P2 ANTONIO ROSA UFES CÁLCULO 1 2013 2

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Universidade Federal do Espírito Santo 
2ª Prova de Cálculo I (Resolução) – Prof. Antonio Luíz Rosa 
 
 
1. (1 pt) Derive 
 
 
 
 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
Daí, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. (1 pt) Calcule 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: Seja 
 
 
 
 
 
 
 
 
Temos aqui uma indeterminação do tipo . Para aplicarmos a Regra de 
L’Hospital, devemos converter esta indeterminação para o tipo 
 
 
 ou 
 
 
. 
Daí, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Este último nos dá uma indeterminação do tipo . Vamos transformá-la 
no tipo 
 
 
 ou 
 
 
. 
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Este último é do tipo 
 
 
. 
Aplicando a Regra de L’Hospital temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, 
 
 
 
 
Portanto, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. (2 pts) Obtenha um valor aproximado para o volume de uma fina 
coroa cilíndrica de altura h=12 m, raio interior r=7 m e espessura 0,05 
m. Qual é o erro decorrente se resolvermos usando diferenciais? 
 
 r 
 
 
 
 h 
 
 
 
 
 
Solução: A figura acima representa o sólido de altura , raio interior e 
espessura . 
O volume do cilindro interior é dado por: 
 
Dando um acréscimo , o volume da coroa será igual à variação em 
 . 
Usando diferenciais, temos: 
 
O volume exato será 
 
 
Portanto, o erro cometido na aproximação usada foi, 
 
 
 
4. (2 pts) (a) Esboce o gráfico de 
 
 
 
 
 
 . 
(Encontre ; pontos de interseções com os eixos, caso existam; pontos críticos, caso existam; 
intervalos de crescimento e decrescimento de ; máximos e mínimos relativos, caso existam; 
concavidade e pontos de inflexão de , caso existam; assíntotas horizontais e verticais, caso 
existam). 
3 
 
(b) Exiba a equação da reta tangente ao gráfico no ponto . 
Faça um esboço da reta junto com o gráfico de . 
 
Solução: (a) 
1) Domínio de : 
 
2) Interseções com os eixos: 
 
 
 
 
 e 
 
 
 
Logo, 
 é a interseção da curva com o eixo 
 
 
 
 e 
 
 
 são as interseções da curva com o eixo 
 
 
3) 
 
 
 
 
 
 
Daí, 
 
 
Assim, e são pontos críticos de . 
 
4) Intervalos de Crescimento e Decrescimento: 
Intervalo 
 + - - + Crescente 
 - - - - Decrescente 
 - + - + Crescente 
 - + + - Decrescente 
 
5) Máximos e mínimos relativos: 
Observando a tabela acima e sabendo-se que é contínua, pois é um 
polinômio, concluímos que e são pontos de máximos locais 
sendo que como e 
 
 
 , então é ponto de 
máximo absoluto. 
Já, é ponto de mínimo relativo. 
 
 
 . 
Outra forma de concluirmos sobre os pontos de máximos e mínimos 
relativos: 
 
Assim vemos que: 
 é ponto de máximo local 
 é ponto de mínimo local 
 é ponto de máximo local 
 
6) Concavidade e pontos de inflexão de : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Temos: 
4 
 
 
 
 
 e 
 
 
 . 
 
Intervalo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
+ - - Conc. p/ baixo 
 
 
 
 
 
 
- - + Conc. p/ cima 
 
 
 
 
- + - Conc. p/ baixo 
 
Os pontos de abscissa 
 
 
 e 
 
 
 são pontos de 
inflexão. 
 
7) Assíntotas horizontais e verticais: 
 
Temos: 
 
 
 
pois a função é contínua em toda reta. Assim, não existe assíntota 
vertical para . 
Também, 
 e 
e disto, afirmamos que não existe assíntota horizontal para . 
 
8) Esboço do gráfico: 
 
 y 
 
 10,1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 0 1 1,57 4 5,1 
 -0,6 
 
 
 
 
 Reta tangente à curva em 
 
 
(b) Observe que e com isto, a reta tangente à curva no ponto 
 será uma reta paralela ao eixo tendo por equação: 
 
 
 
 
O esboço da reta se encontra no gráfico acima. 
5 
 
 
 
5. (2 pts) Um galpão deve ser construído tendo uma área retangular de 
123.100 m2. A prefeitura exige que exista um espaço livre de 25 m na 
frente, 20 m atrás e 12 m em cada lado. Encontre as dimensões do 
lote que tenha a área mínima na qual possa ser construído esse 
galpão. 
 
Solução: A figura abaixo descreve a situação: 
 
 
 20 
 
 
 
 12 GALPÃO 12 y 
 
 
 25 
 
 
 
 x 
 
Sabemos que a área do galpão é 
 
 
A função que definirá a área do lote é 
 
Mas, 
 
 
 
 
Substituindo na função da área do lote, obtemos 
 
 
 
 
Esta é a função que queremos minimizar. 
Temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolvendo a equação: 
 
 
 
obtemos que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
é um ponto crítico. ( é uma medida e, portanto, consideramos só o valor 
positivo). 
Temos que 
6 
 
 
 
 
 
e portanto, 
 
 
 
 
Logo 
 
 
 
 
É um pontode mínimo. Fazendo 
 
 
 
 
Obtemos que 
 
 
 
 
 
 
 
E, então, a área mínima é obtida quando as dimensões do lote forem 
aproximadamente . 
 
 
6. (2 pts) Um homem anda ao longo de um caminho reto a uma 
velocidade de 1,5 m/s. Um holofote localizado no chão a 6 m do 
caminho é mantido focalizado no homem. A que taxa o holofote está 
girando quando o homem está a 8 m do ponto do caminho próximo 
da luz? 
 
Solução: (Exemplo 5 de Taxas Relacionadas do Livro do Stewart) A figura 
abaixo descreve a situação: 
 
 
 
 X 
 
 
 
 6 
 y 
 
 . 
 
 
 
Temos aqui que é a distância entre o homem e o ponto do caminho mais 
próximo ao holofote. Seja o ângulo entre o feixe do holofote e a 
perpendicular ao caminho. 
Foi dado que e foi pedido para encontrar quando 
 . 
A equação que relaciona e pode ser escrita a partir da Figura acima: 
 
 
 
 
Derivando cada lado em relação a , obtemos 
7 
 
 
 
 
 
 
 
então 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quando , o comprimento do feixe é (Teorema de Pitágoras), 
logo 
 
 
 
 
e 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O holofote está girando a uma taxa de .