Relatório 2

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Universidade Estácio de Sá (UNESA) 
 
Determinação da Frequência Natural de Duas Molas em Suas 
Associações em Série e em Paralelo. 
 
 
 
Nomes integrantes: 
Pedro Rogério Barbosa Lopes – 201707015139 – Turma 3037. 
 
 
 
 
 
 
 
Professor orientador: Thiago. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21/09/2018 
 
 
 
1. OBJETIVO 
 Determinar o valor mais provável da frequência natural de duas molas em suas 
associações em série e em paralelo. 
 
2. INTRODUÇÃO / FUNDAMENTOS TEÓRICOS 
 
 Em muitas questões e situações reais é possível a associação em série e em 
paralelo das molas. Desta forma temos duas situações possíveis. 
➢ Molas em Paralelo: Como mostrado na figura abaixo, Na associação em 
paralelo as molas se opõem à carga de forma conjunta. Ou seja, elas fazem 
uma força contrária à força peso W. 
 
Figura 1 – Configuração básica de duas molas em paralelo 
 
 Pela segunda lei de Newton teríamos que: 
 
ΣFy = 0 (condição de equilíbrio) 
- W + Fel1 + Fel2 = 0 (1) 
 
 Temos então que lembrar da lei de Hooke, pela qual temos que: 
 
Fel1 = k1 . δst (2) 
Fel2 = k2 . δst (3) 
 
 Substituindo as equações (2) e (3) em (1) e organizando os valores, teremos o 
seguinte resultado obtido: 
 
 
 
 
W = k1 . δst + k2 . δst (4) 
 
 Considerando keq como a constante elástica equivalente para a associação dessas 
duas molas, teremos então que: 
 
W = keq . δst (5) 
 
 Substituindo (5) em (4), teremos o seguinte resultado: 
 
keq . δst = k1 . δst + k2 . δst (6) 
 
 Podemos dividir toda a equação pela deflexão (δst), o que nos resulta em: 
 
keq = k1 + k2 (7) 
 
➢ Molas em Série: Com relação à figura apresentada abaixo, temos agora um 
configuração de molas em série. 
 
Figura 2 - Configuração básica de duas molas em série 
 
 
 
 
 
 Podemos com uma certa facilidade, extrair o seguinte resultado da simples 
observação geométrica: 
 
δst = δ1 + δ2 (8) 
 
 Além disso, pela segunda lei de Newton, analisando a condição de equilíbrio do 
bloco teremos que: 
 
ΣFy = 0 (condição de equilíbrio) 
- W + Fel2 = 0 (9) 
 
 Utilizando a mesma lei de Hooke utilizada anteriormente, teremos que: 
 
Fel1 = k1 . δst (10) 
Fel2 = k2 . δst (11) 
 
 Substituindo (11) em (9), teremos que: 
 
W = k2 . δst (12) 
 
 Porém como as deformações são iguais (equação 8), logo as forças elásticas são 
iguais (para valores de k que tendem ao mesmo valor). Dessa forma, podemos afirmar 
que: 
 
W = k1 . δ1 = k2 . δ2 (13) 
 
 Analisando sob a perspectiva de uma constante elástica equivalente keq, teremos 
que: 
 
W = keq . δst (14) 
 
 Podemos então substituir (14) em (13), e teremos o seguinte desenvolvimento: 
 
keq . δst = k1 . δ1 = k2 . δ2 (15) 
 
 
 
 
 Isolando as deflexões teremos os seguintes resultados: 
 
keq .δst 
k1
 = δ1 (16) 
 
keq .δst 
k2
 = δ2 (17) 
 
 Substituindo as equações (16) e (17) na equação (8), nos dará o seguinte resultado: 
 
δst = 
keq .δst 
k1
 + 
keq .δst 
k2
 (18) 
 
 Dividindo toda a equação por δst e isolando o keq, teremos o seguinte valor final: 
 
𝟏
𝐤𝐞𝐪
 = 
𝟏
𝐤𝟏
 + 
𝟏
𝐤𝟐
 (19) 
 
 Por fim, utilizaremos ambos os resultados finais (equação 19 e 7), para a 
realização da prática do experimento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. MATERIAL UTILIZADO 
 
 Foram realizadas as medidas com os seguintes equipamentos. 
 
➢ 4 Pesos em Disco Numerados de 1 a 4: 
 
 
 
 
➢ Gancho: 
 
 
 
 
 
 
➢ Molas: 
 
 
 
 
4. METODOLOGIA 
 Em um primeiro momento colocou-se apenas uma mola de cada vez. E realizou-
se o método estático para a determinação do k das molas. 
 Para tal foi adicionado os pesos de forma incremental, resultando em 
configurações com 1, 2, 3 e 4 pesos de cada vez. Em cada um desses momentos anotou-
se as medidas das comprimentos finais, afim de se verificar a deflexão δst. 
 Para finalizar o método estático, com os valores de deflexão δst, encontrou-se 
valores para a constante elástica em cada momento pela relação da lei de Hooke, como 
demonstrado na equação (2) ou (3). 
 Já no método dinâmico realizou-se as seguintes configurações de peso: 
➢ Molas em Paralelo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A configuração em paralelo se assemelha com a configuração teórica ilustrada na 
Figura 1. 
 Nesta configuração colocou-se 4 massas e mediu-se o tempo necessário para 12 
oscilações. Foi escolhido esse valor por ser a média aritmética entre 8 e 16 oscilações 
(intervalo sensível com menor interferência), pois valores acima de 16 nos dariam uma 
situação amortecida. Enquanto valores abaixo de 8 segundos estariam suscetíveis de erros 
de medição por ser um intervalo muito pequeno para uma observação precisa. 
 Depois de anotados os tempos, realizou-se o cálculo da frequência. E depois disso 
da frequência natural esperada em cada caso. 
 
➢ Molas em Série: 
 Uma configuração similar à Figura 2 foi feita. Depois disso novamente realizou-
se a aferição de tempo para um intervalo de 12 oscilações. O procedimento experimental 
foi o mesmo.. Como única diferença temos o fato de que apenas duas massas dos discos 
foram utilizadas. Para que a amplitude da oscilação não fosse muito grande, e assim 
resultasse em alguma dificuldade para a sua medição. 
 
 
 
 
5. DADO / RESULTADOS 
 
 Considerando o comprimento inicial das molas Li1 e Li2, temos a seguinte 
formulação para a deflexão: 
 
δst = Lf – Li (20) 
 
 Os comprimentos iniciais das molas foram os seguintes: 
 
Li1 = 12,5 cm 
Li2 = 12,7 cm 
 
 E utilizando a equação (2) e (3) e formulando ela para se ter a constante k isolada, 
teremos o seguinte: 
 
k = 
Fel
δst 
 
 
 Temos que ter em consideração que essa formulação se adequa a ambos os casos. 
Para a mola 1 e para a mola 2. Alterando-se apenas os índices. 
 
 Por fim, temos também que atentar que a massa usada será a massa equivalente 
(meq), dada pela fórmula: 
 
meq = mbloco + (1/3) . mmola 
 
 Tivemos os seguintes resultados para as massas dos blocos: 
 
m1 = 23,1 g 
m2 = 45,4 g 
m3 = 68,1 g 
m4 = 90,7 g 
 
 Já para a massa da mola foi encontrado o seguinte valor: 
 
mmola = 7,3 g 
 
 Temos que observar que a aceleração da gravidade usada é o valor de: 
 
g = 9,80665 m/s2 
 
 Pelo método estático obtivemos os seguintes resultados: 
 
i W1 (N) δst1 (m) k1 (N/m) W2 (N) δst2 (m) k2 (N/m) 
1 0,311197693 0,007 44,45681328 0,310870805 0,003 103,6236016 
2 0,475852655 0,012 39,65438791 0,529559100 0,016 33,09744375 
3 0,752037694 0,025 30,08150776 0,752170055 0,027 27,85815018 
4 0,974127201 0,037 26,32776217 0,973800345 0,039 24,96923961 
Tabela 1 – Valores de k para Método Estático 
 
 
 
 
 
 
 O primeiro valor da deflexão para a mola 2 será desconsiderado. Pois devido ao 
valor ser muito pequeno, as incertezas do cálculo levaram a um resultado demasiadamente 
fora do esperado. 
 
 Teremos então que: 
 
k = ki1 + ki2 + ki3 + ki4
4
 
 
 
 Os resultados serão então os seguintes: 
 
k1 = 35,13011778 N/m 
k2 = 28,64161118 N/m 
 
 Com isso, podemos agora calcular os prováveis valores das constantes elásticas 
em série e em paralelo. Utilizando as fórmulas (7) e (19), aqui novamente colocadas. 
 
keq (paralelo) = k1 + k2 
 
keq (série) = 
k1 . k2
k1+k2
 
 
 Obtivemos entãoos seguintes resultados: 
 
keq (paralelo) = 63,77172896 N/m 
 
keq (série) = 15,77788764 N/m 
 
 
 Depois disso realizou-se a montagem das molas em paralelo, e anotou-se o tempo 
para 12 oscilações. E por fim montou-se a seguinte tabela. 
 
i W3 (N) Nº de oscilações Tempo (s) ω (rad/s) 
1 0,974127201 12 4,08 18,47995678 
2 0,974127201 12 4,10 18,38981065 
Tabela 2 – Frequência natural para sistema em paralelo 
 
 A seguir montou-se o sistema em série com 2 massas. Anotou-se o tempo para 12 
oscilações. E por fim obteve-se a seguinte tabela: 
 
i W4 (N) Nº de oscilações Tempo (s) ω (rad/s) 
1 0,475852655 12 5,85 12,88858524 
2 0,475852655 12 5,88 12,82282715 
Tabela 3 – Frequência natural para sistema em série 
 
 Fez-se uso das seguintes fórmulas para se descobrir a frequência natural: 
 
ω = 2πf 
 
 
 
 
 
 
f = n° de oscilações/tempo 
 
 
ωs = √
Keq(série) . g
W4
 
 
 
ωp = √
Keq(paralelo) . g
W3
 
 
 
 Onde: 
 
W3 : Peso do conjunto em paralelo (N). 
W4 : Peso do conjunto em série (N). 
ωs : Frequência natural esperada em série (rad/s). 
ωp : Frequência natural esperada em paralelo (rad/s). 
ω : Frequência real encontrada (rad/s). 
f : Frequência (Hz). 
 
 Agora, pelas fórmulas para os valores esperados, temos os seguintes resultados: 
 
ωs = 18,03219183 rad/s 
 
ωp = 25,33765257 rad/s 
 
 Para finalizar, iremos calcular o erro em paralelo (∆p) e o erro em série (∆s). 
Calculando a diferença percentual entre os valores esperados e os experimentalmente 
obtidos. 
 
 Dessa forma, temos que: 
 
∆s = |
ω − ωs 
ωs
| . 100 
 
 
∆p = |
ω − ωp 
ωp
| . 100 
 
 Teremos então os seguintes valores: 
∆s = 28,70691307 % 
∆p = 27,24312694 % 
 
 
 
 
 
 
 
6. CONCLUSÃO 
 
 Percebemos que os desvios percentuais estão acima do esperado (maiores que 
10%). Percebemos uma semelhança nos valores, o que na estatística significa um erro 
sistemático. Em outras palavras, alguma conversão ou algum valor não foi considerado, 
levando assim essa incerteza adiante com o decorrer dos cálculos. 
 
 Como algum dos possíveis motivos para o erro podemos listar o seguinte: 
 
1. Paralaxe: As medidas de comprimento final foram feitas com uma certa 
inclinação, ocasionando distorções entre o resultado esperado e os medidos 
propriamente. 
 
2. Sensibilidade: Ao invés da utilização de um cronômetro mecânico, utilizou-
se um aplicativo de celular para realizar a medição do intervalo de tempo. 
Estes cronômetros possuem uma precisão superior se comparados a 
dispositivos digitais. Pois estes podem não registrar os momentos de início e 
final da medição com a mesma precisão. Resultando em medições de tempo 
das oscilações completamente incorretos. 
 
3. Fatores ambientais: Temperatura do laboratório, vibrações locais, umidade e 
afins. Nenhuma dessas variáveis foi controlada ou determinado um limite de 
tolerância aceitável para a sua variação. Portanto o erro de medição 
significativo pode ter se dado devido a estes mesmos fatores ambientais. 
 
 
 
7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
➢ VUOLO, J. H. Fundamentos da Teoria de Erros. São Paulo: Ed. Blucher, 1998; 
 
➢ SINGIRESU, Rao. Vibrações Mecânicas. 4º Ed. São Paulo: Pearson Education no 
Brasil, 2009; 
 
➢ CAVALCANTI, Eduardo. Lei de Hooke. 2012. Disponível em: < 
https://blogdaengenharia.com/lei-de-hooke/ >. Acesso em: 24 set. 2018; 
 
➢ ALCANTARA, Thiago. Determinação da Frequência Natural de Duas Molas em 
Suas Associações em Série e em Paralelo. 24 de agosto de 2018. Notas de aula; 
 
➢ INMETRO. Vocabulário Internacional de Metrologia: Conceitos Fundamentais 
e Gerais e Termos Associados (VIM 2008). 1ª Edição Brasileira. Rio de Janeiro, 
2009.