Apostila Matemática Básica Unip 2018

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APOSTILA 
 
 
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INDÍCE 
 
1. Símbolos Matemáticos ....................................................................................................................................................................... 3 
2. Conjuntos numéricos: Propriedades, Operações e Representações ................................................................................................... 3 
Conjuntos dos Números Inteiros ............................................................................................................................................................ 4 
3. Diagrama de Venn ........................................................................................................................................................................... 10 
4. Fração Geratriz ................................................................................................................................................................................ 14 
5. Expressões Algébricas, Variáveis e Parâmetros .............................................................................................................................. 16 
6. Produtos Notáveis ............................................................................................................................................................................ 25 
Definição .............................................................................................................................................................................................. 26 
O quadrado da soma de dois termos .................................................................................................................................................... 26 
O quadrado da diferença de dois termos .............................................................................................................................................. 26 
O produto da soma pela diferença de dois termos ............................................................................................................................... 27 
O cubo da soma de dois termos ........................................................................................................................................................... 27 
O cubo da diferença de dois termos ..................................................................................................................................................... 27 
7. Fatoração .......................................................................................................................................................................................... 28 
Tipos de fatoração ................................................................................................................................................................................ 29 
Fator comum em evidência .............................................................................................................................................................. 29 
Agrupamento de termos semelhantes............................................................................................................................................... 29 
Diferença de dois quadrados ............................................................................................................................................................ 30 
Trinômio quadrado perfeito ............................................................................................................................................................. 30 
Trinômio do segundo grau ............................................................................................................................................................... 30 
8. Função do 1º grau: representação algébrica e gráfica ...................................................................................................................... 31 
Função crescente e função decrescente .................................................................................................................................................... 32 
9. Função do 2º grau: representação algébrica e gráfica ...................................................................................................................... 35 
A função do 2º grau possui uma variável independente elevada ao quadrado e pode ser representada por meio de uma parábola. ... 35 
Raízes ou zero da função do 2º Grau ............................................................................................................................................ 36 
10. Sistema de equações: estudo algébrico e representação gráfica de duas funções no mesmo plano cartesiano. .......................... 39 
 
 
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1. Símbolos Matemáticos 
 
 
 
2. Conjuntos numéricos: Propriedades, Operações e Representações 
Conjuntos dos Números Naturais 
Em algum momento da sua vida você passou a se interessar por contagens e quantidades. Talvez 
a primeira ocorrência desta necessidade, tenha sido quando lá pelos seus dois ou três anos de 
idade algum coleguinha foi lhe visitar e começou a mexer em seus brinquedos. Provavelmente, 
neste momento mesmo sem saber, você começou a se utilizar dos números naturais, afinal de 
contas era necessário garantir que nenhum dos seus brinquedos mudasse de proprietário e mesmo 
desconhecendo a existência dos números, você já sentia a necessidade de um sistema de 
numeração. 
Em uma situação como esta você precisa do mais básico dos conjuntos numéricos, que é o 
conjunto dos números naturais. Com a utilização deste conjunto você pode enumerar brinquedos 
ou simplesmente registrar a sua quantidade, por exemplo. 
Este conjunto é representado pela letra N ( ). Abaixo temos uma representação do conjunto dos 
números naturais: 
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As chaves são utilizadas na representação para dar ideia de conjunto. Os pontos de reticência dão 
a ideia de infinidade, já que os conjuntos numéricos são infinitos. 
Este conjunto numérico inicia-se em zero e é infinito, no entanto podemos ter a representação de 
apenas um subconjunto dele. A seguir temos um subconjunto do conjunto dos números naturais 
formado pelos quatro primeiro múltiplos de sete: 
 
Para representarmos o conjunto dos números naturais, ou qualquer um dos outros quatro 
conjuntos fundamentais, utilizamos o caractere asterisco após a letra, como em . Temos então 
que: 
 
É o conjunto dos números naturais excluído o 0 (Zero). 
Conjuntos dos Números Inteiros 
Mais adiante na sua vida em uma noite muito fria você tomou conhecimento da existência de 
números negativos, ao lhe falarem que naquele dia a temperatura estava em dois graus abaixo de 
zero. Curioso você quis saber o que significava isto, então alguém notando o seu interesse, 
resolveu lhe explicar: 
Hoje no final da tarde já estava bastante frio, a temperatura girava em torno dos 3° C, aí ela desceu 
para 2° C, continuou esfriando e ela abaixou para 1° C e uma hora atrás chegou a 0° C. Se a 
temperatura continuava a abaixar e já havia atingido o menor dos números naturais, como então 
representar uma temperatura ainda mais baixa? 
Com exceção do zero, cada um dos números naturais possui um simétrico ou oposto. O oposto 
do 1 é o -1, do 2 o -2 e assim por diante. O Sinal "-" indica que se trata de um número negativo, 
portanto menor que zero. Os números naturais a partir do 1 são por natureza positivos e o zero é 
nulo. 
O zero e os demaisnúmeros naturais, juntamente com os seus opostos formam um outro conjunto, 
o conjunto dos números inteiros e é representando pela letra Z ( ). 
A seguir temos uma representação do conjunto dos números inteiros: 
 
Note que diferentemente dos números naturais, que embora infinitos possuem um número inicial, 
o zero, os números inteiros assim como os demais conjuntos numéricos fundamentais não têm, 
por assim dizer, um ponto de início. Neste conjunto o zero é um elemento central, pois para cada 
número à sua direita, há um respectivo oposto à sua esquerda. 
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Utilizamos o símbolo para indicar que um conjunto está contido em outro, ou que é um 
subconjunto seu como o conjunto dos números naturais é um subconjunto do conjunto dos 
números inteiros, temos que . 
Podemos também dizer que o conjunto dos números inteiros contém ( ) o conjunto dos 
números naturais ( ). 
Como supracitado podemos escrever para representarmos o conjunto dos números inteiros, 
mas sem considerarmos o zero: 
 
Com exceção do conjunto dos números naturais, com os demais conjuntos numéricos 
fundamentais podemos utilizar os caracteres "+" e "-" como abaixo: 
 
 
 
 
 
 
Conjuntos dos Números Racionais 
Esperto por natureza você percebeu que havia mais alguma coisa, além disto. No termômetro 
você viu que entre um número e outro existiam várias marcações. Qual a razão disto? 
Foi-lhe explicado então que a temperatura não muda abruptamente de 20° C para 21° C ou de -
3° C para -4° C, ao invés disto, neste termômetro as marcações são de décimos em décimos. Para 
passar de 20° C para 21° C, por exemplo, primeiro a temperatura sobe para 20,1° C, depois para 
20,2° C e continua assim passando por 20,9° C e finalmente chegando em 21° C. Estes são 
números pertencentes ao conjunto dos números racionais. 
Números racionais são todos aqueles que podem ser expressos na forma de fração. O 
numerador e o denominador desta fração devem pertencer ao conjunto dos números inteiros e 
obviamente o denominador não poderá ser igual a zero, pois não há divisão por zero. 
O número 20,1, por exemplo, pode ser expresso como 2010/100, assim como 0,375 pode ser 
expresso como 3/8 e 0,2 por ser representado por 1/5. 
Note que se dividirmos 4/9 (quatro por nove), iremos obter 0,44444... que é um número com 
infinitas casas decimais, todas elas iguais a quatro. Trata-se de uma dízima periódica simples 
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que também pode ser representada como , mas que apesar disto também é um número 
racional, pois pode ser expresso como . 
O conjunto dos números racionais é representado pela letra ( ). 
O conjunto dos números inteiros é um subconjunto do conjunto dos números racionais, temos 
então que . 
Facilmente podemos intuir que representa o conjunto dos números racionais negativos e 
que representa o conjunto dos números racionais positivos ou nulo. 
Abaixo temos um conjunto com quatro elementos que é subconjunto do conjunto dos números 
racionais: 
 
A realização de qualquer uma das quatro operações aritméticas entre dois números racionais 
quaisquer terá como resultado também um número racional, obviamente no caso da divisão, o 
divisor deve ser diferente de zero. Sejam a e b números racionais, temos: 
 
Conjunto dos Números Irracionais 
Então mais curioso ainda você perguntou: "Se os números racionais são todos aqueles que podem 
ser expressos na forma de fração, então existem aqueles que não podem ser expressos desta 
forma?" 
Exatamente, estes números pertencem ao conjunto dos números irracionais. Provavelmente os 
mais conhecidos deles sejam o número PI ( ), o número de Euler ( ) e a raiz quadrada de dois 
( ). Se você se dispuser a calcular tal raiz, passará o restante da sua existência e jamais 
conseguirá fazê-lo, isto porque tal número possui infinitas casas decimais e diferentemente das 
dízimas, elas não são periódicas, não podendo ser expressas na forma de uma fração. Esta é uma 
característica dos números irracionais. 
A raiz quadrada dos números naturais é uma ótima fonte de números irracionais, de fato a raiz 
quadrada de qualquer número natural que não seja um quadrado perfeito é um número 
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irracional. é um número irracional, pois 120 não é um quadrado perfeito, ou seja, não há um 
número natural que multiplicado por ele mesmo resulte em cento e vinte, já é um número 
natural, pois . 
A letra I ( ) representa o conjunto dos número irracionais. 
Utilizando o caractere especial "*", por exemplo, podemos representar o conjunto dos números 
irracionais desconsiderando-se o zero por . 
O conjunto abaixo é um subconjunto do conjunto dos números irracionais: 
 
Diferentemente do que acontece com os números racionais, a realização de qualquer uma das 
quatro operações aritméticas entre dois números irracionais quaisquer não terão obrigatoriamente 
como resultado também um número irracional. O resultado poderá tanto pertencer a , quanto 
pertencer a . 
Conjuntos dos Números Reais 
Acima vimos que um número natural também é um número inteiro ( ), assim como um 
número inteiro também é um número racional ( ), portanto . 
Vimos também que os números racionais não estão contidos no conjunto dos números irracionais 
e vice-versa. A intersecção destes conjuntos resulta no conjunto vazio: 
A intersecção é uma operação por meio da qual obtemos um conjunto de todos os elementos que 
pertencem simultaneamente a todos os conjuntos envolvidos. Sejam dois 
conjuntos e , a intersecção entre estes dois conjuntos 
será . 
O conjunto dos números reais é representado pela letra R ( ) e é formado pela união do conjunto 
dos números racionais com o conjunto dos irracionais, que simbolicamente representamos 
por: . 
A união é uma operação por meio da qual obtemos um conjunto de todos os elementos que 
pertencem ao menos a um dos conjuntos envolvidos. Sejam dois 
conjuntos e , a união entre estes dois conjuntos 
será . 
O conjunto dos números racionais está contido no conjunto dos números reais ( ), assim 
como o conjunto dos números irracionais também é subconjunto do conjunto dos números reais 
( ). 
Através dos caracteres especiais "+" e "*", por exemplo, podemos representar o conjunto dos 
números reais positivos por . 
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Abaixo temos um exemplo de conjunto contendo números reais: 
 
 
Representação dos Conjuntos Numéricos (Diagrama) 
Abaixo temos a representação dos conjuntos numéricos fundamentais em um diagrama. 
 
 
 
Através deste diagrama podemos facilmente observar que o conjunto dos números reais ( ) é 
resultado da união do conjunto dos números racionais como o conjunto dos números irracionais 
( ). Observamos também que o conjunto dos números inteiros está contido no 
conjunto dos números racionais ( ) e que os números naturais são um subconjunto do 
números inteiros ( ). 
Como podemos ver, os diagramas nos ajudam a trabalhar mais facilmente com conjuntos. Ainda 
neste diagrama rapidamente identificamos que os números naturais são também números reais 
( ), mas não são números irracionais ( ), isto porque o conjunto dos números 
irracionais não contém o conjunto dos números naturais ( ), mas sim o conjunto 
números dos racionais que os contém ( ), assim como o conjuntos dos números reais 
( ) e dos inteiros ( ). 
 
 
 
 
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Propriedades dos Conjuntos Numéricos 
Na Matemática, temos o agrupamento de números semelhantes que resultam nos conjuntos 
numéricos. Esses são representadospor letra maiúscula e seus elementos por minúsculas, dentro 
de chave, observe: V = {a, e, i, o, u}. 
O primeiro conjunto que surgiu foi o dos números naturais, em razão da necessidade da 
humanidade em contar, esses são os números positivos: de zero ao infinito. Veja a 
representação: N= { 0,1, 2, 3, …}. 
Efetuar operações dentro do conjunto dos números naturais quer dizer que o resultando dessa 
operação deve ser um número natural. Veja: 3+ 20= 23 então, 23 N (23 pertence ao conjunto 
dos números naturais). 
Do mesmo modo nas demais operações: 
 
Subtração 35 – 7 = 28 N 
Multiplicação 8 * 5 = 40 N 
Divisão 80 /10 = 8 N 
 
Se fosse 70 – 100= -30 N (não pertence ao conjunto dos números naturais). 
 
Com o tempo houve a necessidade de ampliar as representações das quantidades, assim surgiu o 
conjunto dos números inteiros, sendo o conjunto dos números naturais mais seu oposto, que são 
os negativos. 
Z = {… -3, -2, - 1, 0, 1, 2, 3, …} 
 
A adição com números inteiros: -80 + (-20)= -100 Z 
subtração 90 - (15) = 75 Z 
multiplicação (-8) *(6) = 48 Z 
Divisão -70/10= -7 Z. Caso tivesse -70/4= 17,5 Z 
Estendendo os conjuntos numéricos temos os números racionais, que são aqueles que podem 
ser representados pela razão a/b, onde a Z e b Z. 
Q = { ...-½, 0, ½ …} 
 
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Adição 0,5 + 0,5 = 1 Q 
Subtração 4/3 – 2/3 = 2/3 Q 
Multiplicação 7/2 * 4 = 14 Q 
Divisão 30,5/1000 = 0,0305 Q. 
Por outro lado, √2 * 2 = 2,82... Q 
 
Já o Conjunto dos números Irracionais é formado por aqueles números que não podem ser 
representados na forma de fração, como : , √2, √3… 
 
Veja as operações: 
 
Adição √3 + √2 =3,146... I 
Subtração √7 – = -0,494... I 
Multiplicação *2= 6,26... I 
Divisão / 3= 1,046... I. 
 
E, finalmente, o conjunto dos números Reais, que é o agrupamento dos Racionais e Irracionais 
R= {Q + I}, como mostra o diagrama dos conjuntos. 
Adição dentro do conjunto dos números Reais, - ½ + ½ = 0 R 
Subtração 3,16 – 1,12= 2,2 R 
Multiplicação √2 * √2 = R 
Divisão 1/7= 0,428... R 
 
3. Diagrama de Venn 
Em 1880 o lógico inglês (e posteriormente o historiador) John Venn publicou um artigo com o 
título “Sobre representação diagramática e mecânica de proposições e raciocínios”. Trabalhando 
em recém-criada área de Álgebra de Boole e associando-a com a nova visão da Teoria de 
Conjuntos desenvolvida por G.Cantor, Venn propôs a idéia de representar as relações entre 
conjuntos através de configurações de figuras no plano; o objetivo dele, claramente formulado 
naquele artigo: 
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antes de mais nada os diagramas servem para auxiliar o olho e a mente graças a natureza intuitiva 
do seu testemunho, foi plenamente alcançado, já que 120 anos mais tarde todos os livros 
elementares de matemática usam este caminho para introduzir alunos em Teoria de Conjuntos. 
União: 
A união entre dois conjuntos e consiste num outro conjunto de todos os elementos que 
pertencem a ou a ou a ambos. Simbolicamente, temos: , lê-se: C é igual a 
união . De uma maneira mais concisa a definição dada acima pode ser escrita simbolicamente 
por: 
 
 
Exemplo Fazendo a união dos conjuntos e, temos: 
Também podemos representar a união usando diagramas: 
 
 
Intersecção: 
Chamamos de intersecção de um conjunto com outro conjunto , ao conjunto constituído 
pelos elementos que pertencem tanto a como a , simultaneamente. A esse conjunto 
indicamos: , lê-se: `` intersecção ", ou por simplicidade `` inter ". 
Esquematicamente temos: 
 
Exemplo 
Sejam e , temos: . 
Em diagramas: 
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Exercícios 
1-Um levantamento sócio-econômico entre os habitantes de uma cidade revelou que, 
exatamente: 17% têm casa própia; 22% têm automóvel; 8% têm casa própria e automóvel. 
Qual o percentual dos que não têm casa própria nem automóvel? 
Solução: Com base nos dados, fazemos um diagrama de Venn-Euler, colocando a quantidade de 
elementos dos conjuntos, começando sempre pelo número de elementos da interseção n(CA) 
= 8%. 
 
Como a soma das parcelas percentuais resulta em 100%, então 9% + 8% + 14% + x = 100 %. 
Daí, vem que 31% + x = 100%. Logo, o percentual dos que não têm casa própria nem 
automóvel é x = 100% - 31% = 69%. 
2-Numa pesquisa sobre as emissoras de tevê a que habitualmente assistem, foram 
consultadas 450 pessoas, com o seguinte resultado: 230 preferem o canal A; 250 o canal B; 
e 50 preferem outros canais diferente de A e B. 
Pergunta-se: 
a) Quantas pessoas assistem aos canais A e B? 
b) Quantas pessoas assistem ao canal A e não assistem ao canal B? 
c) Quantas pessoas assistem ao canal B e não assistem ao canal A? 
d) Quantas pessoas não assitem ao canal A? 
Solução: Seja o diagrama a seguir: 
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Temos que 230 - x + x + 250 - x + 50 = 450. 
a) O número de pessoas que assistem aos canais A e B é x = 530 - 450 = 80 
b) O número de pessoas que assistem ao canal A e não assistem ao canal B é 230 - x = 150. 
c) O número de pessoas que assistem ao canal B e não assistem ao canal A é 250 - x = 170. 
d) O número de pessoas que não assistem ao canal A é 250 - x + 50 = 250 - 80 + 50 = 220. 
3-PUC) Em uma empresa, 60% dos funcionários lêem a revista A, 80% lêem a revista B, e 
todo funcionário é leitor de pelo menos uma dessas revistas. O percentual de funcionários 
que lêem as duas revistas é .... 
Solução: Seja x o valor procurado. Desenhando um diagrama de Venn-Euler e utilizando-se do 
fato de que a soma das parcelas percentuais resulta em 100%, temos a equação: 60 - x + x + 80 
- x = 100. Daí, vem que, 60 + 80 - x = 100. 
 
Logo, x = 140 - 100 = 40. Assim, o percentual procurado é 40%. 
4-Em uma prova de Matemática com apenas duas questões, 300 alunos acertaram somente 
uma das questões e 260 acertaram a segunda. Sendo que 100 alunos acertaram as duas e 
210 alunos erraram a primeira questão. Quantos alunos fizeram a prova? 
Solução: Temos que 100 acertaram as duas questões. Se 260 acertaram a segunda, então, 260 - 
100 = 160 acertaram apenas a segunda questão. Se 300 acertaram somente uma das questões e 
160 acertaram apenas a segunda, segue que, 300 - 160 = 140 acertaram somente a primeira. Como 
210 erraram a primeira, incluindo os 160 que também erraram a primeira, temos que, 210 - 160 
= 50 erraram as duas. Assim podemos montar o diagrama de Venn-Euler, onde: P1 é o conjunto 
dos que acertaram a primeira questão; P2 é o conjunto dos que acertaram a segunda e N é o 
conjunto dos que erraram as duas. Observe a interseção P1 P2 é o conjunto dos que acertaram 
as duas questões. 
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Logo, o número de alunos que fizeram a prova é: 140 + 100 + 160 + 50 = 450. 
4. Fração Geratriz 
Repare que embora o número de casas decimais em cada um dos exemplos seja diferente, eles 
são finitos. O primeiro exemplo possui três casas decimais, ao passo que o segundo exemplo 
possui apenas uma. Agora qual seria a representação decimal da fração ? 
Note que neste caso o número de casas decimais da representação desta fração na forma decimal, 
não será um número finito. 76 dividido por 495 será algo como 0,1535353... 
Se continuarmos o processo de divisão, iremos indefinidamente acrescentar um dígito 5, depois 
um 3, depois um 5 e assim por diante, sendo que sempre poderemos continuar acrescentando mais 
um dígito. A isto damos o nome de dízima periódica 
As dízimas periódicas podem ser simples oucomposta, no caso do exemplo acima temos 
uma dízima periódica composta. 
A dízima periódica composta 0,1535353... foi gerada a partir da fração , por isto esta fração 
é chamada de fração geratriz da dízima periódica. 
Classificando as Dízimas Periódicas em Simples e Compostas: 
A dízima periódica 0,1535353... é composta, pois ela possui um anteperíodo que não se repete, 
no caso o número 1, e um período formado pelo número 53, que se repete indefinidamente. Se 
fosse apenas 0,535353... teríamos uma dízima periódica simples, pois ela possui apenas um 
período, 53, mas não um anteperíodo. 
Veja abaixo alguns exemplos: 
Exemplos de Dízimas Periódicas Simples: 
0,111... período igual a 1 
0,252525... período igual a 25 
0,010101... período igual a 01 
0,123123123... período igual a 123 
Exemplos de Dízimas Periódicas Compostas: 
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0,2333... anteperíodo igual a 2 e período igual a 3 
0,45222... anteperíodo igual a 45 e período igual a 2 
0,171353535... anteperíodo igual a 171 e período igual a 35 
0,32101230123... anteperíodo igual a 321 e período igual a 0123 
 
Transformando Dízimas Periódicas Simples em Frações Geratrizes 
Um método prático para se obter a fração geratriz no caso de dízimas periódicas simples, consiste 
em utilizarmos o período como numerador e utilizarmos como denominador um número formado 
por tantos dígitos 9, quantos forem os dígitos do período. 
Vejamos: 
0,111... 
0,252525... 
0,010101... 
0,123123123... 
Repare no último exemplo que o numerador 123 e o denominador 999 não são primos entre si, 
de fato o seu máximo divisor comum não é 1, mas sim 3. Realizando a simplicação de ambos 
os termos por 3, a fração será transformada na fração irredutível equivalente . 
Caso a dízima possua uma parte inteira, basta a destacarmos e calcularmos a parte decimal como 
já explicado: 
5,7373... 
Note que é uma fração mista que pode ser transformada na fração imprópria . 
 
Tranformando Dízimas Periódicas Compostas em Frações Geratrizes 
 
Em função da existência de um anteperíodo, neste caso a técnica é ligeiramente diferente. Veja o 
exemplo abaixo: 
0,171353535... 
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O número 17135 é formado pela junção do anteperíodo, 171, com o período, 35. Ao subtrairmos 
deste número o anteperíodo, obtemos 16964, o numerador da fração geratriz. O denominador é 
formado por tantos dígitos 9, quantos são os dígitos do período, assim como no caso das dízimas 
periódicas simples, seguidos de tantos dígitos 0, quantos são os dígitos do anteperíodo. 
A fração é passível de simplificação. Como o maior divisor de ambos os termos é quatro, 
a fração irredutível será . 
 
Veja abaixo mais alguns exemplos: 
 
0,2333... 
0,45222... 
0,888313131... 
0,32101230123... 
 
5. Expressões Algébricas, Variáveis e Parâmetros 
 
O uso das expressões Algébricas 
 
No cotidiano, muitas vezes usamos expressões sem perceber que as mesmas representam 
expressões algébricas ou numéricas. 
1-Numa papelaria, quando calculamos o preço de um caderno somado ao preço de duas 
canetas, usamos expressões como 1x+2y, onde x representa o preço do caderno e y o preço 
de cada caneta. 
2-Num colégio, ao comprar um lanche, somamos o preço de um refrigerante com o preço 
de um salgado, usando expressões do tipo 1x+1y onde x representa o preço do salgado e y o 
preço do refrigerante. 
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Usamos a subtração para saber o valor do troco. Por exemplo, se V é o valor total de 
dinheiro disponível e T é o valor do troco, então temos uma expressão algébrica do tipo V-
(1x+1y)=T. 
 
Elementos Históricos 
Na Antiguidade, as letras foram pouco usadas na representação de números e relações. De acordo 
com fontes históricas, os gregos Euclides e Aristóteles (322-384 a.C), usaram as letras para 
representar números. A partir do século XIII o matemático italiano Leonardo de Pisa (Fibonacci), 
que escreveu o livro sobre Liber Abaci (o livro do ábaco) sobre a arte de calcular, observamos 
alguns cálculos algébricos. 
O grande uso de letras para resumir mais racionalmente o cálculo algébrico passou a ser estudado 
pelo matemático alemão Stifel (1486-1567), pelos matemáticos italianos Germano (1501-1576) 
e Bombelli (autor de Álgebra publicada em 1572), porém, foi com o matemático francês François 
Viéte (1540-1603), que introduziu o uso ordenado de letras nas analogias matemáticas, quando 
desenvolveu o estudo do cálculo algébrico. 
Expressões Numéricas 
São expressões matemáticas que envolvem operações com números. Por exemplo: 
a = 7+5+4 
b = 5+20-87 
c = (6+8)-10 
d = (5×4)+15 
Expressões Algébricas 
Expressões matemáticas apresentam letras e podem conter números. São também denominadas 
expressões literais. Por exemplo: 
A = 2a+7b 
B = (3c+4)-5 
C = 23c+4 
As letras nas expressões são chamadas variáveis o que significa que o valor de cada letra pode 
ser substituída por um valor numérico. 
 
Prioridade das Operações numa Expressão Algébrica 
Para os sinais de pontuação, eles devem ser eliminados na seguinte ordem: 
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a) Parênteses 
b) Colchetes 
c) Chaves 
Conhecendo essas prioridades podemos resolver qualquer expressão numérica. 
Eis um exemplo: 
{(-2) + [(-4-2)+(-1).(+2)] + 20} 
PASSO 1: calculamos as expressões entre PARÊNTESES: 
{(-2) + [(-6)+(-1).(+2)] + 20} 
PASSO 2:eliminamos os parênteses e calculamos as expressões de acordo com aordem de 
prioridade das operações: 
{-2 + [-6-2] + 20} 
PASSO 3: calculamos as expressões entre COLCHETES: 
{-2 + [-8] + 20} 
PASSO 4: eliminamos os colchetes 
{-2 -8 + 20} 
PASSO 5:calculamos as expressões entre CHAVES (como os operadores de adiçãoe subtração 
têm a mesma prioridade, não nos importará a ordem de resolução): 
 {10} 
PASSO 6: eliminamos as chaves 
 10 
Eliminação de Parêntes em Monômios 
Para eliminar os parênteses em uma expressão algébrica, deve-se multiplicar o sinal que está fora 
(e antes) dos parênteses pelo sinal que está dentro (e antes) dos parênteses com o uso da regra dos 
sinais. Se o monômio não tem sinal, o sinal é o positivo. Se o monômio tem o sinal +, o sinal é o 
positivo. 
Exemplos: 
A = -(4x)+(-7x) = -4x-7x = -11x 
B = -(4x)+(+7x) = -4x+7x = 3x 
C = +(4x)+(-7x) = 4x-7x = - 3x 
D = +(4x)+(+7x) = 4x+7x = 11x 
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Operações com Expressões Algébricas de Monômios 
1. Adição e Subtração 
Para adicionar ou subtrair expressões algébricas, basta adicionar ou subtrair os coeficientes 
(números) dos termos semelhantes (termos que possuem exatamente a mesma parte literal) e 
conservar a parte literal (letras). 
Exemplo 1: 
(𝟏𝟎𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟕) + (𝟔𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟑)= 
(eliminando os parênteses) 
𝟏𝟎𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟕 + 𝟔𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟑= 
(agrupando os termos semelhantes) 
𝟏𝟎𝒙𝟐 + 𝟔𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟐𝒙 + 𝟕 − 𝟑 = 
(reduzindo os termos semelhantes) 
𝟏𝟔𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟒 = 
Exemplo 2: 
(𝟕𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟗) − (𝟑𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 − 𝟐)= 
(eliminando os parênteses) 
(𝟕𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟗 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝟐)= 
(agrupando os termos semelhantes) 
(𝟕𝒙𝟐 − 𝟑𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟔𝒙 + 𝟗 + 𝟐)= 
(reduzindo os termos semelhantes) 
(𝟒𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟏𝟏) 
 
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2. Multiplicação 
Para multiplicar expressões algébricas, multiplica-se cada termo de uma expressão por todos os 
termos da outra. Observe que, para multiplicar dois termos algébricos, multiplicam-se os 
coeficientese a parte literal separadamente. 
Exemplo:3 
𝟑𝐱 + 𝟓) ∗ (𝟒𝒙 + 𝟐) = 
𝟑𝒙 ∗ (𝟒𝒙 + 𝟐) + 𝟓 ∗ (𝟒𝒙 + 𝟐)= 
𝟏𝟐𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝟐𝟎𝒙 + 𝟏𝟎= 
𝟏𝟐𝒙𝟐 + 𝟐𝟔𝒙 + 𝟏𝟎= 
3. Divisão 
1º) Divisão de expressões algébricas por monômios 
Para dividir uma expressão algébrica por um monômio, basta dividir cada termo da expressão 
pelo monômio, dividindo separadamente os coeficientes e as partes literais. 
Exemplo:4 
 
2º) Divisão algébrica de polinômio por polinômio 
Quando trabalhamos com divisão, utilizamos também a multiplicação no processo. 
Observe o seguinte esquema: 
Dividendo | divisor 
 Resto Quociente 
 
Quociente*divisor + resto = dividendo 
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Vamos dividir um polinômio por um monômio com o intuito de entendermos o processo 
operatório. Observe: 
 
 12x3 + 4x2 – 8x | 4x 
– 12x3 3x2 + x – 2 
 0x + 4x2 
 – 4x2 
 0x – 8x 
 + 8x 
 0 
Caso queira verificar se a divisão está correta, basta multiplicar o quociente pelo divisor com 
vistas a obter o dividendo como resultado. 
Verificando → quociente * divisor + resto = dividendo 
 
4x * (3x² + x – 2) + 0 
12x³ + 4x² – 8x 
 
Caso isso ocorra, a divisão está correta. 
No exemplo a seguir, dividiremos polinômio por polinômio. Veja: 
 
 10x2 – 43x + 40 |2x – 5 
– 10x2 + 25x 5x – 9 
 0x – 18x + 40 
 18x – 45 
 – 5 
Verificando → quociente * divisor + resto = dividendo 
 
(2x – 5) * (5x – 9) + (–5) 
10x² – 18x – 25x + 45 + (–5) 
10x² – 43x + 45 – 5 
10x² – 43x + 40 
 
Observe estes exemplos: 
1º) 
 
 6x4 – 10x3 + 9x2 + 9x – 5 | 2x2 – 4x + 5 
– 6x4 + 12x3 – 15x2 3x2 + x – 1 
 0x4 + 2x3 – 6x2 + 9x – 5 
 – 2x3 + 4x2 – 5x 
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 0x3 – 2x2 + 4x – 5 
 2x2 – 4x + 5 
 0 
Verificando → quociente * divisor + resto = dividendo 
(3x² + x – 1) * (2x² – 4x + 5) + 0 
6x4 – 12x³ + 15x² + 2x³ – 4x² + 5x – 2x² + 4x – 5 
6x4 – 10x³ + 9x² + 9x – 5 
 
2º) 
 12x3 – 19x2 + 15x – 3 | 3x2 – x + 2 
– 12x3 + 4x2 – 8x 4x – 5 
 0x3 – 15x2 + 7x – 3 
 +15x2 – 5x + 10 
 2x + 7 
Verificando → quociente * divisor + resto = dividendo 
(4x – 5) * (3x² – x + 2) + (2x + 7) 
12x³ – 4x² + 8x – 15x² + 5x – 10 + (2x + 7) 
12x³ – 19x² + 13x – 10 + 2x + 7 
12x³ – 19x² + 15x – 3 
Obs: todo o número real é um monômio sem parte literal 
Grau de Monômio 
 
O grau de um monômio é dado pela soma dos expoentes de sua parte literal 
 
Exemplo 1 
Qual o grau do monômio 7x³y² ? 
 
Somando-se os expoentes dos fatores literais, temos 3 + 2 = 5 
Resposta => 5º Grau 
Exemplo 2 
 
Qual o grau do monômio -8a²bc? 
Solução: 
Somando-se os expoentes dos fatores, temos: 2 + 1 + 1 = 4 
 
Resposta => 4º grau 
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Observação: => O grau de um monômio também pode ser dado em relação a uma letra de 
sua parte literal. 
 
Exemplo 3 
Resposta => 7 x³y² - é de 3º grau em relação a x é do 2º grau em relação a y 
 
EXERCÍCIOS 
 
1) De o grau de cada um dos seguintes monômios: 
 
a) 5x² = (R: 2º grau) 
b) 4x⁵y³ = (R: 8º grau) 
c) -2xy² = (R: 3º grau) 
d) a³b² = (R: 5º grau) 
e) 7xy = (R: 2º grau) 
f) -5y³m⁴= (R: 7º grau) 
g) 6abc = (R: 3º grau) 
h) 9x³y²z⁵ = (R: 10º grau) 
Polinômio com uma Variável 
 
Polinômio é uma expressão algébrica de dois ou mais termos 
Exemplos 
 
1) 7x – 1 
2) 8x² - 4x + 5 
3) x³ + x² - 5x + 4 
4) 4x⁵ - 2x³ + 8x² x + 7 
 
Convém destacar que: 
- Os expoentes da variável devem ser números naturais 1, 2, 3, 4, ...... 
- Os polinômios de dois termos são chamados binômios ( exemplo 1) 
- Os polinômios de três termos são chamados trinômios (exemplo 2) 
- Os polinômios com mais de três termos não tem nomes especiais. (exemplos 3 e 4) 
 
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Grau de Polinômio com uma variável 
 
* O grau de um polinômio é indicado pelo maior expoente da variável 
Exemplos 
 
a) 7x⁴ - 3x² + 1 é um polinômio do 4º grau 
b) x³ - 2x⁵ + 4 é um polinômio do 5º grau. Em geral, os polinômios são ordenados segundo 
as potências decrescentes da variáveis 
 
Exemplos 
 
5x³ + x⁴ + 6x – 7x² + 2 ( polinômio não ordenado) 
x⁴ + 5x³ - 7x² + 6x + 2 ( polinômio ordenado) 
 
Quando um polinômio estiver ordenado e estiver faltado uma ou mais potencias, dizemos 
que os coeficientes desses termos são zero e o polinômio é incompleto. 
Exemplos 
x⁴ + 5x + 1 ( polinômio incompleto) 
x⁴ + 0x³ + 0x² + 5x + 1 (forma geral ou completa) 
Exercícios 
1) Reduza os termos semelhantes nas seguintes expressões algébricas: 
a) 6x + (2x – 4) – 2 = (R: 8x – 6) 
b) 7y -8 – (5y – 3) = (R: 2y – 5) 
c) 4x – ( -3x + 9 – 2x) = (R: 9x – 9) 
d) 3x – (-2x +5) – 8x + 9 = (R: -3x + 4) 
e) 4x – 3 + (2x + 1 ) = (R: 6x – 2) 
f) ( x + y ) – ( x + 2y) = (R: -y) 
g) (3x – 2y) + ( 7x + y) = (R: 10x – y) 
h) –(8x + 4) – ( 3x + 2) = (R: -11x – 6) 
2) Reduza os termos semelhantes nas seguintes expressões algébricas: 
a) 5x + ( 3x – 2) – ( 10x – 8) = (R: -2x + 6) 
b) 6x + (5x – 7) – (20 + 3x) = (R: 8x -27) 
c) ( x + y + z ) + x – ( 3y + z) = (R: 2x – 2y) 
d) (m + 2n ) – ( r - 2n ) – ( n + r) = (R: m + 3n – 2r) 
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e) –(6y + 4x ) + ( 3y – 4x ) – ( -2x + 3y) = (R: -6y – 6x) 
3) Reduza os termos semelhantes nas seguintes expressões algébrica: 
a) 6x² - [ 4x² + ( 3x – 5 ) + x = (R: 2x² - 4x + 5) 
b) 3x + { 2y – [ 5x – ( y + x )]} = (R: -x + 3y) 
c) -3x + [ x² - ( 4x² - x) + 5x] = (R: -3x² + 3x) 
d) xy – [2x + ( 3xy – 4x ) + 7x ] = (R: -2xy - 5x) 
e) 8x – [( x + 2m) – ( 3x – 3m)] = (R: 10x – 5m) 
f) x – ( b – c) + [ 2x + ( 3b + c) ]= (R: 3x + 2b + 2c ) 
g) –[x + ( 7 – x) – ( 5 + 2x) ]= (R: -2x -2) 
h) {9x – [ 4x – ( x – y ) – 5y ] + y} = (R: 6x + 5y) 
i) ( 3x + 2m) – [ (x – 2m) – ( 6x + 2m) ] = (R: 8x + 6m) 
j) 7x³ - { 3x² -x – [ 2x – ( 5x³ - 6x²) – 4x ]} = (R: 2x³ + 3x² - x) 
k) 2y – { 3y + [ 4y – ( y – 2x)+ 3x ] – 4x } + 2x = (R: 11y – 4x) 
l) 8y + { 4y – [ 6x – y – ( 4x – 3y ) – y ] -2x } = (R: 6x + 4y) 
m) 4x – { 3x + [ 4x – 3y – ( 6x – 5y ) – 3x ] – 6y } 
n) 3x – { 3x – [ 3x – ( 3x –y ) – y ] –y } - y 
 
4) Reduza os termos semelhantes: 
a) -2n – (n – 8) + 1 = (R: -3n + 9) 
b) 5 – ( 2x – 5) + x = (R: -x +10) 
c) 3x + ( -4 – 6x) + 9 = (R: -3x +5) 
d) 8y – 8 – ( -3y + 5) = (R: 11y – 13) 
e) x – [ n + (x + 3) ] = (R: -n -3) 
f) 5 + [x – ( 3 – x) ] = (R: 2x + 2) 
g) x² - [ x – (5 - x²)] = (R: -x + 5) 
h) 5x – y – [x – (x - y)] = (R: 5x – 2y) 
5) Reduza os termos semelhantes: 
a) 2x + ( 2x + y) – ( 3x – y) + 9x = (R: 10x + 2y) 
b) 5x – { 5x – [ 5x – ( 5x – m ) – m ] –m } – m = (R: 0) 
c) – { 7x – m – [ 4m – ( n – m – 3x) – 4x ] + n } = (R: -8x + 6m -2n) 
d) 5xy – { - (2xy + 5x )+ [3y – (-xy +x + 3xy)]} = (R: 11xy + 6x - 3y) 
6. Produtos Notáveis 
Os produtos notáveis são utilizados desde a antiguidade, os gregos, por exemplo, faziam o seu 
uso e há registros na obra de Euclides de Alexandria Elementos na forma de representações 
geométricas. Seu uso facilita os cálculos, reduz o tempo de resolução e ainda pode facilitar o 
aprendizado. Conheça um pouco mais sobre os produtos notáveis e os benefíciosdo seu uso. 
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Definição 
Chamamos de Produtos Notáveis algumas expressões algébricas ou polinômios que aparecem 
com mais freqüência em cálculos algébricos. Devido a essa regularidade recebem esse nome e 
são utilizados principalmente para a fatoração de polinômios e também para evitar erros com 
sinais. 
O quadrado da soma de dois termos 
Observe a representação e utilização da propriedade da potenciação a seguir: 
(a + b)2 = (a + b) . (a + b) 
Dizemos que a é o primeiro termo, enquanto b é o segundo termo. 
Se desenvolvermos esse produto usando a propriedade distributiva da multiplicação teremos: 
(a + b)2 = (a + b) . (a + b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b² 
Desta forma, podemos afirmar que o quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado 
do primeiro termo, mais duas vezes o produto do primeiro termo pelo segundo, mais o 
quadrado do segundo termo. 
O quadrado da diferença de dois termos 
Observe a representação e utilização da propriedade da potenciação a seguir: 
(a – b)2 = (a – b) . (a – b) 
Dizemos que a é o primeiro termo, enquanto b é o segundo termo. 
Se desenvolvermos esse produto usando a propriedade distributiva da multiplicação teremos: 
(a – b)2 = (a – b) . (a – b) = a² – ab – ab + b² = a² – 2ab + b² 
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Desta forma, podemos afirmar que o quadrado da diferença de dois termos é igual ao 
quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o produto do primeiro termo pelo segundo, 
mais o quadrado do segundo termo. 
O produto da soma pela diferença de dois termos 
Observe a representação e utilização da propriedade a seguir: 
 (a + b) . (a – b) 
Se o desenvolvermos, poderemos transformá-lo em uma diferença de quadrados, veja: 
(a + b) . (a – b) = a² – ab + ab – b² = a² – b² 
Desta forma, podemos afirmar que o produto da soma pela diferença de dois termos é igual 
ao quadrado do primeiro termo, menos o quadrado do segundo termo. 
O cubo da soma de dois termos 
Observe a representação da propriedade de potenciação a seguir: 
(a + b)³ = (a + b) . (a + b)² 
Agora, observe como podemos transformá-la, utilizando a propriedade distributiva: 
(a + b)³ = (a + b) . (a² + 2ab + b²) = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ 
Desta forma, podemos afirmar que o cubo da soma de dois termos é igual ao cubo do 
primeiro termo, mais três vezes o produto do quadrado do primeiro termo pelo segundo, 
mais três vezes o produto do primeiro termo pelo quadrado do segundo, mais o cubo do 
segundo termo. 
O cubo da diferença de dois termos 
Observe a representação da propriedade de potenciação a seguir: 
(a – b)³ = (a – b) . (a – b)² 
Agora, observe como podemos transformá-la, utilizando a propriedade distributiva: 
(a – b)³ = (a – b) . (a² – 2ab + b²) = a³ – 3a²b + 3ab² – b³ 
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Desta forma, podemos afirmar que o cubo da diferença de dois termos é igual ao cubo do 
primeiro termo, menos três vezes o produto do quadrado do primeiro termo pelo segundo, 
mais três vezes o produto do primeiro termo pelo quadrado do segundo, menos o cubo do 
segundo termo. 
7. Fatoração 
Falando de forma objetiva, fatoração é decompor um número em fatores, é o ato de transformar 
uma expressão numérica em fatores de sua multiplicação. 
 
Um exemplo simples de fatoração é dividir um número pelo menor número primo que for 
possível. Deve-se repetir o procedimento até que seja impossível continuar a divisão, até que o 
número se torne indivisível, conforme os exemplos abaixo: 
Número N. Primo 
250 2 
125 5 
25 5 
5 5 
1 
250 fatorado » 2 . 5 . 5 . 5 
 
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Número N. Primo 
882 2 
441 3 
147 3 
49 7 
7 7 
1 
882 fatorado » 2 . 3 . 3 . 7 . 7 
Tipos de fatoração 
A fatoração pode ser dividida nos seguintes tipos: 
• Fator comum em evidência 
• Agrupamento de termos semelhantes 
• Diferença de dois quadrados 
• Trinômio quadrado perfeito. 
• Trinômio do segundo grau. 
Fator comum em evidência 
Nessa modalidade de fatoração é preciso verificar cada um dos algarismos, para precisar se os 
coeficientes poderão ser divididos por determinado número de forma exata. 
Ex.: cx + cy + cz 
Observe que c é um fator comum a todos os monômios que formam o polinômio, de modo que 
podemos colocá-lo em evidência: 
C . (x + y + z) 
Agrupamento de termos semelhantes 
Essa técnica se baseia em juntar todos os termos que forem iguais para, se possível, colocá-los 
em evidência. 
Ex.: x² + xy + xz + yz 
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Agrupamos os termos em dois pares e colocamos o fator comum em evidência em cada um deles: 
1º termo x² + xy = x . (x + y) 
2º termo xz + yz = z . (x + y) 
O que multiplica o fator (x + y) para se obter o1º termo x(x + y)? A resposta é x: 
(x + y) . (x + …) 
O que multiplica o fator comum (x + y) para obter o 2º termo z(x + y)? A resposta é: z 
(x + y) . (x + z) 
Portanto: (x + y) . (x + z) é a forma fatorada de x² + xy + xz + xy. 
Diferença de dois quadrados 
Esse tipo de fatoração consiste que parte da expressão (ou ela em sua totalidade) possa ser 
simplesmente o resultado de um produto de soma pela sua diferença. 
Ex.: (a + b) .( a – b) = a² – b² 
Portanto: Se um polinômio é expresso na forma de uma diferença de dois quadrados, sua fatoração 
será o produto da soma pela diferença de dois termos. 
Trinômio quadrado perfeito 
Assim como a modalidade anterior, o trinômio quadrado perfeito precisa notar que parte ou 
totalidade da expressão é o resultado do produto sendo ele do tipo a + b². 
Ex.: a² + 2ab + b² = (a + b)² 
a² – 2ab + b² = ( a – b)² 
Trinômio do segundo grau 
A técnica se baseia em encontrar na expressão o trinômio de segundo grau, observando a relação 
entre a soma das raízes e o produto delas. 
O trinômio do segundo grau poderá ser decomposto como: 
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ax² + bx + c = a [( x – x1) . ( x – x2)] 
 
8. Função do 1º grau: representação algébrica e gráfica 
Definição 
 
Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de IR em IR 
dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados e a 0. 
 
Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente de x e o número b é chamado 
termo constante. 
 
Veja alguns exemplos de funções polinomiais do 1º grau: 
 
 f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 3 
 f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = - 7 f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0 
 
 
 
 
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Gráfico 
O gráfico de uma função polinomial do 1º grau, y = ax + b, com a 0, é uma reta oblíqua aos 
eixos Ox e Oy. 
Exemplo: 
Vamos construir o gráfico da função y = 3x - 1: 
 
Como o gráfico é uma reta, basta obter dois de seus pontos e ligá-los com o auxílio de uma 
régua: 
 
a) Para x = 0, temos y = 3 · 0 - 1 = -1; portanto, um ponto é (0, -1). 
 b) Para y = 0, temos 0 = 3x - 1; portanto, e outro ponto é . 
Marcamos os pontos (0, -1) e no plano cartesiano e ligamos os dois com uma reta. 
x y 
0 -1 
 
0 
 
 
 
Função crescente e função decrescente 
As funções que são expressas pela lei de formação y = ax + b ou f(x) = ax + b, onde a e b 
pertencem ao conjunto dos números reais, com a ≠ 0, são consideradas funções do 1º grau. 
Esse tipo de função pode ser classificada de acordo com o valor do coeficiente a, se a > 0, a 
função é crescente, caso a < 0, a função se torna decrescente. 
 
Vamos analisar as seguintes funções f(x) = 3x e f(x) = –3x, comdomínio no conjunto dos números 
reais, na medida em que os valores de x aumentam. 
 
 
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Exemplo 1 
f(x) = 3x 
 
 
 
Note que à medida que os valores de x aumentam, os valores de y ou f(x) também aumentam, 
nesse caso dizemos que a função é crescente e a taxa de variação da função é igual a 3. 
 
 
 
 
 
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Exemplo 2 
f(x) = –3x 
 
 
 
 
Nessa situação, à medida que os valores de x aumentam, os valores de y ou f(x) diminuem, então 
a função passa a ser decrescente e a taxa de variação tem valor igual a –3. 
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Outro fato importante para designar uma função é o seu gráfico, note que quando a função é 
crescente o ângulo formado entre a reta da função e o eixo x (horizontal) é agudo (< 90º) e na 
função decrescente o ângulo formado é obtuso (> 90º). 
Então, a função é crescente no conjunto dos números reais (R), quando os valores de x1 e x2, 
sendo x1 < x2 resultar em f(x1) < f(x2). No caso da função decrescente no conjunto dos reais, 
teremos x1 < x2 resultando em f(x1) > f(x2). 
 
9. Função do 2º grau: representação algébrica e gráfica 
A função do 2º grau possui uma variável independente elevada ao quadrado e pode ser 
representada por meio de uma parábola. 
 
 
A função do segundo grau possui uma variável independente elevada ao quadrado 
Uma função é uma regra que liga cada elemento de um conjunto A a um único elemento de um 
conjunto B. No Ensino Fundamental, as funções estudadas possuem apenas duas variáveis. 
A primeira é chamada de variável independente, é geralmente representada pela letra x e pode 
assumir qualquer valor dentro de um conjunto numérico dado. A segunda, chamada de variável 
dependente, costuma ser representada pela letra y e seu valor está relacionado com o valor da 
variável x. 
A função do segundo grau é uma regra que possui as características descritas acima e, pelo 
menos, uma variável independente elevada ao quadrado. 
As funções do segundo grau, portanto, relacionam a variável x à variável y e são escritas, 
geralmente, na forma reduzida a seguir: 
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f(x) = y = ax2 + bx + c 
• a, b e c são números reais quaisquer; 
• a sempre é diferente de zero; 
• f(x) é uma segunda notação muito utilizada nesse conteúdo que ajuda na organização 
dos cálculos. 
 
Raízes da função do segundo grau 
As raízes de uma função são os valores que a variável independente assume e que fazem com que 
a imagem da função seja zero. Assim, para encontrar as raízes de uma função do segundo grau, 
escreva y = 0 e substitua y por esse valor. Observe o exemplo: 
y = x2 + 8x – 9 
0 = x2 + 8x – 9 
Dessa maneira, encontraremos os valores de x que zeram a função. Para tanto, utilizaremos a 
fórmula de Bhaskara ou o método de completar quadrados. 
 
A= 1 
B= 8 
 C= -9 
(RESOLVER O EXERCÍCIO) 
x' = – 9 / x'' = 1 
Assim, as raízes dessa função são – 9 e 1. 
Raízes ou zero da função do 2º Grau 
Determinar as raízes ou zero de uma função do 2º grau consiste em determinar os pontos de 
intersecção da parábola com o eixo das abscissas no plano cartesiano. Dada a função f(x) = ax² 
+ bx + c, podemos determinar sua raiz considerando f(x) = 0, dessa forma obtemos a equação 
do 2º grau ax² + bx + c = 0, que pode ser resolvida pelo método resolutivo de Bháskara. 
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O propósito de resolver uma equação do 2º grau é calcular os possíveis valores de x, que 
satisfazem a equação. Os possíveis resultados da equação consistem na solução ou raiz da 
função. O número de raízes de uma equação do 2º grau depende do valor do discriminante (?), 
observe as condições a seguir: 
? > 0 → a função do 2º grau possui duas raízes reais distintas. 
? = 0 → a função do 2º grau possui apenas uma raiz real. 
? < 0 → a função do 2º grau não possui nenhuma raiz real. 
Exemplos 1 
x² – 5x + 6 = 0 
? = b² – 4ac 
? = (– 5)² – 4 * 1 * 6 
? = 25 – 24 
? = 1 
Possui duas raízes reais e distintas, isto é, a parábola intersecta o eixo x em dois pontos. 
 
 
Exemplo 2 
 
x² – 4x + 4 = 0 
? = b² – 4ac 
? = (– 4)² – 4 * 1 * 4 
? = 16 – 16 
? = 0 
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Possui apenas uma raiz real, a parábola intersecta o eixo x em um único ponto. 
 
 
Exemplo 3 
 
x² + 2x + 2 = 0 
? = b² – 4ac 
? = (2)² – 4 * 1 * 2 
? = 4 – 8 
? = – 4 
Não possui raiz real, a parábola não intersecta o eixo x. 
 
 
Macetes 
Existem alguns macetes para funções do segundo grau parecidos com a análise dos sinais acima. 
Quando a > 0, o gráfico da função é uma parábola com a “boca” voltada para cima e o vértice 
para baixo (o vértice é ponto de mínimo); 
Quando a < 0, o gráfico da função é uma parábola com a “boca” voltada para baixo e o vértice 
para cima (o vértice é ponto de máximo); 
O valor de c indica o ponto de intersecção da parábola com o eixo y. 
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Duas funções: uma com ponto de máximo e outra com ponto de mínimo 
Observe que a parábola azul possui ponto de mínimo e a parábola vermelha possui ponto de 
máximo. Suas leis de formação são, respectivamente: 
y = x2 + 1 
y = – x2 +1 
Seus respectivos valores de a são 1 e – 1. 
10. Sistema de equações: estudo algébrico e representação gráfica de duas funções no 
mesmo plano cartesiano. 
Os sistemas a seguir envolverão equações do 1º e do 2º grau, lembrando de que suas 
representações gráficas constituem uma reta e uma parábola, respectivamente. Resolver um 
sistema envolvendo equações desse modelo requer conhecimentos do método da substituição 
de termos. Observe as resoluções comentadas a seguir: 
Exemplo 1 
 
Isolando x ou y na 2ª equação do sistema: 
x + y = 6 
x = 6 – y 
 
Substituindo o valor de x na 1ª equação: 
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x² + y² = 20 
(6 – y)² + y² = 20 
(6)² – 2 * 6 * y + (y)² + y² = 20 
36 – 12y + y² + y² – 20 = 0 
16 – 12y + 2y² = 0 
 
2y² – 12y + 16 = 0 (dividir todos os membros da equação por 2) 
 
y² – 6y + 8 = 0 
 
∆ = b² – 4ac 
∆ = (–6)² – 4 * 1 * 8 
∆ = 36 – 32 
∆ = 4 
 
a = 1, b = –6 e c = 8 
 
Determinando os valores de x em relação aos valores de y obtidos: 
 
Para y = 4, temos: 
x = 6 – y 
x = 6 – 4 
x = 2 
Par ordenado (2; 4) 
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Para y = 2, temos: 
x = 6 – y 
x = 6 – 2 
x = 4 
 
Par ordenado (4; 2) 
 
S = {(2: 4) e (4; 2)} 
 
Exemplo 2 
 
Isolando x ou y na 2ª equação: 
x – y = –3 
x = y – 3 
 
Substituindo o valor de x na 1ª equação: 
 
x² + 2y² = 18 
(y – 3)² + 2y² = 18 
y² – 6y + 9 + 2y² – 18 = 0 
3y² – 6y – 9 = 0 (dividir todos os membros da equação por 3) 
 
y² – 2y – 3 = 0 
 
∆ = b² – 4ac 
∆ = (–2)² – 4 * 1 * (–3) 
∆ = 4 + 12 
∆ = 16 
a = 1, b = –2 e c = –3 
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Determinando os valores de x em relação aos valores de y obtidos: 
Para y = 3, temos: 
x = y – 3 
x = 3 – 3 
x = 0 
 
Par ordenado (0; 3) 
Para y = –1, temos: 
x = y – 3 
x = –1 –3 
x = –4 
Par ordenado (–4; –1) 
S = {(0; 3) e (–4; –1)}