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Matemática financeira   6ed. Mathias

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Se não existir taxa administrativa temos que "h", na fórmula, será igual a zero. 
12.525 = 15.000 {1-[h+(0,27) 162 ]} 
12.525 
-- = 1 - h-0135 
15.000 ' 
0,835 = 0,865 - h 
h = 0,865 - 0,835 
:. h = 0,03 ou h = 3% 
Como verificamos, o banco cobrou a taxa administrativa de 3%. 
17. Uma Nota Promissória no valor nominal de $ 16.800,00 foi descontada em um 
banco que cobra 1 % de taxa de serviço. O valor descontado bancário recebido 
foi de $ 15.000,00, uma vez que a taxa de juros considerada fora de 33% a.a. 
Com base nestas informações, pergunta-se: Qual foi o prazo de antecipação do 
resgate? 
Resolução: N = 16.800 
= 33% a.a. 
h = 1% 
vb = 15.ooo 
vb = N [1 - (h+in)] 
15.000 = 16.800 [1 - (0,01 + 0,33 n)] 
15.000 
16_800 = 1 - (0,01 + 0,33 n) 
0,892857 = 1 - 0,01 - 0,33 n 
0,33 n = 0,99 - 0,892857 
0,097143 
n= ---~ 
0,33 
:. n = 0,29437 anos 
Em termos de dias, teremos: 
360 dias 
0,29437 - - - - - - - - - - - - - X dias 
Portanto: 
Então: 
360 
0,29437 
X 
1 X = (0,29437) 360 
:. X~ 106 dias 
Descontos 67 
18. Em um banco, com taxa de serviço de 2%, foi descontado no dia 05/03/X5 um 
título de valor nominal $ 10.000,00, com vencimento em 13/06/X5. Se o valor 
descontado bancário fosse de $ 9.100,00, qual seria a taxa de juros corrente 
adotada? 
Resolução: Fazendo-se a contagem exata dos dias de antecipação do resgate, 
temos: 
13/06 = 164 
05/03 = 64 
100 (ver Apêndice de Tabelas) 
A antecipação foi de 100 dias. Portanto: 
N = 10.000 
n = 100 dias 
h =2% 
vb = 9.100 
O cálculo da taxa de juros pode ser feito tanto pela fórmula do valor descontado 
bancário quanto pela fórmula do desconto bancário. Por essa última, tem-se: 
Como 
então: 
Db = N - Vb 
Db = 10.000 - 9.100 = $ 900,00 
Db = N (h + in) 
900 = 10.000 ( 0,02 + i 1 ºº) 360 
900 = 200 + 1.000.000 
360 
700 = 2.777,78 i 
. 700 
!= 
2.777,78 
:. i = 0,252 ou i = 25,2% a.a. 
68 Matemática Financeira • M athias e Gomes 
19. Calcular o desconto comercial de um compromisso no valor nominal de$ 7.500,00, 
considerando-se a taxa de juros de 28,8% a.a. e o prazo de antecipação do resgate 
como sendo de 50 dias. Que taxa de juros efetiva está sendo cobrada? 
Resolução: Calculando-se inicialmente o desconto comercial, temos: 
N = 7.500 
= 28,8% a.a. 
n = 50 dias 
D = 7.500 (0,288) ~ 
e 360 
De= 7.500 (0,04) = $ 300,00 
O valor descontado comercial (V) será: 
V=N - D 
e e 
vc = 7.500 - 300 = $ 7.200,00 
Portanto, pelo montante de$ 7.500,00 recebeu-se$ 7.200,00. Num diagrama de 
capitais no tempo, tem-se: 
t'------7.200 _ ___,f ºº 
o 50 Dias 
Pelo diagrama torna-se mais evidente que a taxa de juros, que no prazo de 50 
dias torna o capital de $ 7 .200,00 igual ao montante de $ 7 .500,00, é a taxa que 
realmente está sendo cobrada na operação. A taxa de juros efetiva (i,), por conse-
guinte, é tal que: 
7.500 = 7.200 (1 + ;, ~ ) 
360 
7.500 = 1 + i . ~ 
7.200 ' 360 
O 6 . 50 1, 41 67 = 1 + ,, · --
360 
Descontos 69 
i = (O 041667) 360 
' ' 50 
:. i,= 0,30 ou i, = 30% a.a. 
Outro método para o cálculo da taxa efetiva é através da fórmula 
. I 
,, =--
1 - in 
onde: i = taxa de desconto anua l 
n = número de períodos de antecedência da data de vencimento. 
Neste problema, temos: 
i = 28,8% a.a. 
n = 50 dias 
0,288 Portanto: i, = ---- --
1 - (O 288) 5o 
i = f 
' 360 
0,288 
1- 0,04 
i, = 0•288 = 0,30 ou i, = 30% a.a. 
0,96 
20. O valor atual bancário de uma Nota Promissória descontada 3 meses antes de 
seu vencimento é de $ 11.040,00. Qual será a taxa de juros efetiva, se a taxa de 
desconto for de 27% a.a. e a taxa administrativa for de 1,25%? 
Resolução: Calculamos inicialmente o valor nominal da Nota Promissória, para que 
possamos utilizar a relação do valor nominal com o valor descontado. 
Portanto: Vb = 11.040 
= 27% a.a. 
n = 3 meses 
h = 1,25% 
vb = N [1 - (h + in)] 
11.040=N {1- [0,0125+(0,27) 
1
3
2
]} 
11.040 = N (1 - 0,08) 
11.040 
N = O = $ 12.000,00 
,92 
70 Matemática Financeira • M athias e Gomes 
A taxa de juros efetiva (í,) será obtida por: 
N=Vb(1 + i, n) 
12.000 = 11.040 ( 1 + i, · 13J 
12.000 = 1 + i . ~ 
11 .040 ' 12 
. 3 
1 086957 = 1 + I · -
' ' 12 
i,= (0,086957) ~ = 0,3478 ou i, = 34,78% a.a. 
3 
Para a aplicação da fórmula de cálculo direto da taxa efetiva, é necessário, no caso 
do desconto bancário, calcular antes a taxa de desconto bancário mensal. Neste 
problema temos: 
i = 27% a .a. 
h = 1,25% 
n = 3 meses 
Portanto, as taxas proporcionais mensais serão, respectivamente: 
im = 0, 27 = 0,02250 a.m. 
12 
hm = 0,0125 = 0,00417 a.m. 
3 
A taxa de desconto bancário mensal (í') será: 
i' =i + h 
m m 
i' = 0,02250 + 0,00417 = 0,02667 a.m. 
A taxa efetiva mensal será dada por: 
. i' 
I ---
f - 1- i'n 
. 0,02667 
I -
r - 1-(0,02667)3 
0,02667 _ 02899 
,, = - O, a.m. 
O, 91999 
ou em termos anuais: 
i,= 34,78% a.m. 
Descontos 71 
21. Que taxa anual de desconto comercial exigirá uma entidade financeira numa ante-
cipação de 6 meses, se ela deseja ganhar a taxa de juros efetiva de 26% a.a.? 
Resolução: í, = 26% a.a. 
n = 6 meses ou 0,5 ano 
Sabendo-se que: 
onde (,) é a taxa anual de desconto e que 
N = Vc (1 + í, n) 
onde U,) é a taxa de juros efetiva anual, podemos estabelecer a igualdade: 
N = N (1 - ín) (1 + í, n) 
N = N (1 - 0,5 í) [1 + (0,26) 0,5] 
N = (1 - 0,5 í) (1, 13) 
N 
1 
1, 13 = 1 - 0,5 í 
0,884956 = 1 - 0,5 i 
1 - 0,884956 
/= -----
0,5 
O, 115044 í = = 0,2301 ou í = 23,01 % a.a. 
0,5 
22. O valor descontado comercial de uma promissória é igual a um quarto de seu 
valor nominal. Qual será a taxa de desconto comercial anual, se o prazo de ante-
cipação do resgate for de 8 meses? 
Resolução: Se o valor descontado comercial for um quarto do valor nominal, então: 
V =~N 
e 4 
Como o prazo de antecipação é de 8 meses, temos: 
n = 8 meses 
Portanto: Vc = N (1 - ín) 
72 Matemática Financeira • Mathias e Gomes 
1N' = 1-í-~ 
4,M 12 
O 25 = 1- í · ~ 
' 12 
12 
í = (1 - 0,25) 8 
í = (0,75) ~ = 1,125a.a.ouí=112,5%a.a. 
8 
23. Numa operação de desconto de um título a vencer em 5 meses, o desconto co-
mercial é $ 140,00 maior que o desconto racional. Qual será o valor nominal do 
títu lo, se a taxa de juros empregada nos descontos for de 24% a.a.? 
Resolução: í = 24% a.a. 
n = 5 meses 
Se o desconto comercial for $ 140,00 maior que o desconto racional, isto quer 
dizer que: 
D = D + 140 
e r 
Lembrando que: 
então: D = D + D ín 
e r r 
Considerando a questão proposta no problema, tem-se: 
De= D,+ 140 
D = D+ D ín 
e r r 
Por conseguinte: 
140 = D ín 
r 
140 = D (0,24) ~ 
' 12 
140 = D, (O, 1 O) 
140 
D = - = $ 1 .400 00 
' O, 10 ' 
Tendo encontrado o valor do desconto racional, temos agora todos os dados ne-
cessários para calcular o valor nominal do título: 
D, = 1.400 
í = 24% a.a. 
n = 5 meses 
D = Nin 
' 1 + in 
N (0,24) ~ 
1 400 = 12 
. 5 
1 + (0,24) -
12 
1.400 = N (O, 1 O) 
1, 1 O 
N = 1 .400 (1.1 O) _ $ O, 1 O - 15.400,00 
Descontos 73 
24. Qual é o prazo de antecipação do resgate tal que o desconto racional seja igual a 
três quartos do desconto comercial, considerando-se uma taxa de juros de 40% 
a.a. em ambos os descontos? 
Resolução: Se o desconto racional for igual a três quartos do desconto comercial, 
então: 
3 
D, = 4 De 
sendo a taxa de juros 
i = 40% a.a. 
Portanto, considerando a fórmula: 
3 
temos: De= 4 De (1 + 0,40 n) 
D 3 
De = 4 (1 + 0,40 n) e 
3 3 
1 = - + - (0,40) n 
4 4 
1=0,75 + 0,30n 
1 - O, 75 
n = 
0,30 
0,25 
n = 0, 30 = 0,83333 anos 
O prazo expresso em termos de meses será: 
12 meses