Lista 7

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7a LISTA DE A´LGEBRA LINEAR
1. Seja T : R2 → R2 tal que
(a) T (3, 1) = (1, 2) e T (−1, 0) = (1, 1)
(b) T (4, 1) = (1, 1) e T (1, 1) = (3,−2)
(c) T (1, 1) = (2, 1) e T (−1, 1) = (6, 3).
Determine em cada caso T (1, 0).
2. Seja T : E → R linear. Sejam V ⊂ E subespac¸o vetorial tal que, se u ∈ V, T (u) = 0, e
v0 ∈ V , v0 /∈ V . Mostre que todo elemento v ∈ E pode ser escrito como w + c · v0, w ∈
V, c ∈ R.(sugesta˜o: use o resultado: se TE → F , dim(E) = dim(N(T ))+dim(T (E))).
3. Seja T : E → T linear com dim(E) > dim(F ). Mostre que dim(N(T )) > 0 (sugesta˜o:
idem ex.2).
4. Sejam E = {f : R → R; f ∈ C∞}, ou seja, f tem derivadas de todas as ordens, e
D : E → E tal que D(f) = f ′. Determine N(D).
5. Qual a dimensa˜o do subespac¸o S de Rn, sendo S = {(x1, ..., xn) ∈ Rn; x1 + ... + xn =
0}?(sugesta˜o: idem ex. 2)
6. Uma func¸a˜o f : R → R e´ par se, ∀ x ∈ R, f(−x) = f(x) e e´ ı´mpar se, ∀ x ∈
R, f(−x) = −x. Seja P : F → F (F = {f ; f : R → R}) tal que ∀ f ∈ F, P (f)(x) =
f(x) + f(−x)
2
. Qual o nu´cleo de P ?
7. Determine a matriz das transformac¸o˜es lineares nas bases canoˆnicas dos espac¸os vetoriais
domı´nio e contra-domı´nio:
(a) f : R4 → R2 tal que f(x1, x2, x3, x4) = (x1, x3).
(b) f : R3 → R2 tal que f(x1, x2, x3) = (3x1 − 2x2 + x1, 4x1 − x2 + 5x3)