Equação Diferencial Ordinária - EDO - apostila

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Ca´lculo Diferencial e Integral III:
Me´todos para Soluc¸a˜o de Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias
Jose´ Ricardo Ferreira de Almeida
7 de novembro de 2010
Suma´rio
1 Introduc¸a˜o 1
1.1 Desenhe gra´ficos com Winplot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Definic¸a˜o de ED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Classificac¸a˜o de ED’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3.1 Pelo tipo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3.2 Pela ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.3 Quanto a linearidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Me´todos para soluc¸a˜o de Equac¸o˜es Diferenciais de 1a ordem 5
2.1 Problema de Valor Inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Equac¸a˜o Separa´vel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2.1 Soluc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2.2 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Equac¸o˜es Exatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3.1 Soluc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3.2 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.4 Me´todos de substituic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.4.1 EDO na forma y
′
= f (ax+ by + c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.4.2 EDO na forma y
′
= f
(y
x
)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.4.3 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.4.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.5 Fator de Integrac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.5.1 EDO linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.5.2 EDO na˜o linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.6 Equac¸a˜o de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.7 Equac¸a˜o de Ricatti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.8 Exemplos de aplicac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.8.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3 Equac¸o˜es lineares de Segunda ordem 13
3.1 A Equac¸a˜o Homogeˆnea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2 Independeˆncia Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.4 Conjunto Fundamental de Soluc¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.5 Me´todo de Reduc¸a˜o de Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.5.1 Demonstrac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.5.2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.5.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.6 Equac¸a˜o com coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.6.1 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
i
SUMA´RIO ii
3.6.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.7 Coeficientes indeterminados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.7.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.7.2 Equac¸o˜es de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.7.3 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.7.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.8 Me´todo da variac¸a˜o dos paraˆmetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.8.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.8.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Cap´ıtulo 1
Introduc¸a˜o
Com y = f(x) uma func¸a˜o definida IR→ IR. Sabemos que a derivada f ′(x) = dy
dx
, que tambe´m e´ uma func¸a˜o
de x, ou seja,
dy
dx
: IR → IR, pode ser obtida a partir da definic¸a˜o f ′(x) = dy
dx
= lim
∆x→0
f (x+ ∆x)− f (x)
∆x
ou simplesmente utilizando as regras de derivac¸a˜o.
O estudo de equac¸o˜es diferenciais (ED) se dedicada a resolver problemas que envolve func¸o˜es e suas
derivadas de forma a obter uma expressa˜o para a func¸a˜o y = f(x), no caso de equac¸o˜es diferenciais ordina´rias
(EDO) y = f(x).
Por exemplo para a equac¸a˜o
dy
dx
= 6x2y (1.1)
e´ fa´cil verificar que func¸o˜es do tipo
y = ce2x
3
, (1.2)
onde c e´ uma constante de integrac¸a˜o sa˜o soluc¸o˜es da ED 1.1. Veremos que ao resolver uma ED obteremos
como resposta um conjunto de func¸o˜es, os gra´ficos, figura 1.1 e 1.2, ilustram o campo de direc¸o˜es 1 da ED
1.1 e sua soluc¸a˜o.
Figura 1.1: Campo de direc¸o˜es da equac¸a˜o
1.1
Figura 1.2: Gra´fico da soluc¸a˜o da ED 1.1
para diversos valores de c.
1 Campos de direc¸o˜es sa˜o ferramentas valiosas no estudo de soluc¸o˜es de ED da forma
dy
dx
= f(x, y). Um campo de direc¸o˜es
pode ser constru´ıdo calculando-se f em cada ponto de uma malha retangular consistindo em, pelo menos, algumas centenas
de pontos. Em cada ponto da malha desenha-se um pequeno segmento de reta cujo coeficiente angular e´ o valor da func¸a˜o f
no ponto. Cada segmento de reta e´ tangente ao gra´fico de uma soluc¸a˜o contendo o ponto.
1
CAPI´TULO 1. INTRODUC¸A˜O 2
1.1 Desenhe gra´ficos com Winplot
Para desenhar os graficos das figuras 1.1 e 1.2 podemos utilizar o software WINPLOT [4]. Veja os passos a
seguir:
1. Apo´s a abrir a janela principal do software clique na opc¸a˜o 2-dim do menu janela, veja figura 1.3;
Figura 1.3: Janela inicial do software Winplot
2. Para desenhar o campo de direc¸o˜es
(a) clique no menu equac¸a˜o, opc¸a˜o Diferencial, subopc¸a˜o dy/dx que surgira´ uma caixa de dia´logo,
figura 1.4, para que possa entrar com a ED.
Figura 1.4: Caixa de dia´logo para criac¸a˜o de campo de direc¸o˜es
3. Para desenhar o conjunto de func¸o˜es soluc¸o˜es da ED 1.1
(a) clique no menu equac¸a˜o, opc¸a˜o Expl´ıcita, informe a soluc¸a˜o da ED, figura 1.5, por exemplo
para ED 1.1 iserimos
ce^(2x^3)
(b) clique no menu equac¸a˜o, opc¸a˜o Inventa´rio, selecione a equac¸a˜o que conte´m a famı´lia de curvas
dependente de c, clique no bota˜o famı´lia e defina a variac¸a˜o da constante de c, figura 1.6.Figura 1.5: Janela de edic¸a˜o de equac¸o˜es
expl´ıcitas.
Figura 1.6: Caixa de dia´logo para edic¸a˜o de
famı´lia de curvas.
CAPI´TULO 1. INTRODUC¸A˜O 3
1.2 Definic¸a˜o de ED
Portanto podemos enta˜o definir equac¸a˜o diferencial da seguinte forma:
Definic¸a˜o 1.2.1 Equac¸a˜o Diferencial - e´ uma equac¸a˜o que conte´m as derivadas ou diferenciais de uma ou
mais varia´veis dependentes, em relac¸a˜o a uma ou mais varia´veis independentes.
1.3 Classificac¸a˜o de ED’s
1.3.1 Pelo tipo
As equac¸o˜es diferenciais, quanto ao tipo, se classificam em duas classes:
1. EDO - Equac¸a˜o Diferencial Ordina´ria: conte´m somente derivadas ordina´rias de uma ou mais varia´veis
dependentes com relac¸a˜o a uma u´nica varia´vel independente.
Definic¸a˜o 1.3.1 Seja x ∈ IR a varia´vel independente e y ∈ IR a varia´vel dependente, chamamos de
EDO - equac¸a˜o diferencial ordina´ria a equac¸a˜o que relaciona x com y e suas derivadas, ou seja,
F
(
x, y, y
′
, y
′
, . . . , yn
)
= 0. (1.3)
Exemplos de EDO’s:
• x2 dy
dx
+ 2 sinxy = lnx
• 2xdy − ydx = 0
• L d
2
dt2
Q(t) +R
d
dt
Q(t) +
1
C
Q(t) = E(t)
• d
3y
dt3
+ t
dy
dt
+
(
cos2 t
)
y = t3
• du
dt
+
dv
dt
= 1
2. EDP - Equac¸a˜o Diferencial Parcial: conte´m derivadas parciais de uma ou mais varia´veis dependentes
com relac¸a˜o a uma ou mais varia´veis independentes.
Definic¸a˜o 1.3.2 Seja x1, x2, . . . , xn ∈ IR varia´veis independentes e y ∈ IR a varia´vel dependente,
com y = (x1, x2, . . . , xn), chamamos de EDP - equac¸a˜o diferencial parcial a equac¸a˜o que relaciona
x1, x2, . . . , xn com y e suas derivadas parciais, ou seja,
F
(
x1, x2, . . . , xn, y,
∂y
∂x1
,
∂y
∂x2
, . . . ,
∂y
∂xn
, . . . ,
∂my
∂xmn
)
= 0. (1.4)
Exemplos de EDP’s:
• ∂P
∂t
= α
(
∂2P
∂x2
+
∂2P
∂y2
)
− v0
(
1− y
2
h2
)
∂P
∂x
− δP + f
• ∂u
∂x
=
∂u
y
• ∂
2u
∂x2
+
∂2u
∂y2
+
∂2u
∂z2
= 0
CAPI´TULO 1. INTRODUC¸A˜O 4
1.3.2 Pela ordem
A ordem da derivada de maior ordem em uma equac¸a˜o diferencial e´, por definic¸a˜o, a ordem da ED. Por
exemplo:
• d
3y
dt3
+ t
dy
dt
+
(
cos2 t
)
y = t3 e´ uma EDO de 3a ordem.
• ∂P
∂t
= α
(
∂2P
∂x2
+
∂2P
∂y2
)
− v0
(
1− y
2
h2
)
∂P
∂x
− δP + f e´ uma EDP de 2a ordem.
• x2
(
dy
dx
)3
+ 2 sinxy = lnx e´ uma EDO de 1a ordem.
1.3.3 Quanto a linearidade
Uma EDO e´ chamada de linear quando pode ser escrita na forma:
an (x)
dny
dxn
+ an−1 (x)
dn−1y
dxn−1
+ . . .+ a1 (x)
dy
dx
+ a0 (x) y = h (x) . (1.5)
Observe que a varia´vel dependente y e todas as suas derivadas sa˜o primeiro grau e cada coeficiente
depende apenas da varia´vel independente x.
Uma equac¸a˜o que na˜o e´ linear e´ chamada de na˜o-linear.
1.4 Exerc´ıcios
1. Livro, BOYCE [2], pa´ginas 5 e 6, nu´mero 1 ao 33.
2. Livro, BOYCE [2], pa´ginas 14, nu´mero 1 ao 18.
Cap´ıtulo 2
Me´todos para soluc¸a˜o de Equac¸o˜es
Diferenciais de 1a ordem
Dedicaremos este cap´ıtulo para descrever me´todos matema´ticos para solucionar equac¸o˜es diferenciais or-
dina´rias de 1a ordem e problemas de valor inicial (PVI).
2.1 Problema de Valor Inicial
Seja
F (x, y, y
′
) = 0 (2.1)
uma EDO de primeira ordem e uma condic¸a˜o inicial
y (x0) = y0. (2.2)
O problema de encontrar a soluc¸a˜o da equac¸a˜o 2.1 satisfazendo a condic¸a˜o 2.2 e´ chamado de PVI - Problema
de Valor Inicial 1.
Teorema 2.1.1 Se as func¸o˜es p e f sa˜o cont´ınuas em um intervalo aberto I = [a, b] ⊂ IR com a < x < b
contendo o ponto x = x0, enta˜o existe uma func¸a˜o y = φ (x) que satisfaz a equac¸a˜o diferencial
dy
dx
+ p (x) y = f (x) (2.3)
para cada x ∈ I e que tambe´m satisfaz a condic¸a˜o inicial
y (x0) = y0 (2.4)
onde y0 e´ um valor inicial arbita´rio.
Teorema 2.1.2 Suponha que as func¸o˜es g = g(x, y) e
∂g
∂y
sa˜o cont´ınuas em um retaˆngulo a < x < b,
c < y < d contendo o ponto (x0, y0)
2. Enta˜o em algum intervalo x0−h < x < x0 +h contido em a < x < b,
existe uma u´nica soluc¸a˜o y = φ (x) do problema de valor inicial:
dy
dx = g(x, y)
y (x0) = y0.
(2.5)
2.2 Equac¸a˜o Separa´vel
Definic¸a˜o 2.2.1 Uma equac¸a˜o diferencial da forma
dy
dx
=
g(x)
h(y)
e´ chamada separa´vel ou tem varia´veis
separa´veis.
1 PVI tambe´m conhecido pelo nome de problema de Cauchy
2 Nesse caso temos g(x, y) = −p (x) y + f (x) e ∂g
∂y
= −p (x), de modo que a continuidade de g = g(x, y) e ∂g
∂y
e´ equivalente a`
continuidade de p e f .
5
CAPI´TULO 2. ME´TODOS PARA SOLUC¸A˜O DE EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS DE 1A ORDEM 6
2.2.1 Soluc¸a˜o
Seja a EDO
dy
dx
=
g(x)
h(y)
separa´vel, podemos escreveˆ-la como h(y)dy = g(x)dx da´ı segue que: h(y)dy =
g(x)dx⇒
∫ y
h(η)dη =
∫ x
g(ξ)dξ ⇒ G(y) = F (x) + c, onde C e´ uma constante arbita´ria e G(y) e F (x) sa˜o
primitivas de g(y) e f(x) respectivamente.
2.2.2 Exemplo
Dada equac¸a˜o: ydy = 4x
√
y2 + 1dx obtenha a soluc¸a˜o da EDO sujeita a condic¸a˜o inicial y(0) = 1.
Soluc¸a˜o:
Separando as varia´veis obtemos:
y√
y2 + 1
dy = 4xdx, integrando,
∫ y η√
η2 + 1
dη =
∫ x
4ξdξ temos:√
y2 + 1 = 2x2 + C, onde C e´ uma constante de integrac¸a˜o.
Aplicando a condic¸a˜o inicial y(0) = 1 segue que c =
√
2, portanto a soluc¸a˜o do PVI (Problema do valor
inicial) e´ dada por:√
y2 + 1 = 2x2 +
√
2
2.2.3 Exerc´ıcios
1. Livro, BOYCE [2], pa´ginas 27 e 28.
2. Livro, ZILL [1], pa´ginas 50, 51 e 52.
2.3 Equac¸o˜es Exatas
Definic¸a˜o 2.3.1 Consideremos M(x, y) e N(x, y) func¸o˜es cont´ınuas e com derivadas parciais cont´ınuas
num retaˆngulo R = {(x, y) ∈ R|a < x < b, c < y < d}. A equac¸a˜o
M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0 (2.6)
e´ uma EDO exata em R quando vale a condic¸a˜o:
∂M(x, y)
∂y
=
∂N(x, y)
∂x
(2.7)
em cada ponto do domı´nio.
2.3.1 Soluc¸a˜o
Como
∂M(x, y)
∂y
=
∂N(x, y)
∂x
podemos dizer que existe uma func¸a˜o F (x, y) tal que
∂F
∂x
= M(x, y) e
∂F
∂y
=
N(x, y). Dessa forma, utilizando a regra da cadeia, segue, M(x, y) + N(x, y)
dy
dx
=
∂F
∂x
dx
dx
+
∂F
∂y
dy
dx
=
d
dx
F (x, y(x)) = 0, ou seja a EDO torna-se:
d
dx
F (x, y(x)) = 0, (2.8)
ou ainda,
F (x, y(x)) = c, (2.9)
CAPI´TULO 2. ME´TODOS PARA SOLUC¸A˜O DE EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS DE 1A ORDEM 7
2.3.2 Exemplo
Seja a equac¸a˜o:
(
6xy − y3) dx + (4y + 3x2 − 3xy2) dy = 0, verifique se a EDO e´ exata, se for encontre sua
soluc¸a˜o geral.
Calculando as derivadas de segunda ordem temos:
∂M
∂y
= 6x − 3y2 e ∂N
∂x
= 6x − 3y2, portanto segue
que
∂M
∂y
=
∂N
∂x
logo a EDO e´ exata e como
∂F
∂x
(x, y) = M , temos:
dF = Mdx⇒ dF = (6xy − y3) dx⇒ ∫ dF = ∫ (6xy − y3)dx (2.10)
⇒ F = 3x2y − xy3 + g(y)
Como
dF
dy
(x, y) = N segue que 3x2−3xy2 +g′(y) = 4y+3x2−3xy2 ⇒ g′(y) = 4y, logo g(y) =
∫
4ydy =
2y2.
Portanto a soluc¸a˜o geral dessa equac¸a˜o e´: 3x2y − xy3 + 2y2 = C
2.3.3 Exerc´ıcios
Exerc´ıcios pa´ginas 67, 68 da refereˆncia [1].
1. Livro, BOYCE [2], pa´ginas 54, nu´meros 1 ao 18.
2. Livro, ZILL [1], pa´ginas 67, 68.
2.4 Me´todos de substituic¸a˜o
Em muitos casos e´ conveniente introduzir uma mudanc¸a de varia´vel com a finalidade de reduzir a EDO a
uma outra EDO conhecida e mais fa´cil de ser solucionada. Esse recurso pode ser utilizado para converter
equac¸o˜es de Bernoulli, Ricatti e Clairaut.
2.4.1 EDO na forma y
′
= f (ax+ by + c)
Se a EDO estiver na forma
dy
dx
= f (ax+ by + c) com b 6= 0. Nesse caso, introduzindo a mudanc¸a de varia´vel
v = ax+ by + c temos dv = adx+ bdy ⇒ dy = dv − adx
b
substituindo na EDO
dy
dx
= f (ax+ by + c) segue
que
dv − adx
bdx
= f (v), que nos conduzira´ a` seguinte EDO:
dv
dx
= bf (v) + a (2.11)
que e´ uma EDO separa´vel.2.4.2 EDO na forma y
′
= f
(y
x
)
Se a EDO estiver na forma
dy
dx
= f
(y
x
)
, a` vezes chamada do tipo homogeˆneo. Introduzindo a substituic¸a˜o
v =
y
x
temos y = vx⇒ dy = vdx+ xdv que nos conduzira´ a` seguinte EDO:
x
dv
dx
= f (v)− v (2.12)
que e´ uma EDO separa´vel.
CAPI´TULO 2. ME´TODOS PARA SOLUC¸A˜O DE EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS DE 1A ORDEM 8
2.4.3 Exemplos
Resolva o problema de valor inicial
{
(2x− y + 4)dy + (x− 2y + 5)dx = 0
y(0) = 2
. Sugesta˜o fac´a, inicialmente,
x = z + a e y = t + b, determine o valores de a e b de forma a eleminar o termo independente e fac¸a a
substituic¸a˜o u =
t
z
2.4.4 Exerc´ıcios
Exerc´ıcios pa´ginas 58, 59 e 60 da refereˆncia [1].
2.5 Fator de Integrac¸a˜o
2.5.1 EDO linear
Definic¸a˜o 2.5.1 Uma equac¸a˜o diferencial da forma
a1(x)
dy
dx
+ a0(x)y = g(x) (2.13)
e´ chamada de equac¸a˜o linear.
Dividindo a EDO (2.13) por a1(x), obtemos uma forma mais u´til de uma equac¸a˜o linear:
dy
dx
+ P (x)y = f(x) (2.14)
Temos como objetivo encontrar para (2.14) num intervalo I no qual as func¸o˜es P (x) e f(x) sa˜o cont´ınuas.
Usando diferenciais, podemos escrever a equac¸a˜o (2.14) como:
dy + [P (x)y − f(x)] dx = 0 (2.15)
Equac¸o˜es lineares possuem a agrada´vel propriedade atrave´s da qual podemos sempre encontrar uma
func¸a˜o µ(x) em que:
µ(x)dy + µ(x) [P (x)y − f(x)] dx = 0 (2.16)
e´ uma equac¸a˜o diferencial exata e pela definic¸a˜o (2.3.1) temos:
∂N
∂x
=
∂M
∂y
⇒ ∂
∂x
µ(x) =
∂
∂y
(µ(x) [P (x)y − f(x)]) ou ainda, ⇒ ∂
∂x
µ(x) = µ(x)P (x) que e´ uma EDO
separa´vel e que podemos determinar µ(x).
Determinando µ(x):
dµ
µ
= P (x)dx⇒ ln (µ) =
∫
P (x)dx
Logo µ(x) = e
∫
P (x)dx
Resumo do Me´todo
1. Para resolver uma equac¸a˜o linear de primeira ordem, primeiro coloque-a na forma 2.14; isto e´, fac¸a o
coeficiente de
dy
dx
2. Identifique P (x) e encontre o fator de integrac¸a˜o e
∫
P (x)dx
3. Multiplique a equac¸a˜o obtida pelo fator de integrac¸a˜o:
e
∫
P (x)dx dy
dx
+ P (x)e
∫
P (x)dxy = e
∫
P (x)dxf(x) (2.17)
4. O lado esquerdo da equac¸a˜o (2.17) e´ a derivada do produto do fator de integrac¸a˜o e a varia´vel depen-
dente y, isto e´,
d
dx
[
e
∫
P (x)dxy
]
= e
∫
P (x)dxf(x)
5. Integre ambos os lados da equac¸a˜o.
CAPI´TULO 2. ME´TODOS PARA SOLUC¸A˜O DE EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS DE 1A ORDEM 9
Exemplos
Resolva a equac¸a˜o x
dy
dx
− 4y = x6ex.
Soluc¸a˜o:
Escrevendo a equac¸a˜o como
dy
dx
− 4
x
y = x5ex, como P (x) = −4
x
, o fator integrante e´ µ(x) = e−4
∫
dx
x =
e−4 ln|x| = x−4. Multiplicando a equac¸a˜o pelo fator integrante temos:
x−4
dy
dx
− 4x−5y = xex
e obtemos
d
dx
[
x−4y
]
= xex
integrando ambos os lados obtemos:
x−4y = xex − ex + c
y = x5ex − x4ex + cx4
Exerc´ıcios
1. Exerc´ıcios pa´ginas 77 da refereˆncia [1].
2. Exerc´ıcios 24 ao 37, pa´gina 23 da refereˆncia [2].
2.5.2 EDO na˜o linear
Definic¸a˜o 2.5.2 Uma equac¸a˜o diferencial da forma
M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0 (2.18)
e´ chamada de equac¸a˜o linear.
Vimos anteriormente o me´todo para resolver a EDO 2.18 se ela for exata. Pore´m se ela na˜o for exata
podemos propor a multiplicac¸a˜o dessa EDO por uma func¸a˜o µ(x, y) a fim de transforma´-la numa EDO
exata, mas a dificuldade de encontrar a func¸a˜o µ(x, y) pode ser ta˜o grande quanto a de resolver a EDO 2.18.
Para minimizar as dificuldades proporemos a func¸a˜o µ = µ(x) ou µ = µ(y). Portanto a EDO 2.18 passa
a ser:
µ(x)M(x, y)dx+ µ(x)N(x, y)dy = 0, (2.19)
uma EDO, na˜o linear, homogeˆnea, exata. Portanto segue que:
∂
∂y
(µ(x)M (x, y)) =
∂
∂x
(µ(x)N (x, y)) . (2.20)
Derivando ambos os lados obteremos:
µ(x)My (x, y) = µ
′
(x)N (x, y) + µ(x)Nx(x, y), (2.21)
resolvendo a EDO 2.21, separa´vel, obteremos:
µ(x) = e
∫ x My(η,y)−Nη(η,y)
N(η,y) dη (2.22)
CAPI´TULO 2. ME´TODOS PARA SOLUC¸A˜O DE EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS DE 1A ORDEM 10
Exemplo
Para a EDO (
3x2y + 2xy + y3
)
dx+
(
x2 + y2
)
dy = 0 (2.23)
obtemos o campo de direc¸o˜es com o software WinPlot (menu Janela, opc¸a˜o 2 dim, menu equac¸a˜o, opc¸a˜o
diferencial, dy/dx), veja figura 2.1.
Figura 2.1: Janela para edic¸a˜o do campo de direc¸o˜es
Multiplicando a equac¸a˜o 2.23 por µ = µ(x) obtemos
µ(x)
(
3x2y + 2xy + y3
)
dx+ µ(x)
(
x2 + y2
)
dy = 0 (2.24)
como a EDO e´ exata temos que
∂
∂y
(
µ(x)
(
3x2y + 2xy + y3
))
=
∂
∂x
(
µ(x)
(
x2 + y2
))
, (2.25)
derivando ambos os lados, resolvendo a EDO separa´vel, obtemos o fator integrante
µ(x)
(
3x2 + 2x+ 3y2
)
= µ
′
(x)
(
x2 + y2
)
+ µ(x) (2x) (2.26)
⇒ µ′(x) = 3µ(x) (2.27)
⇒ µ(x) = e3x. (2.28)
Pelo me´todo das equac¸o˜es exatas segue que:
F (x, y(x)) =
∫ y
e3x
(
x2 + η2
)
dη (2.29)
⇒ F (x, y(x)) = e
3x
(
3x2y + y3
)
3
+ g(x). (2.30)
Sabemos ainda que
∂F
∂x
=
3e3x
(
3x2y + y3
)
+ e3x (6xy)
3
+ g′(x) (2.31)
⇒ ∂F
∂x
= e3x
(
3x2y + 2xy + y3
)
+ g′(x) (2.32)
Comparando a derivada 2.32 com a EDO 2.24 determinamos
g′(x) = 0⇒ g(x) = C1, (2.33)
onde C1 e´ uma constante de integrac¸a˜o, portanto, de acordo com o me´todo das equac¸o˜es exatas, segue
que as soluc¸o˜es da EDO 2.23 sa˜o do tipo
CAPI´TULO 2. ME´TODOS PARA SOLUC¸A˜O DE EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS DE 1A ORDEM 11
e3x
(
3x2y + y3
)
3
+ C1 = C (2.34)
e3x
(
3x2y + y3
)
= C (2.35)
Com o software WinPlot podemos obter o gra´ficos das func¸o˜es soluc¸o˜es da EDO 2.23, figura 2.5.2.
Figura 2.2: Conjunto de soluc¸o˜es da EDO 2.23 com −0.5 ≤ c ≤ 1.
Exerc´ıcios
1. Exerc´ıcios 19 ao 32, pa´gina 54 e 55 da refereˆncia [2].
2.6 Equac¸a˜o de Bernoulli
Definic¸a˜o 2.6.1 Equac¸o˜es diferenciais ordina´rias que podem ser escrita na forma
dy
dx
+ P (x)y = f(x)yn (2.36)
sa˜o conhecidas por EDO de Bernoulli, ou simplesmente, equac¸a˜o de Bernoulli.
Resolvendo uma Equac¸a˜o de Bernoulli
Observe que se n = 0 ou n = 1 temos uma EDO, linear, homogeˆnea. Pore´m para n 6= 0 e n 6= 1, podemos
utilizar o me´todo de soluc¸a˜o proposto por Leibniz em 1696.
Inicialmente divideremos a equac¸a˜o 2.36 por yn dessa forma obtemos
y−n
dy
dx
+ y−n+1P (x) = f(x) (2.37)
fazendo v = y−n+1 temos que
dv
dx
= (−n+ 1) y−n dy
dx
(2.38)
⇒ dy
dx
=
1
(1− n) y−n
dv
dx
(2.39)
substituindo na EDO 2.37 teremos
dv
dx
+ (1− n)P (x)v = (1− n)f(x), (2.40)
que uma EDO de 1a ordem, linear.
CAPI´TULO 2. ME´TODOS PARA SOLUC¸A˜O DE EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS DE 1A ORDEM 12
2.7 Equac¸a˜o de Ricatti
Definic¸a˜o 2.7.1 Equac¸o˜es diferenciais ordina´rias que podem ser escrita na forma
dy
dx
= P (x) +Q(x)y +R(x)y2 (2.41)
sa˜o conhecidas por EDO de Ricatti, ou simplesmente, equac¸a˜o de Ricatti.
Resolvendo uma Equac¸a˜o de Ricatti
Conhencendo y1 = y1(x) uma soluc¸a˜o particular da EDO 2.41 podemos dizer que a soluc¸a˜o geral da EDO e´
y(x) = y1(x) + µ(x) onde µ = µ(x) e´ uma func¸a˜o qualquer de classe C
1. Segue enta˜o que:
dy
dx
=
dy1
dx
+
dµ
dx
, (2.42)
substituindo na equac¸a˜o 2.41 obteremos
dy1
dx
+
dµ
dx
= P (x) +Q(x) (y1 + µ) +R(x) (y1 + µ)
2 , (2.43)
expandindo
dy1
dx
+
dµ
dx
= P (x) + y1Q(x) + y
2
1R(x)︸ ︷︷ ︸
observe edo 2.41
+µQ(X) + 2y1µR(x) + µ
2R(x), (2.44)
substituindo P (x) + y1Q(x) + y
2
1R(x) por
dy1
dx
dy1
dx
+
dµ
dx
=
dy1
dx
+ µQ(X) + 2y1µR(x) + µ
2R(x), (2.45)
simplificando obteremos a equac¸a˜o 2.46 que uma equac¸a˜o de Bernoulli.
dµ
dx
− (Q(X) + 2y1R(x))µ = µ2R(x) (2.46)
2.8 Exemplos de aplicac¸a˜o
1. O n´ıvel y(t) de um reservato´rio de a´gua em escoamento vertical sob a ac¸a˜o da gravidade em func¸a˜o
do tempo, pode muitas vezes ser modelado pela chamada lei de Torricelli
dydt
= −h√y, (2.47)
onde h e´ uma constante. Resolva a EDO de Torricelli, sujeita a` condic¸a˜o inicial y(0) = 1
2. A chamada lei do resfriamento de Newton e´ expressa pela EDO
dT
dt
= −k (T − Ta) , (2.48)
onde T (t) representa a temperatura de um corpo no tempo t, Ta a temperatura do meio ambiente (su-
postamente constante) e k > 0 a condutividade te´rmica do material que constitui o corpo. Determine
a evoluc¸a˜o da temperatura no tempo, supondo que a temperatura inicial do corpo e´ T (0) = T0.
2.8.1 Exerc´ıcios
Exerc´ıcios pa´ginas 113 a 118 da refereˆncia [1].
Cap´ıtulo 3
Equac¸o˜es lineares de Segunda ordem
Nesse cap´ıtulo iremos considerar equac¸o˜es diferencias ordina´rias lineares de segunda ordem da forma
d2y
dx2
+ p(x)
dy
dx
+ q(x)y = f(x) para x ∈ I (3.1)
onde as func¸o˜es p(x), q(x) e f(x), consideradas de valores reais, sa˜o cont´ınuas no intervalo I = (a, b). O
respectivo problema de valor inicial, isto e´, a EDO de 2a ordem com, agora, duas condic¸o˜es de iniciais, uma
na func¸a˜o e outra na derivada primeira.
3.1 A Equac¸a˜o Homogeˆnea
A EDO linear de 2a ordem e´ dita homogeˆnea quando o segundo membro e´ zero, isto e´, em relac¸a˜o a nossa
EDO deveremos ter f(x) = 0, ou seja, a seguinte EDO:
d2y
dx2
+ p(x)
dy
dx
+ q(x)y = 0 (3.2)
A propriedade principal dessa equac¸a˜o e´ que o conjunto de suas soluc¸o˜es constitui um espac¸o vetorial
real. Isto e´, se y1 = y1(x) e y2 = y2(x) sa˜o soluc¸o˜es da EDO homogeˆnea enta˜o a combinac¸a˜o linear
y(x) = C1y1(x) + C2y2 (3.3)
e´ tambe´m soluc¸a˜o da equac¸a˜o homogeˆnea, para quaisquer nu´meros reais, C1 e C2. Essa propriedade e´
conhecida como princ´ıpio da superposic¸a˜o.
Teorema 3.1.1 Princ´ıpio da Superposic¸a˜o: Se y1 e y2 sa˜o soluc¸o˜es da equac¸a˜o diferencial
d2y
dx2
+ p(x)
dy
dx
+ q(x)y = 0 (3.4)
enta˜o a combinac¸a˜o linear c1y1(x) + c2y2 tambe´m e´ soluc¸a˜o, quaisquer que sejam os valores das constantes
c1 e c2.
3.2 Independeˆncia Linear
Dizemos que duas soluc¸o˜es y1 = y1(x) e y2 = y2(x) da equac¸a˜o (3.2) no intervalo I sa˜o linearmente depen-
dentes (LD) se existirem constantes C1 e C2, na˜o simultaneamente nulas, tais que:
y(x) = C1y1(x) + C2y2 = 0, para x ∈ I
Caso contra´rio dizemos que y1 = y1(x) e y2 = y2(x) sa˜o linearmente independentes (LI).
13
CAPI´TULO 3. EQUAC¸O˜ES LINEARES DE SEGUNDA ORDEM 14
Definic¸a˜o 3.2.1 Wronskiano Uma condic¸a˜o necessa´ria e suficiente para que duas soluc¸o˜es y1 = y1(x) e
y2 = y2(x) da equac¸a˜o (3.2) sejam linearmente dependentes e´ que o Wronskiano ou determinante de Wronski
destas soluc¸o˜es, definido por
W [y1(x), y2(x)] =
∣∣∣∣ y1(x) y2(x)y′1(x) y′2(x)
∣∣∣∣ (3.5)
se anula em algum x0 ∈ I.
Observac¸o˜es:
{
W = 0⇔ LD
W 6= 0⇔ LI
3.3 Exerc´ıcios
1. Livro texto [1], pa´gina 163, 164 e 165, exer´ıcios de 1 a 45.
3.4 Conjunto Fundamental de Soluc¸o˜es
Se y1 = y1(x) e y2 = y2(x) formam um conjunto fundamental de soluc¸o˜es da equac¸a˜o (3.2), e´ natural
denominar a expressa˜o y(x) = C1y1(x) + C2y2 com C1 e C2 constantes arbirtra´rias, de soluc´a˜o geral da
equac¸a˜o homogeˆnea.
3.5 Me´todo de Reduc¸a˜o de Ordem
Um procedimenton geral para a obtenc¸a˜o de uma segunda soluc¸a˜o para equac¸a˜o homogeˆnea a partir de uma
soluc¸a˜o conhecida y1 = y1(x), e´ conhecido pelo nome de reduc´a˜o de ordem. Esse me´todo parte do princ´ıpio
que uma segunda soluc¸a˜o linearmente independente pode ser procurada na forma y2(x) = u(x)y1(x) onde
u(x) deve ser determinada. Seja y1(x) 6= 0. Substituindo y2(x), como acima, na equac¸a˜o (3.2) e usando o
fato que y1(x) e´ soluc¸a˜o obtemos:
u(x) =
∫ x
e
− ∫ ξ
(
2y
′
1(η)+y1(η)p(η)
)
y1(η)
dη
dξ (3.6)
3.5.1 Demonstrac¸a˜o
Seja a EDO, homogeˆnea, de segunda ordem
d2y
dx2
+ P (x)
dy
dx
+Q(x)y = 0 (3.7)
e
y1 = y1 (x) (3.8)
uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o 3.7. Procuraremos y2 = y2 (x) de tal forma que y2 seja soluc¸a˜o da EDO 3.7, lin-
earmente dependente de 3.8.
Portanto segue que:
y2 (x) = µ (x) y1 (x)
⇒ dy2 (x)
dx
=
dµ (x)
dx
y1 (x) + µ (x)
dy1 (x)
dx
⇒ d
2y2 (x)
dx2
=
d2µ (x)
dx2
y1 (x) + 2
dµ (x)
dx
dy1 (x)
dx
+ µ (x)
d2y1 (x)
dx2
(3.9)
Utilizando as notac¸o˜es reduzidas de derivadas,
dµ(x)
dx
= µ
′
, substituindo na EDO 3.7 obtemos:
CAPI´TULO 3. EQUAC¸O˜ES LINEARES DE SEGUNDA ORDEM 15
µ
′′
y1 + 2µ
′
y
′
1 + µy
′′
1 + µ
′
y1P (x) + µy
′
1P (x) + µy1Q(x) = 0 (3.10)
Rearrajando os termos:
µ
′′
y1 +
(
2y
′
1 + y1P (x)
)
µ
′
+
(
y
′′
1 + y
′
1P (x) + y1Q(x)
)
µ︸ ︷︷ ︸
observe que y1 e´ soluc¸a˜o da EDO
= 0 (3.11)
Portanto a equac¸a˜o se reduz a:
µ
′′
y1 +
(
2y
′
1 + y1P (x)
)
µ
′
= 0, (3.12)
fazendo µ
′
= v ⇒ µ′′ = v′ temos uma EDO, homgeˆnea, de 1o ordem, separa´vel:
v
′
y1 +
(
2y
′
1 + y1P (x)
)
v = 0, (3.13)
que pode ser reescrita na forma:
v = e−
∫ x 2y′1+y1P (η)
y1
dη, (3.14)
como µ
′
= v obtemos:
u(x) =
∫ x
e
− ∫ ξ
(
2y
′
1(η)+y1(η)p(η)
)
y1(η)
dη
dξ (3.15)
3.5.2 Exemplos
1. Sabendo que y1(x) = e
−x e´ soluc¸a˜o da EDO:
d2y
dx2
+ 2
dy
dx
+ y = 0 determine y2(x). Verifique que y1(x)
e y2(x) sa˜o linearmente independentes.
2. Sabendo que y1(x) = x
3 e´ uma soluc¸a˜o para x2y
′′ − 6y = 0, use reduc¸a˜o de ordem para encontrar uma
segunda soluc¸a˜o.
3. A func¸a˜o y1(x) = x
2 e´ uma soluc¸a˜o para x2y
′′ − 3xy′ + 4y = 0, encontre a soluc¸a˜o geral.
3.5.3 Exerc´ıcios
1. Livro texto [1], pa´gina 172, exer´ıcios de 1 a 30.
3.6 Equac¸a˜o com coeficientes constantes
Uma EDO linear de segunda ordem, homogeˆnea, com coeficientes constantes, e´ da forma
d2y
dx2
+ a
dy
dx
+ by = 0 (3.16)
com a e b constantes e y = y(x).
Visto que a derivada da func¸a˜o exponencial y(x) = eλx e´, quando muito, um mu´ltiplo dela mesma,
podemos conduzir a equac¸a˜o diferencial ordina´ria a uma equac¸a˜o alge´brica, isto e´, λ2 +aλ+ b = 0, chamada
equac¸a˜o caracter´ıstica.
1. Ra´ızes reais e distintas
Nesse caso a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o diferencial e´
y(x) = C1e
λ1x + C2e
λ2x (3.17)
com λ1 e λ2 as ra´ızes da equac¸a˜o caracter´ıstica e C1 e C2 constantes arbitra´rias.
CAPI´TULO 3. EQUAC¸O˜ES LINEARES DE SEGUNDA ORDEM 16
2. Ra´ızes reais e iguais
Aqui as ra´ızes sa˜o tais que λ1 = λ2 = λ. Utilizando o me´todo de reduc¸a˜o de ordem temos
y(x) = (C1 + C2x) e
λx (3.18)
com C1 e C2 constantes arbitra´rias.
3. Ra´ızes complexas conjugadas
Neste caso as ra´ızes sa˜o complexas conjugadas, isto e´, λ1 = α+ iβ e λ2 = α− iβ com α e β reais, de
onde segue-se a soluc¸a˜o geral da EDO:
y(x) = C1e
(α+iβ)x + C2e
(α−iβ)x (3.19)
com C1 e C2 constantes arbitra´rias.
Tomando a relac¸a˜o de Euler:
eiθ = cos θ + i sin θ (3.20)
podemos escrever
y1(x) = e
(α+iβ)x = eαeβxi = eα [cosβx+ i sinβx] (3.21)
e
y2(x) = e
(α−iβ)x = eαe−βxi = eα [cosβx− i sinβx] (3.22)
.
Efetuando as combinac¸o˜es
y1(x) + y2(x) = 2e
α cosβx (3.23)
e
y1(x)− y2(x) = 2ieα sinβx (3.24)
deprezando os valores constantes 2 e 2i, podemos obter duas soluc¸o˜es reais lienarmente independentes
1:
u(x) = eα cosβx (3.25)
v(x) = eα sinβx (3.26)
Enta˜o com base no teorema 3.1.1 temos que a soluc¸a˜o geral pode ser a expressa˜o (3.19) pode ser
colocado na forma
y(x) = [A sin(βx) +B cos(βx)] eαx (3.27)
onde A e B sa˜o constantes.
3.6.1 Exemplo
1. Resolva o PVI:
{
y
′′ − 6y′ + 13 = 0,
y(0) = 2 e y
′
(0) = 4
3.6.2 Exerc´ıcios
1. Livro texto [1], pa´gina 180, exer´ıcios de 1 a 52.
1 Observe que voceˆ pode mostrar que Wronskiano de u(x) e v(x)
CAPI´TULO 3. EQUAC¸O˜ES LINEARES DE SEGUNDA ORDEM 17
3.7 Coeficientes indeterminados
Considere a equac¸a˜o diferencial ordina´ria, linear e na˜o homogeˆnead2y
dx2
+ p(x)
dy
dx
+ q(x)y = f(x), para x ∈ I ⊂ IR (3.28)
onde as func¸o˜es p(x), q(x) e f(x) sa˜o cont´ınuas em I.
Para obter soluc¸a˜o geral para da equac¸a˜o (3.28) temos que fazer duas tarefas:
1. Encontrar a func¸a˜o complementar yc (soluc¸a˜o da EDO homogeˆnea).
2. Encontrar qualquer soluc¸a˜o particular yp da equac¸a˜o na˜o-homogeˆnea.
A soluc´a˜o geral para uma equac¸a˜o na˜o-homogeˆnea em I e´ enta˜o y = yc + yp
Tomando a equac¸a˜o na˜o homogeˆnea da forma ay
′′
+ by
′
+ cy = g(x), em que a, b e c sa˜o constantes.
Embora o me´todo dos coeficientes indeterminados na˜o se limitar a equac¸o˜es de segunda ordem, ele se
limita a equac¸o˜es lineares na˜o-homogeˆneas que teˆm coeficientes constantes e em que g(x) e´ uma constante
k, uma func¸a˜o polinomial, func¸a˜o exponencial eαx, sinβx, cosβx, ou somas e produtos dessas func¸o˜es.
Ou seja, g(x) e´ uma combinac¸a˜o linear de func¸o˜es do tipo:
k (constante), xn, xneαx, xneαx cosβx e xneαx sinβx (3.29)
em que n e´ um inteiro na˜o negativo e α e β sa˜o nu´meros reais.
3.7.1 Exemplos
1. Resolva
d2y
dx2
+ 4
dy
dx
− 2y = 2x2 − 3x+ 6. (Obs.: fac¸a: yp = Ax2 +Bx+ C)
2. Encontre uma soluc¸a˜o particular para y
′′ − y′ + y = 2 sin 3x.(Obs.: fac¸a: yp = A cos 3x+B sin 3x)
3. Resolva y
′′ − 2y′ − 3y = 4x− 5 + 6xe2x.(Obs.: fac¸a: yp = Ax+B + Cxe2x +De2x)
4. Encontre uma soluc¸a˜o particular para y
′′ − y′ + 4y = 8ex. (Obs.: fac¸a, primeiramente, yp = Aex e
depois yp = Axe
x)
5. Determine a forma de uma soluc¸a˜o particular para:
(a) y
′′ − 8y′ + 25y = 5x3e−x − 7e−x (Obs.: yp = (Ax3 +Bx2 + Cx+D)e−x)
(b) y
′′
+ 4y = x cos(x) (Obs.: (Ax+B) cosx+ (Cx+D) sinx)
(c) y
′′ − 9y′ + 14y = 3x2 − 5 sin 2x+ 7xe6x
6. Resolva o problema de valor inicial

y
′′
+ y = 4x+ 10 sinx
y(pi) = 0
y
′
(pi) = 2
.
3.7.2 Equac¸o˜es de ordem superior
O Me´todo dos coeficientes indeterminados dado aqui na˜o e´ restrito a equac¸o˜es de segunda ordem, pode
tambe´m ser usado com equac¸o˜es de ordem superior:
any
(n) + an−1y(n−1) + . . .+ a1y
′
+ a0y = g(x) (3.30)
com coeficientes constantes. So´ e´ necessa´rio que g(x) consista nos tipos pro´prios de func¸o˜es discutidas
anteriormente.
CAPI´TULO 3. EQUAC¸O˜ES LINEARES DE SEGUNDA ORDEM 18
3.7.3 Exemplos
1. Resolva y
′′′
+ y
′′
= ex cosx.(Obs.: Ache a soluc¸a˜o da homogeˆnea e depois busque a soluc¸a˜o particular
na forma yp = Ae
x cosx+Bex sinx)
3.7.4 Exerc´ıcios
1. Livro texto [1], pa´gina 193 e 194, exer´ıcios de 1 a 40.
3.8 Me´todo da variac¸a˜o dos paraˆmetros
A grande vantagem do me´todo da variac¸a˜o dos paraˆmetros e´ a sua aplicabilidade. Em princ´ıpio, ele pode ser
utilizado em qualquer equac¸a˜o, e na˜o exige nenhum conhecimento pre´vio sobre a forma da soluc¸a˜o. A ide´ia
ba´sica deste me´todo consiste em substituir as constantes (ou paraˆmetros) C1 e C2 que aparecem na soluc¸a˜o
geral da equac¸a˜o diferencial ordina´ria homogeˆnea associada, por func¸o˜es u(x) e v(x), respectivamente, e
determinar estas func¸o˜es de modo a garantir que a expressa˜o
yp(x) = u(x)y1(x) + vxy2(x) (3.31)
seja soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial na˜o-homogeˆnea, sendo y1(x) e y2(x) as duas soluc¸o˜es linearmente inde-
pendentes da respectiva equac¸a˜o homogeˆnea.
Introduzindo yp, como acima, na equac¸a˜o
d2y
dx2
+ p(x)
dy
dx
+ q(x)y = f(x), para x ∈ I ⊂ IR (3.32)
Como yp(x) = uy1 + vy2 temos que y
′
p(x) = u
′
y1 + uy
′
1 + v
′
y2 + vy
′
2 impondo a condic¸a˜o
u
′
y1 + v
′
y2 = 0 (3.33)
obtemos:
y
′
p = uy
′
1 + vy
′
2 (3.34)
da´ı segue que:
y
′′
p = u
′
y
′
1 + uy
′′
1 + v
′
y
′
2 + vy
′′
2 (3.35)
Substituindo na equac¸a˜o (3.32) obtemos:
u
′
y
′
1 + uy
′′
1 + v
′
y
′
2 + vy
′′
2 + p
(
uy
′
1 + vy
′
2
)
+ q (uy1 + vy2) = f(x) (3.36)
Rearrajando:
uy
′′
1 + puy
′
1 + quy1︸ ︷︷ ︸
=0,y1 e´ soluc¸a˜o da EDO homogeˆna
+ vy
′′
2 + pvy
′
2 + qvy2︸ ︷︷ ︸
=0,y2 e´ soluc¸a˜o da EDO homogeˆna
+u
′
y
′
1 + +v
′
y
′
2 = f(x) (3.37)
Logo:
u
′
y
′
1 + +v
′
y
′
2 = f(x) (3.38)
Portanto se observarmos, com a condic¸a˜o (3.33) e a equac¸a˜o (3.38) temos um sistema linear nas varia´veis u
′
e v
′
: {
u
′
y1 + v
′
y2 = 0
u
′
y
′
1 + +v
′
y
′
2 = f(x)
(3.39)
Resolvendo esse sistema pela Regra de Crammer obtemos:
u
′
=
∣∣∣∣ 0 y2f(x) y′2
∣∣∣∣∣∣∣∣ y1 y2y′1 y′2
∣∣∣∣ (3.40)
CAPI´TULO 3. EQUAC¸O˜ES LINEARES DE SEGUNDA ORDEM 19
e
v
′
=
∣∣∣∣ y1 0y′1 f(x)
∣∣∣∣∣∣∣∣ y1 y2y′1 y′2
∣∣∣∣ (3.41)
Observe que
∣∣∣∣ y1 y2y′1 y′2
∣∣∣∣ e´ o Wronskiano portanto poderemos escrever
u
′
=
−y2f(x)
W
(3.42)
e
v
′
=
y1f(x)
W
(3.43)
Integrando:
u = −
∫
y2f(x)
W
dx (3.44)
e
v =
∫
y1f(x)
W
dx (3.45)
Portanto segue que a soluc¸a˜o particular e´ dada por:
yp = −y1(x)
∫
y2(x)f(x)
W
dx+ y2(x)
∫
y1(x)f(x)
W
dx (3.46)
3.8.1 Exemplos
1. Resolva a EDO y
′′ − 4y′ + 4y = (x+ 1)e2x.
3.8.2 Exerc´ıcios
1. Livro texto [1], pa´gina 217, exer´ıcios de 1 a 20 e 25 a 34.
Refereˆncias Bibliogra´ficas
[1] ZILL, Dennis G., CULLEN, Michael R. Equac¸o˜es Diferenciais, Volume 1; 3a edic¸a˜o (2001) ed.
Pearson Makron Books. (Sa˜o Paulo)
[2] BOYCE, William E., DIPRIMA, Richard C. Equac¸o˜es Diferenciais Elementares e Problemas
de Valores de Contorno; 8a edic¸a˜o (2006) ed. Livros Te´cnicos e Cient´ıficos Editora S.A. (Rio de
Janeiro)
[3] OLIVEIRA, Edmundo Capelas, TYGEL, Martin. Me´todos Matema´ticos para Engenharia; 1a
edic¸a˜o (2005) ed. Sociedade Brasileira de Matema´tica. (Rio de Janeiro).
[4] WINPLOT. versa˜o 27 de maio de 2009: Richard Parris, Phillips Exeter Academy, 2009. 1.
http://math.exeter.edu/rparris/
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