3- Oscilações

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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO 
 Unidade Acadêmica do Cabo de Santo Agostinho 
 Monitoria Física II 
 
Monitor: ​Samuel B. da Gama Neto 
 
Oscilações 
 
Definimos como oscilação como sendo uma perturbação que se repete, podendo ser 
periódica ou não periódica, ou seja, se repete no mesmo intervalo de tempo ou não. Sendo 
todo movimento que se repete em intervalos regulares chamados de Movimento Harmônico 
ou Periódico. 
Utilizando o exemplo massa-mola, estamos interessados em determinar as funções 
para o MHS. x(t), v v(t) e a a(t) x = = = 
 
Utilizando a segunda lei de Newton: mF R = * a 
, onde , x maF el = F R = − k = a = dx²
d²x x m − k = dx²
d²x 
Logo: , para o resultado desta equação ( )x dx²
d²x + km = 0 
diferencial obtemos: (t) x cos(wt ) x = m + ϕ 
: Fase do movimentot w + ϕ 
: Constante de fase ϕ 
 : Frequência Angularw 
A grandeza é uma constante positiva cujo valor depende do modo como o x m 
movimento foi produzido. A frequência angular ( ) é dada por: , onde ,w 2πfw = T
2π = T = f
1 
: período e : frequência .T T ] s[ = f f ] Hz s[ = = − 
Velocidade 
(t) x sen(wt )v = dt
dx(t) = − w m + ϕ 
Aceleração 
(t) ²x cos(wt )a = dt
dv(t) = − w m + ϕ 
Definimos então o Movimento Harmônico Simples , como sendo o movimento 
executado por uma partícula sujeita a uma força de módulo proporcional ao deslocamento 
da partícula e orientada no sentido oposto. (t) ²xa = − w m 
Para o sistema massa-mola antes apresentado, temos: 
ma mw²)xF R = = − ( 
x mw²)x − k = − ( 
 mw²k = 
Então, e w = √ km 2π T = √ km 
 
Energia do MHS 
K UEm = + 
 e w²x ²sen²(wt )K = 2
mv² = 2
m
m + ϕ x ²cos²(wt )U = 2
kx² = 2
k
m + ϕ 
Em = 2
kx ²m 
 
 
Pêndulos 
Simples 
 
A componente tangencial produz um torque: 
: ângulo entre e r , r F senθ τ = × F τ = θ F r 
 Iατ R = 
 mg senθ Iα− L = enθs ≈ θ 
 α = I
−Lmgθ 
Sabendo que, w² w² α = − θ ⇒ = I
Lmg 
 T 2π w = √ ILmg ⇒ = √ ILmg 
Pêndulo Angular 
Lei de Hooke: θτ = − κ 
θ α − κ = I 
 w² T π α = − I
κθ ⇒ = I
κ ⇒ = 2 √ Iκ 
 
Movimento Harmônico Simples Amortecido 
Para o MHS consideramos condições ideais, onde a energia mecânica não era 
dissipada, mas quando o sistema perde energia dizemos que o seu movimento é 
amortecido. Utilizando a 2ª Lei de Newton: 
, a F m = R = F el + F at vF at = − b 
: Constante de amortecimento, e b a = dt²
d²x v = dt
dx 
 m dt²
d²x = − k dt
dx − b dt
dx 
 0m dt²
d²x + k dt
dx + b dt
dx = 
 dt²
d²x + km dt
dx + bm dt
dx = 0 
 e ² w = km γ 2 = 
b
m ² γdt²
d²x + w dt
dx + 2 dt
dx = 0 
Cuja solução é: 
(t) e cos(w t ϕ) x = xm −γt ′ + 
 w′ = √ km − b²4m² 
Com o resultado podemos avaliar três casos: 
(a) Amortecimento Subcrítico : Várias oscilações acompanhada de um γ < w 
decaimento exponencial. 
(b) Amortecimento Crítico : Algumas oscilações acompanhada de um rápido γ = w 
decaimento exponencial. 
(c) Amortecimento supercrítico : Decaimento exponencial lento.γ > w 
 
Energia 
 
Em = 2
kx ²em − m
bt
 
 
 
 
(Questão 14, HALLIDAY 9ª ed) Um oscilador harmônico simples é formado por um bloco 
de massa 2,00 kg preso a uma mola de constante elástica 100 N/m. Em , a 1, st = 0 
posição e a velocidade do bloco são e . (a) Qual é a amplitude , 29 m x = 0 1 3, 15 m/sv = 4 
das oscilações? (b) Qual era a posição e (c) qual era a velocidade do bloco em ? 0t = 
 
(a) Sabemos que a eq. do espaço para o MHS é no enunciado foi dado (t) x cos(wt ) x = m + ϕ 
e , antes de acharmos a amplitude devemos encontrar e . , 29 m x = 0 1 1, st = 0 w ϕ 
Foi demonstrado que , portanto: . Para w = √ km 7, 7 rad w = √ km = √ 2100 = 0 
encontrarmos a fase , podemos também fazer uso da velocidade , que no ϕ 3, 15 m/sv = 4 
MHS tem eq . na forma .(t) x sen(wt ) v = − w m + ϕ 
Dividindo a velocidade pelo espaço cortaremos a amplitude (que não temos) e 
encontraremos a fase : ϕ 
 tan (wt )x (t)
v(t) = − w cos(wt +ϕ)
sen(wt +ϕ) = − w + ϕ 
 7, 7 tan (wt )⇒ 0,129
3,415 = − 0 + ϕ 
t Arctan (− 3, 44) 5º , 1 rad w + ϕ = 7 = − 7 = − 1 3 
com , 1 t ϕ = − 1 3 − w 1, st = 0 
 , 1 , 7 , 8 rad ϕ = − 1 3 − 7 0 × 1 = − 8 3 
Logo, 
(t) x cos(− , 1)x = m 1 3 
 0, 29/xm = 1 os(− , 1) 0, mc 1 3 = 5 
(b) Agora sabemos que: 
(t) x cos(wt ) (0, m) cos ((7, 7 rad )t (8, 8 rad)) x = m + ϕ = 5 0 − 3 
Quando , 0t = 
(0) 0, cos(− , 8 rad) 0, 51 m x = 5 8 3 = 2 
(c) Com , então:(t) x sen(wt ) v = − w m + ϕ 
(0) 7, 7 rad) (0, m) sen(− , 8 rad) 3, 6 m/sv = − ( 0 × 5 8 3 = 0 
 
 
(Questão 53, HALLIDAY 9ª ed) ​Na vista superior da Fig. 15-48, uma barra longa, 
homogênea, com 0,600 kg de massa, está livre para girar em um plano horizontal em torno 
de um eixo vertical que passa pelo centro. Uma mola de constante elástica k = 1850 N/m é 
ligada horizontalmente entre uma das extremidades da barra e uma parede fixa. Quando 
está em equilíbrio, a barra fica paralela à parede. Qual é o período das pequenas oscilações 
que acontecem quando a barra é girada ligeiramente e depois liberada? 
 
 
Devemos mostrar que para pequenos ângulos o 
sistema (ao lado) descreve um MHS. Utilizando a 2ª lei de 
Newton para rotação: 
 Iατ R = 
 
Sabemos que: , podemos escrever onde , mas τ R = r × F rτ R = F el L/2r = 
 e de acordo com imagem . xF el = − k L/2 sen θx = 
Utilizando a aproximação de que para pequenos ângulos, temos:enθ s ≈ θ 
 θF el = − 2
kL 
Logo, L/2 θτ R = F el = − 4
kL² 
α θI = − 4
kL² 
 θα = − 4I
kL² 
Substituindo, I I = cm = 12
mL² 
 θ α θα = − kL²
4 12
mL² ⇒ = − m
3k 
Comparando com , temos que (t) ²xa = − w m ² w = − m
3k 
 w = √ m3k 
Sabemos que , portanto:w = T
2π 
 2π π 0, 65329 s T = √ m3k = 2 √ 0,63 1850* = 0