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Matemática financeira   6ed. Mathias

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= 18%a.a. 
n = 6 meses 
N = C +J 
Calculando os juros, teremos: 
J = Cin 
6 } = 5.000 X 0,18 X ,2 
} = 5.000 X 0,09 = $ 450,00 
Juro e Montante 29 
Portanto: 
N = 5.000 + 450 = $ 5.450,00 
Efetuando o cálculo do montante em uma etapa apenas, teremos: 
N = C (1 + in) 
N= 5.000 ( 1+0,18 x 1
6
2) 
N = 5.000 (1 + 0,09) 
N = 5.000 X 1,09 = $ 5.450,00 
b) C = 5.000 
i = 31,8% a.a. 
n = 2 anos e 7 meses ou 31 meses 
N = 5.000 ( 1 + 0.318 X ~n 
N = 5.000 (1 + 0,8215) 
N = 5.000 x 1,8215=$9.107,50 
c) C = 5.000 
i = 42% a.a. 
n = 4 anos e 3 meses ou 51 meses ou 4 ,25 anos 
N = C (1 + in) 
N = 5.000 ( 1 + 0,42 x ~; ) 
N = 5.000 (1 + 1.785) 
N = 5.000 X 2,785 = $ 13.925.00 
5. Qual é a taxa de juros anual cobrada em cada um dos casos abaixo, se uma pessoa 
aplicou o capital de $ 1.000,00 e recebeu: 
Montante Prazos 
a) $ 1.420,00 2 anos 
b) $ 1 .150,00 1 O meses 
c) $ 1.350,00 1 ano e 9 meses 
30 Matemática Financeira • Mathias e Gomes 
Resolução: Analogamente às questões apresentadas no problema anterior, pode-se 
resolver este problema considerando uma das expressões: 
a) N 
e 
n 
N = C + J 
ou N = C (1 + in) 
1.420 
1.000 
2 anos 
N =C + J 
:. J = N - C 
J = 1 .420 - 1.000 = $ 420,00 
Pela fórmula de juros, t eremos: 
J = Cin 
420 = 1 .000 X Í X 2 
. 420 
/=--
2.000 
:. i = 0,21 ou i = 21% a.a. 
Aplicando a fórmula do montante, obteremos: 
N = C (1 + in) 
1.420 = 1.000 (1 + Í X 2) 
1.420 
--=1 +i x 2 
1.000 
1,42 = 1 + Í X 2 
. 0,42 
/=--
2 
:. i = 0,21 ou i = 21 % a.a. 
b) N = 1.150 
e 1.000 
n 10 meses 
N = C (1 + in) 
( . 1 º) 1 .1 50 = 1 000 1 + I X U 
Ju ro e Montante 31 
A taxai encontra-se dividida por 12, porque o número de períodos n está expresso 
em meses. 
c) N 
e 
n 
N 
1 .1 50 = 1 + i X ~ 
1.000 12 
1,15 = 1 + ix~ 
12 
115-1 = i x ~ 
' 12 
12 
i=015 x-
' 10 
:. i = O, 18 ou i = 18% a.a. 
1.350 
1.000 
1 ano e 9 meses ou 21 meses 
C (1 + in) 
1 .3 50 = 1 . 000 ( 1 + i X ~; ) 
1.350 = 1 + j X 32 
1.000 12 
1,35=1 + Í X 32 
12 
12 
i = 0 35 X -
' 21 
:. i = 0,20 ou i = 20% a.a. 
6. Quanto tempo deve ficar aplicado um capital para que as hipóteses abaixo sejam 
verdadeiras? 
Capital inicial 
a) $ 800,00 
b) $ 1.200,00 
Resolução: 
a) N 832 
e 800 
16% a.a. 
l = N-C 
Montante 
$ 832,00 
$ 2.366,00 
J = 832 - 800 = $ 32,00 
Taxa de juros 
16% a.a. 
22% a.a. 
32 Matemática Financeira • Mathias e Gomes 
Resolvendo pela fórmula de juros, teremos: 
J = Cín 
32 = 800 (O, 16) n 
32= 128n 
32 
n =--
128 
:. n = 0,25 anos 
Se n fosse igual a 1, então concluiríamos que a aplicação foi feita por 1 ano. Isto 
porque sabemos que· a taxa de juros e o número de períodos devem ser referidos à 
mesma unidade de tempo. Contudo, como n < 1, conclui -se que o prazo de aplicação 
é inferior a 1 ano. 
Por proporções, teremos: 
12 meses 
0,25 ------------ X meses 
0,25 
12 X 
X= 12 x 0,25 
:. X= 3 meses 
Caso optássemos pela resolução através da fórmula do montante, teríamos: 
N = e (1 + in) 
832 = 800(1 +0,16n) 
832 
800 = 1 + 0,16n 
1,04 = 1 + O, 16n 
0,04 = 0,16n 
0,04 
n =--
0, 16 
:. n = 0,25 anos 
O cálculo do valor em meses segue o raciocínio já apresentado. 
b) N = 2.366 
e = 1.200 
i = 22% a.a. 
N = e (1 + in) 
2.366 = 1.200 (1 + 0,22n) 
2
·
366 
= 1 + 0,22n 
1.200 
1,97167 = 1 + 0,22n 
O, 97167 = 0,22n 
n = 
0,97167 
0,22 
:. n = 4,41668 anos 
Juro e Montante 33 
Temos, por conseguinte, que o período é de 4 anos mais 0,41668 do 52 ano. Em 
termos de meses, esta fração anual será: 
1 - - - - - - - - - - - - - 1 2 meses 
0,41668 - - - - - - - - - - - - - X meses 
0,41668 
12 X 
X= 12 x 0,41668 
:. X= 5 meses 
Então, o prazo de aplicação total é de 4 anos e 5 meses. 
7. Uma loja vende um gravador por$ 1.500.00 a vista . A prazo, vende por$ 1.800,00, 
sendo $ 200,00 de entrada e o restante após 1 a no . Qual é a taxa de juros anual 
cobrada? 
Resolução: A pessoa, se optar por pagar a prazo, receberá financiamento por ape-
nas $ 1.300,00, pois se possuísse esta quantia poderia comprar a vista, 
já que os $ 200,00 serão desembolsados em qualquer hipótese. Esta 
situação é mais visível no d iag rama a seguir: 
r:500 
1' '"º 
1.600 
200 
Este diagrama pode ser transformado em: 
r.300 
1, '"º 1.600 o 
34 Matemática Financei ra • Mathias e Gomes 
Tudo se passa como se o cliente tivesse recebido $ 1.300,00 emprestados, com-
prometendo-se a devolver$ 1.600,00 após o prazo de 1 ano. 
Portanto: N= 1.600 
e = 1.300 
n = 1 ano 
N = C (1 + in) 
1.600 = 1.300 (1 + íx 1) 
1.600 
1.300 = 1 + i 
1,2307 = 1 + i 
:. i = 0,2307 ou i = 23,07% a.a. 
8. Quanto tempo deve permanecer aplicado um capital para que o juro seja igual a 
5 vezes o capital, se a taxa de juros for de 25% a.a .? 
Resolução: Pelo enunciado do problema, temos: 
J = se 
Temos, portanto, os seguintes dados: 
J = 5C 
= 25% a.a. 
J = Cin 
se = e (0,25)n 
552' 
n =----
0,25 X JZ' 
:. n == 20 anos 
9. Em quanto tempo o montante produzido por um capital de $ 1.920,00 aplicado a 
25% a.a. se iguala ao montante de um capital de$ 2.400,00 aplicado a 15% a.a.? 
Admitir que ambos sejam investidos na mesma data. 
Resolução: Considerando N1 o montante produzido por $ 1.920,00 à taxa de 25% 
a.a. e N2 o montante produzido por$ 2.400,00 à taxa de 15% a.a. o pro-
blema é encontrar o número de períodos n, tal que N1 seja igual a N2• 
c1 == 1.920 
í1 = 25% a.a. 
N1 = 1.920 (1 + 0,25n) 
e 
c2 = 2.400 
i2 = 15% a.a. 
N2 = 2.400 (1 + O, 15n) 
Como os montantes deverão ser iguais, então: 
N, =N2 
1 .920 (1 + 0,25n) = 2.400 (1 + O, 15n) 
1 + 0 25n = 2.400 (1 + O, 15n) 
' 1.920 
1 + 0,25n = 1,25 (1 + O, 15n) 
1 + 0,25n = 1,25 + O, 1875n 
0,25n - 0,1875n = 1,25 - 1 
0,0625n = 0,25 
0,2500 
n =-- -
0,0625 
:. n = 4 anos 
Juro e Montant e 35 
1 O. Se um capital de$ 2.000,00 rendeu $ 840.00 de juros em 2 anos, qual é a taxa de 
juros equivalente trimestral? 
Resolução: Em 2 anos temos 8 trimestres, portanto: 
e= 2.000 
n = 8 trimestres 
J = 840 
J = Cin 
840 = 2.000 X j X 8 
840 
/ =-- -
16.000 
:. i = 0,0525 ou i = 5,25% a.t. 
11. Uma pessoa aplicou $ 1.500,00 no mercado financeiro e após 5 anos recebeu o 
montante de $ 3.000,00. Que taxa equivalente semestral recebeu? 
Resolução: De modo análogo ao apresentado no problema 1 O, aqui se pode trans-
formar o prazo de aplicação em períodos a que se refere a taxa equi-
valente que desejamos calcular. Isto possibilita o cálculo direto da taxa 
equivalente. Entretanto, podemos também calcular a taxa referente ao 
36 Matemática Financeira • Mathias e Gomes 
prazo explicitado no enunciado do problema, sendo a taxa equivalente 
calculada a seguir. 
e = 1.500 
n = 5 anos 
N = 3.000 
N = C (1 + in) 
3.000 = 1.500 (1 + Í X 5) 
3.000 
--= 1+i x 5 
1.500 
2-1 = ÍX5 
. 1 
J = -
5 
:. i = 0 ,20 ou 20% a.a. 
Como queremos a taxa equivalente semestral, então vem: 
. i 
I = -
m m 
onde im é a taxa equivalente em é o número de períodos a que se refere im contidos no 
período a que se refere a taxa i. Neste problema, temos: 
i = 20% a.a. 
im = taxa equivalente semestral 
m = 2 (1 ano contém 2 semestres) 
. 20% 
I =--
m 2 
:. im = 10% a.s. 
12. A quantia de$ 1.500,00 foi aplicada à taxa de juros de 42% a.a. pelo prazo de 100 
dias. Qual será o juro desta aplicação se for considerado: 
a) juro comercial? 
b) juro exato? 
Resolução: 
a) Juro comercial: 
Por convenção, o ano comercial tem 360 dias. Então: 
e = 1.500 
= 42% a.a. 
n = 100 dias 
Juro e Montante 37 
1 = Cin 
e 360 
j = 1.500 X 0,42 X 100

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