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CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA AULA 5 – Prof Raul Brito CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 5 – REVISÃO DE MATEMÁTICA DO 1º GRAU EXPONENCIAIS E FUNÇÃO EXPONENCIAL POTÊNCIA COM EXPOENTE NATURAL Dado um número real a e um número natural n (n 0), definimos a potência como o produto de n fatores iguais ao número a. n n fatores a a a a a Em que: a base n expoente na potência Convenção: 0a 1, a R* POTÊNCIA COM EXPOENTE INTEIRO NEGATIVO n n 1 a a com n N* e a R* POTÊNCIA COM EXPOENTE RACIONAL m m n mnna a a com a R+* e m, n N (n 0) PROPRIEDADES DAS POTÊNCIAS m n m na a a m m n n a a , a se a 0 m m ma b a b m m m a a , b b se b 0 n m m n m na a a PROPRIEDADES DOS RADICAIS n n a, se n for ímpara | a |, se n for par n n na b a b n n n a a b b n m n ma a NOTAÇÃO CIENTÍFICA Notação científica, é também denominada por padrão ou notação em forma exponencial, é uma forma de escrever números que acomoda valores demasiadamente grandes (100000000000) ou pequenos (0,00000000001) para serem convenientemente escritos em forma convencional. O uso desta notação está baseado nas potências de 10 (os casos exemplificados acima, em notação científica, ficariam: 111 10 e 111 10 , respectivamente). Como exemplo, na química, ao se referir à quantidade de entidades elementares (átomos, moléculas, íons etc.), há a grandeza denominada quantidade de matéria (mol). Um número escrito em notação científica segue o seguinte modelo: em x 10 O número m é denominado mantissa e e a ordem de grandeza. A mantissa, em módulo, deve ser maior ou igual a 1 e menor que 10, e a ordem de grandeza, dada sob a forma de expoente, é o número que mais varia conforme o valor absoluto.7 Observe os exemplos de números grandes e pequenos: 600 000 30 000 000 500 000 000 000 000 7 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 0,0004 0,00000001 0,0000000000000006 0,0000000000000000000000000000000000000000000000008 A representação desses números, como apresentada, traz pouco significado prático. Pode-se até pensar que esses valores são pouco relevantes e de uso quase inexistente na vida cotidiana. Porém, em áreas como a física e a química, esses valores são frequentes. Por exemplo, a maior distância observável do universo mede cerca de 740 000 000 000 000 000 000 000 000 m, e a massa de um próton é aproximadamente: 0,00000000000000000000000000167 kg Para valores como esses, a notação científica é mais adequada, pois apresenta a vantagem de poder representar adequadamente a quantidade de algarismos significativos. Por exemplo, a distância observável do universo, do modo que está escrito, sugere a precisão de 27 algarismos significativos. Mas isso pode não ser verdade (é pouco provável 25 zeros seguidos numa aferição). EQUAÇÃO EXPONENCIAL Uma equação é denominada exponencial quando a incógnita aparece no expoente. x ya a x y, com 1 a > 0 Para resolvermos uma equação exponencial, devemos transformar a equação dada em igualdade de mesma base, ou seja, devemos obter potências de mesma base no primeiro e no segundo membros da equação; para isso é necessário usar as propriedades revistas das potenciações. FUNÇÃO EXPONENCIAL Definição Considere uma função f: , definida por xf(x) a , com a > 0 e a 1. Tal função é denominada função exponencial. CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 5 - Prof. Raul Brito) 49 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 5 – REVISÃO DE MATEMÁTICA DO 1º GRAU Exemplos 1. xf(x) 3 2. xy (0,78) 3. f(x) = x 1 4 4. y = (5,57)x Observações Ao analisarmos a definição, podemos perguntar o seguinte: Por que a base a deve ser maior do que 0 e diferente de 1? Para respondermos a essa pergunta, vamos imaginar o que ocorreria se a fosse igual a 1 ou igual a 0. Nos dois casos, é fácil perceber que as funções correspondentes não seriam funções exponenciais. De fato, temos: • Se a = 1, a função xf(x) a se torna igual a f(x) = 1, ou seja, função constante. • Se a = 0, a função xf(x) a se torna igual a xf(x) 0 . Nesse caso, observe que a função não está definida para x = 0, pois nesse caso teríamos 0f(x) 0 , cujo valor é indeterminado. Para x 0, teríamos f(x) = 0 (função constante). De qualquer modo, não teríamos uma função definida para todo x real. Vamos analisar outro aspecto decorrente da definição: Por que a base a não pode ser negativa? Para responder a essa pergunta, vamos imaginar, por exemplo uma função dada por xf(x) ( 2) . Observe que essa função não possui domínio D igual a . Por exemplo, para x = 1 2 teríamos 1 2 1 f 2 2 , 2 cujo valor não está definido no conjunto dos números reais. Portanto, para que a função exponencial possua domínio D igual a , devemos ter a > 0 e a 1. Gráfico Iremos, agora, estudar o comportamento dos gráficos das funções exponenciais. Em cada exemplo a seguir, vamos atribuir alguns valores à variável x, calcular a imagem correspondente e utilizar os pontos obtidos para construir o gráfico da função. Exemplos 1. Construir o gráfico da função xy 3 . x xy 3 –2 1 9 –1 1 3 0 1 1 3 2 9 Acerca do gráfico da função xy 3 , podemos observar o seguinte: I. Trata-se de uma função crescente, de domínio D = . II. É uma função injetora, pois cada valor da imagem corresponde a um único valor do domínio. III. A curva está toda acima do eixo das abscissas. De fato, a função xy 3 possui apenas valores positivos. Portanto, a sua imagem Im é dada por Im = * . O eixo das abscissas é chamado assíntota1 do gráfico. É comum dizermos que a curva se aproxima assintoticamente do eixo das abscissas. IV. A curva intercepta o eixo das ordenadas no ponto (0, 1). 2. Construir o gráfico da função f(x) = x 1 2 . x f(x) = x 1 2 –3 8 –2 4 –1 2 0 1 1 1 2 2 1 4 3 1 8 50 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 5 – REVISÃO DE MATEMÁTICA DO 1º GRAU CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 5 - Prof. Raul Brito) Acerca do gráfico da função f(x) = x 1 2 , podemos observar o seguinte: I. Trata-se de uma função decrescente, de domínio D = . II. É uma função injetora, pois cada valor da imagem corresponde a um único valor do domínio. III. A curva está toda acima do eixo das abscissas. De fato, a função f(x) = x 1 2 possui apenas valores positivos. Portanto, a sua imagem Im é dada por Im = * . A curva se aproxima assintoticamente do eixo das abscissas. IV. A curva intercepta o eixo das ordenadas no ponto (0, 1). Esboço do gráfico da função xf(x) a Conforme visto nos gráficos dos exemplos anteriores, a base a da função determina se o gráfico é crescente ou decrescente. Podemos generalizar da seguinte maneira: Gráfico de xf(x) a Se a > 1, então f(x) é crescente Se 0 < a < 1, então f(x) é decrescente O número e Trata-se de um número irracional, cujo valor é 2,71828... . Esse número é conhecido como número neperiano, uma referência ao matemático escocês John Napier (1550-1617), autor de primeira publicação sobre a Teoria dos Logaritmos. Essa constante também é conhecida como número de Euler, uma referência ao matemático suíço Lenhonard Euler, que demonstrou a sua irracionalidade no século XVIII. No cálculo diferencial e integral, o número e é expresso na forma de um limite dado por: 1 x x 0 e lim 1 x Essa expressão pode ser lida como “o valor de e é igual ao limite de 1 x1 x quando x tende a zero”. Em outras palavras, ao substituirmos na expressão valores de x cada vez mais próximos de zero, o valor de 1 x1 x seaproxima de 2,71828... . A tabela a seguir ilustra esse fato. x 1 x1 x 1 2 0,1 2,59374 0,01 2,70481 0,001 2,71692 0,0001 2,71815 0,00001 2,71827 0,000001 2,71828 O número e é extremamente importante no estudo de diversos fenômenos naturais, tais como o crescimento populacional, o decaimento radioativo, o crescimento de bactérias, juros, entre outros. Observe que, como e > 1, a função xf(x) e é crescente, e o seu gráfico possui o seguinte esboço: Gráfico da função xf(x) e Outras funções envolvendo exponenciais As funções da forma xf(x) a são as funções exponenciais mais simples que existem. Entretanto, muitas vezes nos deparamos com funções exponenciais mais complexas, da forma xf(x) k.a , com k * ou mesmo funções da forma .xf(x) k.a , com k * , * e . Um exemplo é dado pela função: .x 0l(x) l .0,5 CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 5 - Prof. Raul Brito) 51 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 5 – REVISÃO DE MATEMÁTICA DO 1º GRAU Sendo I(x) a intensidade luminosa de um feixe de luz que incide perpendicularmente à superfície da água, em função da profundidade x em metros. Além disso, I0 é a intensidade luminosa na superfície da água e é uma constante positiva, que depende do nível de turbidez da água. Iremos, agora, estudar o comportamento dos gráficos de algumas dessas funções mais complexas. Exemplos 1. Construir o gráfico da função xf(x) 3.2 . Resolução: Atribuindo alguns valores para x e calculando os valores correspondentes de f(x), obtemos a tabela e o gráfico a seguir: x xf(x) 3.2 –2 3 4 –1 3 2 0 3 1 6 2 12 Observe que a intersecção do gráfico com o eixo das ordenadas ocorre no ponto (0, 3), e que o eixo das abscissas é a assíntota da curva. 2. Construir o gráfico da função xf(x) 3 1. Resolução: Atribuindo alguns valores para x e calculando os valores correspondentes de f(x), obtemos a tabela e o gráfico a seguir: x xf(x) 3 1 –2 10 9 –1 4 3 0 2 1 4 2 10 Observe que a intersecção do gráfico com o eixo das ordenadas ocorre no ponto (0, 2), e que a reta y = 1 é a assíntota da curva. Além disso, o gráfico da função xf(x) 3 1 pode ser obtido a partir do gráfico da função f(x) = 3x, com uma translação de 1 unidade para cima. Observação De forma geral, para esboçarmos o gráfico de uma função da forma xf(x) a k, com 0 < a 1 e k , podemos primeiro esboçar o gráfico da função xf(x) a . Em seguida, devemos “deslocar” esse gráfico k unidades para cima ou para baixo, dependendo do sinal da constante k. A assíntota do gráfico é dada pela função y = k. 3. Construir o gráfico da função 1 xf(x) 2 . Resolução: Nesse caso, ao invés de simplesmente atribuirmos valores para x, vamos, primeiro, manipular a expressão matemática da função. Observe que 1 x 1 xf(x) 2 2 .2 , que pode ser escrita como f(x) = 2. x 1 2 . Assim, temos: x f(x) = x 1 2 –2 8 –1 4 0 2 1 1 2 1 2 3 1 4 52 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 5 – REVISÃO DE MATEMÁTICA DO 1º GRAU CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 5 - Prof. Raul Brito) Observe que a intersecção do gráfico com o eixo das ordenadas ocorre no ponto (0, 2), e que o eixo das abscissas é a assíntota da curva. CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 5 - Prof. Raul Brito) 53 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 5 – REVISÃO DE MATEMÁTICA DO 1º GRAU EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM QUESTÃO 01 O expoente do número 3 na decomposição por fatores primos positivos do número natural 63 6110 10 é igual a: a) 6. b) 5. c) 4. d) 3. e) 2. QUESTÃO 02 A distância que a luz percorre em um ano, chamada ano-luz, é de aproximadamente 38 54 125 quilômetros. A notação científica desse número é: a) 9,5 1010 . b) 0,95 1210 . c) 9,5 1210 . d) 95 1210 . e) 9,5 1410 . QUESTÃO 03 Em pesquisa realizada, constatou-se que a população(P) de determinada bactéria cresce segundo a função P(t) = t25 2 , onde t representa o tempo em horas. Quanto tempo será necessário para atingir uma população de 400 bactérias? a) 1h b) 2h c) 3h d) 4h e) 5h QUESTÃO 04 Seja a equação exponencial abaixo: 2x 2 x 24 24 4 8 0 Para resolver essa a equação exponencial, Aline tomou o cuidado de inicialmente multiplicar ambos os membros da equação por 16. Tendo resolvido corretamente, Aline encontrou dois números reais cujo produto vale: a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 0 QUESTÃO 05 A soma das raízes reais da equação x x4 6 2 8 0 é: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 QUESTÃO 06 Se a área do triângulo retângulo ABC, indicado na figura, é igual a 3n, conclui-se que f(n) é igual a a) 2. b) 2 3 . c) 3. d) 3 2. e) 4. QUESTÃO 07 Considere que o valor y de certa grandeza pode ser expresso, em função do tempo t (em horas), pela lei 3ty k 2 , em que k é uma constante real. Para obter-se a meia vida de y, ou seja, para que y se reduza a metade, é necessário que o tempo t sofra um acréscimo de quantos minutos? a) 15 b) 20 c) 25 d) 30 e) 35 Anotações 54 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 5 – REVISÃO DE MATEMÁTICA DO 1º GRAU CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 5 - Prof. Raul Brito) QUESTÃO 08 Com base em uma pesquisa, obteve-se o gráfico abaixo, que indica o crescimento de uma cultura de bactérias ao longo de 12 meses pela lei de formação representada pela função N(t) k p t , onde k e p são constantes reais. Nas condições dadas, o número de bactérias, após 4 meses, é: a) 1800; b) 2400; c) 3000; d) 3200; e) 3600. QUESTÃO 09 (UFLA-MG) A figura é um esboço do gráfico da função xy = 2 . A ordenada do ponto P de abscissa a b 2 é a) cd b) c + d c) cd d) 2 cd QUESTÃO 10 (ACAFE-SC-2012) Um dos perigos da alimentação humana são os microrganismos, que podem causar diversas doenças e até levar a óbito. Entre eles, podemos destacar a Salmonella. Atitudes simples como lavar as mãos, armazenar os alimentos em locais apropriados, ajudam a prevenir a contaminação pelos mesmos. Sabendo que certo microrganismo se prolifera rapidamente, dobrando sua população a cada 20 minutos, pode-se concluir que o tempo que a população de 100 microrganismos passará a ser composta de 3 200 indivíduos é a) 1h e 35min. b) 1h e 40min. c) 1h e 50min. d) 1h e 55min. QUESTÃO 11 (UNIRIO-RJ) Assinale o conjunto solução da inequação 1 1 . 2 4 x 3 a) , 5 b) 4, c) 5, d) x | x 5 e) x | x 5 Anotações CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 5 - Prof. Raul Brito) 55 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 5 – REVISÃO DE MATEMÁTICA DO 1º GRAU QUESTÃO 12 (Unimontes-MG) A imagem e o esboço do gráfico da função y = x3 2 são, respectivamente. a) y | y 3 e b) y | y 2 e c) y | y 2 e d) y | y 3 e QUESTÃO 13 (FUVEST-SP-2012) Uma substância radioativa sofre desintegração ao longo do tempo, de acordo com a relação m(t) = C a k t , em que a é um número real positivo, t é dado em anos, m(t) é a massa da substância em gramas e c, k são constantes positivas. Sabe-se que m0 gramas dessa substância foram reduzidos a 20% em 10 anos. A que porcentagem de m0 ficará reduzida a massa da substância em 20 anos? a) 10% b) 5% c) 4% d) 3% e) 2% QUESTÃO 14 (UFSCar-SP) Determine o par ordenado (x, y), solução do sistema abaixo: 4 32 3 3 x y y x a) 3 5, 2 b) 3 5, 2 c) 2 3, 3 d) 3 1, 2 e) 1 1, 2 Anotações 56 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 5 – REVISÃO DE MATEMÁTICADO 1º GRAU CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 5 - Prof. Raul Brito) QUESTÃO 15 (Mackenzie-SP) Na figura, temos os esboços dos gráficos das funções f e g, sendo f(x) = xa . O valor de g(g(–1)) + f(g(3)) é a) 1 b) 2 c) 3 d) 3 2 e) 5 2 QUESTÃO 16 (FUVEST-SP) Seja f(x) = 2x 12 . Se a e b são tais que f(a) = 4f(b), pode-se afirmar que a) a + b = 2 b) a + b = 1 c) a – b = 3 d) a – b = 2 e) a – b = 1 QUESTÃO 17 (UFC-CE) Meia-vida de uma substância radioativa é o tempo necessário para que sua massa se reduza à metade. Tomemos, hoje, 16 gramas de uma substância radioativa cuja meia vida é de 5 anos. Se daqui a n anos sua massa for 1112 gramas, o valor de n é igual a a) 525 b) 550 c) 565 d) 575 e) 595 QUESTÃO 18 (UFMG) Observe a figura. Nessa figura, está representado o gráfico de f(x) = xk a , sendo k e a constantes positivas. O valor de f(2) é a) 3 8 b) 1 2 c) 3 4 d) 1 QUESTÃO 19 (UFV-MG) Seja a função real f(x) = xa , a > 1. O conjunto dos valores de x para os quais 2f x 3 f 6 é a) x | 3 x 3 b) x | x 3 c) x | x 3 d) x | x 3 ou x 3 e) x | x 3 ou x 3 QUESTÃO 20 (Unip-SP) O número de raízes reais da equação 21 x 4 é 2 x a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 Anotações CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 5 - Prof. Raul Brito) 57 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 5 – REVISÃO DE MATEMÁTICA DO 1º GRAU FUNÇÃO EXPONENCIAL Questão 21 (Fatec-SP) Na figura a seguir, os pontos A e B são as interseções dos gráficos das funções f e g. Se x g(x) 2 , então f(10) é igual a: a) 3 b) 4 c) 6 d) 7 e) 9 Questão 22 (Unifor-CE-2011) Certa substância radioativa de massa M0 (no instante t = 0) se desintegra (perde massa) ao longo do tempo. Em cada instante t 0 em segundos, a massa M(t) da substância restante é dada por 2t 0M(t) M 3 . O tempo transcorrido, em segundos, para que a massa desintegrada da substância seja dois terços da massa inicial M0 é: a) 0,5 b) 1 c) 1,5 d) 2 e) 4 Questão 23 (FGV – SP) Seja a função f, de em , defina por f(x) = 3x5 . Se f(a) = 8, então a f 3 é a) 1 2 b) 1 4 c) 1 8 d) 4 e) 2 Questão 24 (UFOP-MG) Sejam f : e g : , funções satisfazendo: f(x – 2) = 3x e g(n) g(0) 1 g(n 1) 2 Então, f(3) – g(3) é igual a a) 11 b) 16 c) 93 d) 109 e) 125 Anotações 58 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 5 – REVISÃO DE MATEMÁTICA DO 1º GRAU CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 5 - Prof. Raul Brito) EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO QUESTÃO 01 O conjunto solução da equação 2264x 16x 2x 2 é o conjunto: a) S = {2}. b) S = {4}. c) S = {–2, 2}. d) S = {2, 4}. QUESTÃO 02 Se 2 4 16 2 , 2x x o valor de xx é: a) 27 b) 4 c) 1 4 d) 1 e) 1 27 QUESTÃO 03 A equação 2 1 2 1024 x 14 tem duas soluções reais. A soma das duas soluções é: a) – 5 b) 0 c) 2 d) 14 e) 1024 QUESTÃO 04 Seja a equação exponencial x x3 9 10 3 3 0 . O produto das raízes dessa equação é igual a: a) –2. b) –1. c) 0. d) 1. QUESTÃO 05 (UFSM) Um piscicultor construiu uma represa para criar Traíras. Inicialmente, colocou 1 000 Traíras na represa e, por um descuido, soltou 8 Lambaris. Suponha que o aumento das populações de Lambaris e Traíras ocorra, respectivamente, segundo as leis t0L t L 10 e t 0T t T 2 , onde 0L é a população inicial de Lambaris, 0T a população inicial de Traíras e t, o número de anos que se conta, a partir do ano inicial. Depois de quantos anos o número de Lambaris será igual ao número de Traíras? a) 30 b) 18 c) 12 d) 6 e) 3 QUESTÃO 06 A interseção dos gráficos das funções xh x 2 1 e x 1s x 2 é o ponto que tem a soma de suas coordenadas igual a: a) 2 e pertence à reta y x 2 b) 1 e pertence à reta y x 1 c) 2 e pertence à reta y x 2 d) 1 e pertence à reta y x 1 QUESTÃO 07 A figura abaixo mostra o gráfico da função f(x) = 2x . A área da região sombreada, formada por retângulos, é igual a: a) 3,0 b) 3,5 c) 4,0 d) 4,5 e) 5,0 QUESTÃO 08 O número y de pessoas contaminadas pela nova gripe 1 1H N , em função do número de meses x, pode ser expresso por oy y 2 x , em que oy é o número de casos reportados em setembro de 2009, isto é, 200.000 infectados. O tempo necessário, em meses, para que 819.200.000 pessoas sejam afetadas pela nova doença é a) 12. b) 13. c) 14. d) 15. QUESTÃO 09 Suponha que o modelo exponencial 0,03 xy 363 e , em que x = 0 corresponde ao ano 2000, x = 1 corresponde ao ano 2001, e assim sucessivamente, e que y é a população em milhões de habitantes no ano x, seja usado para estimar essa população com 60 anos ou mais de idade nos países em desenvolvimento entre 2010 e 2050. Desse modo, considerando 0,3e 1,35 , estima-se que a população com 60 anos ou mais estará, em 2030, entre: a) 490 e 510 milhões. b) 550 e 620 milhões. c) 780 e 800 milhões. d) 810 e 860 milhões. e) 870 e 910 milhões. QUESTÃO 10 Um adulto humano saudável abriga cerca de 100 bilhões de bactérias, somente em seu trato digestivo. Esse número de bactérias pode ser escrito como: a) 910 . b) 1010 . c) 1110 . d) 1210 . e) 1310 . QUESTÃO 11 (EsPCEx-SP-2012) Na pesquisa e desenvolvimento de uma nova linha de defensivos agrícolas, constatou-se que a ação do produto sobre a população de insetos em uma lavoura pode ser descrita pela expressão oN(t) N 2k t , sendo N0 a população no início do tratamento, N(t) a população após t dias de tratamento e k uma constante que descreve a eficácia do produto. Dados de campo mostraram que, após dez dias de aplicação, a população havia sido reduzida à quarta parte da população inicial. Com estes dados, podemos afirmar que o valor da constante de eficácia desse produto é igual a a) 5–1 b) –5–1 c) 10 d) 10–1 e) –10–1 CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 5 - Prof. Raul Brito) 59 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 5 – REVISÃO DE MATEMÁTICA DO 1º GRAU QUESTÃO 12 (UFC-CE) O número real que é raiz da equação x 2 x 1 x 1 x5 5 5 5 780 é: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 QUESTÃO 13 (PUC Minas) Os pontos A(1, 6) e B(2, 18) pertencem ao gráfico da função xy na . Então, o valor de an é: a) 6 b) 9 c) 12 d) 16 QUESTÃO 14 (UNIRIO-RJ) Em uma população de bactérias, há P(t) = 3t10 4a bactérias no instante t medido em horas (ou fração da hora). Sabendo-se que inicialmente existem a10 bactérias, quantos minutos são necessários para que se tenha o dobro da população inicial? a) 20 b) 12 c) 30 d) 15 e) 10 QUESTÃO 15 (UFRN) No plano cartesiano a seguir, estão representados o gráfico da função y = x2 , os números a, b, c, e suas imagens. Observando-se a figura, pode-se concluir que, em função de a, os valores de b e c são, respectivamente, a) a e 4a 2 b) a 1e a 2 c) a 2a e 4 d) a 1 e a 2 QUESTÃO 16 (EsPCEx-SP-2012) O conjunto solução do sistema x y 3 2 3 27 9 2 y xy 0 3 É formado por dois pontos, cuja localização no plano cartesiano é: a) ambos no primeiro quadrante. b) um no quarto quadrante e o outro no eixo x. c) um no segundo quadrante e o outro no terceiro quadrante. d) um no terceiro quadrante e o outro no eixo x. e) um no segundo quadrante e o outro no eixo x. QUESTÃO 17 (Cesgranrio) Se o quociente de 64x 1 por x 14 é 2x256 , então x é: a) 2 3 b) 1 3 c) 0 d) 1 4 e) 3 8 QUESTÃO 18 (PUC RS) Se x 2 x 33 3 2 , então 15 – 2x vale: a) 16 b) 15 c) 14 d 11 e)6 QUESTÃO 19 (UDESC-2012) Se x é a solução da equação 4x 1 x3 9 6 , então xx é igual a: a) 2 2 b) 1 4 c) 1 2 d) 1 e) 27 QUESTÃO 20 (ENEM) A madeira foi um dos primeiros materiais usados pelo homem, na construção de sua habitação e de seus primeiros meios de transporte. Com a alta utilização desse material, intensificaram- se o desmatamento e a significativa diminuição das florestas no mundo. A fim de soluciona esse problema, tende-se à produção de madeira a partir de florestas plantadas ou regeneradas. Para calcular o rendimento V de uma dessas florestas, podemos usar a fórmula: 48,1 tV 6,7 e em que V nos dá o valor em metros cúbicos de madeira por are, em função da idade da floresta, t. Considerando 0,481e = 0,62, a quantidade de m3 de madeira que renderá uma floresta de 80 hectares com 100 anos de idade está entre a) 10 000 e 20 000 b) 20 000 e 30 000 c) 30 000 e 40 000 d) 40 000 e 50 000 e) 50 000 e 60 000 Questão 21 Os biólogos observaram que, em condições ideais, o número de bactérias Q(t) em uma cultura cresce exponencialmente com o tempo t, de acordo com a lei oQ(t) Q e , k t sendo k > 0 uma constante que depende da natureza das bactérias; o número irracional e vale aproximadamente 2,718 e 0Q é a quantidade inicial de bactérias. Se uma cultura tem inicialmente 6.000 bactérias e, 20 minutos depois, aumentou para 12.000, quantas bactérias estarão presentes depois de 1 hora? a) 41,8 10 b) 42,4 10 c) 43,0 10 d) 43,6 10 e) 44,8 10 60 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 5 – REVISÃO DE MATEMÁTICA DO 1º GRAU CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 5 - Prof. Raul Brito) Questão 22 Sejam f, g : funções definidas por sen(x)f(x) 3 e xg(x) sen 3 . Se m e n são os valores máximos atingidos por f e g respectivamente, então o produto m n é igual a a) 6. b) 3. c) 1. d) 0. Questão 23 A função f, definida por xf(x) 4 2, intercepta o eixo das abscissas em a) –2. b) –1. c) 1 . 2 d) 0. e) 1 . 2 Questão 24 Em um dia num campus universitário, quando há A alunos presentes, 20% desses alunos souberam de uma notícia sobre um escândalo político local. Após t horas f(t) alunos já sabiam do escândalo, onde A f(t) , 1 B e k e B são constantes positivas. Se 50% dos alunos sabiam do escândalo após 1 hora, quanto tempo levou para que 80% dos alunos soubessem desse escândalo? a) 2 horas b) 3 horas c) 4 horas d) 5 horas e) 6 horas Questão 25 A desintegração de uma substância radioativa é um fenômeno químico modelado pela fórmula q 10 2 ,k t onde q representa a quantidade de substância radioativa (em gramas) existente no instante t (em horas). Quando o tempo t é igual a 3,3 horas, a quantidade existente q vale 5. Então, o valor da constante k é a) 35 5 b) 33 10 c) 5 33 d) 10 33 e) 100 33 CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA AULA 5 – Prof Raul Brito CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 5 – REVISÃO DE MATEMÁTICA DO 1º GRAU RESOLUÇÕES DOS PROBLEMAS DE FIXAÇÃO Questão 01: Resolução: Temos que igualar as bases para podermos igualar os expoentes: 2 2 2 2 2 2x x 2x 2x x 2x 2 3 2 3x 2x 4x 4 2 2 2 2 2 2 64 16 4 4 4 4 3x 2x 4x 4 x 4x 4 0 x 2 x 2 2 0 (x 2) 0 x 2. * Na segunda passagem foi usada a propriedade da potência de uma potência, na terceira, foi usado o fato de que se as bases são iguais, os expoentes também são e na penúltima foi usado um dos produtos notáveis, a saber 22 2a 2ab b a b . Nota: Essa equação do 2º grau também poderia ser resolvida pela fórmula de Bhaskara. Portanto, S {2}. Resposta: Alternativa A Questão 02: Resolução: Pelo enunciado, temos: 2 2 2 22xx 2 x 2x 4 x 2 4 x 4x x 4 2 2 2 2 2 (4 ) 16 2 4 2 2 2 2 2 2 x 4 4x x 4x 4 0 x 2 x 2 2 0 (x 2) 0 x 2. * Na primeira passagem foi usada a propriedade da potência de uma potência, na segunda produto de mesma base, na terceira o fato de que se as bases são iguais, os expoentes também são e na penúltima foi usado um dos produtos notáveis a saber 22 2a 2ab b a b . Nota: Essa equação do 2º grau também poderia ser resolvida pela fórmula de Bhaskara. Assim, temos que x 2x 2 4. Resposta: Alternativa B Questão 03: Resolução: Reduzindo à mesma base e igualando os expoentes, obtemos: 2 2 2x 14 x 14 x 14 10 2 2 2 10 1 1 2 2 2 2 x 14 10 x 14 10 0 x 4 0. 1024 2 Portanto, das relações entre coeficientes e raízes, segue que a soma das soluções da equação é 0 0. 1 Nota: Poderíamos também encontrar as raízes: 2 2x 4 0 x 4 x 4 x 2 , ou seja, uma raiz é +2 e a outra é – 2, cuja soma é ZERO. Resposta: Alternativa B Questão 04: Resolução: Do enunciado, temos: 62 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 5 – REVISÃO DE MATEMÁTICA DO 1º GRAU CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 5 - Prof. Raul Brito) x 2 x x 2 x x x 2 x x x x x x x x x 1 3 9 10 3 3 0 3 3 10 3 3 0 3 3 10 3 3 0, 10 4 3 3 100 36 64. 10 64 10 8 10 8 18 3 3 3 3 3 3 x 1 ou 2 3 6 6 6 10 8 2 1 3 3 3 3 3 x 1. 6 6 3 Δ Δ Δ Assim x 1 ou x 1 . Logo, o produto das raízes será dado por 1 (-1) = -1 . * Na primeira linha encontramos uma equação do 2º grau na variável x3 , resolvemos pela fórmula de Bhaskara (podemos fazer uma mudança de variável, por exemplo, x3 k , para não confundirmos no uso da fórmula) e no final: se as bases são iguais, os expoentes também são. Resposta: Alternativa B Questão 05: Resolução: Do enunciado, temos 0L 8 e 0T 1000 , logo: tt t t t t 3 t 10 1000 10 L t T t 8 10 1000 2 125 5 125 5 5 8 22 t 3. Resposta: Alternativa E Questão 06: Resoluções: Igualando as funções, temos: x x 1 x x x x x x 0 0 2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 x 0 e y h 0 2 1 1 1 2 x 0 e y 2. Portanto a intersecção das funções é o ponto (0,2). Então a soma de suas coordenadas é 2 e este ponto pertence à reta y x 2. Para verificar basta substituir os valores de x e de y. Resposta: Alternativa A Questão 07: Resolução: Da figura, temos: Passo 1: Substituindo x = – 1 em y, encontramos 1 1 y 2 y 2 ; Passo 2: Substituindo x = 0 em y, encontramos 0y 2 y 1 ; Passo 3: Substituindo x = 1 em y, encontramos 1y 2 y 2 . Assim, para encontrarmos as áreas dos retângulos, basta efetuar o produto de seus comprimentos: CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 5 - Prof. Raul Brito) 63 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 5 – REVISÃO DE MATEMÁTICA DO 1º GRAU 1 2 3 1 A A A A A 1. 1.1 1.2 A 0,5 1 2 A 3,5 2 . Resposta: Alternativa B Questão 08: Resolução: Dos dados da questão, temos: x 0y y 2 Como 0y 200 000 , podemos escrever: xy 200 000 2 Queremos encontrar x, para y = 819 200 000, então, substituindo na equação: x x x x x 128 192819 200 000 200 000 2 8 192 2 2 2 2 4 096 2 2 x 12 2 . * Na equação tivemos uma simplificação no início e no final a fatoração de 4096. Resposta: Alternativa A Questão 09:Resolução: Vamos pensar um pouco: x = 0, corresponde ao ano 2000. x = 1, corresponde ao ano 2001. x = 2, corresponde ao ano 2002 e assim sucessivamente ........ x = 30, corresponde ao ano 2030. Para estimarmos a população do ano 2030, substituiremos x = 30 na equação dada: 3 30,03 300,03x 0,9 0,3y 363 e y 363 e y 363 e y 363 e y 363 1,35 y 363 1,35 1,35 1,35 y 893. * No 4º passo procuramos escrever em função de 0,3e , pois foi dado o valor no enunciado. Fizemos o uso da propriedade da potência de uma potência. Assim 893 está entre 870 e 910. Resposta: Alternativa E Questão 10: Resolução: Nessa questão faremos apenas correspondências de unidades, com propriedade do produto de potências no final. Como 1 bilhão corresponde a 910 unidades, 100 bilhões equivalem a 2 9 1110 10 10 bactérias. Resposta: Alternativa C Questão 11: Resolução: No início temos 0N , no final temos 0NN t 4 . Assim, vamos substituir os valores na expressão: kt k 10 10k 10k 2 10k00 0 2 1 N 1 1 2 N t N 2 N 2 2 2 2 2 2 10k k 4 4 102 1 k k 5 . 5 Resposta: Alternativa B 64 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 5 – REVISÃO DE MATEMÁTICA DO 1º GRAU CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 5 - Prof. Raul Brito) Questão 12: Resolução: Da equação, temos: x x x 2 x 1 x 1 x 2 x x x x x 1 x x x x x x x x 2 5 5 5 5 5 5 780 5 5 5 5 5 780 25 5 6 5 780 55 125 5 5 30 5 156 5 3900 780 780 156 5 3900 5 5 25 5 5 156 5 5 x 2. Resposta: Alternativa B Questão 13: Resolução: No ponto A temos Ax 1 e Ay 6 e no ponto B, temos Bx 2 e By 18 , assim substituindo na curva: Substituindo o ponto A: x 1y n a 6 n a a n 6 . Substituindo o ponto B: x 2 18 y n a 18 n a 18 n a a 6a 18 a a 3 6 . Assim, substituindo o valor de a encontrado, temos: 6 a n 6 3n 6 n n 2 3 . Logo n 2 na 3 a 9 . Resposta: Alternativa B Questão 14: Resolução: No início temos a 0P 10 , no instante t, temos 3t 0P t P 4 e no final, temos final 0P t 2P . Assim, vamos substituir os valores na expressão: 3t 3t 3t 2 6t 0 0 0 1 P t P 4 2P P 4 2 2 2 2 1 6t t horas 6 1 t 60 minutos t 10 minutos. 6 Resposta: Alternativa E Questão 15: Resolução: A partir do gráfico, temos: Para ax a y 2 ; para a 1 ax b y 2 2 y 2 ; para a a a 2 2 2 2 x c y y y 2 4 2 . Por outro lado, da equação da curva, temos: Para bx b y 2 e para cx c y 2 . Logo igualando aos resultados acima: b 1 a2 2 b 1 a e c a 22 2 c a 2 . Resposta: Alternativa D CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 5 - Prof. Raul Brito) 65 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 5 – REVISÃO DE MATEMÁTICA DO 1º GRAU Questão 16: Resolução: Da equação, temos: y x 3 x 3y 2 x 3y 2 3 2 3 2 2 2 3 3 9 3 3 3 3 3 x 3y 2 eq1 3y 2xy 0 3y 2xy 0 y 3y 2x 0 y 0 y 0 x 3y 2 x 3 0 2 3 x 2 ou 3y 2x 0 eq2 x 3y 2 eq1 3y 2x 0 eq2 Fazendo eq2 eq1 : 3y 2x x 3y 0 2 3y 2x x 3y 2 x 2. Substituindo em eq2 : 4 3y 2x 0 3y 2 2 0 3y 4 0 3y 4 y . 3 Assim temos os pares 2, 0 que fica no eixo x e 4 2, 3 que fica no segundo quadrante. Resposta: Alternativa E Questão 17: Resolução: Usando o algoritmo da divisão, temos: x 1 x 1 2x x 1 x 1 2x 6 2 8 6x 6 2x 2 16x 6x 6 2x 2 16x 6x 6 18x 2 64 4 256 2 2 2 2 2 2 2 2 4 1 2 2 6x 6 18x 2 2 6 18x 6x 12x 4 x x . 12 3 Resposta: Alternativa B Questão 18: Resolução: Do enunciado, temos: 2 x 2 2 2 x 2 x 3 x x x x x x x 22 x x x x 2 x x 3 93 3 3 2 3 8 8 3 9 8 3 3 8 3 9 0 3 3 b 4ac 8 4.1. 9 64 36 100. 8 100 8 10 8 10 3 3 3 3 9 3 x 2 ou 2.1 2 2 8 10 3 3 1 não ser 2 ve . Logo 2 215 x 15 2 15 4 11. Resposta: Alternativa D 66 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 5 – REVISÃO DE MATEMÁTICA DO 1º GRAU CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 5 - Prof. Raul Brito) Questão 19: Resolução: Do enunciado, temos: 2x 2 2x x 2 2 4x 1 x x x x x x 2 2 x x x x x 2 2x x 3 9 3.9 3 9 6 9 6 6 9 3 9 18 3 3 9 18 0 3 3 b 4ac 3 4.1. 18 9 72 81. 3 81 3 9 3 9 1 9 9 9 9 3 3 3 3 3 2x 1 x ou 2.1 2 2 2 9 x 3 9 9 6 não serve . 2 Logo 1 2x 1 1 1 2x 2 2 22 . Resposta: Alternativa A Questão 20: Resolução: Do enunciado, temos: 48,1 48,1 0,481 3t 100V 6,7 e V 6,7 e V 6,7 e V 6,7 0,62 V 4,145 m por are Sabemos que 80 hectares equivalem a 8000 ares. Logo, a renda total é de total totalV 4,145.8000 V 33232 . Resposta: Alternativa C Questão 21: Resolução: Tem-se que k 20 20k12000 6000 e e 2. Logo, para t 1h 60 minutos, vem k 60 20k 3 4Q(60) 6000 e 6000 (e ) 6000 8 4,8 10 . Resposta: E Questão 22: Resolução: A função seno varia de 1 até 1, portanto tem valor máximo igual a 1. Assim: sen(x) 1 máxf(x) 3 f (x) 3 3 m 3 x máxg(x) sen(3 ) g (x) 1 n 1 Logo, o produto de m n é igual a 3. Resposta: B Questão 23: Resolução: Fazendo f(x) = 0, temos: x x 2x 14 2 0 4 2 2 2 1 2x 1 x 2 Portanto, a função f intercepta o eixo x no ponto de abscissa 1 x . 2 Resposta: Alternativa C CURSO ANUAL DE MATEMÁTICA – (Aula 5 - Prof. Raul Brito) 67 CURSO DE MATEMÁTICA ANUAL – AULA 5 – REVISÃO DE MATEMÁTICA DO 1º GRAU Questão 24: Resolução: Queremos calcular t de modo que f(t) 0,8 A. Sabendo que f(0) 0,2 A, temos Ak 0 A 0,2 A 1 B 5 B 4. 1 Be Além disso, como f(1) 0,5 A, vem Ak Ak 1 Ak 1 A 0,5 A 1 4e 2 e 4 . 1 4e Portanto, segue que Ak t t t t 2 4 A f(t) 0,8 A A 5 1 4 (e ) 4 16 4 5 16 4 1 1 4 4 t 2. 16 Resposta: Alternativa A Questão 25: Resolução: Para t 3,3 h sabe-se que q 5 Logo, 1k 3,35 10 2 2 2 10 3,3k 1 k . 33 3,3k Resposta: Alternativa D
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