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Matemática financeira   6ed. Mathias

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e bancário, calcular a taxa 
que realmente está sendo cobrada na operação. 
50 Matemática Financeira • Mathias e Gomes 
3 Taxa de juros efetiva 
Definição: é a taxa de juros que aplicada sobre o valor descontado, comercial ou 
bancário gera no período considerado um montante igual ao valor nominal. 
Sendo: , ,: taxa efetiva 
V : valor atual comercial 
e 
Vb: valor atual bancário 
n: número de períodos antes do vencimento 
Usando a definição dada, temos: 
a) Taxa efetiva para desconto comercial: 
Exemplo: 
N = Vc (1 + i, · n) 
N v = 1 + ;, . n 
e 
N l-n =-- 1 
' V e 
rn e - -n 
Seja o mesmo exemplo dado no item 2, no qual já calculamos: 
vc = 4.950,00 
N = 5.500,00 
n = 3 
Aplicando diretamente a fórmula, temos: 
ou 
N 
-- 1 
. vc 
I = - -
f n 
I = f 
I = f 
5.500,00 _ 1 
4.950,00 
3 
1, 1111 - 1 
3 
i, = 0,03703 a.m. 
i, ::=::: 0,44 a.a. 
Descontos 51 
Observe-se que este é o mesmo resultado já obtido anteriormente, por cálculo 
direto. 
b) Taxa efetiva para desconto bancário: 
De modo análogo, temos: 
N = Vb (1 + i, · n) 
N . 
- =1 + ,, · n 
vb 
. N 
,, · n = -- 1 
vb 
rn b ---n 
Esta fórmula é idêntica à anterior, desde que substituído o valor atual comercial 
pelo valor atual bancário. 
Exemplo: 
Temos: 
ou 
O mesmo do item 2.1., para o qual já ca lculamos: 
vb = 4.840,oo 
N = 5.500.00 
n = 3 
N 
- - 1 
. vb 
I =-- -
f n 
5.500,00 
-1 
i, = 4.840,00 3 
1, 1364 - 1 
I = f 3 
i = 
O, 1364 
f 3 
i, ""' 0,045 a.m. 
i, ""' 0,54 a.a. 
Verifique-se mais uma vez que o resultado é o mesmo que o obtido anteriormente 
por raciocínio direto. 
Nota: Como já observamos, no desconto racional a taxa de desconto é a própria 
taxa efetiva. Isto resulta do fato de ser o desconto racional derivado de con-
52 Matemática Financeira • Mathi as e Gomes 
siderações de convenção matemática e não financeira, como é o caso dos 
descontos comercial e bancário. Nestas condições, um método mais simples 
para o cálculo da taxa efetiva, porém não tão intuitivo, é o raciocínio via des-
conto racional. 
A taxa efetiva será aquela que conduz, pelo desconto racional, ao mesmo valor 
calculado pelo desconto comercial ou bancário. 
A demonstração pode ser feita considerando os descontos racional e comercial. 
por exemplo: 
D = Ni, · n 
' 1 + ;, · n 
D =Nin 
e 
Já que os dois descontos devem ser iguais: 
ou 
D = D 
r e 
Ni, . n = Nin 
1 + ;, · n 
;, . 
- -'---- = I 
1 + i, · n 
;, =&n I 
onde "i" é a taxa de desconto aplicada. 
Exemplo: 
Temos: 
Consideremos de novo o exemplo do item 2 em que: 
= 0,40 a.a. ou i = 0,40 a.m. 
n = 3 meses 
. I 
,, =--
1- in 
,, = 
0,40 
12 
1- 0,40 X 3 
12 
. 0,0333 
/ ----( - 1- O, 1 O 
12 
Descontos 53 
,, = 
0,0333 
0,9 
i, = 0,037 a.m. 
ou i, = 0.44 a.a. 
A mesma fórmula pode ser utilizada para se calcular a taxa efetiva no caso de 
desconto bancário. O único cuidado que se exige é calcular a taxa proporcional corres-
pondente às despesas administrativas (h), colocando-a na mesma unidade de tempo 
da taxa de desconto. 
Exemplo: 
ou 
ou ainda: 
Utilizando o caso do exemplo 2.1, tem-se: 
= 0,40 a.a. ou im = 0,0333 a.m. 
n = 3 meses 
h = 2% 
2% 
hm = 3 = 0,67% a.m. 
hm = 0,0067 a.m. 
Portanto, a taxa de desconto bancário agora é: 
i' = i + h 
m m 
i' = 0,0333 + 0,0067 
ou /' = 0,0400 
i' 
i, = --1- i' n 
0,04 
,, 
1 - 0,04 x3 
i, 
0,04 
1- O, 12 
i, 
0,04 
---
0,88 
i, = 0,045 a.m. 
ou I f = 0,54 a.a. 
54 Matemáti ca Financeira • Math ias e Gomes 
4 Relação entre desconto racional e comercial 
Já verificamos empiricamente que o desconto comercial é maior que o desconto 
racional feito nas mesmas condições. Ou seja: 
D> D 
e r 
Vamos examinar agora qual a relação existente entre os dois descontos: 
D = Nin 
' 1 + in 
De= Nin 
Fazendo a divisão do desconto comercial pelo desconto racional, membro a 
membro: 
De Nin 
D, Nin 
1 + in 
De . Portanto: - = 1 + m 
D, 
ou ainda: 
I De = D, (1 + in) 
Ou seja, o desconto comercial pode ser entendido como sendo o montante do 
desconto racional calculado para o mesmo período e à mesma taxa. 
Exemplo: O desconto comercial de um título descontado 3 meses antes de seu ven-
cimento e à taxa de 40% a.a. é de $ 550,00. Qual é o desconto racional? 
Resolução: Aplicando diretamente a fórmula: 
De= D, (1 + in) 
550,00 = D ( 1 + 0,40 x 3) 
' 12 
550,00 = D, (1 + O, 1 O) 
D = 550,00 
' 1, 1 O 
D,= $ 500,00 
Volte aos exercícios apresentados nos itens 1 e 2 para comparar o resultado 
obtido! 
Descontos 55 
5 Exercícios resolvidos 
1. Uma dívida de $ 12.000,00 será saldada 4 meses antes de seu vencimento. Que 
desconto racional será obtido, se a taxa de juros contratada for de 27% a.a.? 
Resolução: Graficamente temos a seguinte situação: 
V,{= ----,----~:_{J} N" 12.000 
O 1 2 3 4 Meses 
Portanto: N = 12.000 (valor nominal do compromisso em sua data de vencimento) 
= 27% a.a. 
n = 4 meses (número de períodos de ant ecipação) 
D = Nín 
' 1 + ín 
12.000 X 0, 27 X 4 
D, = ____ .:..:12=--_ 
1 0,27 4 + - - X 
12 
D = 12.000 x 0,09 
r 1 + 0,09 
D _ 1.080 _ $ 
r - 1,09 - 990,83 
$ 990,83 é, portanto, o desconto racional obtido pelo resgate antecipado da 
dívida. 
2. Por quanto posso comprar um t ítulo com vencimento daqui a 6 meses, se seu 
valor nominal for de $ 20.000,00 e eu quiser ganhar 30% ao ano? 
Resolução: Deve-se calcular o valor atual do título tal que seja possível obter a ren-
tabilidade de 30% a.a. 
N = 20.000 
= 30% a.a. 
n = 6 meses 
V = __!!__ 
' 1 + ín 
56 Matemática Financeira • Mathias e Gomes 
20.000 V =-----
' 6 1 + 0,30x ~ 
12 
20.000 
V, = = $ 17 .391,30 
1, 15 
Comprando-se o título por $ 17 .391,30 e resgatando-o por $ 20.000,00 após 
6 meses, ter-se-á um ganho de 15% em 6 meses, taxa esta que é equivalente a 
30% a.a. 
3. Determinar o desconto racional em cada uma das hipóteses abaixo, adotando-se 
o ano comercial: 
Valor Nominal Taxa de Juros Prazo de Antecipação 
a) $ 15.000,00 25% a.a. 8 meses 
b) $ 3.000,00 20% a.a. 150 dias 
c) $ 5.000,00 32% a.a. 25 dias 
d) $ 6.000,00 28% a.a. 9 meses e 15 dias 
Resolução: Aplicando-se a fórmula do desconto racional, teremos em cada hipó-
tese: 
a) N = 15.000 
= 25% a .a. 
n = 8 meses 
D = Nin 
' 1 + in 
15.000 (0,25) ~ 
D,= -----~1~2 
1 + (0,25) ~ 
12 
2.500 
D, = 1, 166667 = $ 2.142,86 
b) N = 3.000 
i = 20% a.a. 
n = 150 dias 
D = Nin 
' 1 + in 
Descontos 57 
3.000 (O 20) 15º 
' 360 Dr = - --- ------=-=-=-
1 + (O 20) 15º 
' 360 
250 
Dr = 1, 083333 = $ 230· 77 
Nota: Se tivéssemos considerado o período de antecipação em termos de me-
, 5 150 
ses, tenamos chegado ao mesmo resultado, uma vez que: - = - . 
12 360 
c) N = 5.000 
= 32% a.a. 
n = 25 dias 
D = Nin 
r 1 + in 
5.000 (0,32) ~ 
Dr = - --- --=3--=6-=-0 
1 + (O 32) ~ 
' 360 
111,11 
Dr = 1,022222 = $ 108,69 
d) N = 6.000 
= 28% a.a. 
n = 9 meses e 15 dias ou 285 dias 
D = Nin 
r 1 + in 
6.000 (O 28) 285 
' 360 Dr = - ---------=-=-=-
1 + (O 28) 285 
' 360 
1.330 
Dr = 1, 221667 = $ 1.088,68 
4. Um título de valor nominal $ 10.000,00, com vencimento em 23/09/XS, é resga-
tado em 15/06/XS . Qual é o desconto racional se a taxa de juros contratada for 
de 27% a.a.? 
58 Matemática Financeira • Mathias e Gomes 
Resolução: Fazendo-se a contagem exata do número de dias compreendido entre 
as duas datas, teremos: 
23/09 = 266 
15/06 = 166 
100 
(Ver Tabela de Contagem de Dias do Ano Comercial.) 
Portanto: N = 10.000 
= 27% a.a. 
n = 100 dias 
D = Nin 
r 1 + in 
10.000 (O 27)

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