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APOSTILA CDI 1 FUNCOES CAP1 DONIZETTI 06marco2012

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força a atuar no corpo será o peso do corpo.
O projétil sobe de h = 0 (solo), em x = 0, até hmáx (altura máxima) em x1.
O projétil desce, até atingir novamente a altura h = 0 (solo) em x2.
A curva descrita pela trajetória é denominada PARÁBOLA. A lei matemática correspondente a essa curva, considerando-se h, variável dependente, e x, variável independente, é dada por um polinômio do 2o grau do tipo:
h = ax2 + bx + c
sendo a, b e c denominados coeficientes.
A cada trajetória corresponderá um valor de a, b e c.
Duas situações particulares deste movimento são, a saber:
1a) Como determinar x1 que corresponde a altura máxima atingida pelo corpo, e qual é essa altura?
2a) Como determinar x2, que corresponde à distância atingida pelo corpo, quando novamente tocará o solo?
�
Neste momento estudaremos funções, cujo gráfico é a trajetória descrita pelo projétil, e teremos, então, a resposta para essas duas situações.
Na resistência dos materiais, nome de uma disciplina dos diversos cursos de engenharia, estuda-se o flexionamento de uma viga sustentada por dois pilares.
Isto é comum, quando se tem um vão livre entre duas pilastras, usar uma viga para sustentar essa parede como representada na figura a seguir.
O que ocorre, naturalmente, é uma deformação dessa viga quando fica sujeita ao peso dessa parede.
O efeito desta deformação, se faz segundo uma curva denominada parábola. Esse efeito acontece em todas as vigas, sugerindo daí o seguinte problema:
“Qual é o momento máximo, isto é, ymáx (ver gráfico anterior), que essa viga suportará, sem se romper, desde que há sempre uma deformação com a aplicação das forças F, sobre a mesma?”
Neste caso, y representará a variação da deformação e x a variação do comprimento da viga. Essa relação é dada por uma função chamada quadrática. Pela teoria a ser apresentada a seguir, teremos condição de determinar esta deformação máxima (ymáx) antes do rompimento da viga.
Função Quadrática (ou polinomial do 2o grau)
Função quadrática é toda função real que associa a cada x(( o elemento (ax2 + bx + c)(( com a ( 0.
Nota importante: O gráfico da função quadrática é uma curva denominada parábola, que terá concavidade “voltada para cima” se a > 0 ou “voltada para baixo” se a < 0.
�
Variação do sinal da função quadrática (polinomial do 2o grau)
Interpretação geométrica das raízes da função quadrática
Sendo as raízes os valores de x para os quais y = 0, geometricamente as raízes vão representar os pontos onde a parábola corta ou tangencia o eixo x.
Como a existência e a natureza das raízes dependem do ( poderemos ter:
�
Função quadrática ou polinomial do 20 grau: Toda função do tipo 
, com 
, é chamada de função polinomial do 20 grau ou função quadrática. Demonstra-se que o gráfico de uma função do tipo 
, com 
, é uma parábola.
Dedução da fórmula de Bhaskara para a resolução de uma equação do 2o grau
Sabemos que a equação completa do 2o grau é dada por: 
. (lembre-se: 
)
Essa equação pode ser escrita como 
.
Dividindo os dois membros por 
, temos: 
Para encontrar o número que, somado aos dois membros dessa equação, torne o primeiro membro um trinômio quadrado perfeito, devemos dividir 
 por 
 e elevar o resultado ao quadrado, ou seja:
Acrescentando 
 aos dois membros da equação, obtemos:
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notas: 
A expressão 
, chama-se discriminante da equação, e é representada pela letra grega 
(lê-se: delta). Então: 
. Assim, se 
, podemos escrever: 
.
O discriminante da equação determina o número de soluções que uma equação do 2o grau pode ter:
Se 
, a equação admite duas soluções reais diferentes: 
 e 
Se 
, a equação admite duas soluções reais iguais. 
 
Se 
, a equação não tem solução entre os números reais.
�
Exemplos:
Resolver as equações a seguir, usando a fórmula de Bhaskara.
 		Resposta: 
 	b) 
 Resposta: 
c) 
 		Resposta: 
		d) 
 Resposta: 
	
 e) 
	Resposta: 
Pontos notáveis da parábola:
Para determinar os pontos de intersecção da parábola com o eixo 
 (se existirem), basta atribuirmos zero a variável
, na equação 
, ou seja resolvemos a equação 
. A resolução pode ser feita utilizando a fórmula de Bhaskara:
 , em que: 
Para determinar o ponto de intersecção da parábola com o eixo 
, basta atribuirmos zero a variável 
na equação 
, logo temos 
, ou seja, 
.
Vértice da parábola: O vértice de uma parábola fica determinado por: 
Máximo (mínimo) de uma função do 2o grau: 
Se o ponto 
 é vértice da parábola que representa graficamente a função do 20 grau 
, com 
, então a abscissa de 
, é ponto máximo e a ordenada de 
, é o valor máximo da função 
.
Se o ponto 
 é vértice da parábola que representa graficamente a função do 20 grau 
, com 
, então a abscissa de 
, é ponto de mínimo e a ordenada de 
, é o valor mínimo da função 
.
Notas: 
O gráfico de uma função do 2o grau é uma curva aberta denominada parábola.
O ponto V(xV,yV) chama-se vértice da parábola.
As abscissas dos pontos onde a parábola corta o eixo dos 
 são chamadas raízes (ou zeros) da função.
Em geral, em termos econômicos:
XV: fornece a quantidade que maximiza os lucros ou minimiza as despesas.
YV: fornece o lucro máximo ou a despesa mínima
Para determinar as raízes (ou zeros) de uma função do 2o grau, com (
), podemos usar a fórmula de Baskara ou usar a propriedade que diz: 
.
Lembre-se: Perímetro = Contorno; Área = Base 
 Altura 
�
ANTENAS PARABÓLICAS
Parábola não é apenas o gráfico de uma função do 20 grau. A forma de parábola aparece também em antenas, que podem ser vistas em muitas casas, prédios e sítios.
A forma parabólica dessas antenas permite captar sinais fracos e dispersos, concentrando-os em um único ponto, para que sejam amplificados.
As antenas parabólicas são usadas também em radiotelescópios, que tem por objetivo captar sinais de rádio provenientes do espaço e estudar o seu padrão.
Nos serviços de telecomunicação via satélite, as antenas parabólicas desempenham um papel imprescindível no acompanhamento dos satélites artificiais em suas órbitas e na exploração do espaço feita por radiotelescópios (aparelhos constituídos por uma antena e um radiorreceptor).
A partir da segunda metade do século XX, com o lançamento dos primeiros satélites de telecomunicação, deu-se início a um processo de integração das mais diversas regiões do mundo.
Hoje, graças às antenas parabólicas e aos satélites de comunicação, pode-se estar conectado não só a todo nosso território como a qualquer ponto do planeta, recebendo todo tipo de informação, seja noticiosa, científica, cultural ou esportiva, nos mais diversos idiomas. Essa consequência do desenvolvimento da tecnologia aplicada ao setor das comunicações é o fenômeno conhecido como globalização.
Reflita sobre o texto:
a) Por que as antenas parabólicas são indispensáveis na telecomunicação via satélite?
b) Cite algumas das dificuldades decorrentes do desenvolvimento tecnológico das telecomunicações?
Questões para pensar:
Em um jogo de futebol foi cometida uma falta frontal ao gol a uma distância de 36 m. Para a cobrança da falta, o juiz montou uma barreira de cinco jogadores, todos com 1,80 m de altura, e posicionou-os a 9 m da bola. Entretanto, logo após o apito do árbitro para a cobrança da falta, a barreira deslocou-se em direção à bola a uma velocidade de 10 cm/s, e o jogador que cobrou a falta só chutou a bola 10 s depois de o árbitro ter apitado. Sabendo-se que a baliza mede 2,44 m de altura e que a falta foi cobrada segundo a trajetória de uma parábola representada pela função 
, pergunta-se: Qual dentre as narrações abaixo melhor representa a situação, após a cobrança da falta? Justifique sua resposta com

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