Circuitos de Corrente Alternada

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Circuitos de Corrente Alternada 
INTRODUÇÃO 
Todos os circuitos de corrente alternada “reais” exibem combinações de resistência (símbolo: R), 
indutância (símbolo: L) e capacitância (símbolo: C). A quantidade de cada um desses elementos que 
aparece em um circuito em particular é determinada pela configuração e características de projeto 
do circuito em questão. 
Todos os condutores em função de seus comprimentos, áreas de suas seções transversais e 
resistividade, exibem uma quantidade de resistência natural. Linhas aéreas de potência, devido à 
configuração de seus condutores individuais, exibem relativamente altos valores de indutância 
natural, assim como com alguma capacitância e resistência. Cabos subterrâneos, devido à 
proximidade de seus condutores individuais, exibem relativamente altos valores de capacitância 
natural assim como alguma indutância e resistência. 
Circuitos c.a. “reais” são relativamente complicados porque contêm uma combinação de resistência, 
indutância e capacitância. Assim de modo a entender o comportamento de um circuito será 
necessário começar considerando como um circuito ideal se comportaria. Neste contexto o circuito 
ideal é aquele que é “puramente resistivo”, “puramente indutivo” ou “puramente capacitivo”. 
Circuitos ideais só existem teoricamente. Mas se estivermos aptos a entender como estes circuitos 
ideais se comportariam se existissem, então estaremos aptos para a combinar ação destes 
comportamentos de modo a entender como circuitos reais e mais complicados se comportam. 
Neste artigo, as tensões e correntes serão referidas como quantidades fasoriais. Para lembrarmos 
disso o símbolo para tensão e corrente são mostradas com pequenas setas sobre eles. Esta é uma 
maneira de indicar que tais quantidades são fasores. É necessário fazer isto quando designamos as 
entidades envolvidas em diagramas fasoriais que obviamente são fasores. 
Resistência, reatância indutiva, reatância capacitiva e impedância não são quantidades fasoriais e, 
então, não terão barras sobre seus símbolos. 
CIRCUITO PURAMENTE RESISTIVO 
Asssim vamos começar com o circuito ideal mais simples de todos, o circuito puramente resistivo. 
 
Figura 1 
Em um circuito puramente resistivo a corrente 𝐼 ̅e a diferença de potencial �̅� sobre a resistência são 
ditas estarem em fase um ao outro - isto é, os pontos de pico e zero das suas formas de onda 
separadas correspondem exatamente uma outra em cada ciclo completo. Esta é a maneira exata 
pela qual poderíamos esperar que o circuito se comportasse, mas como aprendemos, este não é o 
caso com outros tipos de circuito. 
𝐼 ̅
2 
 
Figura 2 
A forma de onda mostrada na figura 2 pode ser representada por meio do que é conhecido como 
diagrama fasorial com os valores de tensão e corrente colocados lado a lado. Neste caso é usual 
desenhar ambos no eixo horizontal positivo, isto é, horizontalmente apontando para direita. Na 
figura 3 e nas que se seguem, a seta curvada para a esquerda é usada simplesmente para nos 
lembrar de que, por convenção, fasores giram no sentido anti-horário. 
 
Figura 3 
Observação: sempre que medirmos o ângulo entre as quantidades fasoriais como tensões e 
correntes, o sentido anti-horário é sempre considerado como o sentido positivo e o sentido horário 
com o sentido negativo. 
O comprimento do fasor tensão �̅� representa o valor rms da tensão de alimentação e o 
comprimento do fasor corrente �̅� representa o valor rms da corrente. Não existe absolutamente 
nenhuma relação entre as escalas nos dois casos, porque cada um deles representam quantidades 
diferentes (por exemplo, o fasor tensão poderia ser desenhado na escala de 10 volts por milímetro, 
enquanto o fasor o corrente poderia ser desenhado na escala de 2 amperes por milímetro. O que é 
importante, no entanto, é o ângulo ou, neste caso, 0°, que indica que as duas quantidades estão em 
fase uma com a outra. 
 Como é o caso para qualquer circuito, a razão entre a tensão e a corrente representa a oposição à 
corrente. Em um circuito puramente resistivo, esta oposição é, claramente, a resistência (símbolo: 
R) do circuito, medida em ohms 
𝑅 = 
�̅�
𝐼 ̅
 
Esta equação nos diz qual será a resistência para esta razão particular da tensão pela corrente - a 
resistência propriamente dita sendo determinado por fatores físicos da carga (comprimento, área da 
secção transversal e resistividade). 
 
 
i 
3 
CIRCUITO PURAMENTE INDUTIVO 
 
 
Figura 4 
Você se lembrara do curso de Física, que sempre que a corrente elétrica através de um indutor varia, 
uma tensão é induzida neste indutor através do processo de autoindução. Pela lei de Lenz, o sentido 
desta tensão induzida (u) sempre age para se opor a qualquer variação na corrente e, de acordo com 
a lei de Faraday, esta tensão induzida é diretamente proporcional à taxa de variação da corrente, 
como expresso a seguir: 
𝑢 ∝ −
∆𝑖
∆𝑡
 
A letra grega “delta” (∆) significa simplesmente “variação em” de modo que a expressão ∆𝑖/∆𝑡 
significa “taxa de variação da corrente”. 
 
 
Figura 5 
A maior taxa de variação na corrente acontece quando a forma de onda da corrente está na sua 
maior inclinação. Como pode ser visto na figura 5, isto ocorre sempre que a forma de onda da 
corrente passa através do eixo t. Assim, no ponto A, por exemplo, a corrente está aumentando na 
sua maior taxa de variação, então a tensão auto induzida máxima (ponto B) ocorrerá no mesmo 
tempo, mas, de acordo com a lei de Lenz, deve agir no sentido negativo (isto é, se opor ao 
crescimento da corrente). Esta forma de onda da tensão induzida está demonstrada como uma linha 
pontilhada na figura 5. 
Pela lei de Kirchoff da Tensão, a tensão induzida (u) deve ser igual, mas oposta à tensão de 
alimentação (ponto C). A forma de onda da tensão de alimentação está demonstrada como uma 
linha sólida. Assim, a corrente está claramente ¼ de comprimento de onda atrás da tensão de 
alimentação (�̅�). Dizemos, portanto, que a corrente está atrasada da tensão de alimentação por 90°. 
U 
4 
Em circuito puramente indutivo, então corrente (𝐼 ̅) é dita estar atrasada da tensão de alimentação 
(�̅� ) por 90° (e é igualmente verdade dizer que a tensão está adiantada da corrente por 90°). Se 
agora redesenharmos a forma de onda ignorando a tensão autoinduzida, ela aparecerá como a 
figura 6. 
 
Figura 6 
Novamente, as formas de onda podem ser representadas por meio de um diagrama fasorial com 
os fasores tensão e corrente posicionados em ângulo reto entre eles. Por convenção, os fasores são 
considerados “girando” no sentido anti-horário, de modo que o fasor tensão (�̅� ) pode ser 
desenhado 90° à frente do fasor corrente (𝐼 ̅) como mostrado a seguir. Seria igualmente correto 
colocar o fasor de tensão horizontalmente com fasor corrente desenhado 90° atrás, mas neste artigo 
desenharemos o fasor corrente horizontalmente. 
 
Figura 7 
Como antes, o comprimento do fasor tensão representa o valor rms da tensão e o comprimento do 
fasor corrente representa o valor rms da corrente. Novamente, não existe absolutamente nenhuma 
reação entre os comprimentos dos fasores uma vez que um representa a tensão e o outro a 
corrente. O que importa é que o fasor tensão está a 90° adiantado em relação ao fasor corrente. 
A razão da tensão pela corrente representa a oposição à corrente. Em um circuito puramente 
indutivo, é claro, não existe resistência, assim chamamos esta oposição à corrente reatância 
indutiva (símbolo: XL) medida em ohms, com o termo “reatância” significando reagindo contra a 
passagem da corrente. 
𝑋𝐿 = 
�̅�
𝐼 ̅
 
a reatância indutiva é determinada pela indutância da carga e pela frequênciada fonte com 
mostrado na seguinte equação: 
𝑋𝐿 = 2𝜋𝑓𝐿 
em que: 
𝑋𝐿 = 𝑟𝑒𝑎𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑖𝑛𝑑𝑢𝑡𝑖𝑣𝑎 (𝑜ℎ𝑚𝑠) 
𝑓 = 𝑓𝑟𝑒𝑞𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎 (ℎ𝑒𝑟𝑡𝑧) ; 
5 
𝐿 = 𝑖𝑛𝑑𝑢𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 (ℎ𝑒𝑛𝑟𝑦) 
 
Para entender como a equação acima é deduzida é necessário utilizar ferramentas do Cálculo 
Diferencial Integral, que está além do escopo deste texto. Então é necessário guardar essa equação 
na memória. Porém você poderá encontrar a dedução em qualquer livro de Física da Eletricidade e 
Magnetismo. 
 
CIRCUITO PURAMENTE CAPACITIVO 
 
Figura 8 
Você se lembrara do curso de Física, que, para um capacitor, a corrente é diretamente proporcional 
à taxa de variação da tensão como expresso a seguir: 
𝑖 ∝ −
∆𝑒
∆𝑡
 
em que a expressão ∆𝑒/∆𝑡 significa “taxa de variação da tensão”. 
Podemos imaginar que em um capacitor a “injeção” de corrente provoca uma variação de tensão. 
 
Figura 9 
Na figura 9, a maior taxa de variação da tensão ocorre quando a forma de onda da tensão de 
alimentação passa através do eixo t e está na sua maior inclinação - por exemplo ponto A. Este é o 
ponto no qual ocorre a corrente máxima (ponto B). Assim, a corrente está claramente um ¼ de 
comprimento de onda à frente da tensão de alimentação da fonte. Dizemos que a corrente está 
adiantada da tensão da fonte por 90°. 
Em um circuito puramente capacitivo, o fasor corrente (𝐼 ̅) é dito estar adiantado do fasor tensão 
(�̅� ) em 90° (e igualmente verdade dizer que a tensão está atrasada da corrente por 90°). 
As formas de onda na figura 10 podem ser representadas por meio de um diagrama fasorial com o 
fasor corrente e o fasor tensão posicionados em ângulo reto entre eles. O fasor tensão (𝐸 ̅) pode ser 
desenhado 90° atrasado em relação ao fasor corrente como mostrado na figura 11. Mais uma vez, é 
6 
igualmente correto colocar o fasor tensão horizontalmente com fasor corrente desenhado 90° à 
frente. 
 
Figura 10 Figura 11 
Como em todo diagrama fasorial, o comprimento do fasor tensão representa o valor (eficaz) r.m.s. 
da tensão e o comprimento do fasor corrente representa o valor r.m.s. da corrente, mas não existe 
absolutamente nenhuma relação entre as escalas desses dois fasores. O que é importante, 
entretanto, é que o fasor corrente está 90° adiantado em relação ao fasor tensão. 
Como sempre, a razão da tensão pela corrente determina a oposição à corrente. Em um circuito 
puramente capacitivo, não existe resistência, assim chamamos esta oposição de reatância 
capacitiva (símbolo 𝑋𝑐), medida em ohms: 
𝑋𝑐 =
�̅�
𝐼 ̅
 
A reatância capacitiva também pode ser expressa em função da frequência e da capacitância, de 
acordo com a seguinte fórmula: 
𝑋𝑐 = 
1
2𝜋𝑓𝐶
 
em que: 
𝑋𝑐 = 𝑟𝑒𝑎𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑐𝑎𝑝𝑎𝑐𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑒𝑚 𝑜ℎ𝑚𝑠 
f = frequência (hertz) 
C = capacitância (farads) 
A dedução dessas fórmulas, está além do escopo desse texto, devendo ser memorizada. Porém pode 
ser encontrada em qualquer livro de Física sobre Eletricidade e Magnetismo. 
Estas equação, junto com a da reatância indutiva, são as únicas equações que precisam ser 
memorizadas. De agora em diante, todas as outras equações podem ser deduzidas dos diagramas 
fasoriais. 
CIRCUITO “REAIS” 
Agora que aprendemos como estes três circuitos ideais teóricos se comportam, vamos mudar nossa 
atenção para circuitos “reais”. 
Circuitos reais exibem combinações de resistências, capacitâncias e indutâncias. Como todos os 
circuitos exibem resistência, olharemos para circuito série Resistivo- Indutivo (R-L série), circuitos 
7 
série Resistivo- Capacitivo (R-C série) e, finalmente, circuito série Resistivo- Indutivo- Capacitivo (R-
L-C série). 
CIRCUITO R-L SÉRIE 
 
Figura 12 
O diagrama do circuito mostrado na figura 12 representa um circuito série resistivo indutivo. Ele não 
representa necessariamente um resistor em série com um indutor, mas uma carga (tal como uma 
bobina) que possui resistência e indutância, ou seja, a carga não é um dispositivo “ideal”. 
Sabe-se agora em um circuito puramente resistivo, a corrente e a tensão estão em fase uma com a 
outra e, em um circuito puramente indutivo, a corrente está atrasada da tensão por 90°. Assim, o 
que acontece no circuito R-L? Intuitivamente poderemos dizer que a corrente estará provavelmente 
atrasada da tensão por algum ângulo entre 0° e 90° - sendo este ângulo chamado de ângulo de fase 
do circuito (símbolo Ø, pronuncia-se “phi”). 
A definição geral de ângulo de fase é o ângulo pelo qual a corrente está adiantada ou atrasada da 
tensão de alimentação do circuito. Por convenção, sempre medimos o ângulo de fase em termos da 
corrente de carga em relação à tensão de alimentação, nunca o contrário. 
Então, para um circuito R-L, como a corrente está sempre atrasada da tensão da fonte, o ângulo de 
fase é sempre descrito como de atraso. Todas as vezes em que um ângulo de fase for mencionado, 
deveremos especificar se ele é de avanço ou de atraso. 
 
Figura 13 
É claro que quando uma corrente (𝐼)̅ flui através de um circuito R-L uma queda de tensão (�̅�𝑅) irá 
surgir sobre o componente resistivo do circuito é uma queda de tensão (�̅�𝐿) irá aparecer sobre o 
componente indutivo do circuito, como mostrado na figura 12. 
Desenhando o diagrama fasorial 
Passo 1 
Como no circuito R-L série, a corrente é comum a ambas as componentes resistiva e indutiva, a 
corrente será escolhida como o de referência. O fasor de referência sempre desenhado em primeiro 
8 
lugar e sempre ao longo do eixo horizontal positivo. É também desenhado bem longo de modo a 
distingui-lo de outros fasores. 
 
Figura 14 
Passo 2 
Com a queda de tensão (�̅�𝑅) sobre a componente resistiva está em fase com a corrente, ela é 
também desenhada ao longo do eixo horizontal positivo. Alguns livros-texto mostram o fasor tensão 
superposto ao fasor de referência. Outros mostram muito perto e paralelo ao fasor de referência - 
método preferido nesse texto – como na figura a seguir: 
 
Figura 15 
Passo 3 
A queda de tensão (�̅�𝐿) sobre a componente indutiva está avançada da corrente em 90°, então é 
desenhada 90° no sentido anti-horário, “avançada” do fasor de referência. Ambos (�̅�𝑅) e (�̅�𝐿) 
representam queda de tensão e assim são desenhadas na mesma escala um do outro (porém não na 
mesma escala do fasor corrente). 
 
Figura 16 
Passo 4 
Sabe-se que, a partir da lei de Kirchoff da Tensão, em um circuito série a tensão da fonte é a soma 
das quedas das tensões individuais. Entretanto, como neste caso as duas quedas de tensão (�̅�𝑅) e 
(�̅�𝐿) são fasores e, neste caso, estão em ângulo reto uma com a outra, temos que adicioná-las 
vetorialmente, como mostrado na figura a seguir. 
Figura 17 
𝐼 ̅
𝐼 ̅
�̅�𝑅 
�̅�𝐿 
�̅�𝑅 
𝐼 ̅
9 
No diagrama fasorial da Figura 17, podemos observar que a tensão da fonte é a soma fasorial (ou 
soma vetorial) de (�̅�𝑅) e (�̅�𝐿), que pode ser determinada usando o teorema de Pitágoras. 
 
�̅� = √𝑈2𝑅 + 𝑈2𝐿 
É completamente desnecessário memorizar esta equação pois ela foi derivada no diagrama fasorial, 
usando o teorema de Pitágoras. Se você puder desenhar o diagrama fasorial e souber o teorema de 
Pitágoras, então não precisa lembrar desta equação. 
Exemplo resolvido 1 A queda de tensão sobre a componente resistiva de 1 circuito R-L série é 30 V e 
a queda de tensão sobre a componente indutiva é 40 V. Qual o valor da tensão de alimentação? 
 Solução Sempre comece desenhando o diagrama do circuito e insira todos os valores dados na 
questão. 
 
Figura 18 
 Agora, faça o diagrama fasorial seguindo os passos descritos acima. Você não precisa desenharo 
diagrama fasorial em escala (figura 19). 
 
Figura 19 
 
Agora você pode aplicar o teorema de Pitágoras para resolver o problema: 
�̅� = √𝑈2𝑅 + 𝑈2𝐿 = 
 
�̅� = √302 + 402 = 50 V (resposta) 
 
Desenhando o diagrama de impedâncias 
Passo 1 
Começamos desenhando o diagrama fasorial do circuito seguindo os passos já explicados (figura 20). 
10 
 
Figura 20 
 
Passo 2 
Agora dividimos cada um dos fasores pelo fasor referência (corrente I) (figura 21) 
 
Figura 21 
O diagrama resultante é conhecido como diagrama de impedância, algumas vezes chamado 
“triângulo de impedância” e é útil porque gera as seguintes equações importantes: 
𝑅𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 (Ω): 𝑅 = 
𝑈𝑅̅̅̅̅
𝐼 ̅
 
𝑅𝑒𝑎𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝐼𝑛𝑑𝑢𝑡𝑖𝑣𝑎 (Ω): 𝑋𝐿 = 
𝑈𝐿̅̅ ̅
𝐼 ̅
 
𝐼𝑚𝑝𝑒𝑑â𝑛𝑐𝑖𝑎 (Ω): 𝑍 = 
�̅�
𝐼 ̅
 
 
Novamente, você não precisa guardar essas equações na memória, porque elas são deduzidas 
quando se converte um diagrama de fasores tensão em um diagrama de impedância! 
No diagrama de impedância, você pode observar que a impedância é também uma soma vetorial da 
resistência com a reatância indutiva, que pode ser calculada pela simples aplicação do teorema de 
Pitágoras (figura 22). 
𝑍 = √𝑅2 + 𝑋𝐿
2 
𝑈𝐿
𝐼
 = XL 
𝑈𝑅
𝐼
 = R 
𝐸
𝐼
 = Z 
UL 
 
E 
 
UL 
 
I 
 
11 
 
Figura 22 
Se necessário você pode também escrever com ações semelhantes para resistência e reatância 
indutiva pela aplicação do teorema de Pitágoras 
𝑅 = √𝑍2 − 𝑋2𝐿 XL= √𝑍2 − 𝑅2 
 
Uma vez mais não é necessário decorar estas equações desde que você possa desenhar um 
diagrama fasorial convertê-lo em um diagrama de impedância e aplicar o teorema de Pitágoras! 
Podemos também encontrar o ângulo de fase usando trigonometria básica pelas razões seno coseno 
ou tangente. 
cos ∅ = 
𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 
= 
𝑅
𝑍
 
 
∅ = 𝑐𝑜𝑠−1 
𝑅
𝑍
 
O coseno do ângulo é também chamado de fator de potência. 
Exemplo resolvido 2 Um indutor de resistência 5 Ω e indutância 0,02 mH está conectado a uma 
fonte de corrente alternada de 230 V, 50 Hz. Calcule cada um dos seguintes itens: 
a. reatância indutiva; 
b. impedância 
c. corrente; 
d. queda de tensão sobre a componente resistiva do circuito; 
e. queda de tensão sobre a componente indutiva do circuito; 
f. ângulo de fase do circuito. 
Solução O primeiro passo para resolver qualquer problema de circuito é desenhar um diagrama do 
circuito e atribuir aos elementos todos os valores fornecidos pelo problema (figura 23). 
Figura 23 
12 
O próximo passo é desenhar um diagrama fasorial das tensões e corrente seguindo os passos 
descritos anteriormente (figura 24). 
 
Figura 24 
Como problema relaciona reatância indutiva, impedância, etc. o próximo passo é converter o 
diagrama fasorial de tensão no diagrama de impedância dividindo tudo pela quantidade de 
referência, isto é, pela corrente. Isto gera todas as informações que precisamos para resolver o 
problema (figura 25). 
 
Figura 25 
a. Para encontrar a reatância indutiva XL do podemos utilizar a equação para a reatância 
indutiva (uma daquelas que você precisa memorizar ou ter em mãos): 
 
𝑋𝐿 = 2𝜋𝑓𝐿 = 2𝜋 𝑥 50 𝑥 0,02 = 6,28 Ω (resposta) 
 
b. Pode encontrar a impedância podemos usar uma equação gerada pelo diagrama de 
impedância: 
𝑍 = √𝑅2 + 𝑋𝐿
2 = √52 + 6,282 = 8,03 Ω (resposta). 
c. Para encontrar a corrente usamos a seguinte equação que foi gerada pelo diagrama de 
impedância: 
 
𝐼 ̅ = 
�̅�
𝑍
= 
230
8,03
= 28,64 𝐴 (𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎) 
 
d. Novamente, usando a equação gerada pelo diagrama de impedância: 
�̅�𝑅 = 𝐼�̅� = 28,64 𝑥 5 = 143,20 𝑉 (𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎) 
 
e. Mais uma vez, usando a equação gerada pelo diagrama de impedância: 
 
�̅�𝐿 = 𝐼�̅�𝐿 = 28,64 𝑥 6,28 = 179,86 𝑉 (𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎) 
 
f. Usando a função coseno: 
13 
∅ = 𝑐𝑜𝑠−1 
𝑅
𝑍
= 𝑐𝑜𝑠−1 
5
8,03
= 51,48° 𝑎𝑡𝑟𝑎𝑠𝑎𝑑𝑎 (𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎) 
 
( “Atrasada” porque a corrente fornecida está atrás da tensão da fonte no circuito indutivo ) 
 
Nota: se quisermos expressar as tensões e correntes como função do tempo, teremos: 
 
𝑒 = 230 sen((2𝜋 𝑥 50 𝑥 𝑡) + 51,48° ) 
𝑖 = 28,64 sen((2𝜋 𝑥 50 𝑥 𝑡) + 0° ) 
𝑢𝑅 = 143,20 sen((2𝜋 𝑥 50 𝑥 𝑡) + 0° ) 
𝑢𝐿 = 179,86 sen((2𝜋 𝑥 50 𝑥 𝑡) + 90° ) 
 
 
CIRCUITO R-C SÉRIE 
 
Figura 26 
Mais uma vez, é importante perceber que o circuito mostrado na figura 26 não representa 
necessariamente um resistor e um capacitor, mas simplesmente representa uma resistência em 
série com uma capacitância. Por exemplo, ele poderia representar a resistência e a capacitância de 
um cabo subterrâneo muito longo. 
Sabemos que em um circuito puramente resistivo, a corrente e a tensão estão em fase uma com a 
outra e, em um circuito puramente capacitivo, a corrente está adiantada da tensão por 90°. Assim o 
que acontece em um circuito RC série? Podemos imaginar que a corrente deve estar adiantada da 
tensão por um ângulo entre 0 e 90° - este ângulo é chamado ângulo de fase (símbolo Ø, pronuncia-
se “phi”). 
Lembre-se de que a definição geral de ângulo de fase é o ângulo pelo qual a corrente está adiantada 
ou atrasada da tensão de alimentação. Então para um circuito resistivo-capacitivo, como a corrente 
está sempre adiantada da tensão de fonte o ângulo de fase é sempre descrito como de avanço. 
 
Figura 27 
14 
Quando uma corrente flui através de um circuito RC série, uma queda de tensão �̅�𝑅 irá aparecer 
sobre o componente resistivo do circuito e uma queda de tensão �̅�𝐶 irá surgir sobre o componente 
capacitivo. 
Desenhando o diagrama fasorial 
Passo 1 
Em um circuito R-C série, a corrente é comum a ambas as componentes resistiva e capacitiva. Assim, 
a corrente é escolhida como fasor de referência. O fasor de referência é sempre desenhado em 
primeiro lugar e sempre ao longo do eixo horizontal positivo. É também desenhado bem comprido 
de modo a distingui-los dos outros fasores. (Figura 28) 
 
Figura 28 
Passo 2 
A queda de tensão o sobre a componente resistiva �̅�𝑅 está em fase com a corrente, então ela é 
também desenhada ao longo do eixo horizontal positivo (figura 29). 
 
Figura 29 
Passo 3 
A queda de tensão o sobre a componente capacitiva está atrasada da corrente por 90°. Então é 
desenhada agora 90° no sentido anti-horário do fasor de referência (figura 30). 
 
Figura 30 
Passo 4 
Sabe se que, a partir da lei de Kirchoff da tensão que em um circuito série a tensão de fonte é a 
soma das quedas de tensão individuais. Como neste caso as duas quedas de tensão �̅�𝑅 e �̅�𝐶 estão 
em ângulo reto uma com a outra, temos que adicioná-las vetorialmente para encontrar a 
componente 𝐸 da tensão da fonte (figura 31). 
15 
 
Figura 31 
No diagrama fasorial completo mostrado na figura 29 podemos observar que a tensão da fonte �̅�, é 
a soma fasorial (ou soma vetorial) de �̅�𝑅 e �̅�𝐶 , que pode ser determinada usando-se o teorema de 
Pitágoras. 
Exemplo resolvido 3 A queda de tensão sobre a componente resistiva de um circuito R-C série é 40 V 
e a queda de tensão sobre a componente capacitiva 30 V. Qual o valor da queda de tensão total? 
Solução Sempre comece desenhando o diagrama do circuito (figura 32) e insira todos os valores 
dados na questão. 
 
Figura 32 
Agora, faça o diagrama fasorial seguindo os passos descritos acima. Você não precisa desenhar o 
diagrama fasorial em escala. 
 
Figura 33 
Finalmente, você pode aplicar a lei de Kirchoff da Tensão e usar o teorema de Pitágoras pararesolver o problema: 
�̅� = √�̅�2𝑅 + �̅�2𝐶 = √402 + 302 = 50 V (resposta) 
 
CIRCUITO R-L-C SÉRIE 
 
Figura 34 
�̅� 
Ø 
�̅�𝑅 
�̅�𝐶 
16 
Aprendemos que: 
• em um circuito R-L série, a corrente está atrasada da tensão da fonte por algum ângulo; 
• em um circuito R-C série, a corrente está avançada da tensão por algum ângulo. 
Assim, o que acontece em um circuito R-L-C série? Claramente, a corrente pode estar ou adiantada 
ou atrasada da tensão, dependendo dos valores da reatância indutiva e da reatância capacitiva. 
Qualquer que seja este ângulo, ele será o angulo de fase do circuito (Ø). 
Quando uma corrente flui através de um circuito R-L-C série, uma queda de tensão �̅�𝑅 irá aparecer 
sobre o componente resistivo do circo, uma queda de tensão �̅�𝐿 irá aparecer sobre o componente 
indutivo e uma queda de tensão �̅�𝐶 irá aparecer sobre o componente capacitivo do circuito. 
Desenhando o diagrama fasorial 
Passo 1 
Em um circuito série, a corrente é comum a cada um dos componentes e, assim, a corrente é 
novamente escolhida como o fasor de referência. O fasor de referência é sempre desenhado em 
primeiro lugar e sempre ao longo do eixo horizontal positivo. É também desenhado bem longo de 
modo a distingui-lo dos outros (figura 35). 
 
Figura 35 
Passo 2 
A queda de tensão o sobre a componente resistiva �̅�𝑅 está em fase com a corrente, então ela é 
também desenhada ao longo do eixo horizontal positivo (figura 36). 
 
Figura 36 
Passo 3 
A queda de tensão (�̅�𝐿) sobre a componente indutiva está avançada da corrente em 90°, então é 
desenhada 90° no sentido anti-horário, “avançada” do fasor de referência. Ambos (�̅�𝑅) e (�̅�𝐿) 
representam queda de tensão e assim são desenhadas na mesma escala um do outro (porém não na 
mesma escala do fasor corrente) 
Figura 37 
Passo 4 
I 
�̅�𝑅 
�̅�𝐿 
�̅�𝑅 I 
17 
A queda de tensão o sobre a componente capacitiva está atrasada da corrente por 90°. Então é 
desenhada agora 90° no sentido anti-horário do fasor de referência (figura 38). 
 
Figura 38 
Passo 5 
A partir da lei de Kirchoff, a queda de tensão total em um circuito série é a soma das quedas de 
tensão individuais e temos que adicioná-las vetorialmente. 
É um pouco mais difícil adicionar 3 fasores e como �̅�𝐿 e �̅�𝑅 estão em sentidos opostos, o mais 
simples é começar subtraindo-os e então adicionar ou fasor diferença a �̅�𝑅. 
A dificuldade é, claramente, que podemos não saber se �̅�𝐿 é maior que �̅�𝐶 ou vice-versa. 
Felizmente isso não importa! O propósito do diagrama fasorial é simplesmente gerar equações e não 
representar precisamente a condição real no circuito em escala. O diagrama fasorial irá sempre 
gerar as equações corretas se �̅�𝐿 é maior que �̅�𝐶 ou vice-versa. 
 
Figura 39 
Assim, a solução mais simples é adquirir o hábito de sempre desenhar �̅�𝐿maior que �̅�𝐶 - ou ao 
contrário se você preferir. Mas nunca desenhe esses fasores com o mesmo comprimento. A figura 
38 mostra como o diagrama fasorial ficará quando terminado. 
 
Figura 40 
A partir do diagrama fasorial completo, podemos observar que a tensão da fonte �̅� é a soma fasorial 
(ou soma vetorial) de �̅�𝑅 , �̅�𝐿 e �̅�𝐶 , que pode ser determinado usando o teorema de Pitágoras. 
�̅� = √�̅�𝑅
2
+ (�̅�𝐿 − �̅�𝐶)2 
�̅�𝐶 
�̅�𝐶 
�̅�𝐿 
�̅�𝑅 I 
I 
�̅�𝑅 
E 
18 
Exemplo resolvido 4 Em um circuito RLC série, a queda de tensão sobre a componente resistiva é 4 
volts, a queda de tensão sobre a componente indutiva é 10 V, a queda de tensão sobre a 
componente capacitiva é 7 V. Qual o valor da queda de tensão total? 
Solução Sempre comece desenhando o diagrama fasorial e insira todos os valores dados na questão 
(figura 41). 
 
Figura 41 
Agora, faça o diagrama fasorial, seguindo os passos descritos acima. Você não precisa desenhar o 
diagrama fasorial em escala (figura 40). 
 
Figura 42 
Então, pode aplicar a Lei de Kirchoff da tensão e usar o teorema de Pitágoras para resolver o 
problema. 
�̅� = √�̅�𝑅
2
+ (�̅�𝐿 − �̅�𝐶)2 = �̅� = √42 + (10 − 7)2 = 5 𝑉 (𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎). 
Diagrama de impedância 
Passo 1 
Começamos desenhando o diagrama fasorial do circuito, seguindo os passos já explicados (figura 41) 
 
Figura 43 
Passo 2 
Agora, dividimos cada um dos fasores tensão pelo fasor corrente (𝐼)̅ (figura 42). 
Figura 44 
�̅�𝐿 
�̅�𝐶 
I 
19 
O diagrama resultante é conhecido como um diagrama de impedância (algumas vezes chamado de 
“triângulo de impedância”) e é útil porque gera as seguintes equações importantes: 
𝑅 =
�̅�𝑅
𝐼 ̅
 𝑋𝐿 =
�̅�𝐿
𝐼 ̅
 𝑋𝐶 =
�̅�𝐶
𝐼 ̅
 𝑍 = 
�̅�
𝐼 ̅
 
A partir do diagrama de impedância, pode-se observar que a impedância também é uma soma 
vetorial da resistência, da reatância indutiva e da reatância capacitiva, que pode ser calculada pela 
simples aplicação do teorema de Pitágoras (figura 45). 
 
Figura 45 
𝑍 = √𝑅2 + (𝑋𝐿 − 𝑋𝐶)2 
Uma vez mais, podemos também encontrar o ângulo de fase, usando trigonometria básica: 
cos ∅ = 
𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎
= 
𝑅
𝑍
 
∅ = 𝑐𝑜𝑠−1 
𝑅
𝑍
 
Exemplo resolvido 5 Um circuito de resistência 1,5 Ω, indutância 16 mH e capacitância 500 µF está 
conectado a uma fonte c.a. de 230 V, 50 Hz. Calcule cada uma das seguintes grandezas: 
a. reatância indutiva; 
b. reatância capacitiva; 
c. impedância; 
d. corrente; 
e. queda de tensão sobre a componente resistiva do circuito; 
f. queda de tensão sobre a componente indutiva do circuito; 
g. queda de tensão sobre a componente capacitiva do circuito; 
h. ângulo de fase do circuito 
Solução O primeiro passo para resolver qualquer problema de circuito é desenhar o diagrama do 
circuito e atribuir aos elementos todos os valores fornecidos pelo problema (figura 46). 
 
Figura 46 
20 
O próximo passo é desenhar o diagrama fasorial das tensões seguindo os passos descritos 
anteriormente (figura 47). 
 
Figura 47 
Como o problema relaciona reatância indutiva, reatância capacitiva, impedância, etc., o próximo 
passo é converter o diagrama fasorial de tensão no diagrama de impedância (figura 48), dividindo 
tudo pela quantidade de referência – isto é, pela corrente. Este processo gera todas as equações que 
precisamos para resolver o problema. 
 
Figura 48 
a. Para encontrar a reatância indutiva (XL) do circuito, podemos usar a equação básica da 
reatância indutiva: 
𝑋𝐿 = 2𝜋𝑓𝐿 = 2𝜋 𝑥 50 𝑥 16 𝑥 10
−3 = 5,03 Ω 
 
b. Para encontrar a reatância capacitiva (XC) do circuito, podemos usar a equação básica da 
reatância indutiva: 
𝑋𝐶 =
1
2𝜋𝑓𝐶
=
1
2𝜋 𝑥 50 𝑥 500 𝑥 10−6
= 6,37 Ω 
 
c. 𝑍 = √𝑅2 + (𝑋𝐿 − 𝑋𝐶)2 = √1,52 + (5,03 − 6,37)2 = 2,01 
 
d. 𝐼 ̅ =
�̅�
𝑍
 = 
230
2,01
= 114,43 𝐴 
 
e. �̅�𝑅 = 𝑅𝐼̅ = 1,5 𝑥 114,43 = 171,65 𝑉 
 
f. �̅�𝐿 = 𝑋𝐿𝐼 ̅ = 5,03 x 114,43 = 575,38 V 
 
g. �̅�𝐶 = 𝑋𝐶𝐼 ̅ = 6,37 x 114,43 = 728,92 V 
 
h. ∅ = 𝑐𝑜𝑠−1 
𝑅
𝑍
= 𝑐𝑜𝑠−1
𝑅
𝑍
= 𝑐𝑜𝑠−1
1,5
2,01
= 41,74𝑜 “avançada” 
 
“avançada” porque neste caso �̅�𝐶> �̅�𝐿. Sendo assim o fasor corrente está à frente do fasor 
tensão da fonte.