Amplificador Operacional ENG MECATRONICA INTEGRADA

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1 
 
 
 
 
AMPLICADORES OPERACIONAIS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof.Maciel 
 
- 
 
+ 
2 
 
 
Amplificador Operacional 
 
1- Introdução 
É muito difícil enumerar a totalidade das aplicações desse fantástico componente 
denominado Amplificador Operacional. 
De modo geral quanto à aplicação tem-se em :sistemas de controle industrial, 
instrumentação industrial, na instrumentação médica ( eletromedicina e biomedicina), 
em equipamentos de telecomunicações, nos equipamentos de áudio, nos sistemas de 
aquisição de dados,etc. 
 
2-Modelo de um Amplificador 
 
Um amplificador é um dispositivo que amplifica sinais. 
Uma parte integrante de um amplificador é uma fonte controlada por um dado sinal de 
entrada. 
 
Um modelo simplificado de um amplificador de tensão é mostrado abaixo: 
 + 
0R 
A B 
 1v iR + 0v 
 - - 1kv 
 A’ B’ 
 
 Figura 1 
 
 
Os terminais referência de entrada são normalmente comuns, formando um nó de 
referência. 
 
Quando o terminal de saída está aberto,temos: 
 
10 kvv = onde k é o fator de multiplicação e é chamado de ganho do circuito com saída 
aberta. 
 
3 
 
Os resistores 0R e Ri são as resistências de entrada e saída do amplificador. 
 
Para boa operação é desejável que: 
 
00 →
∞→
R
 Ri
 
 
Condições diferentes podem reduzir o ganho global. 
 
 + + 
A B 
 1v + 0v 
 - - 1kv 
 A’ B’ 
 
 Figura 2 
 
3 Características ideais de um Amplificador Operacional: 
 
a) Impedância de entrada infinita; 
b) Impedância de saída nula; 
c) Ganho de tensão infinito; 
d) Resposta de frequência infinita; 
e) Deslocamento de fase igual a zero; 
f) Insensibilidade à temperatura. 
 
 
 Figura 3 
 
 
 
 
4 
 
 
 
 
 
Exemplo 1 
 
Uma fonte de tensão real 
s
v , com uma resistência interna 
s
R , é conectada a entrada de 
um amplificador de tensão com uma resistência de entrada iR , como mostrado na 
figura 3. 
Encontre 10 / svv 
 
s
R + 0R 
 + 
 sv 1v iR + 0v 
 
 - - 1kv 
 - 
 
 Fig. 3 Modelo Amplificador Operacional 
 
- por divisão de tensão: 
s
si
i v
RR
R
v
+
=1 
- a tensão de saída 0v é: 
5 
 
110 vRR
R k
v kv
si
i
+
== 
 
k
RR
R 
v
v
si
i
s +
=
0
 
O amplificador carrega a fonte de tensão . O ganho da malha aberta é reduzido pelo 
fator )/(
sii RRR + 
Exemplo 2 
 
Uma fonte de tensão real 
s
v , com uma resistência interna 
s
R , é conectada a entrada de 
um amplificador de tensão com uma resistência de entrada iR , como mostrado na 
figura 2. 
O amplificador alimenta uma carga lR 
Encontre svv /0 
 
 
s
R + 0R + 
 + 
 + 
s
v
 1v iR + 2v LR 
 
 _ - 1kv 
 - - 
 
 Figura. 4 Modelo Amplificador Operacional 
 
- por divisão de tensão: 
s
si
i v
RR
R
v
+
=1 
 
- a tensão de saída 0v é: 
s
L
L
si
i
L
L v
RR
R 
RR
R
 k
RR
R 
v kv ....
00
10 ++
=
+
= 
 
k
RRRR
RR 
v
v
Lsi
Li
s ))(( 0
0
++
=
 
O amplificador carrega a fonte de tensão. O ganho da malha é reduzido pelo fator 
)/( 0RRR LL + . Isso faz a tensão de saída dependente da carga. 
6 
 
Exemplo 3 
No AOP abaixo, VCC=15V, A=105 e v- =0V encontre o limite superior da magnitude da 
tensão v+ para operação linear: 
 
 
 
 
v
-
 R0 
 1v iR + + 
 - 0v 
 v
+
 
 
 
)( −+ − vvA
 
 _ 
 
 Figura 5 
 
Vv| 
vv| 
vvv|
o
o
µ15010.15|
15|10||
15|)(10||
5
5
5
=<
<=
<−=
−+
+
−+
 
Exemplo 4 
No AOP acima, VCC=5V, A=105 e v- =0V e )(2100 Vtsenv µpi=+ . Encontre e esboce a 
saída de v0 em malha aberta 
 
A entrada do AOP é )(10.2100 6 Vtsenvvvd −−+ =−= pi 
Quando o AOP opera na faixa linear, )(2101050 Vtsenvv d pi== . A saída pode 
permanecer entre +5V e -5V. A saturação começa quando a tensão tsenv pi2100 = 
alcança o nível de 5 V. 









<<−
<<
=
contrário caso tsen
tpara 
tpara 
v
pi210
12
11
12
75
12
5
12
15
0 
7 
 
 
 Figura 6 
 
Exemplo 5 
Na figura abaixo, R1=10kΩ, R2=50kΩ, Ri=500kΩ, R0=0kΩ e A=105. Encontre 
1
0
v
v
.Assuma que o AOP não esteja saturado. 
 R2 
 
 
 
 R1 B 
_ v- R0 
 + v1 dv iR + + 
- A - 0v RL 
 
 + v+ 
 
 
)( −+ − vvA
 
 _ 
 
 Figura 7 
 
 
 
8 
 
 
- No nó B: 
 
0
5050010
01
=
+
++
+
k
vv
k
v
k
vv ddd
 
Considerando R0=0, tem-se: 
dd vAvv
5
0 10== 
0
510 vvd
−
= 
Substituindo vd na equação: 
0
5050010
01
=
+
++
+ ddd vvvvv
 
0
50
10
500
10
10
10 0
5
00
5
0
5
1
=
+
++
+
−
−− vvvvv
 
0
10
1)
50
1)
500
10
10
10( 1
55
0 =+++
−−
vv 
5
1
0
−=
v
v
 
Ou seja: a tensão Vvd 0≈ pois considerando :vA=vB tem-se: 
- análise no nó B: 
0
5010
01
=+
vv
 
5010
01 vv
−= 
5
1
0
−=
v
v
 
9 
 
Análise da Configuração Malha Aberta 
 
 
Os amplificadores operacionais apresentam, geralmente, circuitos de entrada em 
configuração diferencial. A figura 5 mostra as entradas inversora (-), não inversora (+), 
as tensões de entrada eA , eB e a tensão de saída eS. 
 +VCC 
 - 
 
 
 
 
eA + 
 
 eS 
 -VCC 
 eB 
 
 
 
 
Fig. 8 Representação das tensões de entrada e de saída do Amplificador Operacional 
 
 
A tensão de saída, por causa do circuito diferencial é, portanto, independente das 
tensões eA e eB , dependendo sim, de sua diferença, (eB – eA). Exemplificando, sendo 
eB=10,001 e eA= 10,000 V, a entrada efetiva é 0,001 V como se eB fosse 0,001 V e eA 
igual a zero. Esses 10 Volts são então chamados de tensão de modo comum e um 
amplificador operacional ideal rejeitará essa tensão de modo comum, respondendo 
apenas ao 0,001 Volt. 
Admitindo um amplificador operacional alimentado com VCC =+ 15 Volts, sua tensão 
de saída será de no máximo, cerca de + 13 Volts, valores em que ocorrem as saturações. 
Esses limites só serão maiores se foram aumentadasàs tensões de alimentação. 
A figura 6 mostra um amplificador operacional que é linear apenas na faixa dos + ou – 
10 Volts. Através da curva de transferência, podemos obter o valor do ganho de malha 
aberta. 
 
AV0 
10 
 
 
 
Fig. 9 Curva de transferência típica do amplificador operacional malha aberta 
 
 
5 Princípio de Operação 
CCV+ 
 
 
 IC1 IC2 
 
 
1B
I BR BR 2BI 
 
 V1 V2 
 EI 
 
 CCV− 
Figura 10 Modelo de um Amplificador Diferença 
 
 
11 
 
 (I) CCCC RIVv 10 −=
−
 
(II) CCCC RIVv 10 −=
+
 
(III) CCCSAÍDA RIIVvvv )( 12000 −===− −+ 
 CBBsaídas RIIVvvv )( 1200 ββ −==−= −+ 
(IV) )(
1200 BBCsaídas IIRVvvv −==−=
−+ β
 
(V) 07,0
111 =−−− ECBB RIRIV 
 
111
7,07,0 11 BEBBECBB IRRIRIRIV β++=++= 
 
222
7,07,02 BEBBECBB IRRIRIRIV β++=++= 
(VI) BBB RIIVV )( 1221 −=− 
-Comparando a (IV) com (VI ) tem-se: 
(VII) )( 21 VVR
R
v
B
C
s −=
β
 
)()( −+−+ −=−−= vvAvv
R
R
v
B
C
s
β
 considerando que v+ e v- sejam as tensões V1 e V2 de 
entrada. 
)( −+ −= vvAvs 
A figura representa o circuito de entrada de um amplificador Operacional, este circuito é 
conhecido como Amplificador Diferença. A tensão de saída sv é diretamente 
proporcional à diferença entre as tensões (V1-V2). Em condições ideais, os transistores 
T1 e T2 são idênticos, tal como os dois resistores de coletor, o que faz a tensão de saída 
ser igual a zero quando V1=V2. 
 
6 - Realimentação em Circuitos Amplificadores 
O ganho de um amplificador pode ser controlado pela realimentação. Se se conectarmos 
a entrada e a saída através de um resistor de realimentação 2R , teremos um 
amplificador menos sensível a A (ganho do AO).No Amplificador Operacional ideal , os 
valores da resistência interna Ri e ganho A são infinitos e a resistência de saída é zero. 
12 
 
 
 - 
 
7 - Montagem Inversora 
Em um circuito inversor, o sinal de entrada é conectado através de R1 ao terminal 
inversor do AOP e o terminal de saída é conectado de volta ao terminal de inversor 
através do resistor de realimentação R2. O terminal não inversor do AOP é aterrado. 
 R2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 R1 B _ 
 
 + A + + 
 _ v1 v0 
 _ 
 
 
 i1 R1 R2 i2 
 - v0 
 + 
 _ v1 + + A(v+- v-) 
 
 
Figura 11 Circuito Inversor de um Amplificador Operacional 
 
Aplicando a análise nodal no nó B, tem-se: 
 
 0
2
0
1
1
=+
R
v
R
v
 
 
1
2
1
0
R
R
v
v
−=
 (ganho do circuito) 
 
O ganho é negativo e é determinado apenas pela escolha do resistor. A resistência de 
entrada do circuito é R1. 
 
13 
 
 
Uma das limitações da montagem inversora simples é a dificuldade de na prática 
construir amplificadores com, simultaneamente, elevados ganho e resistência de 
entrada. Na montagem inversora simples, a especificação de um ganho de tensão 
elevado, -R2/R1, força a estabelecer um valor nominal relativamente pequeno para a 
resistência R1, ao passo que a exigência de uma elevada resistência de entrada, dada 
por: 
 
1
1
1 i
vRRi == 
recomenda exatamente o oposto. Um modo de obviar a esta limitação é a utilização do 
circuito representado na Figura 11: 
 
 
2R C 4R 
 
 
 
 
3R 
1R 
 B _ 
 
 + A + 
 _ v1 v0 
 
 
 
 
Figura 12 Amplificador inversor de elevados ganho e resistência de entrada 
 
a) determinação da corrente de entrada 
 
1
1
1 R
vi = 
b) determinação da tensão vC: 
No nó B: 00
21
1
21
1
=−−⇒=
−
+
−
R
v
R
v
R
vv
R
vv CCBB
 
 1
1
2 v
R
R
vC −= ( I ) 
14 
 
 
No nó C 0
4
0
32
=
−
++
R
vv
R
v
R
v CCC
 (II) 
Substituindo ( I ) em ( II ) tem-se: 
)1(
3
4
2
4
1
2
1
0 ++−=
R
R
R
R
R
R
v
v
 
Na qual se insere a possibilidade de obter, simultaneamente, ganho e resistência de 
entrada elevados. 
 
Exemplo 3: 
O AOP da figura a seguir é ideal e não saturado ( trabalha na região linear). 
Calcule : 
a) 
1
0
v
v
; 
b) A resistência de entrada 
1
1
i
vRi = ; 
c) 1p e ii 21, (potência entregue por v1 ) e 
d) 2p (potência dissipada nos resistores ). 
 
Dado: v1=0,5 V C 
 
 Ωk10 Ωk2 
 Ωk1 
 i1 
Ωk5 
 A 
 + D + 
 + v0 
 v1 - Ωk8 
 _ 
 - - 
 
Figura 13 Circuito Inversor de um Amplificador Operacional 
 
15 
 
a) O terminal não inversor A está aterrado, consequentemente vA=0.Uma vez que o 
AOP é ideal e não saturado, vB=0. Aplicando análise nodal aos nós B e C e 
considerando que o AOP não drena corrente ( resistência interna infinita)tem-se: 
 
Nó B: 11 20105
vv
k
v
k
v
c
c
−=⇒=+ (I) 
Nó C: c
ccc vv
k
vv
k
v
k
v 2,3
2110 2
2
=⇒
−
=+ (II) 
 
 
Substituindo (I) em (II) tem-se: 
 
12 4,6 vv −= 
4,6
1
2
−=
v
v
 
b) Como o AOP é ideal, vA=vB tem-se: 
A resistência de entrada é Ω== k
i
vR 5
1
1
1 
c) Corrente i1: 
kk
vi
5
5,0
5
1
1 == 
mAi 1,01 = 
- Para calcular i2, aplicando análise nodal ao nó D tem-se: 
 
 
k
v
k
vvi c
82
22
2 +
−
= 
Vvvv
Vvvv
c
cc
2,32,3
12
22
1
−=⇒=
−=⇒−=
 
mAi 5,12 = 
 
kk
i
8
2,3
2
12,3
2 +
+−
=
16 
 
 
- Potência entregue por v1: 
 
mivp 1,0.5,0111 == 
 
Ap µ501 = 
d) 2p (potência dissipada nos resistores ). 
W
k
vp k
W
k
vp k
W
k
vp k
W
k
vvp k
W
k
vp k
c
k1
k
k
c
k
c
1k
µ
µ
µ
µ
µ
100
10
10
1280
8
8
50
1
5
2420
2
)(2
1000
1
1
2
0
2
2
8
2
1
5
2
2
2
2
==⇒Ω
==⇒Ω
==⇒Ω
=
−
=⇒Ω
==⇒Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
 
A potência dissipada total nos resistores é: 
mWWPp
idTOTAL
85,44850 ===∑ µ 
8 - Montagem Não Inversora 
 
 R2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 R1 B _ 
 
 A + + 
 + v2v1 _ 
 _ 
 
 Figura 14
17 
 
 
 - 
 
 v
+
 
 + v0 
 + 
 _ v1 + A(v+- v-) R2 
 
 v
_ 
 _ 
 
R1 
 
Figura 15 Circuito Não Inversor de um Amplificador Operacional 
 
No circuito não inversor, o sinal de entrada chega ao terminal não inversor do AOP . 
O terminal inversor é conectado à saída através do resistor R2 e também é aterrado 
através do resistor R1. 
Aplicando análise no nó B: 
Obs: Como AOP ideal os terminais A e B estão em v1 e o AOP não drena nenhuma 
corrente. 
 
 0
2
2
1
1 1
=
−
=
R
vv
R
v
 
 
1
2
1
2 1
R
R
v
v
+= 
O ganho 
1
2
v
v é positivo e maior ou igual a 1. A resistência de entrada do circuito é 
infinita, uma vez que o AOP não drena nenhuma corrente. 
18 
 
Exemplo 4: 
Encontre 
1
0
v
v
no circuito mostrado abaixo: 
 7 kΩ
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2 kΩ B _ 
 
 A + i2 
 + 
 
 v1 + 10 kΩ v0 
 _ 5 kΩ R2 
 _ 
 
 
Figura 16 Circuito Não Inversor de um Amplificador Operacional 
 
Por divisor de tensão encontra-se vA: 
 
11 3
1
105
5
vv
kk
k
vA =+
= (I) 
Aplicando análise no nó B: 
0
72
0
=
−
+
k
vv
k
v BB
 
Bvv 2
9
0 = (II) 
Como o AOP não drena corrente, tem-se: 
vA=vB 
substituindo (I) em (II), tem-se: 
110 6
9
3
1
.
2
9
vvv == 5,1
1
0
=
v
v
 
 
19 
 
 
 
9 - Seguidor de Tensão 
O circuito seguidor de tensão constitui uma das aplicações mais comuns do AOP. O 
seguidor de tensão também é designado como buffer, ou seja, circuito amortecedor ou 
tampão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 - 
 
 + v0 
 
 + 
 v1 
 - 
 
 
Fig. 17 Circuito Seguidor de Tensão 
 
 
1
1
0
=
v
v
 
 
O seguidor de tensão implementa um ganho unitário entre a entrada e a saída, resultado 
que, à primeira vista poderia parecer destituído de aplicação prática. 
Na Figura 13 apresentam-se dois circuitos que ilustram a utilidade prática do seguidor 
de tensão: em (a) a carga encontra-se ligada diretamente à fonte, cuja resistência interna 
introduz um divisor resistivo, ao passo que em (b) a fonte e a carga são intercaladas de 
um seguidor de tensão. 
 
 
 
 
20 
 
Fig. 18 Aplicações do Circuito Seguidor de Tensão 
 
 
Identificam-se as seguintes diferenças entre estes dois circuitos: no primeiro caso, a 
tensão na carga é inferior àquela disponibilizada pela fonte, 
 
1
11
0 <
+
=
RR
R
v
v
 
 
10 vv < 
 
e é a fonte de sinal quem fornece a potência à carga. Pelo contrário, no caso do circuito 
em (b) verifica-se a igualdade: 
 
0=si 
 
01 vv = 
 
designadamente como resultado do ganho infinito e das impedâncias de entrada infinita 
e de saída nula do amplificador operacional. Para além do mais, neste caso é o AOP e 
não a fonte de sinal quem fornece potência à carga. Estas características justificam 
os títulos de circuito seguidor de tensão, isolador ou tampão(buffer). 
 
10 – Amplificador de Diferença e Diferencial 
 
 
Uma fonte de sinal vf sem nenhuma conexão com o ponto aterrado é chamada de fonte 
flutuante. 
 i R2 
 
 
 
 
 
 
 i 
 
 R1 B _ 
 + v1 
 - A + + 
 R1 v0 
 i R2 _ 
 i 
 
Fig. 19 Aplicações do Circuito do Amplificador da Diferença 
 
21 
 
 
 
Os dois terminais de entrada A e B do AOP estão no mesmo potencial. Escrevendo a 
equação da malha de entrada tem-se: 
iRv 11 2= ( I ) 
 
As entradas do AOP não drenam nenhuma corrente, então a corrente flui através do resistor R2. 
Escrevendo a equação da malha em torno do AOP, tem-se: 
 
0220 =++ iRiRv ( II ) 
Substituindo ( I ) em ( II ) tem-se: 
 
1
1
2
0 vR
R
v −=
 
 
No caso especial, onde as duas fontes de tensão v1 e v2 com terra comum estão 
conectadas às entradas inversora e não inversora tem-se: 
 
v1 = v1 - v2 
)( 12
1
2
0 vvR
R
v −= 
 
 
Exemplo 5: Encontre v0 como uma função de v1 e v2 no circuito a seguir: 
 i R2 
 
 
 
 
 
 
 i 
 
 R1 B _ 
 f 
 A + + 
 +
 + R3 v0 
 - v1 _ v2 R4 _ 
 i 
 
22 
 
 
Fig. 20 Aplicações do Circuito do Amplificador da Diferença 
No nó A: 0
3
2
4
=
−
+
R
vv
R
v AA
 
No nó B: 0
2
0
1
1
=
−
+
−
R
vv
R
vv BB
 
 1
1
2
2
431
214
0 )(
)(
v
R
R
v
RRR
RRR
v −
+
+
=
 
Quando R3=R1 e R2=R4 a equação é reduzida a : 
)( 12
1
2
0 vvR
R
v −=
 
 
11 – Circuito Somador 
 
A soma ponderada de várias tensões em um circuito pode ser obtida utilizando-se o 
circuito somador que é uma extensão do circuito inversor 
 
 Rf 
 
 
 
 
 
 
 R1 B 
 v1 _ 
 R2 
 v2 A + v0 
 v3 R3 
 v4 R4 
 .............................. 
 
 vN .............................. 
 RN 
Fig. 21 Aplicações do Circuito Somador 
Circuito inversor 
Aplicando análise nodal no nó B de entrada, tem-se: 
 
23 
 
0..... 0
4
4
3
3
2
2
1
1
=++++++
fN
N
R
v
R
v
R
v
R
v
R
v
R
v
 
).....( 4
4
3
3
2
2
1
1
0 N
N
fffff
v
R
R
v
R
R
v
R
R
v
R
R
v
R
R
 v +++++−= 
 
 
Exemplo 6: 
 
Determine v0 em termos de v1,v2 e v3 
 
 
 A + 
 
 
 10k20k 30k B - + 
 
 + 2k 
 + + + R1 v0 
 v1 v2 v3 
 - -
 - 
 4k 
 R2 _ 
Fig. 22 Aplicações do Circuito Somador 
 
Circuito não Inversor 
Nó A: 0
302010
321
=
−
+
−
+
−
k
vv
k
vv
k
vv AAA
 
k
v
k
v
k
v
kkk
vA 302010
)
30
1
20
1
10
1( 321 ++=++ 
Multiplicando todos os termos do numerador por 1000 fica: 
302010
)
30
1
20
1
10
1( 321 vvvvA ++=++ 
321 03,005,01,018,0 vvvvA ++= 
321 17,028,056,0 vvvvA ++= ( I ) 
 
Nó B: 0
42
0
=+
−
k
v
k
vv BB
 
0
422
0
=+−
k
v
k
v
k
v BB
 
k
v
kk
vB 2
)
4
1
2
1( 0=+ 
 
24 
 
 
0)4
1
2
1(2 v
kk
kvB += 
0)4
21( v
k
k
vB += ⇒ 0
1
2 )1( v
R
R
vB += 
050,1 vvB = 
mas BA vv = 
050,1 vvA = ( II ) 
 
Substituindo ( II ) em ( I ) tem-se: 
321 17,028,056,0 vvvvA ++= 
3210 17,028,056,050,1 vvvvvA ++== 
3210 34,056,037,0 vvvv ++= 
 
12 Circuito Integrador 
 
 C 
 
 
 
 i 
 
i1 R 
 
 
 
 
 
 + B - - D + 
 
 v1 A + 
 - v0 
 
 _ 
Fig. 23 Circuito Integrador 
 
Aplicando análise nodal no nó de entrada B tem-se: 
001 =+
dt
dvC
R
v
 
 
Onde 
dt
dvCi 0= 
1
0 1 v
RCdt
dv
−= 
25 
 
∫
∞−
−=
t
dtv
RC
v 10
1
 
 
A saída é dada pela integral da tensão de entrada multiplicada pelo ganho (
RC
1
− ) 
Fazendo a transformação de Laplace tem-se: 
 
)(11)( 10 10 sVsRCdtevRCsV
st
−=−= ∫
∞
−
−
 
 
O circuito da figura 18 é designado por integrador de Miller, caracteriza-se pela função 
de transferência: 
 
sRCsV
sV
sH 1)(
)()(
1
0
−==
 Função de transferência 
 
Na realidade, uma vez que a corrente fornecida pela fonte de sinal é: 
R
tvi )(11 = 
A corrente é integrada pelo condensador e a tensão nos terminais deste é: 
)0()(1)0()(1)()( 00 10 10 vdt tvRCvdt tiCtvtv
t
c
t
c +−=+−=−= ∫∫ 
 
Exemplo 7: Na figura acima de circuito integrador, considere R=1kΩ, FC µ1= e 
t senv1 2000= . Assumindo v0=0, encontre v0(t) para t>0 e V0(s). 
tsentv 2000)(1 == 
(0)vt dtsen1tv 0
t
0
+−== ∫− 20001010)( 630 
ttdtsen ω
ω
ω cos
1
−⇒∫ 
 
)12000(cos5,002000cos|
2000
1000)( 00 −=+= tttv t 
 
26 
 
)12000(cos5,0)(0 −= ttv 
- Transformando para o domínio s: 
t sentv ω==)(1 
221 )(t)£())(£( ω
ω
ω
+
====
s
sVsentv1 
221 2000
2000)(
+
=
s
sV 
)12000(cos5,0)(0 −= ttv 
22)tos£( ωω += s
s
c
 
)1
2000
(1)( 220 ss
s
RC
sV −
+
=
ω
 
)1
2000
(5,0)( 220 ss
s
sV −
+
= 
 
)1(cos1)(0 −= t RCtv ωω 
 
t sentv ω==)(1 221 2000
2000)(
+
=
s
sV
 
 
)12000(cos5,0)(0 −= ttv )
1
2000
(5,0)( 220 ss
s
sV −
+
=
 
- Função de Transferência (FT): 
22
22
1
0
2000
2000
)1
2000
(5,0
)(
)()(
+
−
+
==
s
ss
s
sV
sV
sH 
 
ssRCsV
sV
sH 10001)(
)()(
1
0
−=−== 
27 
 
13 Circuito Difererenciador 
 
13-1 Configuração 1 
 
 
 L 
 
 i 
 
i1 R 
 
 
 
 
 
 + B - D + 
 
 v1 A + 
 - v0 
 
 _ 
Fig. 24 Circuito Diferenciador 
∫=
=
=
dttv
L
ti
dttv
L
tdi
dt
tdiLtvo
)(1)(
)(1)(
)()(
0
0 
0)(1 01 =+ ∫
∞−
dttv
LR
v
t
 
dttv
L
R
tv
t
)()( 01 ∫
∞−
−= 
Ou, 
dt
tdv
R
L
tv
)()( 10 −= 
- No domínio s, tem-se: 
)0()()(lim)()]([£
0
fssFtfssFtf
dt
d
t
−=−=
→
 
)()]([£ 11 ssVtvdt
d
= 
)()( 10 sVR
sL
sV −= 
R
sL
sV
sV
−=)(
)(
1
0
 Função de Transferência 
 
 
28 
 
Exemplo 8: Na figura acima de circuito diferenciador, considere R=1kΩ, HL 1= e 
t senv1 15050= . Assumindo v0(0)=0, encontre v0(t) para t>0 e V0(s). 
t sentv1 15050)( = 
t sentf ω150)( = 
u utf t sentf cos')()( '' =⇒= ω 
tt 
dt
tdv1 150cos7500150cos.150.50)( == 
)150cos7500(
10
1)()( 310 tdt
tdv
R
L
tv =−= 
ttv 150cos5,7)(0 −= 
- Transformando para o domínio s: 
a) t sentv1 15050)( = 
22500
7500
150
1505050)(t)£(50))(£( 222221 +=+=+=== ssssV sentv1 ω
ω
ω
 
22500
7500)( 21 += ssV 
b) ttv 150cos5,7)(0 −= 
22)tos£( ωω += s
s
 c 
22500
5,7)( 20 +−= s
s
sV
 
 
- Função de Transferência: 
 
1000
22500
7500
22500
5,7
)(
)()(
2
2
1
0 s
s
s
s
R
sL
sV
sV
sH −=
+
+
−
=−== 
1000)(
)()(
1
0 s
R
sL
sV
sV
sH −=−==
 
29 
 
13-2 Configuração 2 
 
 
 R 
 
 i 
 
i1 C 
 
 
 
 
 
 + B - D + 
 
 v1 A + 
 - v0 
 
 _ 
Fig. 25 Circuito Diferenciador 
 
0)()( 10 =+
dt
tdvC
R
tv
 
dt
tdvRCtv )()( 10 −= 
 
- No domínio s: 
 
)()( 10 ssRCVsV −= 
- Função de Transferência: 
 
sRC
sV
sV
sH −== )(
)()(
1
0
 
 
14 Circuito Comparador 
São circuitos que utilizam AOP em malha aberta, sem realimentação,ou seja, ∞→VA . 
O valor de V0 é determinado apenas pela alimentação do dispositivo. 
Circuitos comparadores farão comparação entre dois sinais distintos ou entre um sinal 
distinto e a referência VR. 
Se a diferença entre os sinais for positiva (V+-V-), o dispositivo ficará saturado ( devido 
∞→VA ) forçará uma saída CCVV +→0 . Caso ocorra o inverso, devida a mesma 
 
30 
 
AV0 
saturação (em sentido inverso), a saída será CCVV −→0 ,onde −+ V eV são os valores de 
alimentação do AOP. 
 
 +VCC 
 v1 + 
 
 
 + 
 - v0 
 _ 
 
 + -VCC 
vR 
 _ 
 
 
 
 
Fig. 26 Circuito Comparador 
 
Exemplo 9: Na figura acima de circuito comparador, considere VCC=5 V,vR=0 e 
t senv1 ω= . Assumindo vR(0)=0, encontre v0(t). 
Para onda completa tem-se: 
 
ω
pi
pi
ω
piω
2
2
2 =⇒=⇒= Tff
 
 
Para meia onda: 
ω
pi
=
2
T
 
Para : 
Vv e tsenvt 500 01 =>=⇒<< ωω
pi
 
 
Vv e tsenvt 502 01 −=<=⇒<< ωω
pi
ω
pi
 
A saída v0 é um pulso quadrado com valores +5V,com período de 
ω
pi2
=T . Um ciclo de 
v0 é dado por: 
31 
 
 
 






<<−
<<+
=
ω
pi
ω
pi
ω
pi
25
05
2
t para V
t para V
v 
 
15 Circuitos com vários AOPs 
 
As análises desenvolvidas e os resultados obtidos para circuito com um simples AOP 
pode ser aplicado para circuitos contendo vários AOPs em cascata ou ramos 
entrelaçados, porque não existe efeito de carga. 
 
 
Exemplo 10: Encontre v1e v0: 
 
 +0,5V (v2) 1 kΩ 2 kΩ 
 
 3 kΩ
 
 -0,6V 1 kΩ 2 kΩ 
 _ 
 A B - 
 - 
 - v0 
 
 + v1 + 
 
 
 
 
 
 Figura 27 
 
 
 
 No nó A: 
Vv
kk
v 8,10
1
6,0
3 1
1
=⇒=−
 
 
 
Vv 8,11 = 
 O primeiro AOP é um circuito inversor 
 No nó B: 
0
122
210
=++
k
v
k
v
k
v
 
k
v
k
v
k
v
122
210
−−= 
32 
 
 
 
210 2vvv −−= 
 
5,0.28,10 −−=v 
 Vv 8,20 −= 
 O segundo AOP é um circuito somador 
Exemplo 11: Considerando Rs=1 kΩ , encontre vA, v2,vs,,v0 , i1 e if como funções de vs 
para: 
a) ∞=fR 
b) Ω= kR f 40 
 if 
 
 Rf 6 kΩ 
 
 9 kΩ
 
 is Rs 5 kΩ 1,2 kΩ 
 _ 
 A C - B - 
 - 
 + 
+ + + + 
 
v1 vA iA v2 v0 
-
 - 
 
 
 
 
 Figura 28 
a) ∞=fR 
Os dois AOPs inversores estão em cascata, com v+=0. Pela divisão de tensão no 
laço de entrada, tem-se: 
 
 is 1kΩ 5 kΩ iA 
 + 
 v1 vA 
 - 
 
 
33 
 
151
5
v
kk
k
vA +
= 16
5
vvA = ( I) 
 
 - No nó C: 
0
951
21
=+
+ k
v
kk
v
 112 5,12
3
vvv −=−=
 ( II ) 
 
- No nó B: 
20
20
5
0
2,16
vv
k
v
k
v
−=
=+
 
Mas: 12 5,1 vv −= 
)5,1(5 10 vv −−= 
10 5,7 vv = ( III ) 
Como Asf iiR =⇒∞= 
kk
vii As 51
1
+
== 
)(166,0
6000 1
1 mA vvii As === 
)(166,0 1 mA vii As == 
0=fi 
 
b) Ω= kR f 40 
- No nó A: 
0
540
)(
1
:ndoSimplifica
0
540
)(
1
01
01
=+
−
+
−
=+
−
+
−
AAA
AAA
vvvvv
k
v
k
vv
k
vv
 
08)()(40 01 =+−+− AAA vvvvv ( IV ) 
 
34 
 
Mas: A
A
vv 
vv
vvvv
9
5
9
5
15
0
2
0220
=⇒






−=
−=⇒−=
 
08)()(40 01 =+−+− AAA vvvvv 
08)9()(40 1 =+−+− AAAA vvvvv 
04040 1 =− vvA 
1vvA = 
12 5
9
5
9
vvv A −⇒−= 
12 8,1 vv −= 
Avv 90 = 
10 9vv = 
A
k
vvi As 01
1
=
−
=
 
)(2,0
5000
)(
1
1
1 mAv
vvi A === 
)(2,0 11 mAvi = 
)(2,0
40
)(
1
0 mAv
k
vvi Af =
−
= 
1vvA = 
 
10 9vv = 
)(2,0
40
)9(
1
11 mAv
k
vvi f =
−
= 
)(2,0 1 mAvi f = 
 
. i ii sf zero épois1= 
A corrente i1 no resistor de entrada de 5kΩ do primeiro AOP é fornecida pela saída do 
segundo AOP através do resistor de realimentação de 40kΩ. A corrente is oriunda de v1 
é igual a zero. 
 A resistência de entrada do circuito é infinita. 
35 
 
 
16 Apêndices 
 
16-1 Derivadas, Integrais e Identidades Trigonométricas 
• Derivadas: 
 
- Sejam u e v funções deriváveis de x e n constante. 
 
1. ny u= 1' 'ny n u u−⇒ = . 
2. y u v= ' ' 'y u v v u⇒ = + . 
3. uy
v
= 2
' '
'
u v v uy
v
−
⇒ = . 
4. uy a= ( )' (ln ) ', 0, 1uy a a u a a⇒ = > ≠ . 
5. uy e= ' 'uy e u⇒ = . 
6. logay u= 
'
' log
a
uy e
u
⇒ = . 
7. lny u= 1' 'y u
u
⇒ = . 
8. vy u= 1' ' (ln ) 'v vy v u u u u v−⇒ = + . 
9. seny u= ' ' cosy u u⇒ = . 
10. cosy u= ' ' seny u u⇒ = − . 
11. tgy u= 2' ' secy u u⇒ = . 
12. cotgy u= 2' ' cosecy u u⇒ = − . 
13. secy u= ' ' sec tgy u u u⇒ = . 
14. cosecy u= ' ' cosec cotgy u u u⇒ = − . 
15. seny arc u= 
2
'
'
1
uy
u
⇒ =
−
. 
16. cosy arc u= 
2
'
'
1
uy
u
−
⇒ =
−
. 
17. tgy arc u= 2
'
'
1
uy
u
⇒ =
+
. 
18. coty arc g u= 2
'
1
u
u
−
⇒
+
. 
36 
 
19. sec , 1y arc u u= ≥ 
2
'
' , 1
1
uy u
u u
⇒ = >
−
. 
20. cosec , 1y arc u u= ≥
2
'
' , 1
1
uy u
u u
−
⇒ = >
−
. 
• Identidades Trigonométricas 
 
1. 2 2sen cos 1x x+ = . 
2. 2 21 tg secx x+ = . 
3. 2 21 cotg cosecx x+ = . 
4. 2 1 cos 2sen
2
x
x
−
= . 
5. 2 1 cos 2cos
2
x
x
+
= . 
6. sen 2 2 sen cosx x x= . 
7. ( ) ( )2 sen cos senx y x y sen x y= − + + . 
8. ( ) ( )2 sen sen cos cosx y x y x y= − − + . 
9. ( ) ( )2 cos cos cos cosx y x y x y= − + + . 
10. 1 sen 1 cos
2
x x
pi ± = ± − 
 
 
 
37 
 
 
16-2 Integrais 
 
1. du u c= +∫ . 
2. 
1
, 1
1
n
n uu du c n
n
+
= + ≠ −
+∫
. 
3. lndu u c
u
= +∫ . 4
 , 0, 1
ln
u
u aa du c a a
a
= + > ≠∫ . 
5. u ue du e c= +∫ . 
6. sen cosu du u c= − +∫ . 
7. cos senu du u c= +∫ . 
8. tg ln secu du u c= +∫ . 
9. cotg ln senu du u c= +∫ . 
10 sec ln sec tgu du u u c= + +∫ . 
11. cosec ln cosec cotgu du u u c= − +∫ . 
12. sec tg secu u du u c= +∫ . 
13. cosec cotg cosecu u du u c= − +∫ . 
14. 2sec tgu du u c= +∫ . 
15. 2cosec cotgu du u c= − +∫ . 
16. 
2 2
1
tgdu uarc c
u a a a
= +
+∫
. 
17. 2 2
2 2
1 ln ,
2
du u a
c u a
u a a u a
−
= + >
− +∫
. 
18. 2 2
2 2
lndu u u a c
u a
= + + +
+
∫ . 
19. 
2 2
1
sec
du u
arc c
a au u a
= +
−
∫ . 
38 
 
20. 2 2
2 2
lndu u u a c
u a
= + − +
−
∫ . 
21. 2 2
2 2
sen ,
du u
arc c u a
aa u
= + <
−
∫ . 
 
16-3 Fórmulas de Recorrências 
 
1. 
1
2sen cos 1sen sen
n
n nau au nau du au du
an n
−
−
− 
= − +  
 
∫ ∫ . 
2. 
1
2sen cos 1cos cos
n
n nau au nau du au du
an n
−
−
− 
= +  
 
∫ ∫ . 
3. 
1
2tg tg( 1)
n
n ntg auau du au du
a n
−
−
= −
−
∫ ∫ . 
4. 
1
2cotgcotg cotg( 1)
n
n nauau du au du
a n
−−
= − −
−
∫ ∫ . 
5. 
2
2sec 2sec sec( 1) 1
n
n nau tg au nau du au du
a n n
−
−
− 
= +  
− − 
∫ ∫ . 
6. 
2
2cosec cotg 2cosec cosec( 1) 1
n
n nau au nau du au du
a n n
−
−
− 
= − +  
− − 
∫ ∫ . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
39 
 
16-4 Tabela de Transformadas de Laplace 
 
 f(t) F(s)= £ {f(t)}= ∫
+∞
−
0
st dte f(t)
 
1 1 
s
1
 
2 tn ( n=1,2,...) 1ns
!n
+
 
3 tp ( p>-1) 1ps
)1p(
+
+Γ
 
4 eat 
as
1
−
 
5 eattn ( n=1,2,...) 1n)as(
!n
+
−
 
6 sin bt 22 bs
b
+
 
7 cos bt 22 bs
s
+
 
8 sinh bt 22 bs
b
−
 
9 cosh bt 22 bs
s
−
 
10 eatsin bt 22 b)as(
b
+−
 
11 eatcos bt 22 b)as(
as
+−
−
 
12 u (t - c) 
s
e cs−
 
13 u(t - c)f( t- c) )s(Fe cs− 
40 
 
 
 
 
 
 
 
14 t sin at 222 )as(
as2
+
 
15 t cos at 222
22
)as(
as
+
−
 
16 sin at – at cos at 222
3
)as(
a2
+
 
17 sin at + at cos at 222
2
)as(
as2
+
 
18 ∫ −
t
0
d)(g)t(f τττ
 F(s)G(s) 
19 )ct( −δ e-cs 
20 )t(f )n( )0(f...)0(fs)s(Fs )1n(1nn −− −−− 
21 tnf(t) )s(F)1( )n(n− 
22 f(t+T)=f(t) 
sT
T
0
st
e1
dte
−
−
−
∫
 
41 
 
 
16-5 Propriedades da Transformadas de Laplace 
 
 
Transformada de £ap£ace Transformada Inversa de £ap£ace 
£ {f +g}=£ {f} + £ {g} £ -1{F +G}=£ -1{F} + £ -1{G} 
£ {cf } = c£ {f} £ --1{cF }= c£ -1{F} 
£ {f ’}= s£ {f}- f(0) £ –1{F(s)}= 




−
−
n
n
1
n
n
ds
)s(Fd
t
)1(
L 
£ {f ’’}= s2£ {f}- sf(0) – f ’(0) £ –1






s
)s(F
= ττ d)(f
t
0
∫ 
£ {f (n)}= sn£ {f} - sn-1f(0) - sn-2f’(0) - ... - f(n-1)(0) £ -1 (F(s - a)) = eatf(t) 
£ {eatf(t)}=F(s - a) 
 
£ { } )s(F
ds
d)1()t(ft
n
n
nn
−=
 
£ { } 





=
a
sF
a
1)at(f 
£ { }=∗ gf £ {f}£ {g} 
£ )s(F
s
1d )(f
t
0
=






∫ ττ 
£ ∫
∞
=






s
d )(F
t
)t(f
εε 
)0(f)s(sFlim
s
=
∞→
 
)(f)s(sFlim
0s
∞=
→
 
 
42 
 
 
17 Bibliografia 
 
 
1. Apostila “Amplificadores Operacionais” do professor Marcelo Wendling. 
Universidade Estadual Paulista-UNESP 2010 
 
2. Apostila “Amplificadores Operacionais” do professor João C. Giacomin – DCC-
UFLA. Universidade Federal de Lavras. 
 
3. Livro Circuitos Elétricos Autores Nahvi/Edminister 2005 
 
4. Livro Eletrônica volume II Autores Milman-Halkias 1981