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Prof. Duarte - Aula 3 página 1 - Probabilidade e Estatística – Aula 3 Prof.: Duarte IV. Arranjos simples O número de arranjos simples de n elementos tomados p a p, com n e p naturais e n p, é um número natural indicado por An,p, que corresponde ao número total de sequências de p elementos distintos, que podem ser construídas com n elementos dados. Observamos que como se trata de sequências, a ordem dos elementos diferencia duas sequências entre si, ou seja, a sequência 12 é diferente da sequência 21. (n-p)! n! A p,n Exemplos: 1) Num baralho de 52 cartas, 4 cartas são tiradas sucessivamente e sem reposição. Quantas sequências de cartas são possíveis? Neste caso temos: n = 52 e p = 4. 49505152A !48 !4849505152 A !452 !52 A !pn !n A 4,524,524,52p,n sequências 6497400A 4,52 2) Seis times sub-20 de futebol A, B, C, D, E e F disputam um torneio hexagonal, sendo que os dois primeiros se classificavam para as Olimpíadas. Quantas são as possibilidades para os dois primeiros lugares na classificação final? São 6 times (n = 6) para duas posições (p = 2). Importa a ordem, o primeiro lugar é o campeão. É arranjo! 56A !4 !456 A !26 !6 A 2,62,62,6 adespossibilid 30A 2,6 3) Quantos são os números compreendidos entre 5000 e 6000 por algarismos distintos escolhidos entre {1,2,3,4,5,6,7}? O primeiro algarismo certamente é 5. Sobram 6 (n = 6) para 3 posições (p = 3). 456A !3 !3456 A !36 !6 A 3,63,63,6 números 120A 3,6 4) Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar com os algarismos do conjunto {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} sem os repetir, de modo que: a) Os números comecem por 6. b) Os números comecem por 1 e terminem por 7. c) Os números comecem por 6 e sejam impares. a) Tem de começar por 6, logo sobram somente 9 algarismos (n = 9) para duas posições (p = 2). A ordem importa, então é Arranjo. 89A !7 !789 A !29 !9 A !pn !n A 2,92,92,9p,n algarismos 72A 2,9 b) Tem de começar por 1 e terminar por 7, logo sobram somente 8 algarismos (n = 8) para uma posição (p = 1). !7 !78 A !18 !8 A !pn !n A 1,81,8p,n algarismos 8A 1,8 Prof. Duarte - Aula 3 página 2 c) Tem de começar por 6 e ser impar, sobram 8 algarismos (n = 8) para uma posição (p = 1). Teremos 1,8A para cada um dos cinco números ímpares (1,3,5,7,9), portanto o resultado será: 1,8 A5R 85R !7 !78 5R !18 !8 5RA5R 1,8 algarismos 40R Pense ...... como ficaria este item se os números tivessem de começar por 5? 5) “Seo” “Arnesto”, que mora no Brás, é um brilhante pintor de paredes. Ele foi convidado por “dona” Clementina para pintar uma sala, que tem 6 paredes. Para tal tarefa “dona” Clementina forneceu 8 latas de tintas de cores diferentes e queria que cada parede fosse pintada de uma cor, não podendo repetir a mesma cor em paredes diferentes. De quantas maneiras diferentes “seu” “Arnesto” pode cumprir a tarefa? Tintas de 8 cores diferentes, n = 8; 6 paredes diferentes, p = 6. 345678A !2 !2345678 A !68 !8 A 6,86,86,8 maneiras 20160A 6,8 6) Sueca é um popular jogo de cartas, introduzido pelos portugueses no Brasil, onde duas duplas se enfrentam usando um baralho de 40 cartas, com os naipes de Ouros, Espadas, Copas e Paus, cada um deles contendo as cartas: A (Ás), 2, 3, 4, 5, 6, 7, V (Valete), D (Dama), R (Rei). Em cada “mão” da sueca os jogadores recebem dez cartas cada um. Quantas sequências de cartas são possíveis para um jogador? Temos: n = 40 e p = 10. !30 !3031323334353637383940 A !1040 !40 A 10,4010,40 31323334353637383940A 10,40 sequências 1008,3A 1510,40 7) Tiago, o neto do Duarte, resolve brincar com seus carrinhos. Numa caixa A ele tem dez carrinhos diferentes e, em outra caixa B, cinco diferentes. Tiago pegou quatro carrinhos da caixa A e três da caixa B e fez uma fila com os sete carrinhos. Quantas possibilidades existem no total? Por ser uma fila a ordem importa, mudar a ordem seria mudar a fila, então é Arranjo. Caixa A temos: n = 10 e p = 4: 5040A78910A !6 !678910 A !410 !10 A 4,104,104,104,10 Caixa B temos: n = 5 e p = 3: 60A345A !2 !2345 A !35 !5 A 3,53,53,53,5 Tem de tirar carrinhos da caixa A E da caixa B, portanto o total será o produto dos Arranjos: 605040TAAT 3,54,10 adespossibilid 302400T Observação: se fosse simplesmente tirar carrinhos a ordem não iria importar, seria Combinação. Prof. Duarte - Aula 3 página 3 8) Um cadeado possui três discos distintos, todos eles marcados com os dígitos 0, 1, 2, 3, 4. 5, 6, 7, 8, 9. Para abrir o cadeado devemos alinhar os discos, formando um número de 3 algarismos. Se uma pessoa tentar abrir o cadeado, quantas tentativas, no máximo, deverá fazer para conseguir abri-lo? Os três discos são distintos. No primeiro disco temos n = 10 e p = 1: !9 !910 !110 !10 A 1,10 10A 1,10 No segundo disco temos n = 10 e p = 1: !9 !910 !110 !10 A 1,10 10A 1,10 No terceiro disco temos n = 10 e p = 1: !9 !910 !110 !10 A 1,10 10A 1,10 Tem de acertar o primeiro número E o segundo E o terceiro, portanto o número máximo de tentativas será: 101010T tentativas 1000T V. Combinações simples O número de combinações simples de n elementos tomados p a p, com n e p naturais e n p, é um número natural indicado por Cn,p ou p n , corresponde ao número total de subconjuntos de p elementos, escolhidos dentre os n elementos dados. É calculado por: p!p)!(n n! p! A p n C p,n p,n Observamos que com se trata de subconjuntos, a ordem dos elementos não é considerada para a contagem das combinações distintas, ou seja, o subconjunto AB é o mesmo que BA. Essa é a diferença entre Arranjo e Combinação. No Arranjo importa a ordem dos elementos e na Combinação não importa a ordem. Exemplos: 9) Um grupo de 10 jogadores de truco quer fazer um campeonato. Quantas duplas diferentes podem ser formadas? Não importa a ordem, a dupla jogador A e B é a mesma jogador B e A. É Combinação. n = 10 e p = 2 12 910 C !2!8 !8910 C !2)!210( !10 C p!p)!(n n! C 2,102,102,10p,n duplas 45C 2,10 10) Quantas comissões de 4 alunos podem ser formadas com 6 alunos? Formar uma comissão significa escolher 4 pessoas não importando a ordem, portanto é Combinação. n = 6 e p = 4. 12 56 C !4!2 !456 C !4)!46( !6 C p!p)!(n n! C 4,64,64,6p,n comições 15C 4,6 Prof. Duarte - Aula 3 página 4 11) Uma empresa tem 7 engenheiros e 5 engenheiras. O diretor da empresa pediu que formassem uma comissão com 4 engenheiros e 3 engenheiras, para discutirem qual o índice de aumento do dissídio. Calcule quantas comissões poderiam ser formadas. Engenheiros: de 7 (n = 7) pode escolher 4 (p = 4). 123 567 !4!3 !4567 !4!47 !7 C p!p)!(n n! C 4,7p,n 35C 4,7 Engenheiras: de 5 (n = 5) pode escolher 3 (p = 3). 12 45 !3!2 !345 !3!35 !5 C p!p)!(n n! C 3,5p,n 10C 3,5 Tem de escolher 4 engenheiros E 3 engenheiras, portanto é o produto. 1035T comições 350T 12) Um clube tem 21 garotos atletas, sendo que 10 jogam futsal e 11 jogam voleibol. Como o clube vai participar de um torneio de futsal (cinco jogadores) e outro de voleibol (seis jogadores) deve formar um time de cada. Sabendo que no de futsal deve ter 3 reservas e no de voleibol 4 reservas, determine quantos times diferentes poderão ser formados. Futsal: n = 10 e p = 8. 12 910 !8!2 !8910 !8!810 !10 C 8,10 45C 8,10 Voleibol: n = 11 e p = 10. 1 11 !10!1 !1011 !10!1011 !11 C 10,11 11C 10,11 Tem de formar o time de Futsal E o de Voleibol, o total T vai ser o produto dos dois. 1145T times 495T 13) Um professor propôs, para uma de suas turmas, uma prova com 7 questões, das quais cada aluno deveria escolher exatamente 5 questões para responder. Sabe-se que não houve duas escolhas das mesmas 5 questões entre todos os alunos da turma. Logo, qual o número máximo de alunos que essa turma poderia possuir? Temos: n = 7 e p = 5. 12 67 !5!2 !567 !5!57 !7 C 5,7 alunos 21C 5,7 14) Uma caixa contém 10 bolas brancas e 6 pretas. De quantos modos é possível tirar 7 bolas das quais pelo menos 4 bolas sejam pretas? 1o caso 6 bolas pretas e 1 branca. 6 Pretas – 1 1 !6!0 !6 !6!66 !6 C 6,6 1C 6,6 1 Branca – 1 10 1!9 !910 !1!110 !10 C 1,10 10C 1,10 Total 1 (T1): 101T1 10T1 Prof. Duarte - Aula 3 página 5 2o caso 5 bolas pretas e 2 brancas. 5 Pretas – 1 6 !5!1 !56 !5!56 !6 C 5,6 6C 5,6 2 Brancas – 2 910 !2!8 !8910 !2!210 !10 C 2,10 45C 2,10 Total 2 (T2): 456T2 270T2 3o caso 4 bolas pretas e 3 brancas. 4 Pretas – 2 30 !4!2 !456 !4!46 !6 C 4,6 15C 4,6 3 Brancas – 123 8910 !3!7 !78910 !3!310 !10 C 3,10 120C 3,10 Total 3 (T3): 12015T3 1800T3 Acontece o 1o caso OU o 2o caso OU o 3o caso, portanto é a soma dos três: 180027010TTTTT 321 modos 2080T 15) Em um jogo de truco, usando um baralho de 40 cartas (sem os 8, 9 e 10), foram dadas 3 cartas a um jogador. De quantas formas esse jogador receberá pelo menos um Ás? Número total de combinações: Todas as cartas: n = 40 e p = 3. 123 383940 !3!37 !37383940 !3!340 !40 C 3,40 9880C 3,40 Número de combinações que não tem Ás. Total das cartas menos os Ases: n = 36 e p = 3. 123 343536 !3!33 !33343536 !3!336 !36 C 3,36 7140C 3,36 Para determinarmos a resposta devemos subtrair o total das combinações possíveis das combinações onde não aparece pelo menos um Ás. 3,363,40 CCR 71409880R formas 2740R Resolva os exercícios: 16) Seis times de futebol A, B, C, D, E e F disputam um torneio hexagonal, sendo que os quatro primeiros se classificam para o Campeonato Mundial. Quantas são as possibilidades para os quatro primeiros lugares na classificação final? Importa a ordem, portanto é Arranjo. São 6 times (n = 6) para quatro posições (p = 4). 3456A !2 !23456 A ! 46 !6 A 4,64,64,6 possib. 360A 4,6 17) Quantos conjuntos com 3 letras diferentes, podemos fazer usando as letras da palavra HANDEBOL? Não importa a ordem, é Combinação. Temos 8 letras diferentes (n = 8) e 3 posições (p = 3). 123 678 !3!5 !5678 !3!38 !8 C 3,8 conjuntos 56C 3,8 Prof. Duarte - Aula 3 página 6 18) Quantos números de 4 algarismos podem ser formados por 1,2,3,5 e 8 ? Importa a ordem, é Arranjo. n = 5 e p = 4 2345A !1 !12345 A !45 !5 A 4,54,54,5 algarismos 120A 4,5 19) Quantos são os números compreendidos entre 2000 e 3000 formados por algarismos distintos escolhidos entre 1,2,3,4,5,6,7,8 e 9? Importa a ordem, é Arranjo. O primeiro número é 2, então, n = 9 – 1 = 8 e p = 3. 678A !5 !5678 A !38 !8 A 4,54,53,8 números 336A 3,8 20) Numa reunião com 7 rapazes e 6 moças, quantas comissões podemos formar com 4 rapazes e 3 moças? Não importa a ordem, é Combinação. Para os rapazes temos n = 7 e p = 4 123 567 !4!3 !4567 !4!47 !7 C 4,7 35C 4,7 Para as moças n = 6 e p = 3. 123 456 !3!3 !3456 !3!36 !6 C 3,6 20C 3,6 A resposta será o produto. 2035R comições 700R 21) Você vai a uma festa onde são oferecidas 6 bebidas diferentes. Para não ficar digamos, alterado, resolve tomar uma só, de 3 bebidas diferentes. De quantas maneiras diferentes você pode combinar as bebidas? Não importa a ordem, é Combinação. Temos n = 6 e p = 3 123 456 C !3!3 !3456 C ! 3! 36 ! 6 C 3,63,63,6 maneiras 20C 3,6 22) Em uma sacola há 20 balas de mesma dimensão: 4 são de café e as restantes de morango. Uma criança retira 4 balas. Calcule o número de maneiras que se pode extrair um conjunto de 4 balas desta sacola de modo que haja pelo menos uma de café dentre elas. Número total de combinações: Todas as balas: n = 20 e p = 4 1234 17181920 !4!16 !1617181920 !4!420 !20 C 4,20 4845C 4,40 Número de combinações que não tem nenhuma bala de café. Total das balas menos as de café: n = 16 e p = 4 1234 13141516 !4!12 !1213141516 !4!416 !16 C 4,16 1820C 4,16 Para determinarmos a resposta devemos subtrair o total das combinações possíveis das combinações onde não aparece pelo menos uma bala de café. 4,164,20 CCR 18204845R maneiras 3025R Prof. Duarte - Aula 3 página 7 23) De quantas maneiras podemos dispor 4 homens e 4 mulheres formando um fila, de modo que não fiquem juntos 2 homens e 2 duas mulheres. Entres os homens e as mulheres importa a ordem (lugar na fila), é Arranjo. Tanto para os homens como para as mulheres temos n = 4 e p = 4. Nesse caso, Arranjo com n = p, podemos fazer tanto por Arranjo como por Permutação. 1234P!4P 44 24P4 Tanto para os homens como para as mulheres. A princípio podemos achar que a resposta é 5762424 . Mas essa resposta não está correta, porque a primeira pessoa da fila pode ser homem ou ser mulher. Para obtermos todas as maneiras possíveis devemos multiplicar por 2. 576224242PP2R 44 maneiras 1152R 24) De quantas formas podemos escolher 4 cartas de umbaralho de 40 cartas (Copas, Ouros, Espadas e Paus) não levando em conta a ordem delas, de modo que em cada escolha haja pelo menos uma carta de Copas? Número total de combinações: Todas as cartas: n = 40 e p = 4 1234 37383940 !4!36 !3637383940 !4!440 !40 C 4,40 91390C 4,40 Número de combinações que não tem nenhuma carta de Copas. Total das cartas menos as de Copas: n = 30 e p = 4 1234 27282930 !4!26 !2627282930 !4!430 !30 C 4,30 27405C 4,30 Para determinarmos a resposta devemos subtrair o total das combinações possíveis das combinações onde não aparece pelo menos uma copa de Copas. 4,304,40 CCR 2740591390R formas 63985R 25) As placas de automóveis e caminhões no Brasil são formadas por 3 letras (de um total de 26 letras) e 4 algarismos. Lembrando que pode haver repetição de símbolos, quantas placas diferentes podem ser formadas? 1a Letra 2a Letra 3a Letra 1o Num. 2o Num. 3o Num. 4o Num. 26 26 26 10 10 10 10 43 102610101010262626X placas 175760000X placas 107576,1X 8 26) Em 2016 as placas dos veículos no Brasil terão 4 letras e 3 números, como por exemplo: B E E 4 R 2 2 (fonte: Quatro Rodas Janeiro 2015) Quantas placas a mais, em relação a 2015, poderão ser formadas? 34 1026Y 1000456976Y 456976000Y placas 1056976,4Y 8 88 107576,11056976,4XYR placas 1081216,2XYR 8
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