
assíntota vertical 
da curva. 
e calcular os limites. 
Assíntota vertical 
 Dizemos que a reta x=a é uma assíntota vertical do gráfico 
da função f, se f(x) tende a +∞ ou −∞, quando x tende para a 
pela direita ou pela esquerda. 
Definição Seja f uma função definida em algum intervalo (a, ∞). 
 Então 
 
 
 
Limites no infinito   Lxf
x


lim
significa que os valores de f(x) ficam arbitrariarmente 
próximos de L tornando x suficientemente grande. 
 xfy 
Ly 
 xfy 
Ly 
Ainda analisando o gráfico de 
 
3
1


x
xf

 3
1
lim
xx 
 3
1
lim
xx
A reta y = 0 é 
denominada 
assíntota horizontal 
da curva. 
Limites no infinito 
para determinar os limites. 
Assíntota horizontal 
 Dizemos que a reta y=b é uma assíntota horizontal do 
gráfico da função f se: 
    bxfbxf
xx


limou lim
Teorema importante ....(limites no infinito) 
Teorema. Se n é um número natural, então 
0
1
lim e 0
1
lim 
 nxnx xx
Uma técnica para determinar limites de funções racionais 
quando x → ±∞ consiste em: 
dividir cada termo do numerador 
e do denominador pela maior 
potência de x que ocorra no 
denominador. 
Usaremos esta técnica nos exemplos a seguir. 
Teorema. Se n é um número natural, então 
e usar o 
teorema visto 
anteriormente 
0
1
lim e 0
1
lim 
 nxnx xx
Indeterminações do tipo ∞/∞ 
14
13
lim


 x
x
x
Calcule 
Exemplo 1 
724
423
lim
3
2


 xx
xx
x
Calcule 
Exemplo 2 
Calcule lim 
3 
x4  2x2  4 
x 2x  2x  5 
Exemplo 3 
Um método rápido para encontrar limites de funções racionais 
quando x → +∞ ou x → −∞ é: 
Resumindo 
Calcular o limite do 
termo de maior grau do 
numerador dividido pelo 
termo de maior grau do 
denominador 
Exemplos Calcule os limites usando o método descrito 
anteriormente. 
14
13
lim )1


 x
x
x
xx
xx
x 5
192
lim )2
2
2



5
2
54
19
lim )3
xx
xx
x 


x
xx
x 31
125
lim )4
23



Exercícios 
R.: 3 
R.:  
R.: 0 
R.:  
R.: 0 
 3lim )1 
x  x
x
4lim )2 
 52
13
lim )3


 x
x
x
4
3
lim )4
 xx
3
67
lim )5
5


 x
x
x
37
6
lim )6
3
3


 x
x
x
12
2
lim )7
2 

 xx
x
x2
3
 :.R 7
1
 :. RCalcule os seguintes limites 
5
20
x
xVoltado ao problema do experimento de adubação 
O crescimento de uma planta (cm), em função da adubação pode 
ser dada por 
  ,
5
20


x
x 
xf
onde x é a quantidade de fertilizante adicionada (g/cm²), x > 0. 
x
lim
= 20 cm 
O comportamento desta função pode 
ser vista pelo limite 
Exercício 
Durante uma epidemia de dengue, o número de pessoas que 
adoeceram após t dias, num certo bairro, é dado por 
a) Aproximadamente, quantas pessoas ficaram doentes após o 
primeiro dia? E após 25 dias? 
b) O que acontece com o número de doentes a longo prazo? 
 
te
tN
2,0 991
000 10


 
te
tN
2,0 991
000 10


Gráfico de 
Para que servem os inventários de fauna? 
http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0103-40142010000100015#g4 
“A noção de continuidade em Matemática é a que 
utilizamos no dia a dia, isto é, não há interrupção ou, 
então, onde não existem partes separadas umas das 
outras” 
H. Anton 
Funções contínuas2 
2 
2 2 
3 
3 
4 
3 3,5 
3 
1 2 
4 3 
  . 
2 se 2
2 se 44
 função a Considere
2






xx
xxx
xf
 xf
x 2
lim Calcule

Mas o que isto significa? 
 Em termos matemáticos significa que esta função é contínua 
em x = 2. 
 Geometricamente, significa que conseguimos traçar seu 
gráfico, “sem levantar o lápis do papel”, ou seja, a função não 
tem buracos, quebras ou saltos. 
x 
y  






2 se 2
2 se 442
xx
xxx
xf
2 
2 
a 
f(a) 
Definição Uma função f é contínua em x = a, se as seguintes 
 condições forem satisfeitas: 
i) f (a) está definida 
  existir lim )ii xf
ax    afxf
ax


lim )iii
 xfy 
Continuidade 
Observações: 
1. Se uma função for contínua para todos os pontos do seu 
domínio, dizemos simplesmente que é contínua. 
 
2. Se uma das condições da definição não for satisfeita em 
algum ponto dizemos que f é descontínua (ou não é 
contínua) nesse ponto. 
2 
2 
2 2 
3 
3 
4 
3 3,5 
3 
1 2 
4 3 
  .1 em contínua é 
1 ,2
1 ,4
 função a se Verifique
2
2






 x
xx
xx
xf
Solução. 
a) b) 
c) d) 
Quais das seguintes funções são descontínuas? Explique porque. 
 









3 se 2
3 se 
3
9
 Dada
2
x
x
x
x
xh
Solução. 
Verifique se esta função é contínua em x = 3. 
 









1 ,2
1 ,3
1 ,2
2 xxx
x
xx
xf
Verifique se a função abaixo é contínua em x = 1. 
Temas 
Considere a função custo representada abaixo. 
Observe o que ocorre 
com o gráfico em x 
igual a: 15 000, 30 000 
e 45 000. 
 









2 se 1
2 se 
2
2
 b)
2
x
x
x
xx
xf
Determine se cada uma das seguintes funções é contínua. 
Exercícios  
2
2
 a)
2



x
xx
xf
 







0 se 1
0 se 
1
 c) 2
x
x
xxf
 






0 se 
0 se 
 d)
2 xx
xe
xf
x
Limites fundamentais 
e
x
x
x








1
1lim
a
x
a x
x
ln
1
lim
0


 1
sen 
lim
0

 x
x
x
  xxf sen 
• Função seno 
• Função cosseno 
  xxf cos
Função tangente 
 
x
x
xtg
cos
sen 

Função cotangente 
 
x
x
x
sen 
 cos
gcot 
Função secante 
 
x
x
cos
1
sec 
Função cossecante 
 
x
x
sen 
1
seccos 
Função seno Função arco seno 
Função cosseno Função arco cosseno