2 revisão de calculo 1 e 2

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Limite de uma função
Seja Y=f (x) uma função definida nas vizinhanças do 
ponto x0, ou, em certos pontos desta vizinhança. A 
função tende a L, quando x tende a a, ou
Lxf
0xx


)(lim
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Propriedades dos Limites
• Se L, M, a, c são números reais e n inteiro
• eLxf
ax


)(lim ,)(lim Mxg
ax


MLxgxfxgxf
axaxax


)(lim)(lim)()(lim
MLxgxfxgxf
axaxax
.)(lim).(lim)().(lim 

Lcxfcxfc
axax
.)(lim.)(.lim 

M
L
xg
xf
xg
xf
ax
ax
ax



 )(lim
)(lim
)(
)(lim
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• Regra da potencia:
• Regra da raíz
nn
ax
n
ax
Lxfxf 

))(lim()(lim
nn
ax
n
ax
Lxfxf 

)(lim)(lim
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• Regra do logaritmo:
• Regra do seno(o mesmo vale para o cosseno)
• Regra da exponencial: 
0)(limlog
))(lim(log))((loglim




xfseL
xfxf
axc
axccax
Lxfxf
axax
sen))(limsen()(senlim 

Lxfxf
ax
ccc ax  

)(lim)(lim
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Exemplo – Limite de Uma Função Racional
0
6
0
5)1(
3)1(4)1(
5
34
2
23
2
23
1
lim 



 x
xx
x
2 2
2 2
1
2 (1) (1) 2 0 ?
(1) (1) 0limx
x x
x x
     
 
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Exemplo 3 – Cancelando um Fator Comum
xx
xx
x 


2
2
1
2lim
x
x
xx
xx
xx
xx 2
)1(
)2)(1(2
2
2 




Se x 1
xx
xx
x 


2
2
1
2lim
xx
xx
x 


2
2
1
2lim
 
 1
1 22 3
1limx
x
x
  
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Determine os limites para
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Quanto vale
• Solução: 
• Neste caso, racionalizar o numerador, fazendo em 
seguida as simplificações necessárias.
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Quanto vale
• Solução: 
• Neste caso faremos uma troca de variáveis na função 
para facilitar os cálculos. Toma-se x = t6 . Quando t6 →
1 temos que t → 1.
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Quanto vale
• Solução: 
• Neste exemplo, desenvolve-se o numerador para poder 
realizar as simplificações.
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Uma função f(x) terá um limite quando x se aproximar de 
c, se e somente se, tiver um limite lateral à direita e um 
à esquerda e os dois limites laterais forem iguais:
lim ( )
x c
f x L

 e lim ( )
x c
f x L


 
lim ( )
x c
f x L



Relação entre os Limites Laterais
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Em x = 1: 0)(lim 1  xfx ainda que f(1) = 1, 
,1)(lim
1
 xfx
)(lim 1 xfx não existe. Os limites à direita e à esquerda não são
iguais.
Em x = 2:
1)(lim
2
 xfx
1)(lim
2
 xfx
1)(lim 2  xfx ainda que f(2) = 2
Exemplos (Limites laterais)
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Em x = 3:
   )(lim)(lim)(lim 333 xfxfxf xxx f(3) = 2
Em x = 4:
1)(lim 4  xfx ainda que f(4) 1
)(lim 4 xfx  )(lim 4 xfxe não existem. A função não é
definida à direita de x = 4.
Em qualquer outro ponto a em [0,4], f(x) tem limite f(a).
Exemplos (Limites laterais)
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Definições Limites com x
1. Dizemos que f(x) possui o limite L quando x tende 
ao infinito e escrevemos:
Lxf
x


)(lim
2. Dizemos que f(x) possui o limite L com x tendendo 
a menos infinito e escrevemos:
Lxf
x


)(lim
Limites com x tendendo ao Infinito
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Exemplo: Encontre 
• O símbolo do infinito não representa um número real.
• Nós usamos este símbolo para descrever o comportamen-
to de uma função quando os valores no seu domínio ou 
intervalo de crescimento superar todos os limites finitos.
• Na figura ao lado. Quando x é
positivo e torna-se cada vez maior, a função 
torna-se cada vez menor.
• Quando x é negativo e sua 
magnitude torna-se cada vez maior, mais uma 
vez a função torna-se menor.
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Limites infinitos
• Olhando novamente para a 
função f(x)=1/x, nota-se que a 
medida que os valores de x se 
aproximam de zero pela direita, 
a função cresce, de forma 
similar, a medida que os 
valores de x se aproximam de 
zero pela esquerda, a função 
decresce assumindo valores 
cada vez mais negativos. Ou 
seja os limites tendem ao 
infinito
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22 3 2 (3 / ) 2 3(1 / )
7 4 7 (4 / ) 7 4(1 / )lim lim limx x x
x x x x x
x x x  
     
  
Divida o numerador e o 
denominador por x.
O numerador agora tende a 
ao passo que o denominador 
tende a 7, então a razão tende a 
.


Exemplo – Grau do Numerador 
Maior que o Grau do Denominador
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Assíntota vertical
• Uma reta vertical é uma assíntota do gráfico de uma 
função se
• Exemplo: determine a assíntota vertical de 
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• Vamos dividir o numerador e o denominador por x e 
depois aplicar as propriedades de limites juntamente 
com o teorema para limites no infinito.
Quanto vale
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• Para usarmos o teorema, dividimos numerador e 
denominador pela maior potência de x5
Quanto vale
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• Como a maior potencia de x é 2 dividimos o numerador 
e o denominador por , que é |x|. 
Quanto vale
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• Como a maior potencia de x é 2 dividimos o numerador 
e o denominador por , que é |x|. 
Quanto vale
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Uma função f(x) será contínua em x = a se e somente se ela obedecer
às três condições seguintes:
1. f(a) existe (a está no domínio de f)
2. existe (f tem um limite quando )lim ( )x a f x x a
3. (o limite é igual ao valor da função)lim ( ) ( )
x a
f x f a


Teste de Continuidade
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Propriedade de fcs continuas
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Derivadas
• Professor: Neide Pizzolato Angelo
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Diferenciabilidade
• Se uma função f é diferenciável em x0, então a 
derivada de f existe em x0 e podemos dizer que x0 é
um ponto de diferenciabilidade. Geometricamente, os 
pontos de diferenciabilidade de f são aqueles onde a 
curva y = f(x) tem uma reta tangente, e os pontos de 
não-diferenciabilidade são aqueles onde a curva não 
tem reta tangente. De modo informal, os pontos de 
não-diferenciabilidade mais comumente encontrados 
podem ser classificados como:
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Diferenciabilidade
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Relação entre Diferenciabilidade e 
Continuidade
• Se f é diferenciável no ponto x0, então é também 
contínua em x0 , porém, o inverso é falso, isto é, uma 
função pode ser contínua em um ponto, sem ser 
diferenciável nele. Um exemplo é uma função contínua 
com "pico".
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Regras de derivação
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• Exemplo: Encontre 
  3x
dx
d cos
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Derivadas de ordem superior
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Aplicação 
gráfica 
de 
derivada
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Pontos Críticos 
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Função crescente e decrescente
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Concavidade
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Ponto de inflexão
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Tabela 5.4.2 (p. 304)
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Esboce o gráfico de
• Solução
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Problemas de Máximo e Mínimo
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Determine dois números reais positivos cuja soma é
70 e tal que seu produto seja o maior possível.
• Solução
• Considere x; y > 0 tal que x + y = 70; logo, x; y  [0; 70]; o produto 
é: 
P = x y: 
• Esta é a função que devemos maximizar. Substituindo y = 70 - x, 
substituindo em P, tem-se :
P(x) = x y = x (70 - x) = 70x - x2:
• Derivando P(x) e igualando zero (ponto crítico):
• P´(x) = 70 - 2 x = 0; o ponto crítico é x = 35. 
• Analisando o sinal de P”(35) = -2 < 0, é claro que x= 35 é ponto de 
máximo para P(x) e, portanto, y = 35; Dessa forma,
• P = 1225 é o produto máximo entre os números. 
• Os números são x = y = 35.
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Uma caixa deve ser feita cortando pequenos quadrados 
congruentes dos cantos de uma folha de estanho e dobrando 
os lados. Qual o tamanho do quadrados nos cantos para 
fazer a caixa segurar o máximo possível?
• O volume da caixa é uma função dessa variável:
• Uma vez que os lados da folha de lata são de apenas 12 polegadas
de comprimento, e o domínio de V é o intervalo , 
examinamos a primeira derivada de V em relação a x:
• Como somente x=2 está no interior do domínio da função e a 
V”(2)<0. Então o volume máximo é V(2)= 128cm3. O valor do corte 
em cada lado dos quadrados x devem ser de 2 cm.
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Integral
• Professor: Neide Pizzolato Angelo
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Integral (conceito de antiderivada)
• A operação de integração consiste no problema de 
determinar uma antiderivada para uma função. Assim, 
sabemos que:
• Se [x]´=1 então, x é a antiderivada de 1;
• Se então é a antiderivada de x;
• Se então é a antiderivada de x2;
• Em geral:
• é a antiderivada de xn.
2
2x
3
3x
1
1


n
xn
xx
dx
d 





2
2
2
3
3
xx
dx
d 





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Propriedades de integração
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Exemplos
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•Métodos
• de
• integração
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Integração por substituição
• As vezes, algumas integrais não podem ser obtidas diretamente 
de derivadas tabeladas. Assim, deve-se buscar métodos para esse 
fim.
• O método de substituição está diretamente relacionada a regra 
da cadeia para derivação, ou seja: 
• Assim, 
• Técnica: 
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SOLUSOLUÇÇÃOÃO
   dxxxx  132 62
Seja u = x2 + 2x + 3, tal que . Isto é, 
Portanto, E, então, tem-se:
   dxxdxxx
dx
ddu 22322 
      duudxxxx 2
1132 662
  .12 dxxdu    .1
2
1 dxxdu 
 duu62
1
Cu 
72
1 7
Rescreva em termos
de u.
Jogue o fator 1/2 para fora.
Integre em u.
Exemplo: resolva 
  Cxx 
14
12 72 Troque u por x2 + 2x + 3.
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• De forma simplificada temos:
• Regra de Derivação do Produto
• Integrando a regra acima
• Resolvendo o lado direito
• Regra da Integração por Partes
( . )d du dvu v v u
dx dx dx
 
( ) d du dvuv dx v u dx
dx dx dx
     
 . u v v du u dv  
= . u v vu v ud d 
Integração por partes (Resumo)
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•Solução
• Usamos a fórmula simplificada da integração por 
partes, fazendo:
• u = x  du = dx;
• dv = cosx dx  v = senx .
• Então:
 xdxx cos.
  vduuvudv
  dxsenxsenxxdxxx . cos.
cxsenxxdxxx  cos. cos.
Usando integração
por partes calcule:
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Integração por substituição 
trigonométrica 
• No caso de integração por substituição trigonométrica, 
um integrante que contenha uma das formas: 
• sendo a uma constante positiva pode ser transformado 
numa integral trigonométrica mais familiar, utilizando 
substituições trigonométricas. Para os três casos acima, 
utilizamos as identidades trigonométricas:
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TABELA DE SUBSTITUIÇÃO 
TRIGONOMÉTRICA
• Aqui, listamos as substituições trigonométricas que são 
eficazes para as expressões radicais determinadas por 
causa das identidades trigonométricas especificadas.
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Exemplo: Calcule
Solução
Seja x = 3 sen θ, where –π/2 ≤ θ ≤ π/2. 
• Então, dx = 3 cos θ dθ e 
• Note que cos θ ≥ 0 porque –π/2 ≤ θ ≤ π/2, então:
2
2
9 x dxx
2 2 29 9 9sin 9cos 3 cos 3cos        x
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• Assim, usando a substituição temos:
2
2 2
2
2
2
2
9 3cos 3cos
9sin
cos
sin
cot
(csc 1)
cot
  

 

 
 
 
 


 
   
 



x dx d
x
d
d
d
C
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Valor da Cotg θ
• Então, o valor do cotg θ da figura é:
• Embora θ > 0 aqui, 
está expressão de cotg θ é
válida, quando θ < 0.
29cot x
x
 
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Resultado final
• Como sen θ = x/3, temos θ = sen-1(x/3). 
• Portanto,
• E assim,
2 2
1
2 2
9 9 sin
3
x x xdx C
x x
        
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Resumo
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• Para ilustrar o método, observe que: "tomando as 
frações 2 / (x - 1) e 1 / (x - 2) em um denominador 
comum, temos:
Integração por frações parciais
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• Se agora revertamoso procedimento, vemos como 
integrar a função no lado direito desta equação:
Integração por frações parciais
2
5 2 1
2 1 2
2ln | 1| ln | 2 |
x dx dx
x x x x
x x C
        
    
 
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• A função f(x), dada pela de divisão de p(x) e q(x) é
também representada 
• onde S e R também são polinômios.
PARTIAL FRACTIONS
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
P x R xf x S x
Q x Q x
  
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Exemplo
• Usando que
• Tem-se: 3
2
3 2
22
1 1
2 2ln | 1|
3 2
x x dx x x dx
x x
x x x x C
        
     
 
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
P x R xf x S x
Q x Q x
  
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PARTIAL FRACTIONS
• Calcule
• como
2 2 1
(2 1)( 2) 2 1 2
x x A B C
x x x x x x
    
   
2
3 2
2 1
2 3 2
x x dx
x x x
 
 
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Calcule 2 2
dx
x a
2 2
1 1
( )( )
A B
x a x a x a x a x a
  
    
( ) ( ) 1A x a B x a   
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Calcule
• tomando . 
• Então, u2 = x + 4 
• Assim, x = u2 – 4 and dx = 2u du
4x dx
x

4u x 
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Cônicas
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Lugares geométricos 
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 74
Elipse
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 75
hiperbole
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 76
Parábola
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 77
Esboce o gráfico de
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 78
Esboce o gráfico de
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 79
Esboce o gráfico de
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 80
Final 
da 
apresentação
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UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 82
Tabela de integrais
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 83
Tabela de integrais
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 84
Exemplos
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 85
Exemplos
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 86
1. Procure no integrando pela função correspondente a u, tal 
que sua derivada, exceto uma constante, esteja ou possa 
ser colocada multiplicando dx. (OBS: Normalmente, u=g(x) e 
a parte interna de uma função composta no integrando).
2. Após achar g(x) chame-a de “u” e tome sua derivada com 
relação ao diferencial (dx, dy, dt, etc.). Acrescentando 
esse diferencial,isto é, du =g´(x) dx);
3. Use as expressões “u” e “du” para substituir as partes da 
integral original;
4. A sua nova integral deverá ser mais fácil de ser calculada 
que a original.
5. Após resolver a integral não esqueça de desfazer a 
substituição.
Passo para usar o método
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 87
Logo, seja: dx 2)(x 
2
du 
Assim, 
  du sen(u)2
1
2
dusen(u)dx 6)4xsen(x 2)(x 2
Sabe-se que: Ccos(u)du sen(u)  TABELA
Mas: 
  dx 6)4xsen(x 2)(x 2
Use o método de substituição 
para encontrar a integral:   dx 6)4xsen(x 2)(x 2
42x
dx
du  dx 2)(x 2 dx 4)(2xdu Seja u = x2 + 4x – 6 Então: 
C6)4xcos(x
2
1dx 6)4xsen(x 2)(x 22 
Portanto: 
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EXEMPLO 01
Calcular   dx2x1)(x 502
Solução
Seja u = x2 + 1
Logo: 2xdx = du
Assim, a integral dada pode ser escrita como:
C
51
1)(xC
51
udu(u)
51251
50 
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
2x
dx
du 
Exemplos
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 89
EXEMPLO 02
Calcular   dx9)sen(x
Solução
Seja u = x + 9
Logo: dx = du
Assim, a integral dada pode ser escrita como:
C9)cos(xCcos(u)dusen(u) 
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
1
dx
du 
Exemplos
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 90
EXEMPLO 03
Calcular  dxcos(x)(x)sen2
Solução
Seja u = sen(x)
Logo: cos(x)dx = du
Assim, a integral dada pode ser escrita como:
C
3
(x)senC
3
uduu
33
2 
cos(x)
dx
du 
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
Exemplos
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 91
EXEMPLO 04
Calcular  dxx
e x
Solução
Então
x2
1
x
1
2
1x
2
1x
dx
d
dx
du
2
1
2
1
2
1











Seja u = x
Logo: = dudx
x2
1
Antes da substituição, a função dada será escrita de outra forma.
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
Exemplos
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 92
Assim, a integral dada pode ser escrita como:
Ce2Ce2due2du2e xuuu  
  dxx2
12edx
x2
2
1
edx
x
e xxx
  du2edxx2
12e ux
Ou seja: Ce2dx
x
e xx 
du2dx
x
1dudx
x2
1 
outra maneira de chegar aqui 
sem manipular a função 
dada é fazendo (página 08):
Exemplos
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 93
EXEMPLO 05
Calcular   dx1xx2
Solução
Seja u = x – 1 Logo: dx = du
Se u = x – 1 
Então x = u + 1
x2 = (u+1)2
x2 = u2 + 2u + 1 
Assim, a integral dada pode ser escrita como:
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
Exemplos
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 94
  duu1)2u(u2
ou:




















duu2uu
du1uu2uuuduu1)2u(u
2
1
2
3
2
5
2
1
2
1
2
1
22
1
2
Portanto:
C
1
2
1
u
1
2
3
u2
1
2
5
uduu2uu
1
2
11
2
31
2
5
2
1
2
3
2
5

















Exemplos
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 95
Cu
3
2u
5
4u
7
2duu2uu 2
3
2
5
2
7
2
1
2
3
2
5









Finalmente:
Escrevendo em termos de x:
C)1(x
3
2)1(x
5
4)1(x
7
2dx1xx 2
3
2
5
2
7
2 
Exemplos
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 96
Sejam as identidades trigonométricas:
2
cos2x1xcos
2
cos2x1xsen 22 
Assim,
  dxcos2x2
1dx
2
1dx
2
cos2x1dxxsen2












2
sen2x
2
1
10
x
2
1 10
Cusen
2
1
duucos
2
1dxcos2x
dx
2
du2
dx
du
2xu
dxcos2x






C
4
2xsen
2
xxsen2 
Exemplos
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 97
Da mesma forma, e utilizando a outra identidade trigonométrica:
C
4
2xsen
2
xxcos2 
A integral
dxxcosxsen 22
pode ser resolvida fazendo:
    dxcos2x1
2
1cos2x1
2
1 
 dx2xcos1
4
1 2 
dx
2
cos2x1
2
cos2x1dxxcosxsen 22  


 



 
Exemplos
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 98
 dx2xcos1
4
1 2 
dx2xcos
4
1dx1
4
1 2 
8
4xsen
2
x
8
2usen
4
u
4
2usen
2
u
2
1duucos
2
1dx2xcos
dx
2
du2xu
dx2xcos
22
2



 






 
8
sen4x
2
x
4
1
4
x
C
32
sen4x
8
x 
Exemplos
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo -99
Considere f(x) e g(x) duas funções deriváveis. A regra 
do produto nos diz que:
• Ou, dito de outra maneira:
  )(').()().(')().( xgxfxgxfxgxf
dx
d 
  ''.'. uvvuvu 
Integral por partes
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 100
• Em termos de integrais indefinidas, a equação se torna:
  )(').()().(')().( xgxfxgxfxgxf
dx
d 
   dxxgxfxgxfdxxgxf
dx
d )(').()().(' )().(  
  ( ). '(( ). ( ) )'( ). ( ) d f x g x dx f x g f x g xx d
d
dx x
x
   
( ). (( ) ) '( ). '( ) . ( ) f x g x f x gf x g x dx x dx  
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 101
• Usando variáveis auxiliares temos:
'.'.).( vuvuvu
dx
d 
dxvuvudxuv
dx
d )'.'.( )(  
( . ) '. . ' d u v dx u v dx
dx
u v dx   
= .. ' '. u vu v dx u v dx 
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 102
Em geral fazendo as substituições a seguir
• u = f(x) u’ = du = f’(x)dx;
• v = g(x) v’ = dv = g’(x)dx. 
Temos:
Isto é,
( ). '( ) ( ). ( ) ( ) '( )f x g x dx f x g x g x f x dx  
udv uv vdu  
. ' . ',u v u v v u  
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 103
• Observações
• O objetivo da integração por partes é calcular uma 
integral que não sabemos como calcular. 
• usando uma integral que deve ter o 
mesmo grau de dificuldade ou ser mais fácil de 
calcular que a primeira!!!!
udv
 vdu
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 104
Figura 5.1.2 (p. 268)
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 105
Figura 5.2.4 (p. 280)
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 106
SOLUSOLUÇÇÃOÃO
  dxxx  332
Tendo escolhido u= x e temos:
xu 
dxdu 1
  dxxdv 332 
  .32
8
1 4 xv
Assim,        dxxxxdxxx 443 328
1132
8
132
     dxxxx 44 328
132
8
1
Derive Integre
Exemplo: resolva 
    Cxxx  54 32
10
1
8
132
8
1
    .32
80
132
8
1 54 Cxxx 
  dxxdv 332 
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 107
Solução
A integral dada deve ser escrita na forma . dvu
Seja, portanto:
dxex x
xu  dxedv x
Deste modo:
xxx x xv dxe dx u e u d dxu.v xe xe e Cv         
  
Integral mais fácil.
INTEGRAÇÃO POR PARTES
dxdu 
xxx edxevdxedv  
Então:
Usando integração
por partes calcule:  dxex
x
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 108
  dxex x2
Solução
Seja: 2xu  dxedv x
Assim:
dx2xdu
xxx edxevdxedv   
Portanto:
2 x 2 x xu dv uv v dux e dx x e ( e ) 2xdx        
INTEGRAÇÃO POR PARTES
Usando integração
por partes calcule:
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 109
A última integral é semelhante à original, com a 
exceção de que x2 foi substituído por x. 
ou:
2 x 2 x xx e dx x e 2 xe dx     (1)
Outra integração por partes aplicada a
completará o problema.
dxex x 
Seja: xu  dxedv x
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 110
Assim: dxdu 
xxx edxevdxedv   
Portanto:
x x xu dv uv v dxe dx x e ( e )u dx        
ou:
1
xxxxx Ceexdxeexdxex    (2)
Substituindo (2) em (1) resulta:
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 111
 
1
xxx2
1
xxx2
xx2x2
C2e2ex2ex
Ceex2ex
dxex2exdxex





 
Portanto:
Ce)2x2x(dxex x2x2  
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 112
Usando integração
por partes calcule:
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 113
Usando integração
por partes calcule:
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 114
Caso I: Para uma integral que envolva um 
radical do tipo
• fazemos a mudança de variável de x para θ. 
• A substituição deve ser apropriada e fica melhor
observada no triângulo retângulo:
•
• Temos que:
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 115
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 116
Caso II: Para uma integral que envolva um 
radical do tipo
• fazemos a mudança de variável de x para θ. Observando 
o triângulo retângulo:
Assim, substitui por
Temos que:
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 117
Caso III: Para uma integral que envolva 
um radical do tipo
• fazemos a mudança de variável de x para θ. Observando 
o triângulo retângulo:
Assim, substitui por
Temos que:
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 118
Exemplo
• Encontre a área interna da elipse.
2 2
2 2 1
x y
a b
 
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 119
TRIGONOMETRIC 
SUBSTITUTION
• Resolvendo a equação da elipse para y
• or
2 2 2 2
2 2 21
y x a x
b a a
  
Example 2
2 2by a x
a
  
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 120
TRIGONOMETRIC 
SUBSTITUTION
• As the ellipse is symmetric with respect 
to both axes, the total area A is four times 
the area in the first quadrant.
Example 2
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 121
TRIGONOMETRIC 
SUBSTITUTION
• The part of the ellipse in the first quadrant 
is given by the function
• Hence,
2 2 0   by a x x a
a
2 21
4 0
 
a bA a x dx
a
Example 2
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 122
TRIGONOMETRIC 
SUBSTITUTION
• To evaluate this integral, 
we substitute x = a sin θ. 
• Then, dx = a cos θ dθ. 
Example 2
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 123
TRIGONOMETRIC 
SUBSTITUTION• To change the limits of integration, 
we note that:
• When x = 0, sin θ = 0; so θ = 0
• When x = a, sin θ = 1; so θ = π/2
Example 2
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 124
TRIGONOMETRIC 
SUBSTITUTION
• Also, since 0 ≤ θ ≤ π/2, 
2 2 2 2 2
2 2
sin
cos
cos
cos




  



a x a a
a
a
a
Example 2
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 125
TRIGONOMETRIC 
SUBSTITUTION
• Therefore,
2 2
0
/ 2
0
/ 2 2
0
/ 2
1
20
/ 21
02
4
4 cos cos
4 cos
4 (1 cos 2 )
2 [ sin 2 ]
2 0 0
2
abA a x dx
a
b a a d
a
ab d
ab d
ab
ab ab




  
 
 
 
 
 
 

 
 
      




Example 2
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 126
TRIGONOMETRIC 
SUBSTITUTION
• We have shown that the area of an ellipse with 
semiaxes a and b is πab.
• In particular, taking a = b = r, we have proved 
the famous formula that the area of a circle with 
radius r is πr2.
Example 2
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 127
TRIGONOMETRIC 
SUBSTITUTION
• The integral in Example 2 was a definite integral.
• So, we changed the limits of integration, 
and did not have to convert back to 
the original variable x.
Note
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 128
TRIGONOMETRIC 
SUBSTITUTION• Find
• Let x = 2 tan θ, –π/2 < θ < π/2.
• Then, dx = 2 sec2 θ dθ and
2 2
1
4 dxx x
2 2
2
4 4(tan 1)
4sec
2 sec
2sec
x 



  



Example 3
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 129
TRIGONOMETRIC 
SUBSTITUTION
• Thus, we have:
2
22 2
2
2sec
4 tan 2sec41 sec
4 tan
dx d
x x
d
 
 
 




 

Example 3
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 130
TRIGONOMETRIC 
SUBSTITUTION
• To evaluate this trigonometric integral, 
we put everything in terms of sin θ and 
cos θ:
2
2 2 2
sec 1 cos cos
tan cos sin sin
  
   
  
Example 3
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 131
TRIGONOMETRIC 
SUBSTITUTION
• Therefore, making the substitution u = sin θ, we have:
22 2
2
1 cos
4 sin4
1
4
1 1
4
1 csc
4sin 4
dx d
x x
du
u
C
u
C C
 






     
     
 

Example 3zz
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 132
TRIGONOMETRIC 
SUBSTITUTION
• We use 
the figure to 
determine that:
• Hence,
2csc 4 /x x  
2
2 2
4
44
dx x C
xx x
  

Example 3
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 133
TRIGONOMETRIC 
SUBSTITUTION• Find
• It would be possible to use the trigonometric substitution x = 
2 tan θ (as in Example 3).
2 4
x dx
x 
Example 4
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 134
TRIGONOMETRIC 
SUBSTITUTION
• However, the direct substitution u = x2 + 4 
is simpler.
• This is because, then, du = 2x dx
and
2
2
1
24
4
x dudx
ux
u C
x C


 
  
 
Example 4
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 135
TRIGONOMETRIC 
SUBSTITUTION• Example 4 illustrates the fact that, even 
when trigonometric substitutions are possible, they may not 
give the easiest solution. 
• You should look for a simpler method first.
Note
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 136
TRIGONOMETRIC 
SUBSTITUTION• Evaluate 
where a > 0.2 2
dx
x a
Example 5
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 137
TRIGONOMETRIC 
SUBSTITUTION• We let x = a sec θ, where 0 < θ < π/2 or 
π < θ < π/2.
• Then, dx = a sec θ tan θ dθ and
E. g. 5—Solution 1
2 2 2 2
2 2
(sec 1)
tan
tan tan
x a a
a
a a


 
  

 
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 138
TRIGONOMETRIC 
SUBSTITUTION• Therefore,
2 2
sec tan
tan
sec
ln sec tan
dx a d
ax a
d
C
  

 
 



  
 

E. g. 5—Solution 1
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 139
TRIGONOMETRIC 
SUBSTITUTION• The triangle in the figure gives:
2 2tan /x a a  
E. g. 5—Solution 1
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 140
TRIGONOMETRIC 
SUBSTITUTION• So, we have:
2 2
2 2
2 2
ln
ln ln
dx x x a C
a ax a
x x a a C
  

    

E. g. 5—Solution 1
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 141
TRIGONOMETRIC 
SUBSTITUTION• Writing C1 = C – ln a, we have:
2 2
12 2
lndx x x a C
x a
   

E. g. 5—Sol. 1 (For. 1)
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 142
TRIGONOMETRIC 
SUBSTITUTION• For x > 0, the hyperbolic substitution 
x = a cosh t can also be used.
• Using the identity cosh2y – sinh2y = 1, 
we have:
2 2 2 2
2 2
(cosh 1)
sinh
sinh
  


x a a t
a t
a t
E. g. 5—Solution 2
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 143
TRIGONOMETRIC 
SUBSTITUTION
• Since dx = a sinh t dt,
we obtain:
2 2
sinh
sinh
dx a t dt
a tx a
dt
t C



 
 

E. g. 5—Solution 2
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 144
TRIGONOMETRIC 
SUBSTITUTION• Since cosh t = x/a, we have t = cosh-1(x/a) 
and
1
2 2
coshdx x C
ax a
     
E. g. 5—Sol. 2 (For. 2)
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 145
TRIGONOMETRIC 
SUBSTITUTION
• Although Formulas 1 and 2 look quite different, they 
are actually equivalent by Formula 4 in Section 3.11
E. g. 5—Sol. 2 (For. 2)
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 146
TRIGONOMETRIC 
SUBSTITUTION• As Example 5 illustrates, hyperbolic substitutions can be 
used instead of trigonometric substitutions, and sometimes 
they lead to simpler answers.
• However, we usually use trigonometric substitutions, because 
trigonometric identities are more familiar 
than hyperbolic identities. 
Note
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 147
TRIGONOMETRIC 
SUBSTITUTION• Find
•
• First, we note that
• So, trigonometric substitution is appropriate.
33 3 / 2
2 3/ 20 (4 9)
x dx
x 
2 3/ 2 2 3(4 9) ( 4 9)  x x
Example 6
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 148
TRIGONOMETRIC 
SUBSTITUTION
• is not quite one of the expressions in the 
table of trigonometric substitutions.
• However, it becomes one if we make 
the preliminary substitution u = 2x.
24 9x 
Example 6
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 149
TRIGONOMETRIC 
SUBSTITUTION• When we combine this with the tangent substitution, we 
have .
• This gives and
3
2 tanx 
2 24 9 9 tan 9
3sec
x 

  

Example 6
23
2 secdx d 
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 150
TRIGONOMETRIC 
SUBSTITUTION• When x = 0, tan θ = 0; so θ = 0.
• When x = , tan θ = ; so θ = π/3.
Example 6
3 3 / 2 3
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 151
TRIGONOMETRIC 
SUBSTITUTION 33 273 3 / 2 /3 28 3
22 3/ 2 30 0
3/3
3
16 0
3/3
3
16 20
2/3
3
16 20
tan sec
(4 9) 27sec
tan
sec
sin
cos
1 cos sin
cos




  

 

 

  






 



x dx d
x
d
d
d
Example 6
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 152
TRIGONOMETRIC 
SUBSTITUTION• Now, we substitute u = cos θ so that 
du = - sin θ dθ. 
• When θ = 0, u = 1. 
• When θ = π/3, u = ½.
Example 6
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 153
TRIGONOMETRIC 
SUBSTITUTION• Therefore,
 
33 3 / 2
2 3/ 20
21/ 2
3
16 21
1/ 2 23
16 1
1/ 2
3
16
1
3 31
16 2 32
(4 9)
1
(1 )
1
2 (1 1)
x dx
x
u du
u
u du
u
u




 
    
      



Example 6
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 154
TRIGONOMETRIC 
SUBSTITUTION• Evaluate
• We can transform the integrand into a function 
for which trigonometric substitution is appropriate, 
by first completing the square under the root sign:
23 2
x dx
x x 
Example 7
2 2
2
2
3 2 3 ( 2 )
3 1 ( 2 1)
4 ( 1)
x x x x
x x
x
    
    
  
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 155
TRIGONOMETRIC 
SUBSTITUTION• This suggests we make the substitution 
u = x + 1.
• Then, du = dx and x = u – 1.
• So, 
2 2
1
3 2 4

   
x udx du
x x u
Example 7
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 156
TRIGONOMETRIC 
SUBSTITUTION• We now substitute .
• This gives 
and
2sinu 
2cosdu d  24 2cosu  
Example 7
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 157
TRIGONOMETRIC 
SUBSTITUTION• So,
2
2 1
2 1
2sin 12cos
2cos3 2
(2sin 1)
2cos
4 sin
2
13 2 sin
2
x dx d
x x
d
C
uu C
xx x C
  

 
 



 
 
   
       
        
 

Example 7UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 158
TRIGONOMETRIC 
SUBSTITUTION
• The figure shows the graphs of the integrand in Example 
7 and its indefinite integral (with 
C = 0).
• Which is which?
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 159
PARTIAL FRACTIONS
• We show how to integrate any rational function (a ratio 
of polynomials) by 
expressing it as a sum of simpler fractions, called 
partial fractions.
• We already know how to integrate 
partial functions.
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 160
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 161
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 162
Suponha que para qualquer x em um 
intervalo de aberto contendo c, exceto possivelmente em 
x = c . Suponha também que
)()()( xhxfxg 
Lxhxg
cxcx


)(lim)(lim
Então
Lxf
cx


)(lim
Teorema do Confronto
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 163
Dada uma função u(x), desconhecida, tal que 
Exemplo do Teorema do confronto
Determine o valor de 
Solução:
como 
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 164
Definição: Limite Laterais à Direita.
Se f(x) fica arbitrariamente próximo de L conforme x 
se aproxima de c à direita deste valor (valores maiores 
que c), nesse intervalo, dizemos que f(x) tem limite 
lateral à direita igual a L e escrevemos isto 
matematicamente por:
lim ( )
x c
f x L


Limites laterais
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 165
Se f(x) fica arbitrariamente próximo de M conforme x se 
aproxima de a à esquerda deste valor (valores menores 
que a), nesse intervalo, dizemos que f tem limite lateral à
esquerda igual a M em e escrevemos isto 
matematicamente por:
lim ( )
x c
f x M


Limites laterais
Definição: Limite Laterais à Esquerda.
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 166
Para a função na figura, temos: 
e
x
xxf )(
1)(lim
0

 x
xxf
x
1)1(limlim)(lim
000



  xxx x
xxf
Exemplos
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 167
Limites especiais
Professor: Neide Pizzolato Angelo
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 168
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 169
Encontre 
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 170
casos particulares de indeterminações do tipo 
1,0/0 e .0
Proposição 1: 1senlim
0

 x
x
x
Proposição 2:
ex x
x


)/11(lim
Onde e é o número irracional neperiano é  2,7182... .
Limites Fundamentais
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 171
Exemplo
(1)f  
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 172
(0) 0f 
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 173
A função abaixo é continua
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 174
Se as funções f e g são contínuas em x = c, então as seguintes
combinações são contínuas em x = c.
1. Somas: f + g
2. Diferenças: f - g
3. Produtos: f . g
4. Constantes Múltiplas: k . f, para qualquer número k
5. Quocientes: f / g, uma vez que g(c) 0
Teorema – Propriedades de 
Funções Contínuas
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 175
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 176
Continuidade de funções compostas:
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 177
Quanto vale
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 178
Definição de Derivada:
• A função f' (x) definida pela fórmula 
• é chamada de derivada de f em relação a x. O 
domínio de f' consiste de todo x para o qual o limite 
existe, isto é , que o limite que define a derivada não 
seja infinito e os limites laterais sejam iguais. 
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 179
Gráfico de y´ = ƒ´(x) 
registrando em (b) os
coeficientes angulares do 
gráfico de y = f (x) 
observados em (a). A 
ordenada de B´ é o 
coeficiente angular em B e 
assim por diante. O gráfico
de y´ = f ´(x) é um 
registro visual de como o 
coeficiente angular de f
varia em relação a x.
Gráfico de função derivada
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 180
Passos para 
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 181
Introdução a Integração
• Antiderivada
• Integral Indefinida;
• Método da substituição ou mudança de 
variável;
• Método de integração por partes;
• Integral definida.
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 182
Princípio Fundamental do Cálculo 
Integral
• Sejam A e F funções contínuas definidas num mesmo 
domínio e assuma que a derivada de A em relação a t é
igual a derivada de F em relação a t, ou seja:
Então, A(t) = F(t) + C, para qualquer C constante.
dt
dF
dt
dA 
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 183
Integral
• A integral indefinida é aquela para a qual não foi 
definida um intervalo de valores, portanto, ela é uma 
função ou família de funções;
• A integral definida é aquela definida dentro de um 
certo intervalo e calculada neste intervalo, portanto, 
ela é um número.
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 184
Família de integrais
xxf sen)(  Cxxdx  cossen• A integral de é:
xexf )( Cedxe xx • A integral de é:
xxf cos)(  Cxxdx  sencos• A integral de é:
• A integral de é:2)( xxf 
Cxdxx  3
3
2
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 185
• Significa que a operação de integração incide sobre a 
variável “x”.
• Significa que a operação de integração incide sobre a 
variável “y”.
dxx 2
dyyx 32.
• O símbolo “dx” que aparece na fórmula serve 
para identificar a variável sobre a qual se 
processa a integração.
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 186
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 187
UFPel/IFM – Cálculo 3 Prof. Neide Pizzolato Angelo - 188