MECANICA_DOS_FLUIDOS - CONCEITOS FUNDAMENTAIS

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MECÂNICA DOS FLUIDOS
CONCEITOS FUNDAMENTAIS
O QUE É UM FLUIDO?
O QUE DIFERENCIA UM FLUIDO DE UM 
SÓLIDO?
Estrutura molecular:
• Sólido – moléculas muito coesas e sujeitas a forças moleculares fortes. 
Mantém sua forma e não pode ser deformado facilmente.
• Líquido – moléculas mais espaçadas e sujeitas a forças moleculares
fracas. Facilmente deformados (podem escoar) mas não podem ser 
comprimidos (incompressíveis)
• Gases – Moléculas muito mais espaçadas e forças moleculares de coesão
molecular desprezíveis. Facilmente deformados e podem ser comprimidos
(compressíveis) e sempre ocuparão totalmente o volume de qualquer
reservatório.
O QUE É UM FLUIDO?
FLUIDO
Substância que se deforma (ESCOA) continuamente quando
aplicado um esforço cisalhante
SÓLIDO
Substância que exerce extrema resistência a deformação, e 
retorna ao estado inicial logo após retirada da carga.
Dimensões, Homogeinidade Dimensional e 
Unidades
(Descrição das características do Fluido)
FORMA QUALITATIVA
Identifica a natureza ou o tipo da característica (como
comprimento, tempo, tensão, velocidade) 
FORMA QUANTITATIVA
Medida numérica para a caracterísitca (um valor absoluto)
Dimensões, Homogeinidade Dimensional e 
Unidades
(Análise Qualitativa – Sistema de Dimensões)
UTILIZA UMA BASE PRIMÁRIA DIMENSIONAL PARA 
REFERENCIAR TODAS AS CARACTERÍTICAS:
OS DOIS SISTEMAS PRIMÁRIOS MAIS UTILIZADOS SÃO 
OS SEGUINTES:
SISTEMA MLtT
M -> massa
L - > comprimento
t -> tempo
T -> temperatura
SISTEMA FLtT
F -> força
L - > comprimento
t -> tempo
T -> temperatura
Dimensões, Homogeinidade Dimensional e 
Unidades
(Análise Qualitativa)
Dimensões, Homogeinidade Dimensional e 
Unidades
• A análise qualitativa será útil para realizar análises dimensionais
de problemas. (SERÁ APLICADA NO CAPÍTULO DE 
SEMELHANÇA)
• PODE SER UTILIZADA TAMBÉM PARA VERIFICAR SE UM 
EQUACIONAMENTO QUALQUER ESTÁ BALANCEADO ! (OS 
DOIS LADOS DA IGUALDADE PRECISAM APRESENTAR AS 
MESMAS DIMENSÕES)
QUAIS DESTES DOIS EQUACIONAMENTOS ESTÁ
CORRETO?
Dimensões, Homogeinidade Dimensional e 
Unidades
(Análise Quantitativa – Sistema de Unidades)
OS DOIS SISTEMAS MAIS CONHECIDOS E 
EMPREGADOS SÃO:
SISTEMA SI
M -> kg (kilograma)
L - > m (metro)
t -> s (segundo)
F -> N (Newton) = kg.m/s2
T (abs) -> K (Kelvin)
T -> oC (Celsius)
SISTEMA BRITÂNICO
M -> slug
L - > ft (feet)
t -> s (segundo)
F -> lbf (libra força) 
T (abs) -> R (Rankine)
T -> oF (Farenheit)
Propriedade dos Fluidos
(Análise do Comportamento dos Fluidos)
Áreas de estudo da Mecânica dos Fluidos:
– ESTÁTICA DOS FLUIDOS (FLUIDO PARADO)
– DINÂMICA DOS FLUIDOS (FLUIDO EM MOVIMENTO)
Conceitos / Propriedades importantes na análise dos 
comportamentos dos fluidos:
– Massa Específica / Densidade (ρρρρ)
– Peso Específico ( γ)
– Lei dos Gases Ideais
– Viscosidade ( µ
 µ µ µ)
– Pressão de Vapor
– Tensão Superficial
Propriedade dos Fluidos
• MASSA ESPECÍFICA (densidade) 
– Expressa a massa de fluido existente em uma unidade de volume.
– Símbolo: ρ
– Análise Dimensional: M/L3; Unidade (SI): kg/m3
ρ
ν
1
=
• VOLUME ESPECÍFICO 
•Inverso da densidade, expressa o volume do fluido que
compreende uma unidade de massa.
• Símbolo: ν
Análise Dimensional: L3/M; Unidade (SI): m3/kg
Propriedade dos Fluidos
• GRAVIDADE ESPECÍFICA (densidade específica) 
– Expressa a relação entre densidades do fluido de interesse e da
água em uma determinada temperatura de referência.
– Geralmente se utiliza a densidade da água a 4oC (1000 kg/m3)
– Símbolo: SG (specific gravity)
– Por ser uma relação de variáveis de mesma unidade, fica sendo
uma propriedade adimensional.
Cagua
SG
4_ρ
ρ
= EXEMPLO
SGoleo= 0,85
ρoleo = SGoleo*1000 = 850 Kg/m3
Propriedade dos Fluidos
• Peso Específico
– Expressa o peso (Força) de fluido por unidade de volume.
– Símbolo: γ
– Análise Dimensional: F/L3; M/(t2L2) Unidade (SI): N/m3 gργ =
• Lei dos Gases Perfeitos (Ideal) 
TRP ⋅⋅= ρ
Pressão
Absoluta
M/(t2L) 
N/m2 (Pa)
Densidade
M/L3
Kg/m3
Temperatura
Absoluta
T
K (Kelvin)
Constante do gás
L2/ (t2T)
J/(kg.K)
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
• MUNSON (4 ed)
Capítulo 1: 1.1 a 1.6; 1.8 a 1.12; 1.20; 1.22; 1.24; 1.25; 
1.28; 1.29; 1.32; 1.34; 1.36;1.37. 
Propriedade dos Fluidos
• Viscosidade dinâmica (µ) 
– A densidade e o peso específico são uma medida de “quão pesado”
é um fluido. O azeite e o óleo, por exemplo, são mais “leves” que a 
água (SG ~ 0,8 a 0,9)
– A viscosidade descreve a “fluidez” , ou seja, A FACILIDADE EM 
ESCOAR. O azeite e o óleo, embora com menor densidade, 
apresentam menor fluidez, devido a maior viscosidade.
-SÍMBOLO: µ
- Unidades (SI): Pa.s (N/m2*s)
Viscosidade x Taxa de Deformação
ESCOAMENTO SOBRE DUAS PLACAS PLANAS:
– Quando a plicada a força P sobre a placa superior, inicia-se um 
movimento da placa, que cisalha a lâmina de fluido adjacente, forçando o 
escoamento do fluido. 
– Pelo Diagrama de corpo livre (esquerda), percebe-se que, pelo princípio
de ação e reação, o fluido reage sobre a placa com uma força restituidora, 
que é a tensão cisalhante x a área.
Viscosidade x Taxa de Deformação
• Analisando a aplicação da força P em um 
pequeno instante de tempo δt, a placa se 
movimenta por uma distância δa, ocasionando
uma deformação angular (cisalhante) do fluido
de δβ
Para pequenas deformações, pode-se assumir a seguinte relação:
b
U
t
=δ
δβ
Onde δβ/δt é a variação angular (cisalhante) pelo tempo
Viscosidade x Taxa de Deformação
Assumindo o instante de tempo δδδδt tende a zero 
(infinitesimal), podemos escrever a seguinte
propriedade:
TAXA DE DEFORMAÇÃO CISALHANTE ( )γ&
dy
du
=γ&Onde, para qualquer ponto no escoamento, fica:
Qualquer fluido submetido a uma tensão de cisalhamento, sofre uma taxa de 
deformação. 
MAS COMO A VISCOSIDADE SE RELACIONA COM TUDO ISTO?
Viscosidade x Taxa de Deformação
• Assim, pode se correlacionar a tensão de cisalhamento sofrida pelo fluido
com a taxa de deformação:
A TENSÃO DE CISALHAMENTO RESULTANTE PARA UMA DETERMINADA TAXA DE
DEFORMAÇÃO SERÁ TANTO MAIOR QUANTO MAIOR A VISCOSIDADE DESTE 
FLUIDO!
Esta proporcionalidade é
transformada em igualdade
através da adoção de uma
constante de proporcionalidade
Viscosidade dinâmica
FLUIDOS ONDE A RELAÇÃO ENTRE TENSÃO CISALHANTE E TAXA DE 
DEFORMAÇÃO SEGUEM A PROPORCIONALIDADE ACIMA (LINEAR), SÃO 
CHAMADOS DE FLUIDOS NEWTONIANOS !! (água, óleo, ar, glicerina, azeite, etc…)
A GRANDE MAIORIA DOS FLUIDOS QUE CONHECEMOS SÃO FLUIDOS 
NEWTONIANOS. 
A CIÊNCIA QUE ESTUDA OS FLUIDOS NÃO NEWTONIANOS É CHAMADA DE 
REOLOGIA.
Viscosidade x Taxa de Deformação
FLUIDOS NEWTONIANOS OUTROS FLUIDOS
Viscosidade Cinemática
OUTRA PROPRIEDADE IMPORTANTE DOS FLUIDOS É A VISCOSIDADE 
CINEMÁTICA, QUE É DEFINIDA DA SEGUINTE FORMA:
ρ
µ
ν =
VISCOSIDADE DINÂMICA
MASSA ESPECÍFICA
SÍMBOLO: ν Unidades (SI): m2/s
EXPRESSA UMA RELAÇÃO ENTRE PESO E FLUIDEZ
Condição de Não Deslizamento
Quando um fluido é envolto por uma superfície sólida, interações moleculares
fazem com que o fluido ADJACENTE a superfície busque um equilíbrio de 
quantidade de movimento e energia com a superfície.
ISTO IMPLICA QUE TEMPERATURA E VELOCIDADE DO FLUIDO 
ADJACENTE A PAREDE ASSUMAM OS VALORES DA PRÓPRIA PAREDE.
EXEMPLOS:
Uma placa parada e 
outra em movimento
Duas placas paradas
ESCOAMENTO ENTRE PLACAS PLANAS
Em escoamentos entre placas planas paralelas e infinitas, com uma em
movimento e outra parada, pode-se modelar o perfil de velocidade como LINEAR
Assim, as tensões de cisalhamento, 
podem ser facilmente avalidas, pois:
y
u
dy
du
∆
∆
== µµτ
LEMBREM QUE O INFINITO implica que h<<L(comprimento da placa)
Assim, a hipótese de infinito pode ser adotada em
problemas finitos, mas que h<<L
SENTIDO DA TENSÃO CISALHANTE
A tensão cisalhante é uma grandeza vetorial, ou seja, para ser 
completamente definida, precisa, além da magnitude, da direção e sentido.
DIREÇÃO – a mesma da aplicação da força da força.
SENTIDO – depende do sinal do valor da tensão e da direção do vetor normal 
da superfície(O sentido também pode ser tirado de um balanço de 
forças)
τ
y
τ
n
n
Se τ > 0
τ
τ
n
n
Se τ < 0
y
HIPÓTESE DO CONTÍNUO
O conceito de contínuo é a base da mecânica dos fluidos clássica. Embora o 
fludo seja compoto de moléculas, nosso interesse são os efeitos médios ou
macroscópicos de muitas moléculas (uma porção de fluido)
Assim o fluido é modelado como uma massa contínua e indivisível (e não um 
conjunto de moléculas)
Esta definição auxilia em muito na análise de problemas de mecânica dos 
fluidos, pois permite que as propriedades dos fluidos, como massa específica, 
velocidade, sejam funções contínuas no espaço e no tempo.
Esta hipótese é válida somente quando as dimensões envolvidas no problema
são muito,muito maiores que o caminho livre médio das moléculas! 
Descrição e Classificação do Movimento dos 
Fluidos
Escoamentos Viscosos x Não Viscosos (Invíscidos): 
Os escoamentos onde se desprezam os efeitos da viscosidade são
denominados não viscosos. (Ex. Aplicações da equação de Bernoulli)
Escoamento Laminar x Turbulento
O regime dos escoamentos viscosos são denominados de laminar e turbulento. 
No escoamento laminar, não há mistura macroscópica das camadas
adjascentes de fluidos (é como se o escoamento ocorresse em uma lâmina
sobre a outra).
No escoamento turbulento é caracterizado por uma grande agitação do 
fluido, onde o escoamento não ocorre mais no formato de lâminas, mas
sim de forma caótica.
Descrição e Classificação do Movimento dos 
Fluidos
Escoamentos Compressíveis x Incompressíveis.
Escoamentos onde as variações de massa específica são desprezíveis são
chamados de incompressíveis (líquidos, escoamentos de gases a baixas
velocidades), caso contrário são compressíveis (escoamento de gases a altas
velocidade, escoamento comprimido)
Escoamentos em Regime Permanente x Regime Transiente.
Uni x Bi x Tri Dimensional
Quando as propriedades de um escoamento (Campo de Velocidades, 
Temperatura, Pressão) variam com o tempo, o escoamento é transiente, se as 
propriedades não variam com o tempo, é um escoamento permanente.
Ex: V(x,y,z) = 3x i + 4xy j + 3z k ->Campo de velocidades varia nas três
dimensões (tridimensional) mas constante no tempo (permanente)
V(x,y,t) = 3xt i + 4xy j + 3t2 k ->Campo de velocidades varia em duas
dimensões (bidimensional) e transiente
V(x,y,t) = 3xt i + 4 j + 3t2 k ->Campo de velocidades varia em apenas uma
dimensão (unidimensional) e transiente.
MECÂNICA DOS FLUIDOS DOS MEIOS 
CONTÍNUOS
Não viscoso (insvíscido) Viscoso
Laminar Turbulento
Compressível Incompressível Interno Externo
SOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS
A análise de problemas de mecânica dos fluidos exige a utilização de várias
equações, datas, tabelas, hipóteses, sistema de unidades e cálculo, de 
modo que é aconselhável se criar um método para solução de problemas:
1) Coloque todos os dados e parâmetros fornecidos do problema em um lugar.
2) Ache, de tabelas ou gráficos, todas os dados de propriedade do fluido que serão
necessárias (cp, k, , etc.)
3) Utilizar o sistema SI (N,s,kg,m) sempre que possível, e assim não serão necessários fatores
de conversão.
4) Estejam certos do que foi pedido. É muito comum aos estudantes responder a questão
errada, por exemplo, calcular o fluxo de massa no lugar de fluxo volumétrico, pressão no 
lugar de gradiente de pressão. Leiam calmamente a questão.
5) Faça um esquema detalhado do sistema, com tudo claramente identificado e nomeado.
6) Pense cuidadosamente e então liste suas hipóteses. Aqui conhecimento é poder. Você
não deve chutar a resposta. Voces devem ser capazes de decidir corretamente se o 
escoamento pode ser considerado permanente ou transiente, compressível ou
incompressível, unidimensional ou multidimensional, viscoso ou invíscido, etc…
7) Baseado nos passos de 1 a 6, escreva as equações apropriadas, as correlações
necessárias, e as relações.
8) Resolva o problema e reporte sua solução claramente, com as devidas unidades.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
• MUNSON (4 ed)
Capítulo 1: 1.40, 1.41, 1.42, 1.43, 1.47, 1.53, 1.54, 
1.55, 1.56, 1.57, 1.58, 1.59, 1.61, 1.62, 1.63, 1.65, 
• FOX (4 ed)
Capítulo 2: 2.41, 2.42, 2.48, 2.49, 2.52, 2.60, 2.64, 2.65, 2.66. 
MECÂNICA DOS FLUIDOS
ESTÁTICA DE FLUIDOS
SITUAÇÕES ONDE O FLUIDO ESTÁ EM REPOUSO OU EM UM TIPO 
DE MOVIMENTO SEM DESLOCAMENTO RELATIVO ENTRE AS 
PARTÍCULAS DE FLUIDO ADJACENTES. (MOVIMENTO DE CORPO 
RÍGIDO)
SEM DEFORMAÇÃO ANGULAR DO FLUIDO, ESFORÇOS 
CISALHANTES (TENSÃO DE CISALHAMENTO) NULA.
SOMENTE ESFORÇOS PROVOCADOS POR DIFERENÇA DE 
PRESSÃO E PELO PESO DO FLUIDO. 
PRESSÃO EM UM PONTO
Como a pressão varia com a orientação do plano que passa por um ponto?
Balanço de Forças em um Fluido em
Repouso:
Relações Geométricas
PRESSÃO EM UM PONTO
Como a pressão varia com a orientação do plano que passa por um ponto?
• Não existe diferença de pressão na direção horizontal.
• Existe uma variação da pressão na direção vertical proporcional ao peso da
porção de fluido.
• Se diminuirmos a porção do fluido até as dimensões de um ponto, temos: 
0
0
z
x
∆ →
∆ → x z n
p p p= =
Na condição de não
haver tensão de 
cisalhamento, pode-se 
afirmar que:
Como as pressões independem do angulo θθθθ, pode-se afirmar que a pressão
em um fluido estático independe da direção (Lei de Pascal)
Força de pressão sobre um elemento fluido.
Como varia a pressão ao longo de um fluido sem efeitos de cisalhamento?
Como a análise nas outras três direções é similar, fica que:
Apenas mostrando a direção x
z
pdF dx dy dz
z
∂
= − ⋅ ⋅
∂ y
pdF dx dy dz
y
∂
= − ⋅ ⋅
∂
Vetor de variação de pressão nas
três direções do escoamento.
Considerando agora uma força
específica, por unidade de 
volume, fica que: Gradiente de p
Equilíbrio em um elemento fluido.
Além das forças de pressão na superfície, um fluido sem efeitos cisalhantes
também apresenta uma força gravitacional, devido sua massa !
Realizando o balanço de forças (por
unidade de volume) no fluido
pressao gravidadea f f fρ = = +∑
r ur urr
Abrindo os termos de força, fica
que:
A soma das forças de pressão e 
gravitacional tem que ser igual a 
aceleração.
a f p gkρ ρ= = −∇ −∑
r rr
x x
y y
z z
p
a f i
x
p
a f j
y
p
a f g k
y
ρ
ρ
ρ ρ
∂
= = −
∂
∂
= = −
∂
 ∂
= = − + ∂ 
∑
∑
∑
rr
rr
rr
Variação de Pressão em um Fluido em
Repouso
Um fluido em repouso não possui aceleração em nenhuma direção !
As variações de pressão em um fluido
estático só ocorrem na direção vertical 
(devido a presença do peso do fluido)
0 f p gkρ= = −∇ −∑
rr
0; 0p p
x y
p g
z
ρ
∂ ∂
= =
∂ ∂
∂
= −
∂
Se aplica a líquidos (ρρρρg é
constante) e a gases.
RECORDAR QUE ρρρρg é
denominado peso específico
(Peso sobre unidade de 
volume), onde estabelecemos o 
símbolo γγγγ
Variação de Pressão em um Fluido em Repouso
Fluido Incompressível (γγγγ = cte)
A pressão em um fluido estático varia apenas com a 
distância vertical e é independente da forma do 
reservatório. A pressão é a mesma em todos os pontos
de um determinado plano horizontal. A pressão aumenta
com a profundidade no fluido.
Fazendo z2-z1 = h
Variação de Pressão em um Fluido em Repouso
Fluido Incompressível (γγγγ = cte)
0Ap p ghρ= +
1
2 1 2( )
a atm
A a atm
a b c d
A B C D
p p gh
p p gh p g h h
p p p p
p p p p
ρ
ρ ρ
= +
= + = + +
= = =
= = =
h2
patm
h1
Transmissão de pressão em um fluido
incompressível
1 2
1 1 2 2
V V
Ah A h
=
=
SISTEMAS HIDRÁULICOS
Para fluidos incompressíveis:
Variação de Pressão em um Fluido em Repouso
Fluido Compressível
Em um fluido compressível (gases como oxigênio e nitrogênio), a massa
específica varia de forma significativa com as alterações de pressão e 
temperatura.
Deve-se considerar esta variação quando da integração da altura:
Gás ideal
p g
z
ρ∂ = −
∂
Para se integrar precisa
se conhecer a relação
entre a temperatura e a 
elevação
Assumindo que a temperatura é
constante com a altura e igual a 
T0 (Kelvin), fica:
Variação de Pressão em um Fluido em Repouso
Como varia a pressãoatmosférica com a altura?
Atmosfera Padrão Americana
Medições de Pressão
A obtenção dos valores de pressão é indispensável para se analisar escoamentos.
Existem vários dispositivos medidores de pressão, que podem medir a pressão em
uma escala absoluta ou relativa:
• Escala Absoluta: Medidas em relação ao vácuo absoluto. (pressão de 
referência é zero)
• Escala Relativa: Medida em relação a pressão atmosférica local (pressão
referência é a atmosférica)
Gage = Relativa
Unidades para a pressão:
• N/m2 (=Pa) – Sistema SI
• lbf/ft2 (psf)
• Especificação pela altura da
coluna de líquido (altura e tipo
de líquido)
Ex: patm = 101,3 kPa = 
760 mm de mercúrio
Medição da Pressão Absoluta
NORMALMENTE MEDIDA COM UM BARÔMETRO DE MERCÚRIO
Um tubo cheio de mercúrio é INVERTIDO e 
colocado dentro de um reservatório e a altura
da coluna encontra um equilíbrio com a 
pressão atmosférica.
2( 0)
( ) 760
atm mercurio
atm
p z gh
p padrao mmHg
ρ= =
=
Medição da Pressão Relativa
(Manometria)
• Uma das técnicas mais utilizadas nesta medição envolve o uso de 
colunas de líquido vertical ou inclinada.
• Os dispositivos para medição baseados nesta técnica são
denominados manômetros.
• Os três tipos mais utilizados de manômetros são o tubo piezométrico, 
o manômetro em U e com tubo inclinado.
• A pressão relativa também é chamada de pressão manométrica.
Medição da Pressão Relativa
(Manometria)
TUBO PIEZOMÉTRICO (tipo mais simples de manômetro, com tubo vertical)
( )
1
1
1
A atm
A atm
A manométrica
p p gh
p p gh
p gh
ρ
ρ
ρ
= +
− =
=
patm
• Só pode ser aplicado se pA>patm pois do contrário entraria ar no sistema.
• A pressão em A não pode ser muito alta, pois isto implicaria em uma altura
da coluna h muito elevada
• Só pode ser aplicada a líquidos !! (por ter uma interface aberta para o 
ambiente)
Medição da Pressão Relativa
(Manometria)
TUBO em U (tipo mais simples de manômetro, com tubo vertical)
patm
• Pode ser aplicado com gases;
• O fluido do manômetro pode ser diferente do fluido do reservatório.
Fluido Manométrico
( )
1 1 2 2
2 2 1 1
2 2 1 1
A atm
A atm
A manométrica
p gh p gh
p p gh gh
p gh gh
ρ ρ
ρ ρ
ρ ρ
+ = +
− = −
= −
Se fluido 1 é um gás, pode-se 
simplificar para:
( ) 2 2A manométricap ghρ=
Medição da Pressão Relativa
(Manometria)
TUBO em U (também utilizado para medir diferença de pressão entre dois
reservatórios)
Medição da Pressão Relativa
(Manometria)
TUBO INCLINADO
UTILIZADO PARA MEDIR PEQUENAS VARIAÇÕES DE PRESSÃO (MAIOR 
SENSIBILIDADE)
Se fluido em A e B 
forem gases.
Medição da Pressão Relativa
(Manometria)
EXEMPLO APLICAÇÃO MANOMETRIA
MEDIÇÃO DE PRESSÃO EM TUBULAÇÕES:
Exercícios:
Munson (4 ed): 2.1 a 2.6; 
2.8,2.9,2.10,2.12,2.13,2.15,2.16,2.19,2.20,2.24, 2.25, 
2.26,2.27,2.28, 2.29, 2.31, 2.32, 2.33, 2.36, 2.37, 2.38, 
2.40, 2.41, 2.42, 2.43, 2.44, 2.45, 2.46, 
FOX (4 ed): 3.7, 3.8, 3.29, 3.30, 3.31, 3.32,3.33, 3.34, 3.37, 3.38, 
3.41, 3.42, 3.43.
MECÂNICA DOS FLUIDOS
ESTÁTICA DE FLUIDOS
FORÇA HIDROSTÁTICA SOBRE SUPERFÍCIES PLANAS E 
CURVAS
Importante em projetos de corpos submersos, como tanques para 
armazenamento de fluidos, navios, barragens e outras estruturas hidráulicas
FORÇA HIDROSTÁTICA SOBRE SUPERFÍCIES PLANAS
Caso mais simples: Superfície horizontal
AghF
APA)ghP(F
FFF
R
atmatmR
externoernointR
⋅ρ=
⋅−⋅ρ+=
−=
A força resultante é só função da 
pressão manométrica, já que a 
pressão atmosférica atua tanto 
dentro como fora, anulando-se.
FORÇA HIDROSTÁTICA SOBRE SUPERFÍCIES PLANAS
Superfície Inclinada
∫∫ ⋅θ⋅⋅γ=⋅⋅γ=
⋅⋅γ=
AA
R dA)(senydAhF
dAhdF
Neste caso cada posição da superfície 
está em uma altura diferente !
Necessidade de realizar uma análise 
diferencial.
Como h=y sen(θ) e se γ e θ são ctes.
∫θγ=
A
R ydA)(senF
Momento de primeira 
ordem de área
FORÇA HIDROSTÁTICA SOBRE SUPERFÍCIES PLANAS
AyydA c
A
=∫
Coordenada y do centróide, 
medida a partir do eixo x que 
passa pela origem (h=0)
AhF
)(senAyF
cR
cR
γ=
θγ=
Distância vertical entre a superfície livre 
do fluido e o centróide de área.
Cálculo via integração Direta Cálculo via Centróide
Exemplo: comporta retangular
∫θγ=
A
R ydA)(senF
H
W






+⋅⋅θγ=








+⋅⋅θγ=
⋅+θγ=
⋅+θγ=
∫
∫ ∫
2
HHyW)(senF
2
yyyW)(senF
dyW)yy()(senF
dydz)yy()(senF
2
0R
H
0
2
H
00R
H
0 0R
W
0
H
0 0R
Se a comporta não for retangular, x->f(y)
FORÇA HIDROSTÁTICA SOBRE SUPERFÍCIES PLANAS
Cálculo da linha de ação da força (momento em y)
∫∫∫ θγ===
A
2
AA
RR dAy)(senydFdMyF
Via integral direta:






++⋅⋅θγ=








++⋅θγ=
⋅++θγ=
⋅+θγ=
∫
∫ ∫
3
H
2
Hy2HyW)(senF
3
y
2
yy2yyW)(senF
dyW)yyy2y()(senF
dydz)yy()(senyF
32
0
2
0R
H
0
3H
0
2
0
H
0
2
0R
H
0
2
0
2
0R
W
0
H
0
2
0RR
Exemplo: comporta retangular
H
W
Via momento de inércia
Ay
I
Ay
dAy
y
dAy)(sen)(senAy
dAy)(senyF
c
x
c
A
2
R
A
2
c
A
2
RR
==
θγ=θγ
θγ=
∫
∫
∫
Utilizando o teorema dos eixos paralelos:
c
c
xc
R
2
cxcx
y
Ay
Iy
AyII
+=
+=
Dados geométricos superfícies
Resumo Ponto de 
Aplicação
c
c
xc
R yAy
Iy +=
Ponto aplicação y
Ponto aplicação x
c
c
xyc
R
A
RR
x
Ay
I
x
dAxy)(senxF
+=
⋅θγ= ∫
∫θγ=
A
2
RR dAy)(senyF
Exemplo 2.6 Munson
Determinar o módulo da Força e o 
ponto de aplicação da força 
resultante na comporta.
Determinar o momento a ser 
aplicado no eixo para abrir a 
comporta.
N1023.1410)108.9(F
AhF
63
R
cR
⋅=pi⋅⋅⋅=
γ=
Análise via Centróide
Valor da Força
Ponto de aplicação
m6,11)60(sen
10
)4()60(sen
10
4
2
y
y
Ay
4
R
y
Ay
Iy
0
0
4
R
c
c
4
c
c
xc
R
=+
pi






pi
=
+






pi
=+=
Momento
mN1007,1)yy(FM
0M
5
cRR
comporta_eixo
⋅⋅=−=
=∑
PRISMA DE PRESSÕES
Observe a distribuição de pressão em uma parede vertical com largura b:
A
2
hApF
AhF
mediaR
cR





γ==
γ=
Valor da Força
Como a pressão aplicada da mesma forma ao longo de toda a 
largura da parede, podemos representar o triângulo de pressões 
como um prisma 3D.
Volume (prisma) de pressão, onde a 
base é a Área da Parede e a altura é
dada pelo nível de pressão.
O módulo da força 
resultante é o volume 
deste prisma de 
pressões !! A
2
hF
)bh)(h(
2
1F
volumeF
R
R
R
γ=
γ=
=
O ponto de aplicação da 
força é dado pelo 
centroide do prisma, que 
no caso de um triângulo, 
fica 1/3 da altura 
partindo da base.
Utilizar esta técnica somente em superfícies retangulares !
PRISMA DE PRESSÕES
Pode-se utilizar o conceito do prisma de pressões para superfícies submersas 
e inclinadas.
1 2
1
2
R
ABDE
BCD
F F F
F Volume
F Volume
= +
=
=
Superfícies Submersas
Força Resultante Ponto de Aplicação
1 1 2 2R AF y F y F y= +
Centróide
Retângulo
Centróide
Triângulo
Superfícies Inclinadas
Deve-se cuidar, no entanto, 
pois a altura tem direção
diferente do eixo que passa
pela placa
( )h y sen θ= ⋅
θθθθ
PRISMA DE PRESSÕES
Centróide de campos de pressão
Por que nos problemas geralmente não se utiliza a pressão atmosférica?
Percebe-se na figura acima que a pressão atmosférica atua dos 
dois lados da comporta, de modo que as forças devido a pressão
atmosférica se anulam e sobra apenas a resultante da coluna de 
líquido.
Exercícios:
Munson (4 ed): 2.49, 2.50,2.51,2.52,2.54, 2.55, 
2.56,2.57,2.58,2.59,2.61,2.62,2.64,2.67,2.68.
FOX (4 ed): 3.57, 3.60, 3.61, 3.63, 3.66, 3.68, 
3.69,3.71,3.75.
FORÇA HIDROSTÁTICA SOBRE SUPERFÍCIES CURVAS
Para análise de superfícies curvas, existem duas formas de cálculo:
• INTEGRAÇÃO: Integra-se o perfil de pressão da mesma forma que nas 
superfícies planas. É um procedimento custoso em termos de tempo e com 
bastante equacionamento.
• Equilíbrio de um volume de fluido delimitado pela superfície curva e 
palas projeções horizontal e vertical.
( ) ( )2 2R horizontal verticalF F F= +
FORÇA HIDROSTÁTICA SOBRE SUPERFÍCIES CURVAS
EXEMPLO: Calcular módulo, a direção e o sentido da força sobre a seção
BC. Admita comprimento da seção iguala 1m.
1 _
_
/ 2
*
c vertical projetada
c
vertical projetada
F h A
h R
A L R
γ=
=
=
O centróide de um retângulo
é metade da altura.
Força Horizontal
Força Vertical
W volγ= ⋅
1horizontalF F=
verticalF W=
Ponto de aplicação: Passa pelo ponto O (altura centróide) e:
arctan horizontal
vertical
F
F
θ  =  
 
FORÇA HIDROSTÁTICA SOBRE SUPERFÍCIES CURVAS
Análise via integração:
Força Vertical
( )
( )[ ]
( )
( )( )[ ]
( )
/ 2
0 0
/ 2
2
0
/ 2
2 2
0
V y
A A
W
V
V
V
F hdA hdA sen
dA Rd dz
F h sen Rd dz
h R sen
F W R sen Rd
F WR sen d
pi
pi
pi
γ θ
θ
γ θ θ
θ
γ θ θ
γ θ θ
= = ⋅
= ⋅
= ⋅ ⋅
= ⋅
= ⋅
=
∫ ∫
∫ ∫
∫
∫
y
x
R
θθθθ( )
( )[ ]
( ) ( )
/ 2
0 0
/ 2
2
0
cos
cos
cos
H
A
W
H
V
F hdA
F h Rd dz
F WR sen d
pi
pi
θ
γ θ θ
γ θ θ θ
= ⋅
= ⋅ ⋅
= ⋅
∫
∫ ∫
∫
Força Horizontal
PARA O CÁLCULO DO MOMENTO, 
REALIZAR AS INTEGRAIS MULTIPLICANDO 
PELO BRAÇO.
Dividindo o Momento pela força obtida, tem-se 
o ponto de aplicação da força.
Exercícios:
Munson (4 ed): 2.70,2.72,2.73,2.75,2.76,2.79,2.81
FOX (4 ed): 3.77, 3.79,3.80,3.90,3.92,3.95,3.97,3.98,3.102