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Matemática financeira   6ed. Mathias

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A diferença com o valor encontrado na planilha deve-se a aproximações nos 
cálculos. 
Sugestão: Calcular o saldo devedor pela análise retrospectiva. 
7. Um banco empresta a uma empresa S 15.000.000,00 pelo prazo de 4 anos, à taxa 
de 8% a.a. Sabendo-se que será adotado o Sistema Americano de amortização, 
qual será o desembolso anual? 
Resolução: No Sistema Americano, o principal é devolvido apenas no último perío-
do do prazo de fi nanciame"'~o. sendo ou não os juros capitalizados. No 
presente problema, tem-se: 
PLANILHA D:: f :, . 'CIAMENTO 
s 
Ano (k) Saque Saldo Devedor Amortização Juros Prestação (Sd~ (Ak) (Jk) (Ak + J) 
o 15.000.000 15.000.000 1 - - -
1 - 15.000.000 1 - 1.200.000 1.200.000 
2 - 15.000.000 1 - 1.200.000 1.200.000 
3 - 15.000.000 1 - 1.200.000 1.200.000 
4 - - 1 15.000.000 1.200.000 16.200.000 
Total - - 1 15.000.000 4.800.000 19.800.000 
8. O Banco Omega S.A. empresta a um grande cliente $ 300.000,00, à taxa efetiva 
de 30% a.a., pelo prazo de 3 anos. O banco opera com o Sistema Americano de 
amortização, exigindo o pagamento dos juros semestralmente. O cliente, preven-
320 Matemática Financeira • Mathias e Gomes 
do o alto desembolso ao fim do prazo de financiamento, resolve constitu ir um 
fundo para a amortização (Sinking Fund), efetuando depósitos semestrais iguais 
em uma instituição que paga 25% a.a. (taxa efetiva) sobre o saldo credor. 
Qual é o desembolso total efetuado pelo cliente? 
Resolução: Este é um problema típico de emprego do Sistema Americano, aliado ao 
"Sinking Fund". 
Resolvendo por etapas, teremos: 
a) Amortização pelo Sistema Americano: 
Taxa de Juros: Como a taxa efetiva é de 30% a.a., a taxa semestral (i) será: 
Semestres 
(k) 
o 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
Total 
1 + is = ~ 1,30 
1 + is = 1, 14017 5 
:. is = O, 140175 ou is~ 14,02% a.s. 
n = 3 anos ou 6 semestres 
Saque 
300.000 
-
-
-
-
-
-
-
PLANILHA DE FINANCIAMENTO 
($) 
Saldo Devedor Amortização 
(Sd) (Ak) 
300.000 -
300.000 -
300.000 -
300.000 -
300.000 -
300.000 -
300.000 300.000 
- 300.000 
Juros Prestação 
(Jk) (Ak + Jk) 
- -
42.060 42.060 
42.060 42.060 
42.060 42.060 
42.060 42.060 
42.060 42.060 
42.060 342.060 
252.360 552.060 
Caso não existisse a constituição do fundo de amortização, o desembolso total 
seria de $ 552.360,00, conforme dados da planilha do Sistema Americano. Entre-
tanto, pelo "Sinking Fund", o desembolso do cliente para pagamento da amorti-
zação não será de$ 300.000,00, visto que os depósitos para liquidação do capital 
emprestado também serão remunerados (25% a.a.). 
Empréstimos 321 
O desembolso total, portanto, constituir-se-á na soma dos juros pagos mais os 
depósitos iguais efetuados no fundo de amortização (Sinking Fund). 
b) Fundo de Amortização (Sinking Fund): 
Taxa de Juros: Sendo os depósitos semestrais, teremos: 
1 + Í5 = .JTis 
1 + is = 1, 118034 
.-. is = O, 118034 ou is= 11 ,80% a.s. 
n = 3 anos ou 6 semestres 
O valor da amortização ao fim do 62 semestre será de $ 300.000.00; portanto: 
S = R · 4n]; 
S = 300.000 
i = 11,8% a.s. 
n = 6 semestres 
300.000 = R · ~ 11_8 
[
(1,118)6 - 1J 
300.000 = R 0,118 
300.000 = R (8,074311) 
300.000 R= ~ ---
8,074311 
R = $ 37 .1 54,87 
Por conseguinte, serão efetuados 6 depósitos semestrais de$ 37 .154,87, sobre os 
quais acrescentar-se-ão juros de 11,8% a.s. 
A evolução do fundo de amortização apresentará um quadro conforme descrito 
a seguir. 
Entretanto, convém lembrar que: 
Jk = iª . Sck_, 
e Sck = R + Sck _1 + Jk 
onde iª = taxa de aplicação por período 
R = depósito periódico 
Jk = juros creditados no período "k" 
Sck = saldo credor do período "k" 
322 Matemática Financeira • Mathias e Gomes 
Neste problema, consideraremos: 
R = 37.154,87 
ia = 11,8% a.s. 
PLANILHA DO FUNDO DE AMORTIZAÇÃO 
($) 
Semestre Saldo Credor Depósito 
(k) (Sck) (R) 
o - -
1 37.154,87 37.154,87 
2 78.694,01 37 .154,87 
3 125.134,77 37.154,87 
4 177.055,54 37.154,87 
5 235.102,96 37.154,87 
6 300.000,00 37.154,87 
Total - 222.929,22 
Juros 
(Jk) 
-
-
4.384,27 
9.285,89 
14.765,90 
20.892 ,55 
27.742 , 17 
77.070,78 
Portanto, o desembolso total para pagamento do empréstimo será: 
222.929,22 + 252.360,00 = $ 475.289,22 
O desembolso por período é igual aos juros pagos mais o depósito efetuado no 
fundo de amortização. Ou seja: 
42.060,00 + 37.154,87 = $ 79.214,87 
9. Uma empresa em fase de expansão obtém de uma agência governamental o fi-
nanciamento de S 48.000.000,00 a ser liberado em 3 parcelas quadrimestrais se-
qüenciais, sendo de$ 13.000.000,00 a primeira. de$ 30.000.000,00 a segunda e 
de $ 5.000.000,00 a terceira. 
Os encargos financeiros são basicamente os seguintes: 
a) Taxa efetiva de juros: 9% a.a. 
b) Comissão de abertura de créd ito igual a 0,5% sobre o valor total do finan-
ciamento. Este valor será cobrado quando da liberação da primeira parcela. 
c) Imposto sobre Operações Financeiras (IOF) de 1 % sobre o total geral, ou seja, 
valor do financiamento mais encargos financeiros. 
O órgão financiador concede 4 quadrimestres de carência, sendo os juros pagos 
durante a carência. O prazo total do financiamento será de 5 anos e o sistema de 
amortização adotado é o SAC. As amortizações serão quadrimestrais. 
Calcular o custo efetivo anual do empréstimo. 
Emprésti mo s 323 
Resolução: O custo efetivo do empréstimo é a taxa de retorno do fluxo de caixa 
gerado pelos recebimentos e pelos pagamentos. No caso, a taxa de 
retorno da planilha será o custo efetivo quadrimestral. 
Taxa de Juros: Calculando-se a taxa equivalente quadrimestral (iq)' vem: 
1 + i = ~ 1 09 q ' 
1 + iq = 1,029142 
:. iq = 0,02914 ou iq = 2,91 a.q. 
Prazo de Amortização: 12 quadrimestres ou 12 amortizações. 
A = 48.000.000 
k 12 
A k = $ 4.000.000,00 
Carência: 4 quadrimest res. 
PLANILHA DE FINANCIAMENTO 
($ 1.000) 
Quadrimestres Saldo Amortização Juros Comissão IOF Prestação I Saque Ab. Créd. (1)+(2) + (k) Devedor (1) (2) (3) (4 ) (3) + (4) 
o 13.000 13.000 - - 240 603 843 
1 30.000 43.000 - 378 - - 378 
2 5.000 48.000 - 1.251 - - 1.251 
3 - 48.000 - 1.397 - - 1.397 
4 - 44.000 4.000 1.397 - - 5.397 
5 - 40.000 4.000 1.280 - - 5.280 
6 - 36.000 4.000 1.164 - - 5.164 
7 - 32 .000 4 .000 1.048 - - 5.048 
8 - 28.000 4 .000 931 - - 4 .931 
9 - 24.000 4.000 815 - - 4 .81 5 
10 - 20.000 4 .000 698 - - 4.698 
11 - 16.000 4.000 582 - - 4 .582 
12 - 12.000 4.000 466 - - 4 .466 
13 - 8.000 4 .000 349 - - 4.349 
14 - 4.000 4 .000 233 - - 4.233 
15 - - 4 .000 11 6 - - 4.1 16 
Total - - 48.000 12.105 240 603 60.948 
324 Matemática Financei ra • Mathias e Gomes 
Os valores da planilha foram calculados conforme segue: 
então 
48.000.000 
a) Amortização = 
12 
= $ 4.000 mil. 
b) Juros = 2,91 % sobre o saldo devedor do período anterior. 
c) Comissão de abertura de crédito= 0,5% sobre o tota l financiado. Ou seja: 
48.000.000 (0,005) = $ 240 mil. 
d) Imposto sobre operações financeiras (IOF): 1 % sobre o tota l das amor-
tizações mais encargos financeiros. Portanto: 
48.000.000 + 12.105.000 + 240.000 = $ 60.345 mil 
60.345.000 (0,01 ) = $ 603 mil. 
Para calcular o custo efetivo do empréstimo, devemos calcular a taxa de retorno 
do fluxo de caixa sob o ponto de vista do banco que fez o empréstimo. Os saques 
serão considerados aplicações e as prestações recebimentos. 
Quadrimestres 
o 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
11 
12 
13 
14 
15 
FLUXO DE CAIXA 
($ 1.000,00) 
Aplicações Recebimentos 
(1) (2) 
13.000 843 
30.000 378 
5.000 1.251 
- 1.397 
- 5.3 97 
- 5.280 
- 5.1 64 
- 5.048 
- 4.931 
- 4.815 
- 4.698 
- 4.582 
- 4