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BC0104: Int. Atômicas e Moleculares UFABC Resolução da Lista 01 (Geral) v1.3 Fernando Freitas Alves fernando.freitas@aluno.ufabc.edu.br 02/05/13 – pág. 1/17 1. (a) Qual é a velocidade de um elétron cujo comprimento de onda é 3,00 𝑐𝑚? (b) Qual a velocidade de um próton com o mesmo comprimento de onda? (c) Qual a razão para obter velocidades que diferem por três ordens de grandeza, uma vez que os comprimentos de onda são iguais? (d) Considere que um elétron e um próton tenham a mesma velocidade 𝑣 = 1,00 × 106 𝑚/𝑠. Quais os respectivos comprimentos de onda? (e) Nessas condições, você esperaria que efeitos quânticos fossem mais importantes para o elétron ou para o próton? Justifique sua resposta. 𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 (a) De acordo com a relação de onda-partícula de de Broglie: 𝑝 = ℎ 𝜆 = 𝑚𝑣 Logo, para um elétron com 𝜆 = 3,00 × 10−2 𝑚: 𝑣 = ℎ 𝑚𝜆 ⇒ 𝑣 = 6,626 × 10−34 9,109 × 10−31 · 3,00 × 10−2 ≈ 0,0242 𝑚/𝑠 (b) Para um próton com o mesmo comprimento de onda, basta adequar o valor de sua massa: 𝑣 = 6,626 × 10−34 1,673 × 10−27 · 3,00 × 10−2 ≈ 0,132 × 10−4 𝑚/𝑠 (c) A razão implicaria: 𝑣1 𝑣2 = ℎ/𝑚1𝜆 ℎ/𝑚2𝜆 𝑣1 𝑣2 = 𝑚2 𝑚1 ≈ 103 ⇒ 𝑚2 ≈ 𝑚1 × 10 3 (d) Para um elétron com 𝑣 = 1,00 × 106 𝑚/𝑠, temos: 𝜆 = ℎ 𝑚𝑣 ⇒ 𝜆𝑒 = 6,626 × 10−34 9,109 × 10−31 · 1,00 × 106 ≈ 7,27 Å𝑚 Enquanto que, para um próton com mesma velocidade, temos: BC0104: Int. Atômicas e Moleculares UFABC Resolução da Lista 01 (Geral) v1.3 Fernando Freitas Alves fernando.freitas@aluno.ufabc.edu.br 02/05/13 – pág. 2/17 𝜆𝑝 = 6,626 × 10−34 1,673 × 10−27 · 1,00 × 106 ≈ 3,96 × 10−3 Å𝑚 (e) Nessas condições, os efeitos quânticos seriam mais importantes para o elétron, pois sua massa é inferior e portanto as leis da Física Quântica teriam mais influência. Isso é notado pelos resultados do item anterior, onde o comprimento de onda se torna tão pequeno na medida em que a massa aumenta tal que não possamos mais medi-la por nenhum aparelho atual. 2. Uma lâmpada de sódio emite luz amarela com comprimento de onda 𝜆 = 550 𝑛𝑚. Quantos fótons são emitidos por segundo, se a potência da lâmpada for de (a) 1,00 𝑊? e (b) 100 𝑊? (c) Qual o momento linear dos fótons emitidos pela lâmpada de sódio? (d) Sabendo que os fótons são emitidos por uma transição entre dois níveis eletrônicos do átomo de sódio, obtenha a diferença entre esses níveis de energia. 𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 (a) Como a potência da lâmpada é de 1,00 𝑊, temos: 𝒫 = 1,00 𝐽/𝑠 Ou seja, por segundo estão sendo emitidos fótons com 1,00 𝐽 de energia total somada. Como o comprimento de onda da luz amarela que emite esses fótons é de 550 × 10−9 𝑚, de acordo com a equação de Einstein, cada fóton possui energia: 𝐸 = ℎ𝜈 = ℎ𝑐 𝜆 onde 𝑐 é a velocidade da luz em que um fóton viaja. Juntando os resultados, obtemos que a quantidade 𝑛𝑎 de fótons emitidos por segundo é: 𝑛𝑎 = 𝒫 𝐸 = 𝜆𝒫 ℎ𝑐 ⇒ 𝑛𝑎 = 550 × 10−9 · 1,00 6,626 × 10−34 · 2,998 × 108 ≈ 2,77 × 1018 𝑠−1 (b) Para uma potência de 100 𝑊, temos que a quantidade 𝑛𝑏 de fótons emitidos é: 𝑛𝑏 = 100 · 𝒫 𝐸 = 100 · 𝑛𝑎 ≈ 2,77 × 10 20 𝑠−1 BC0104: Int. Atômicas e Moleculares UFABC Resolução da Lista 01 (Geral) v1.3 Fernando Freitas Alves fernando.freitas@aluno.ufabc.edu.br 02/05/13 – pág. 3/17 (c) O momento linear 𝑝 desses fótons é dado pela relação de de Broglie: 𝑝 = ℎ 𝜆 = 6,626 × 10−34 550 × 10−9 ≈ 1,20 × 10−27 𝑘𝑔 · 𝑚/𝑠 (d) Como cada fóton possui uma energia específica e cada um é resultado de uma mudança de nível onde sua energia específica é exatamente a diferença de energia entre esses dois níveis do átomo de sódio. Assim, sabemos que, para um fóton de qualquer lâmpada, sua energia é dependente somente de seu comprimento de onda: 𝐸 = ℎ𝜈 = ℎ𝑐 𝜆 = 6,626 × 10−34 · 2,998 × 108 550 × 10−9 ≈ 3,61 × 10−19 𝐽 3. Considere que a função de onda de um elétron confinado em uma caixa unidimensional de comprimento 𝐿 seja dada por: 𝜓(𝑥) = cos ( 𝜋𝑥 𝐿 ) , − 𝐿/2 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿/2 𝜓(𝑥) = 0 , |𝑥| > 𝐿/2 (a) Essa função de onda é quadraticamente integrável? (b) Essa função de onda é normalizada? (c) Em caso negativo, normalize-a. (d) Qual a probabilidade de encontrar o elétron nos seguintes intervalos: −𝐿/2 ≤ 𝑥 ≤ 0, 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿/2, −𝐿/4 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿/4? 𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 (a) Para ser quadraticamente integrável, essa função de onda precisa ter energia finita, ou seja: ∫ 𝜓∗𝜓 𝑑𝑥 ∞ −∞ < ∞ Por se tratar de uma função senoidal confinada, ou seja, por possui valor diferente de nulo apenas dentro de um espaço definido (neste caso, entre −𝐿/2 a 𝐿/2), sua energia é certamente finita. Matematicamente, isso pode ser provado calculando: ∫ 𝜓∗𝜓 𝑑𝑥 ∞ −∞ = ∫ 0 𝑑𝑥 −𝐿/2 −∞ + ∫ cos2 ( 𝜋𝑥 𝐿 ) 𝑑𝑥 𝐿/2 −𝐿/2 + ∫ 0 𝑑𝑥 ∞ 𝐿/2 BC0104: Int. Atômicas e Moleculares UFABC Resolução da Lista 01 (Geral) v1.3 Fernando Freitas Alves fernando.freitas@aluno.ufabc.edu.br 02/05/13 – pág. 4/17 𝑐𝑜𝑠(2𝑎) = 𝑐𝑜𝑠(𝑎 + 𝑎) = 𝑐𝑜𝑠2(𝑎) − 𝑠𝑒𝑛2(𝑎) ⇒ 𝑐𝑜𝑠(2𝑎) = 𝑐𝑜𝑠2(𝑎) − [1 − 𝑐𝑜𝑠2(𝑎)] ⇒ 𝑐𝑜𝑠2(𝑎) = 1 + 𝑐𝑜𝑠(2𝑎) 2 = ∫ 1 + cos ( 2𝜋𝑥 𝐿 ) 2 𝑑𝑥 𝐿/2 −𝐿/2 = 1 2 [ ∫ 𝑑𝑥 𝐿/2 −𝐿/2 + ∫ cos ( 2𝜋𝑥 𝐿 ) 𝑑𝑥 𝐿/2 −𝐿/2 ] = 1 2 [𝑥 + 𝐿 2𝜋 sen ( 2𝜋𝑥 𝐿 )] 𝐿/2 −𝐿/2 = 1 2 [ 𝐿 2 − (− 𝐿 2 )] + 1 2 𝐿 2𝜋 [sen(𝜋) − sen(−𝜋)] = 𝐿 2 < ∞ (b) Essa função não está normalizada, pois o resultado final do item anterior deveria ter sido 1. (c) Sua forma normalizada teria uma constante multiplicativa com valor √2/𝐿, pois: ∫ (√ 2 𝐿 𝜓∗) (√ 2 𝐿 𝜓 ) 𝑑𝑥 ∞ −∞ = 2 𝐿 ∫ 𝜓∗𝜓 𝑑𝑥 ∞ −∞ = 2 𝐿 𝐿 2 = 1 (d) Como o elétron está confinado em −𝐿/2 e 𝐿/2, por simetria, a probabilidade de encontrar o elétron entre −𝐿/2 ≤ 𝑥 ≤ 0 e 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿/2 é de 1/2. Matematicamente isso é provado por: 2 𝐿 ∫ 𝜓∗𝜓 0 −𝐿/2 𝑑𝑥 = 2 𝐿 · 1 2 [𝑥 + 𝐿 2𝜋 sen ( 2𝜋𝑥 𝐿 )] 0 −𝐿/2 = 1 2 2 𝐿 ∫ 𝜓∗𝜓 𝐿/2 0 𝑑𝑥 = 2 𝐿 · 1 2 [𝑥 + 𝐿 2𝜋 sen ( 2𝜋𝑥 𝐿 )] 𝐿/2 0 = 1 2 Analogamente, para −𝐿/4 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿/4, temos: 2 𝐿 ∫ 𝜓∗𝜓 𝐿/4 −𝐿/4 𝑑𝑥 = 2 𝐿 · 1 2 [𝑥 + 𝐿 2𝜋 sen ( 2𝜋𝑥 𝐿 )] 𝐿/4 −𝐿/4 = 1 2 + 1 𝜋 BC0104: Int. Atômicas e Moleculares UFABC Resolução da Lista 01 (Geral) v1.3 Fernando Freitas Alves fernando.freitas@aluno.ufabc.edu.br 02/05/13 – pág. 5/17 4. Em cada caso, mostre que 𝑓(𝑥) é uma autofunção do operador dado. Ache o autovalor:  𝑓(𝑥) (a) 𝑑2 𝑑𝑥2 cos(𝜔𝑥) (b) 𝑑 𝑑𝑡 𝑒 𝑖𝜔𝑡 (c) 𝑑2 𝑑𝑥2 + 2 𝑑 𝑑𝑥 + 3 𝑒 𝛼𝑥 (d) 𝜕 𝜕𝑦 𝑥 2𝑒6𝑦 𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 Para que 𝑓(𝑥) seja uma autofunção, ao se aplicar o operador  nela, é preciso que o resultado seja igual a um múltiplo dela mesma: Â[𝑓(𝑥)] = 𝛼𝑓(𝑥) onde 𝛼 é dito autovalor. (a) 𝑑2 𝑑𝑥2 [cos(𝜔𝑥)] = (−𝜔2) cos(𝜔𝑥) (b) 𝑑 𝑑𝑡 (𝑒𝑖𝜔𝑡) = (𝑖𝜔)𝑒𝑖𝜔𝑡 (c) 𝑑2 𝑑𝑥2 (𝑒𝛼𝑥) + 2 𝑑 𝑑𝑥 (𝑒𝛼𝑥) + 3(𝑒𝛼𝑥) = 𝛼2𝑒𝛼𝑥 + 2𝛼𝑒𝛼𝑥 + 3𝑒𝛼𝑥 = (𝛼2 + 2𝛼 + 3)𝑒𝛼𝑥 (d) 𝜕 𝜕𝑦 (𝑥2𝑒6𝑦) = (6)𝑥2𝑒6𝑦BC0104: Int. Atômicas e Moleculares UFABC Resolução da Lista 01 (Geral) v1.3 Fernando Freitas Alves fernando.freitas@aluno.ufabc.edu.br 02/05/13 – pág. 6/17 5. Mostre que (a) ∫ sen2 ( 𝑛𝜋𝑥 𝑎 ) 𝑑𝑥 𝑎 0 = 𝑎 2 (b) ∫ 𝑥 sen2 ( 𝑛𝜋𝑥 𝑎 ) 𝑑𝑥 𝑎 0 = 𝑎2 4 𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 (a) ∫ sen2 ( 𝑛𝜋𝑥 𝑎 ) 𝑑𝑥 𝑎 0 = 𝑐𝑜𝑠(2𝑎) = 𝑐𝑜𝑠(𝑎 + 𝑎) = 𝑐𝑜𝑠2(𝑎) − 𝑠𝑒𝑛2(𝑎) ⇒ 𝑐𝑜𝑠(2𝑎) = [1 − 𝑠𝑒𝑛2(𝑎)] − 𝑠𝑒𝑛2(𝑎) ⇒ 𝑠𝑒𝑛2(𝑎) = 1 − 𝑐𝑜𝑠(2𝑎) 2 = 1 2 ∫ 1 − cos ( 2𝑛𝜋𝑥 𝑎 ) 𝑑𝑥 𝑎 0 = 1 2 [𝑥 − 𝑎 2𝑛𝜋 sen ( 2𝑛𝜋𝑥 𝑎 )] 𝑎 0 = 1 2 [𝑎 − 𝑎 2𝑛𝜋 sen(𝑛2𝜋)] = 𝑎 2 ∎ (b) ∫ 𝑥 sen2 ( 𝑛𝜋𝑥 𝑎 ) 𝑑𝑥 𝑎 0 = 1 2 ∫ 𝑥 − 𝑥 cos ( 2𝑛𝜋𝑥 𝑎 ) 𝑑𝑥 𝑎 0 𝑢 = 𝑥 ⇒ 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑑𝑣 = cos ( 2𝑛𝜋𝑥 𝑎 ) 𝑑𝑥 ⇒ 𝑣 = 𝑎 2𝑛𝜋 sen ( 2𝑛𝜋𝑥 𝑎 ) = 1 2 [ 𝑥2 2 − [ 𝑎𝑥 2𝑛𝜋 sen ( 2𝑛𝜋𝑥 𝑎 ) + ( 𝑎 2𝑛𝜋 ) 2 cos ( 2𝑛𝜋𝑥 𝑎 )]] 𝑎 0 BC0104: Int. Atômicas e Moleculares UFABC Resolução da Lista 01 (Geral) v1.3 Fernando Freitas Alves fernando.freitas@aluno.ufabc.edu.br 02/05/13 – pág. 7/17 = 1 2 [ 𝑎2 2 − [ 𝑎𝑥 2𝑛𝜋 sen(𝑛2𝜋) + ( 𝑎 2𝑛𝜋 ) 2 [cos(𝑛2𝜋) − 1]]] = 𝑎2 4 ∎ 6. a) Mostre que a função de onda 𝛹(𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑒(𝑘𝑥−𝜔𝑡) não satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo. b) Mostre que a função 𝛹(𝑥, 𝑡) = 𝐴𝑒𝑖(𝑘𝑥−𝜔𝑡) satisfaz tanto a equação de Schrödinger dependente do tempo quanto a equação de onda clássica 𝜕2Ψ(𝑥, 𝑡) 𝜕𝑥2 = 1 𝑐2 𝜕2Ψ(𝑥, 𝑡) 𝜕𝑡2 𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 (a) Para satisfazer a equação de Schrödinger, basta que 𝛹(𝑥, 𝑡) respeite a igualdade: − ℏ2 2𝑚 𝜕2Ψ(𝑥, 𝑡) 𝜕𝑥2 + 𝑉(𝑥, 𝑡)Ψ(𝑥, 𝑡) = 𝑖ℏ 𝜕Ψ(𝑥, 𝑡) 𝜕𝑡 − ℏ2 2𝑚 𝜕2 𝜕𝑥2 [𝐴𝑒(𝑘𝑥−𝜔𝑡)] + 𝑉(𝑥, 𝑡)𝐴𝑒(𝑘𝑥−𝜔𝑡) = 𝑖ℏ 𝜕 𝜕𝑡 [𝐴𝑒(𝑘𝑥−𝜔𝑡)] − ℏ2𝑘2 2𝑚 𝐴𝑒(𝑘𝑥−𝜔𝑡) + 𝑉(𝑥, 𝑡)𝐴𝑒(𝑘𝑥−𝜔𝑡) = −𝑖ℏ𝜔𝐴𝑒(𝑘𝑥−𝜔𝑡) − ℏ2𝑘2 2𝑚 + 𝑉(𝑥, 𝑡) = −𝑖ℏ𝜔 − ℎ24𝜋2 8𝜋2𝑚𝜆2 + 𝑉(𝑥, 𝑡) = −𝑖 ℎ 2𝜋 2𝜋𝜈 − ℎ2 2𝑚𝜆2 + 𝑉(𝑥, 𝑡) = −𝑖ℎ𝜈 𝑝2 2𝑚 − 𝑉(𝑥, 𝑡) = 𝑖𝐸 𝐾 − 𝑉 = 𝑖𝐸 𝐴𝑏𝑠𝑢𝑟𝑑𝑜! ∎ BC0104: Int. Atômicas e Moleculares UFABC Resolução da Lista 01 (Geral) v1.3 Fernando Freitas Alves fernando.freitas@aluno.ufabc.edu.br 02/05/13 – pág. 8/17 (b) − ℏ2 2𝑚 𝜕2Ψ(𝑥, 𝑡) 𝜕𝑥2 + 𝑉(𝑥, 𝑡)Ψ(𝑥, 𝑡) = 𝑖ℏ 𝜕Ψ(𝑥, 𝑡) 𝜕𝑡 − ℏ2 2𝑚 𝜕2[𝐴𝑒𝑖(𝑘𝑥−𝜔𝑡)] 𝜕𝑥2 + 𝑉(𝑥, 𝑡)𝐴𝑒𝑖(𝑘𝑥−𝜔𝑡) = 𝑖ℏ 𝜕[𝐴𝑒𝑖(𝑘𝑥−𝜔𝑡)] 𝜕𝑡 ℏ2 2𝑚 𝑘2𝐴𝑒𝑖(𝑘𝑥−𝜔𝑡) + 𝑉(𝑥, 𝑡)𝐴𝑒𝑖(𝑘𝑥−𝜔𝑡) = ℏ𝜔𝐴𝑒𝑖(𝑘𝑥−𝜔𝑡) ℏ2𝑘2 2𝑚 + 𝑉(𝑥, 𝑡) = ℏ𝜔 𝐾 + 𝑉 = 𝐸 ∎ 𝜕2Ψ(𝑥, 𝑡) 𝜕𝑥2 = 1 𝑐2 𝜕2Ψ(𝑥, 𝑡) 𝜕𝑡2 𝜕2[𝐴𝑒𝑖(𝑘𝑥−𝜔𝑡)] 𝜕𝑥2 = 1 𝑐2 𝜕2[𝐴𝑒𝑖(𝑘𝑥−𝜔𝑡)] 𝜕𝑡2 −𝑘2𝐴𝑒𝑖(𝑘𝑥−𝜔𝑡) = −𝜔2 1 𝑐2 𝐴𝑒𝑖(𝑘𝑥−𝜔𝑡) 𝑘2 = 𝜔2 𝑐2 ( 2𝜋 𝜆 ) 2 = (2𝜋𝜈)2 𝑐2 1 𝜆2 = 𝜈2 𝑐2 𝑐 = 𝜆𝜈 ∎ BC0104: Int. Atômicas e Moleculares UFABC Resolução da Lista 01 (Geral) v1.3 Fernando Freitas Alves fernando.freitas@aluno.ufabc.edu.br 02/05/13 – pág. 9/17 7. Determine (a) 〈𝑥〉 e (b) 〈𝑥2〉 para o segundo estado excitado (𝑛 = 3) de um poço quadrado infinito. 𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 Em um poço quadrado infinito temos: { 𝑉(𝑥) = 0 , 0 < 𝑥 < 𝐿 𝑉(𝑥) → ∞ , 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜 ⇒ − ℏ2 2𝑚 𝜕2𝜓(𝑥) 𝜕𝑥2 + 0 · 𝜓(𝑥) = 𝐸𝜓(𝑥) 𝜕2𝜓(𝑥) 𝜕𝑥2 = − 2𝑚𝐸 ℏ2 𝜓(𝑥) Assumindo 𝜓(𝑥) = 𝑒𝛼𝑥 e como 𝑉 = 0 ⇒ 𝐸 = 𝐾: 𝜕2[𝑒𝛼𝑥] 𝜕𝑥2 = − 2𝑚𝐾 ℏ2 𝑒𝛼𝑥 𝐾 = 𝑚𝑣2 2 ⇒ 𝑣 = √ 2𝐾 𝑚 ⇒ 𝑝 = 𝑚𝑣 = 𝑚√ 2𝐾 𝑚 ∴ 𝑝2 = 𝑚22𝐾 𝑚 = 2𝑚𝐾 𝛼2𝑒𝛼𝑥 = − 𝑝2 (ℎ/2𝜋)2 𝑒𝛼𝑥 𝛼2𝑒𝛼𝑥 = − ( 2𝜋 𝜆 ) 2 𝑒𝛼𝑥 𝛼 = ±√−𝑘2 = ±𝑖𝑘 ∴ 𝜓(𝑥) = 𝐴𝑒𝑖𝑘𝑥 + 𝐵𝑒−𝑖𝑘𝑥 Resolvendo as condições de contorno: 𝜓(0) = 𝜓(𝐿) = 0 { 𝐴𝑒 𝑖𝑘0 + 𝐵𝑒−𝑖𝑘0 = 0 𝐴𝑒𝑖𝑘𝐿 + 𝐵𝑒−𝑖𝑘𝐿 = 0 { 𝐴 + 𝐵 = 0 𝐴𝑒𝑖𝑘𝐿 + 𝐵𝑒−𝑖𝑘𝐿 = 0 𝐴𝑒𝑖𝑘𝐿 − 𝐴𝑒−𝑖𝑘𝐿 = 0 BC0104: Int. Atômicas e Moleculares UFABC Resolução da Lista 01 (Geral) v1.3 Fernando Freitas Alves fernando.freitas@aluno.ufabc.edu.br 02/05/13 – pág. 10/17 𝑒𝑖𝑘𝐿 − 𝑒−𝑖𝑘𝐿 = 0 [cos(𝑘𝐿) + 𝑖 sen(𝑘𝐿)] − [cos(𝑘𝐿) − 𝑖 sen(𝑘𝐿)] = 0 2𝑖 sen(𝑘𝐿) = 0 sen(𝑘𝐿) = 0 ⇒ 𝑘𝐿 = 𝑛𝜋 ; 𝑛 = 1,2,3,4, … 𝑘 = 𝑛𝜋 𝐿 ∴ 𝜓(𝑥) = 𝐴𝑒𝑖𝑘𝑥 − 𝐴𝑒−𝑖𝑘𝑥 𝜓(𝑥) = 2𝐴𝑖 sen(𝑘𝑥) 𝜓(𝑥) = 𝐴′ sen ( 𝑛𝜋𝑥 𝐿 ) Normalizando a função: ∫ 𝜓∗𝜓 𝑑𝑥 𝐿 0 = 1 𝐴′ 2 ∫ sen2 ( 𝑛𝜋𝑥 𝐿 ) 𝑑𝑥 𝐿 0 = 1 𝑐𝑜𝑠(2𝑎) = 𝑐𝑜𝑠(𝑎 + 𝑎) = 𝑐𝑜𝑠2(𝑎) − 𝑠𝑒𝑛2(𝑎) ⇒ 𝑐𝑜𝑠(2𝑎) = [1 − 𝑠𝑒𝑛2(𝑎)] − 𝑠𝑒𝑛2(𝑎) ⇒ 𝑠𝑒𝑛2(𝑎) = 1 − 𝑐𝑜𝑠(2𝑎) 2 𝐴′ 2 2 ∫ 1 − 𝑐𝑜𝑠 ( 2𝑛𝜋𝑥 𝐿 ) 𝑑𝑥 𝐿 0 = 1 𝐴′ 2 2 [𝑥 − 𝐿 2𝑛𝜋 𝑠𝑒𝑛 ( 2𝑛𝜋𝑥 𝐿 )] 𝐿 0 = 1 𝐴′ 2 2 𝐿 = 1 𝐴′ = √ 2 𝐿 BC0104: Int. Atômicas e Moleculares UFABC Resolução da Lista 01 (Geral) v1.3 Fernando Freitas Alves fernando.freitas@aluno.ufabc.edu.br 02/05/13 – pág. 11/17 Para o segundo estado excitado onde 𝑛 = 3 temos: 𝜓(𝑥) = √ 2 𝐿 sen ( 3𝜋𝑥 𝐿 ) (a) Assim, o valor da posição esperada é: 〈𝑥〉 = ∫ 𝜓∗ 𝑥 𝜓 𝑑𝑥 ∞ −∞ 〈𝑥〉 = 2 𝐿 ∫ 𝑥 sen2 ( 3𝜋𝑥 𝐿 ) 𝑑𝑥 𝐿 0 〈𝑥〉 = 1 𝐿 [∫ 𝑥𝑑𝑥 𝐿 0 − ∫ 𝑥 cos ( 6𝜋𝑥 𝐿 ) 𝑑𝑥 𝐿 0 ] 𝑢 = 𝑥 ⇒ 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑑𝑣 = cos ( 6𝜋𝑥 𝐿 ) 𝑑𝑥 ⇒ 𝑣 = 𝐿 6𝜋 sen ( 6𝜋𝑥 𝐿 ) 〈𝑥〉 = 1 𝐿 [ 𝑥2 2 − [ 𝐿𝑥 6𝜋 sen ( 6𝜋𝑥 𝐿 ) + ( 𝐿 6𝜋 ) 2 cos ( 6𝜋𝑥 𝐿 )]] 𝐿 0 〈𝑥〉 = 1 𝐿 [ 𝐿2 2 − [ 𝐿2 6𝜋 [sen(6𝜋) − 0] + ( 𝐿 6𝜋 ) 2 [cos(6𝜋) − 1]]] 〈𝑥〉 = 1 𝐿 ( 𝐿2 2 ) 〈𝑥〉 = 𝐿 2 (b) Analogamente: 〈𝑥2〉 = 2 𝐿 ∫ 𝑥2 sen2 ( 3𝜋𝑥 𝐿 ) 𝑑𝑥 𝐿 0 〈𝑥2〉 = 2 𝐿 ∫ 𝑥2 − 𝑥2 cos ( 6𝜋𝑥 𝐿 ) 2 𝑑𝑥 𝐿 0 BC0104: Int. Atômicas e Moleculares UFABC Resolução da Lista 01 (Geral) v1.3 Fernando Freitas Alves fernando.freitas@aluno.ufabc.edu.br 02/05/13 – pág. 12/17 〈𝑥2〉 = 1 𝐿 [∫ 𝑥2𝑑𝑥 𝐿 0 − ∫ 𝑥2 cos ( 6𝜋𝑥 𝐿 ) 𝑑𝑥 𝐿 0 ] 𝑢 = 𝑥2 ⇒ 𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥 𝑑𝑣 = cos ( 6𝜋𝑥 𝐿 ) 𝑑𝑥 ⇒ 𝑣 = 𝐿 6𝜋 sen ( 6𝜋𝑥 𝐿 ) 〈𝑥2〉 = 1 𝐿 [ 𝑥3 3 − [ 𝐿 6𝜋 𝑥2 sen ( 6𝜋𝑥 𝐿 ) − ∫ 2𝑥 𝐿 6𝜋 sen ( 6𝜋𝑥 𝐿 ) 𝑑𝑥 𝐿 0 ]] 𝐿 0 〈𝑥2〉 = 1 𝐿 [ 𝑥3 3 − 𝐿 6𝜋 𝑥2 sen ( 6𝜋𝑥 𝐿 ) + 𝐿 3𝜋 ∫ 𝑥 sen ( 6𝜋𝑥 𝐿 ) 𝑑𝑥 𝐿 0 ] 𝐿 0 𝑤 = 𝑥 ⇒ 𝑑𝑤 = 𝑑𝑥 𝑑𝑞 = sen ( 6𝜋𝑥 𝐿 ) 𝑑𝑥 ⇒ 𝑞 = − 𝐿 6𝜋 cos ( 6𝜋𝑥 𝐿 ) 〈𝑥2〉 = 1 𝐿 [ 𝑥3 3 − 𝐿 6𝜋 𝑥2 sen ( 6𝜋𝑥 𝐿 ) + 𝐿 3𝜋 [− 𝐿 6𝜋 𝑥 cos ( 6𝜋𝑥 𝐿 ) − ∫ (− 𝐿 6𝜋 ) cos ( 6𝜋𝑥 𝐿 ) 𝑑𝑥 𝐿 0 ]] 𝐿 0 〈𝑥2〉 = 1 𝐿 [ 𝑥3 3 − 𝐿 6𝜋 𝑥2 sen ( 6𝜋𝑥 𝐿 ) − 𝐿2 18𝜋2 𝑥 cos ( 6𝜋𝑥 𝐿 ) + 𝐿2 18𝜋2 ∫ cos ( 6𝜋𝑥 𝐿 ) 𝑑𝑥 𝐿 0 ] 𝐿 0〈𝑥2〉 = 1 𝐿 [ 𝑥3 3 − 𝐿 6𝜋 𝑥2 sen ( 6𝜋𝑥 𝐿 ) − 𝐿2 18𝜋2 𝑥 cos ( 6𝜋𝑥 𝐿 ) + 𝐿3 108𝜋3 sen ( 6𝜋𝑥 𝐿 )] 𝐿 0 〈𝑥2〉 = 1 𝐿 ( 𝐿3 3 − 𝐿3 18𝜋2 ) 〈𝑥2〉 = 𝐿2 ( 1 3 − 1 18𝜋2 ) BC0104: Int. Atômicas e Moleculares UFABC Resolução da Lista 01 (Geral) v1.3 Fernando Freitas Alves fernando.freitas@aluno.ufabc.edu.br 02/05/13 – pág. 13/17 8. Uma partícula se encontra em um poço quadrado infinito de largura 𝐿. Calcule a energia do estado fundamental: (a) se a partícula é um próton e 𝐿 = 0,1 𝑛𝑚, o tamanho aproximado de uma molécula; (b) se a partícula é um próton e 𝐿 = 1 𝑓𝑚, o tamanho aproximado de um núcleo. 𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 Utilizando o valor do número de onda 𝑘 encontrado pelo exercício 7 no estado fundamental, temos: 𝑘 = 𝑛𝜋 𝐿 = 𝜋 𝐿 , 𝑛 = 1 2𝜋 𝜆 = 𝜋 𝐿 2𝜋 𝜆 ℎ ℎ = 𝜋 𝐿 ℎ/𝜆 ℎ/2𝜋 = 𝜋 𝐿 𝑝 ℏ = 𝜋 𝐿 √2𝑚𝐸 ℏ = 𝜋 𝐿 ; 𝐸 = 𝐾 𝑝𝑜𝑖𝑠 𝑉 = 0 𝐸 = 𝜋2ℏ2 2𝑚𝐿2 𝐸 = ℎ2 8𝑚𝐿2 (a) Se a partícula é um próton e 𝐿 = 0,1 𝑛𝑚 for o tamanho aproximado de uma molécula, sua energia será: 𝐸 = (6,6 × 10−34)2 8 · 1,7 × 10−27(0,1 × 10−9)2 ≈ 3,2 × 10−21 𝐽 = 3,2 𝑧𝐽 (b) Se a partícula é um próton e 𝐿 = 1 𝑓𝑚 for o tamanho aproximado de um núcleo, sua energia será: 𝐸 = (6,6 × 10−24)2 8 · 1,7 × 10−27(1 × 10−15)2 ≈ 3,2 × 10−9 𝐽 = 3,2 𝑛𝐽 BC0104: Int. Atômicas e Moleculares UFABC Resolução da Lista 01 (Geral) v1.3 Fernando Freitas Alves fernando.freitas@aluno.ufabc.edu.br 02/05/13 – pág. 14/17 9. Alguns dados para a energia cinética dos elétrons ejetados com função do comprimento de onda da radiação incidente do efeito fotoelétrico para o sódio metálico são: 𝜆 / 𝑛𝑚 100 200 300 400 500 Energia / 𝑒𝑉 10,1 3,94 1,88 0,842 0,222 Faça o gráfico destes dados e obtenha ℎ e a função trabalho do metal 𝜑. 𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 Pela equação de Einstein: 𝐸 = ℎ𝜈 = ℎ𝑐 𝜆 Ou seja, a constante de Plank ℎ vezes a velocidade da luz 𝑐 é o coeficiente angular da reta formada pelo gráfico da energia 𝐸 versus o recíproco do comprimento de onda 𝜆. Sabendo a priori o valor da velocidade da luz, podemos obter com uma certa precisão o valor da constante de Plank. De acordo com os dados e o gráfico temos que: ℎ𝑐 = 10,1 − 0,222 1 100 − 1 500 × 10−9 · 1,60 × 10−19 = 1,98 × 10−25 𝐽𝑚 ℎ ≈ 1,98 × 10−25 3,00 × 108 ≈ 6,59 × 10−34 𝐽𝑠 0 2 4 6 8 10 12 1/500 1/250 3/500 1/125 1/100 E (e V ) 1/𝜆 (109 m-1) E × 1/𝜆 BC0104: Int. Atômicas e Moleculares UFABC Resolução da Lista 01 (Geral) v1.3 Fernando Freitas Alves fernando.freitas@aluno.ufabc.edu.br 02/05/13 – pág. 15/17 10. Calcule 𝜎𝑥 = √〈𝑥2〉 − 〈𝑥〉2, 𝜎𝑝 = √〈𝑝2〉 − 〈𝑝〉2 e 𝜎𝑥𝜎𝑝 para a função de onda do estado fundamental do poço quadrado infinito. 𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 Por definição, o valor esperado da posição 𝑥 é: 〈𝑥〉 = ∫ 𝜓∗𝑥𝜓 𝑑𝑥 ∞ −∞ Utilizando o valor da autofunção de onda independente do tempo no estado fundamental 𝜓(𝑥) = √ 2 𝐿 sen ( 𝜋𝑥 𝐿 ) encontrada no exercício 7, temos: 〈𝑥〉 = 2 𝐿 ∫ 𝑥 sen2 ( 𝜋𝑥 𝐿 ) 𝑑𝑥 𝐿 0 〈𝑥〉 = 2 𝐿 ∫ 𝑥 − 𝑥 cos ( 2𝜋𝑥 𝐿 ) 2 𝑑𝑥 𝐿 0 〈𝑥〉 = 1 𝐿 [∫ 𝑥𝑑𝑥 𝐿 0 − ∫ 𝑥 cos ( 2𝜋𝑥 𝐿 ) 𝑑𝑥 𝐿 0 ] 〈𝑥〉 = 1 𝐿 [ 𝑥2 2 − 𝐿 2𝜋 sen ( 2𝜋𝑥 𝐿 ) − 𝐿2 4𝜋2 cos ( 2𝜋𝑥 𝐿 )] 𝐿 0 〈𝑥〉 = 1 𝐿 ( 𝐿2 2 ) 〈𝑥〉 = 𝐿 2 Analogamente: 〈𝑥2〉 = 2 𝐿 ∫ 𝑥2 sen2 ( 𝜋𝑥 𝐿 ) 𝑑𝑥 𝐿 0 〈𝑥2〉 = 2 𝐿 ∫ 𝑥2 − 𝑥2 cos ( 2𝜋𝑥 𝐿 ) 2 𝑑𝑥 𝐿 0 BC0104: Int. Atômicas e Moleculares UFABC Resolução da Lista 01 (Geral) v1.3 Fernando Freitas Alves fernando.freitas@aluno.ufabc.edu.br 02/05/13 – pág. 16/17 〈𝑥2〉 = 1 𝐿 [∫ 𝑥2𝑑𝑥 𝐿 0 − ∫ 𝑥2 cos ( 2𝜋𝑥 𝐿 ) 𝑑𝑥 𝐿 0 ] 〈𝑥2〉 = 1 𝐿 [ 𝑥3 3 − 𝐿𝑥2 2𝜋 sen ( 2𝜋𝑥 𝐿 ) − 𝐿2𝑥 2𝜋2 cos ( 2𝜋𝑥 𝐿 ) + 𝐿3 4𝜋3 sen ( 2𝜋𝑥 𝐿 )] 𝐿 0 〈𝑥2〉 = 1 𝐿 ( 𝐿3 3 − 𝐿3 2𝜋2 ) 〈𝑥2〉 = 𝐿2 ( 1 3 − 1 2𝜋2 ) Para o momento, temos então: 〈𝑝〉 = ∫ 𝜓∗𝑝𝜓 𝑑𝑥 ∞ −∞ 〈𝑝〉 = ∫ 𝜓∗ (−𝑖ℏ 𝑑 𝑑𝑥 ) 𝜓 𝑑𝑥 ∞ −∞ 〈𝑝〉 = −𝑖ℏ ∫ 𝜓∗ 𝑑𝜓 𝑑𝑥 𝑑𝑥 ∞ −∞ 〈𝑝〉 = − 2𝑖ℏ 𝐿 ∫ sen ( 𝜋𝑥 𝐿 ) 𝑑 𝑑𝑥 [sen ( 𝜋𝑥 𝐿 )] 𝑑𝑥 𝐿 0 〈𝑝〉 = − 2𝑖ℏ𝜋 𝐿2 ∫ sen ( 𝜋𝑥 𝐿 ) cos ( 𝜋𝑥 𝐿 ) 𝑑𝑥 𝐿 0 〈𝑝〉 = − 𝑖ℏ𝜋 𝐿2 sen2 ( 𝜋𝑥 𝐿 ) | 𝐿 0 〈𝑝〉 = 0 Analogamente: 〈𝑝2〉 = − 2ℏ2 𝐿 ∫ sen ( 𝜋𝑥 𝐿 ) 𝑑2 𝑑𝑥2 [sen ( 𝜋𝑥 𝐿 )] 𝑑𝑥 𝐿 0 〈𝑝2〉 = 2𝜋2ℏ2 𝐿3 ∫ sen2 ( 𝜋𝑥 𝐿 ) 𝑑𝑥 𝐿 0 BC0104: Int. Atômicas e Moleculares UFABC Resolução da Lista 01 (Geral) v1.3 Fernando Freitas Alves fernando.freitas@aluno.ufabc.edu.br 02/05/13 – pág. 17/17 〈𝑝2〉 = 𝜋2ℏ2 𝐿3 [∫ 𝑑𝑥 𝐿 0 − ∫ cos ( 2𝜋𝑥 𝐿 ) 𝑑𝑥 𝐿 0 ] 〈𝑝2〉 = 𝜋2ℏ2 𝐿3 [𝑥 − 𝐿 2𝜋 sen ( 2𝜋𝑥 𝐿 )] 𝐿 0 〈𝑝2〉 = 𝜋2ℏ2 𝐿2 Assim, temos que: 𝜎𝑥 = √〈𝑥2〉 − 〈𝑥〉2 𝜎𝑥 = √𝐿2 ( 1 3 − 1 2𝜋2 ) − 𝐿2 4 𝜎𝑥 = 𝐿√ 1 12 − 1 2𝜋2 e: 𝜎𝑝 = √〈𝑝2〉 − 〈𝑝〉2 𝜎𝑝 = √ 𝜋2ℏ2 𝐿2 𝜎𝑝 = 𝜋ℏ 𝐿 = ℎ 2𝐿 Logo: 𝜎𝑥𝜎𝑝 = (𝐿√ 1 12 − 1 2𝜋2 ) ℎ 2𝐿 𝜎𝑥𝜎𝑝 = (√ 1 12 − 1 2𝜋2 ) ℎ 2 > ℏ 2 𝑝𝑜𝑖𝑠 2𝜋√ 1 12 − 1 2𝜋2 > 1 1. (a) Qual é a velocidade de um elétron cujo comprimento de onda é 3,00 𝑐𝑚? (b) Qual a velocidade de um próton com o mesmo comprimento de onda? (c) Qual a razão para obter velocidades que diferem por três ordens de grandeza, uma vez que os comp... 2. Uma lâmpada de sódio emite luz amarela com comprimento de onda 𝜆=550 𝑛𝑚. Quantos fótons são emitidos por segundo, se a potência da lâmpada for de (a) 1,00 𝑊? e (b) 100 𝑊? (c) Qual o momento linear dos fótons emitidos pela lâmpada de sódio? ... 3. Considere que a função de onda de um elétron confinado em uma caixa unidimensional de comprimento 𝐿 seja dada por: 𝜓,𝑥.=,cos-,,𝜋𝑥-𝐿... , −𝐿/2≤𝑥≤𝐿/2 𝜓,𝑥.=0 , ,𝑥.>𝐿/2 (a) Essa função de onda é quadraticamente integrável? ... 4. Em cada caso, mostre que 𝑓,𝑥. é uma autofunção do operador dado. Ache o autovalor: 5. Mostre que (a) ,0-𝑎-,,sen-2.-,,𝑛𝜋𝑥-𝑎...𝑑𝑥.=,𝑎-2. (b) ,0-𝑎-𝑥,,sen-2.-,,𝑛𝜋𝑥-𝑎...𝑑𝑥.=,,𝑎-2.-4. 6. a) Mostre que a função de onda 𝛹,𝑥,𝑡.=𝐴,𝑒-,𝑘𝑥−𝜔𝑡.. não satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo. b) Mostre que a função 𝛹,𝑥,𝑡.=𝐴,𝑒-𝑖,𝑘𝑥−𝜔𝑡.. satisfaz tanto a equação de Schrödinger dependente do tempo quanto a equa... 7. Determine (a) ,𝑥. e (b) ,,𝑥-2.. para o segundo estado excitado (𝑛=3) de um poço quadrado infinito. 8. Uma partícula se encontra em um poço quadrado infinito de largura 𝐿. Calcule a energia do estado fundamental: (a) se a partícula é um próton e 𝐿=0,1 𝑛𝑚, o tamanho aproximado de uma molécula; (b) se a partícula é um próton e 𝐿=1 𝑓𝑚, o tamanho... 9. Alguns dados para a energia cinética dos elétrons ejetados com função do comprimento de onda da radiação incidente do efeito fotoelétrico para o sódio metálico são: 10. Calcule ,𝜎-𝑥.=,,,𝑥-2..−,,𝑥.-2.., ,𝜎-𝑝.=,,,𝑝-2..−,,𝑝.-2..e ,𝜎-𝑥.,𝜎-𝑝. para a função de onda do estado fundamental do poço quadrado infinito.
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