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Washington Franco Math ias José Maria Gomes Matemática Financeira Com + de 600 exercícios resolvidos e propostos 6A Edição Washington Franco Mathias é graduado cm Engcn .. haria !v'lcc:1nica, modalidade Produção, pela Escola Politécnica da USP, e em EconlHnia, pela ~acuidade de Economia, Administraç,io e Contabi lidade da USI'. Mestre e Doutor em Administração pela fEAJUSP, onde é professor do Departamento de ,\dm ini~traçãt>. ;\utor de divcrs<)S Jrtigos no J>aís e no exterior e C(l- autor do livro Pro_ielo:,, publicado pela Atlas. Atua nas ,lreas de p lanejamento empre:--arial e em análise e negociação de pr<)jetos. José Maria Gomes é graduado em Economia pela Faculdade {.ie Economia, Administração e Contabilidade da LSI'. Professor de !'V1atemática Financeira C(.)ffi larga experiência t'm Fin.,nças. Washington Franco Mathias José Maria Gomes Matemática Financeira Com + de 600 exercícios resolvidos e propostos 6ª Edição SÃO PAULO EDITORA ATLAS S.A. - 2009 Sumário Apresentação, xiii Parte 1 - Juros Simples, 1 1 Juro e montante, 3 1 Introdução, 3 2 Definições, 5 2.1 Taxa de juros, 5 2.1.1 Forma percentual, 5 2.1.2 Forma unitária, 6 3 Cálculo do juro, 6 4 Montante, 9 5 Taxa proporcional, 1 O 6 Taxa equivalente, 12 7 Períodos não-inteiros, 13 8 Juro exato e juro comercial, 15 8.1 Juro exato, 15 8.2 Juro comercial, 16 9 Valor nominal e valor atual, 16 9.1 Diagramas de capital no tempo, 16 9.2 Valor nominal, 18 9.3 Valor atual, 19 9.4 Valor futuro, 23 viii Matemát ica Financeira • M athias e Gomes 1 O Exercícios resolvidos, 24 11 Exercícios propostos, 41 2 Descontos, 43 1 Desconto racional ou desconto "por dentro", 43 2 Desconto comercial ou desconto "por fora", 46 2.1 Desconto bancário, 48 3 Taxa de juros efetiva, 50 4 Relação entre desconto racional e comercial, 54 5 Exercícios resolvidos, 55 6 Exercícios propostos, 75 Parte li - Juros Compostos, 79 3 Juro e montante, 81 Diferença entre os regimes de capitalização, 81 2 Montante, 82 3 Cálculo do juro, 84 4 Valor atual e valor nominal, 85 5 Taxas equivalentes, 88 6 Períodos não-inteiros, 91 6.1 Convenção exponencial, 91 7 Taxa efetiva e taxa nominal: quando o período de capitalização não coincide com o período da taxa, 93 8 Exercícios resolvidos, 97 9 Exercícios propostos, 121 Apêndice, 126 1 Taxas equivalentes em períodos quaisquer, 126 2 Potenciação a expoentes fracionários, 128 4 Equivalência de capitais, 132 1 Definições, 132 1 .1 Data focal, 132 1.2 Equação de valor, 133 2 Capitais equivalentes, 134 3 Valor atual de um conjunto de capitais, 137 4 Conjuntos equivalentes de capitais, 140 5 Exercícios resolvidos, 142 6 Exercícios propostos, 154 Su má rio ix Apêndice, 157 1 Equivalência de capitais em datas quaisquer sob o critério de juros compostos, 157 2 Valor atual e taxa de retorno, 159 3 Comparação entre o valor atual e a taxa de retorno, 164 Parte Ili - Anuidades e Empréstimos, 181 5 Rendas certas ou anuidades, 183 1 Definições, 184 2 Classificação das anuidades, 184 2.1 Quanto ao prazo, 184 2.2 Quanto ao valor dos termos, 184 2.3 Quanto à forma de pagamento ou de recebimento, 185 2.4 Quanto à periodicidade, 185 2.5 Quadro-resumo, 185 3 Modelo básico de anuidade, 185 3.1 Introdução, 185 3.2 Valor atual do modelo básico, 187 3.3 Montante do modelo básico, 195 3.4 Relação entre os fatores a-, e .,,_,_, 198 ni, nlt 4 Exercícios resolvidos, 200 5 Exercícios propostos, 228 Apêndice, 234 1 Relação adicional entre os fatores <1,;i; e 4í,J;• 234 2 Anuidades antecipadas, 234 2.1 Valor atual, 235 2.2 Montante, 236 3 Sistema ou Tabela Price, 237 6 Modelos genéricos de anuidades, 239 1 Anuidades diferidas, 239 2 Anuidade em que o período dos termos não coincide com aquele a que se refere a taxa, 241 3 Anuidade com termos constantes, segundo o modelo básico, mais parcelas inter- mediárias iguais, 243 4 Anuidade composta por duas anuidades diferidas em seqüência, 245 5 Anuidades perpétuas, 247 6 Anuidades variáveis, 248 7 Exercícios resolvidos, 249 8 Exercícios propostos, 273 X Matemática Financei ra • Mathias e Gomes Apêndice, 277 1 Anuidades diferidas, 277 1.1 Anuidades diferidas postecipadas, 277 1.1.1 Valor atual, 277 1 .1 .2 Montante, 279 1 .2 Anuidades diferidas antecipadas, 279 1.2.1 Valor atual, 279 1.2.2 Montante, 280 2 Anuidades perpétuas, 280 3 Anuidades variáveis, 281 4 Anuidade variável periódica e não periódica, 282 7 Empréstimos, 283 1 Definições, 284 2 Classificação das modalidades de amortização, 285 2.1 Sistema de amortização constante (SAC), 286 2.1.1 SAC, com prazo de carência e prazo de utilização unitário, 287 2.1.2 SAC, com prazo de carência, juros capitalizados e prazo de utilização unitário, 288 2.1.3 SAC, com prazo de carência e prazo de utilização não-unitário, 290 2.2 Sistema Francês (SF), 291 2.2.1 SF, com prazo de utilização unitário e sem prazo de carência, 291 2.2.2 SF, com prazo de utilização unitário e com prazo de carência, 292 2.2.3 SF, quando o período a que se refere a taxa de juros não coincide com o período a que se refere a amortização, 294 2.2.3.1 Planilha Calculada com a Taxa Efetiva, 294 2.2.3.2 Sistema Price, 295 2.3 Sistema Americano (SA), 297 2.3.1 SA, com devolução dos juros durante a carência, 297 2.3.2 SA, com a capitalização dos juros, 298 2.3.3 Sinking fund, 298 2.4 Sistema de amortizações variáveis, 301 3 Custo efetivo de um empréstimo, 302 4 Exercícios resolvidos, 306 5 Exercícios propostos, 335 Parte IV - Inflação, 345 8 Taxa de juros aparente, taxa de juros real, 347 1 Caracterização, 347 1.1 Inflação e deflação, 347 2 Índices de preços, 348 2.1 O que é um índice de preços, 348 2.2 Como usar um índice de preços, 350 3 Taxa de juros aparente e real, 353 3.1 Aplicações, 356 3.1.1 Aplicações de curto e médio prazos, 356 3.1.2 Médio/longo prazos, 358 4 Exercícios resolvidos, 361 5 Exercícios propostos, 382 Parte V - Tabelas, 389 9 Tabelas de contagem de dias, 391 Bibliografia, 415 Sumá rio xi Apresentação Este livro apresenta os conceitos de Matemática Financeira de modo rigoroso, em linguagem simples e em uma seqüência lógica - juros simples, juros compostos, anuidades e sistemas de amortização. O Professor de Matemática Financeira é o guia e o mentor do aluno no processo de formar uma mente capaz de um raciocínio rigoroso para o uso desta metodologia. Neste processo não existem atalhos. Os experimentos educacionais com máquinas de calcular e mesmo com softwares de planilhas eletrôni- cas vêm demonstrando que o processo de raciocínio analítico precede o uso de uma ferramenta de cálculo . Entendemos que, quanto mais o aluno dominar os conceitos, mais proveito irá tirar destas ferramentas. Neste contexto, o aprendizado de matemática precisa de um grande esforço por parte do aluno, passo a passo e sem atalhos. Daí a ênfase, neste livro, em um processo de apresentação gradual, em termos de complexidade dos temas. Outra providência foi colocar um grande número de exercícios resolvidos e propostos. Deste modo, o próprio aluno pode exercitar o seu aprendizado, pela resolução de exercícios com pequenas variações, mas abrangendo os aspectos relevantes de um determinado tópico. Nesta edição foram suprimidos alguns anexos e o CD que acompanhava as edições anteriores. Este material encontra-se à disposição dos Professores no site da Editora Atlas, bem como exercícios complementares de aplicação. Nosso agradecimento a todos os Professores que adotaram este livro, bem como aos alunos e leitores que prestigiaram esta publicação do modo mais