MATEMÁTICA APLICADA CONCEITOS INICIAIS

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MATEMÁTICA APLICADA
PROFESSOR: EVANDRO
TURMA ADMINISTRAÇÃO
1ª SEMESTRE
MATEMÁTICA APLICADA
PROFESSOR: EVANDRO
OBJETIVOS: Introduzir as
ferramentas básicas e
fundamentais para a atuação
no trabalho, tanto na área
comercial; quanto no
desenvolvimento de pesquisas
científicas.
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ASSUNTOS:
 Razão, proporção e porcentagem;
 Equações e Inequações;
 Funções, gráficos e polinômios;
 Problemas matemáticos.
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Fique Atento:
 Faltas (reprovam e muito);
 Provas (estude: sempre!);
 Trabalhos (ajudam e muito);
 Participação do aluno (vale muito).
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Vamos praticar:
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Vamos praticar:
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Vamos praticar:
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Vamos praticar:
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Vamos praticar:
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Razão
Suponhamos que num determinado ano
(denominado ano 1), as vendas de uma
empresa tenham sido de 300 mil reais e
que as do ano seguinte (chamado de ano
2) sejam de 450 mil reais. Poderíamos
comparar esses dois valores dizendo que
sua diferença é de 150 mil reais.
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Razão
No entanto, a diferença não nos
oferece uma ideia relativa do crescimento
das vendas.
Outra forma de efetuarmos a
comparação poderia ser dividindo as
vendas do ano 2 pelas vendas do ano 1,
isto é, calculando 450 : 300 que é igual a
1,5.
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Razão
Assim, dizemos que as vendas do ano
2 são uma vez e meia maiores que as do
ano 1. Essa última forma de comparação é
chamada de razão.
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Razão → Propriedade
Dado dois números a e b, com 𝑏 ≠ 0,
chamamos de razão de a para b, ou
simplesmente razão entre a e b, nessa
ordem, ao quociente
𝑎
𝑏
que também pode
ser indicado por a : b.
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Razão → Propriedade
O número a é chamado de
antecedente, e b é denominado
consequente. Quando a e b forem medidas
de uma mesma grandeza, elas devem ser
expressas na mesma unidade de
medida.
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Razões → Inversas
Duas razões são inversas quando o
antecedente de uma é igual ao
consequente da outra e vice-versa (
𝑎
𝑏
𝑒
𝑏
𝑎
).
Note que, o produto de duas razões
inversas é sempre igual a 1.
𝑎
𝑏
×
𝑏
𝑎
= 1
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Proporção
Ainda com relação à mesma empresa,
suponhamos que as vendas do ano 3
sejam de 600 mil reais e as do ano 4, 900
mil reais. Dessa forma, a razão das vendas
do ano 4 para as vendas do ano 3 é
900 : 600 que é igual a 1,5 e, portanto,
essa razão equivale à razão 450 : 300.
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Proporção
Essa equivalência pode ser
representada assim:
450
300
=
900
600
Essa igualdade de duas razões é
chamada de proporção.
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Proporção → Propriedade
Consideremos a proporção
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
, com b e d
diferentes de zero. Temos:
Se
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
, então 𝑎 ∙ 𝑑 = 𝑏 ∙ 𝑐; isto é, em toda
proporção, o produto dos extremos é igual
ao produto dos meios.
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Proporção → Propriedade
 Soma dos termos:
Em toda proporção, temos:
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
↔
𝑎 + 𝑏
𝑎
=
𝑐 + 𝑑
𝑐
𝑜𝑢
𝑎 + 𝑏
𝑏
=
𝑐 + 𝑑
𝑑
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Proporção → Propriedade
 Diferença dos termos:
Em toda proporção, temos:
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
↔
𝑎 − 𝑏
𝑎
=
𝑐 − 𝑑
𝑐
𝑜𝑢
𝑎 − 𝑏
𝑏
=
𝑐 − 𝑑
𝑑
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Proporção → Propriedade
 Soma dos Antecedentes e Consequentes:
Em toda proporção, a soma dos antecedentes
está para a soma dos consequentes, assim como
qualquer antecedente está para seu consequente:
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
=
𝑎 + 𝑐
𝑏 + 𝑐
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Proporção → Propriedade
 Quarta Proporcional:
Dados três números reais, a, b e c, não-nulos,
chama-se de quarta proporcional desses números
dados o número x tal que::
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑥
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Proporção → Propriedade
 Terceira Proporcional:
Dados dois números reais, a e b, não-nulos,
chama-se de terceira proporcional desses números
dados o número x tal que::
𝑎
𝑏
=
𝑏
𝑥
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Proporção → Propriedade
 Série de razões iguais:
Uma série de razões iguais é uma igualdade de
duas ou mais razões. Também, pode ser chamada de
proporção múltipla. Em símbolos, temos:
𝑎1
𝑏1
=
𝑎2
𝑏2
=
𝑎3
𝑏3
= ⋯ =
𝑎𝑛
𝑏𝑛
= 𝑘
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Proporção → Propriedade
 Importante:
𝑎1
𝑏1
=
𝑎2
𝑏2
=
𝑎3
𝑏3
= ⋯ =
𝑎𝑛
𝑏𝑛
=
𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 +⋯+ 𝑎𝑛
𝑏1 + 𝑏2 + 𝑏3 +⋯+ 𝑏𝑛
= 𝑘
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Números Diretamente Proporcionais
 Os números de uma sucessão numérica
𝐴 = (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … , 𝑎𝑛) são ditos diretamente
proporcionais aos números da sucessão
numérica 𝐵 = (𝑏1, 𝑏2, 𝑏3, … , 𝑏𝑛) , quando as
razões de cada termo de A pelo seu
correspondente em B forem iguais, isto é:
𝑎1
𝑏1
=
𝑎2
𝑏2
=
𝑎3
𝑏3
= ⋯ =
𝑎𝑛
𝑏𝑛
= 𝑘
Este valor “k” é chamado de fator de proporcionalidade ou
coeficiente de proporcionalidade.
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Números Inversamente Proporcionais
 Os números de uma sucessão numérica
𝐴 = (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … , 𝑎𝑛) são inversamente
proporcionais aos números da sucessão
numérica 𝐵 = (𝑏1, 𝑏2, 𝑏3, … , 𝑏𝑛) , quando os
produtos de cada termo de A pelo seu
correspondente em B forem iguais, isto é:
𝑎1 . 𝑏1 = 𝑎2 . 𝑏2 = 𝑎3 . 𝑏3 = … = 𝑎𝑛 . 𝑏𝑛 = 𝑘
Este valor “k” é chamado de fator de proporcionalidade ou
coeficiente de proporcionalidade.
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Exemplos:
01. Um investidor aplicou 20 mil reais
sendo 8 mil reais numa caderneta de
poupança e 12 mil reais em ações. Calcule
a razão entre:
a) O valor aplicado em ações e o valor
total investido.
b)O valor aplicado em caderneta e o valor
total investido.
c) O valor aplicado em ações e o valor
aplicado em caderneta.
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Resolução:
a) A razão entre o valor aplicado em ações e o
valor total investido foi:
12 000
20 000
=
3
5
b) A razão entre o valor aplicado em caderneta e o valor
total investido foi:
8 000
20 000
=
2
5
c) A razão entre o valor aplicado em ações e o valor
aplicado em caderneta foi:
12 000
8 000
=
3
2
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Exemplos:
02. Um atleta A faz um determinado
percurso em 52 minutos, ao passo que um
atleta B faz o mesmo percurso em 1 hora
e 8 minutos. Qual a razão entre os tempos
gastos pelos atletas A e B?
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Resolução:
A razão entre os tempos gastos por A e B
vale:
52
60 + 8
=
52
68
=
13
17
Observe que ambos os tempos foram
expressos na mesma unidade de tempo
(minutos).
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Exemplos:
03. Determine os seguintes valores:
a)
𝑥
5
=
24
15
b)
55−𝑥
6
=
3
4
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Resolução:
Igualando os produtos cruzados, temos:
a) 15𝑥 = 5 ∙ 24 → 𝑥 =
120
15
= 8
b) 4 ∙ 55 − 𝑥 = 18 → −4𝑥 = −202 → 𝑥 =
202
4
=
101
2
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RELEMBRANDO:
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R.01- Um cabo de aço, com 120 metros de
comprimento, deve ser cortado em 6
partes iguais. Para fazer cada corte,
usando uma ferramenta especial, serão
gastos 10 minutos. O tempo total gasto na
operação será de:
a) 20 minutos
b) 30 minutos
c) 40 minutos
d) 50 minutos
e) 1 hora
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R.02- Um motorista percorreu 2/5 da
distância entre duas cidades e parou para
abastecer. Sabendo-se que ¼ da distância
que falta para completar o percurso
corresponde a 105 km, a distância que
separa as duas cidades, em Km, é igual a:
a)180
b)252
c)420
d)620
e)700
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R.03- Para embalar 365 ovos em caixas
com capacidade de 6 ovos cada,
necessitaremos de, no mínimo, quantas
caixas?
a) 59
b) 60
c) 61
d) 62
e) 63
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R.04- Em agosto, uma fábrica de calçados
vendeu 4/5 de sua produção e estocou os 6 mil
pares restantes para as vendas de fim de ano. Se
2/5 dos pares comercializados em agosto foram
vendidos no estado de São Paulo, o total de
pares comercializados em outras regiões
correspondeu a:
a) 9.600
b) 10.600
c) 12.000
d) 14.400
e) 20.400
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Exemplos:
04. Pensei em dois números naturais.
A razão do maior para o menor é 2. A
soma deles é menor do que 20 e a
diferença entre eles é maior do que 5. Qual
o produto desses números?
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Resolução:
I)
II) III)
2 2
a
a b
b
  
20
2 20
3 20
20
3
6,6
a b
b b
b
b
b
 
 



5
2 5
5
5 6,6 6; 12.
6 12 72.
a b
b b
b
como b é um número natural
e b b assim a
Logo o produto entre a b
 
 

    
   
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Exemplos:
05. Beatriz tem 12 anos e sua irmã,
18. Daqui a quantos anos a razão entre a
idade de Beatriz e a de sua irmã será de 3
para 4?
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Resolução:
12 + 𝑥
18 + 𝑥
=
3
4
4 12 + 𝑥 = 3(18 + 𝑥)
48 + 4𝑥 = 54 + 3𝑥
4𝑥 − 3𝑥 = 54 − 48 𝑥 = 6 anos
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Exemplos:
06. Dois números têm produto igual a
1125 e estão entre si assim como 5 está
para 9. A soma desses dois números é?
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Resolução:
𝐼) 𝑎 × 𝑏 = 1125 𝐼𝐼)
𝑎
𝑏
=
5
9
𝑎 =
5𝑏
9
5𝑏
9
× 𝑏 = 1125
5𝑏2
9
= 1125
𝑏2 = 9 × 225
𝑏 = 9 × 225
𝑏 = 3 × 15 ∴ 𝑏 = 45
𝑎 =
5(45)
9
∴ 𝑎 = 25
𝐿𝑜𝑔𝑜: 𝑎 + 𝑏 = 25 + 45
𝑎 + 𝑏 = 70
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Agora tente você:
07. Dois números naturais, cujo
produto é 432, estão entre si assim como 3
está para 4. A soma desses dois números
é?
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Agora tente você:
08. Em um determinado Banco será
dividido um prêmio de R$2.400,00 entre os
funcionários que mais se destacaram no
último ano. A parte que caberá a cada
funcionário é diretamente proporcional ao
tempo de serviço prestado a empresa.
Sabendo que João das Coves Júnior tem 3
anos de empresa, Ricardo 4 anos e Daniel 5
anos, determine a quantia que coube ao
funcionário que ficou com a maior quantia.
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Agora tente você:
09. Uma empresa irá dividir
R$ 24.000,00 entre quatro funcionários de
forma diretamente proporcional ao tempo de
empresa e inversamente proporcional ao
número de faltas mais um. Quanto coube ao
funcionário mais antigo, sabendo que João
trabalha a 6 anos e faltou 2 vezes, Breno
trabalha a 2 anos e nunca faltou, Cássio
trabalha a 12 anos e faltou 3 vezes e Mário
trabalha a 10 anos e faltou apenas uma vez.
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Grandezas Diretamente Proporcionais:
Duas grandezas (A e B) são
diretamente proporcionais quando,
aumentando-se o valor de uma delas um
certo número de vezes, o valor
correspondente da outra também aumenta
o mesmo número de vezes. Em símbolos,
temos:
𝐴~𝐵 ↔ 𝐴 = 𝑘 . 𝐵, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑘 =
𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒
𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
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Grandezas Diretamente Proporcionais:
Se duas grandezas são diretamente
proporcionais, então a razão de dois
valores de uma das grandezas é igual à
razão entre os dois valores a eles
correspondentes na outra grandeza.
 
𝐴1 = 𝑘 . 𝐵1
𝐴2 = 𝑘 . 𝐵2
↔
𝐴1
𝐴2
=
𝐵1
𝐵2
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Grandezas Inversamente Proporcionais:
Duas grandezas (A e B) são
inversamente proporcionais quando,
aumentando-se uma delas um certo
número de vezes, o valor correspondente
na outra diminui o mesmo número de
vezes. Em símbolos, temos:
𝐴~
1
𝐵
↔ 𝐴 = 𝑘 .
1
𝐵
, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑘 =
𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒
𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
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Grandezas Inversamente Proporcionais:
Se duas grandezas são inversamente
proporcionais, então a razão de dois
valores de uma das grandezas é igual ao
inverso da razão entre os dois valores a
eles correspondentes na outra grandeza.
𝐴1 = 𝑘 .
1
𝐵1
𝐴2 = 𝑘 .
1
𝐵2
↔
𝐴1
𝐴2
=
1
𝐵1
1
𝐵2
↔
𝐴1
𝐴2
=
𝐵2
𝐵1
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Regra de Três Simples:
É uma regra prática que nos permite
comparar duas grandezas proporcionais, A
e B, relacionando dois valores de A e dois
valores de B. Nos problemas, haverá um
desses quatro valores que será
desconhecido e deverá ser calculado com
base nos três valores dados. Daí o nome
regra de três..
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Regra de Três Direta:
A e B são grandezas diretamente
proporcionais.
𝐴1
𝐴2
=
𝐵1
𝐵2
Regra de Três Inversa:
A e B são grandezas inversamente
proporcionais.
𝐴1
𝐴2
=
𝐵2
𝐵1
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Regra de Três Composta:
É uma regra prática utilizada na
resolução de problemas que envolvem
várias grandezas proporcionais. A regra de
três composta é realizada da seguinte
maneira.
 1º passo: montamos uma tabela
colocando em cada coluna,
ordenadamente, os valores de cada
grandeza.
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Regra de Três Composta:
 2º passo: escolhemos uma grandeza
para servir de referência.
 3º passo: comparamos esta grandeza
de referência a cada uma das outras
grandezas, isoladamente, identificando
se há proporcionalidade direta (seta de
mesmo sentido) ou inversa (setas
invertidas).
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Regra de Três Composta:
 4º passo: colocamos a razão da
grandeza de referência isolada no 1º
membro e, no 2º membro, colocamos o
produto das razões das outras
grandezas, lembrando que se há
proporcionalidade inversa em relação a
uma grandeza, devemos inverter os
elementos da respectiva coluna e
escrever a razão inversa no produto.
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Regra de Sociedade:
É justo que, em uma sociedade, os
lucros e os prejuízos sejam distribuídos
entre os vários sócios, proporcionalmente
aos capitais empregados e ao tempo
durante o qual estiveram empregados na
constituição dessa sociedade.
 
𝐿𝑢𝑐𝑟𝑜~𝐶𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙
𝐿𝑢𝑐𝑟𝑜~𝑇𝑒𝑚𝑝𝑜
↔
𝐿𝑢𝑐𝑟𝑜
𝐶𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 × 𝑇𝑒𝑚𝑝𝑜
= 𝑐𝑡𝑒
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Exemplos:
09. Encontrar x e y sabendo que os
números da sucessão (20, x, y) são
diretamente proporcionais aos números da
sucessão (4, 2, 1).
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Exemplos:
10. Encontrar x, y e z, sabendo que os
números das sucessões (x, 3, z) e
(9, y, 36) são inversamente proporcionais
e têm coeficiente de proporcionalidade
k = 36.
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Exemplos:
11. Se 4 máquinas fazem um serviço em 6
dias, então 3 dessas máquinas farão o
mesmo serviço em:
a) 7 dias
b) 8 dias
c) 9 dias
d) 4,5 dias
e) 10 dias
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Exemplos:
12. Um quilo de algodão custa R$ 50,00.
Um pacote de 40 gramas do mesmo
algodão custa:
a) R$ 1,80
b) R$ 2,00
c) R$ 2,20
d) R$ 2,50
e) R$ 3,00
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Exemplos:
13. Na fabricação de 20 camisetas, 8
máquinas gastam 4 horas. Para produzir
15 dessas camisetas, 4 máquinas
gastariam quantas horas ?
a) 3 horas
b) 6 horas
c) 5 horas
d) 4 horas
e)7 horas
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Exemplos:
14. Uma empresa tem 750 empregados e
comprou marmitas individuais congeladas
suficientes para o almoço deles durante 25 dias.
Se essa empresa tivesse mais 500 empregados,
a quantidade de marmitas já adquiridas seria
suficiente para um número de dias igual a:
a) 10
b) 12
c) 15
d) 18
e) 20
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Exemplos:
15. Um secretario gastou 15 dias para
desenvolver um certo projeto, trabalhando 7
horas por dia. Se o prazo concedido fosse de 21
dias para realizar o mesmo projeto, poderia ter
trabalhado :
a) 2 horas a menos por dia.
b) 2 horas a mais por dia.
c) 3 horas a menos por dia.
d) 3 horas a mais por dia.
e) 4 horas a mais por dia.