Fasores - Explicação

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Eletrônica Básica Prof. Vinícius Secchin de Melo
FasoresFasores
1- FASORES1- FASORES
Fasores, são na realidade vetores que giram e uma determinada velocidade em um 
círculo trigonométrico, dando origem as funções senoidais. Então toda função senoidal pode 
ser representada por um fasor. A representação fasorial é simples, apesar de se basear na 
teoria dos números complexos. Lembre-se que toda função senoidal pode ser escrita por:
vt =Vmáxsen  t
Quando colocamos esta função em um círculo trigonométrico, e a fazemos girar com 
uma velocidade angular  , temos a função senoidal originada. Observe a figura 3.13.
Observe que o fasor foi colocado inicialmente na posição =30o, que corresponde a 
fase inicial. Se a fase inicial fosse zero =0o, teríamos a situação da figura 3.14.
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30o 50o 70o 90o 110o 130o 150o 170o
190o 210o 230o 250o 270o 290o 310o 330o 350o
Figura 3.13


30o 50o 70o 90o 110o 130o 150o 170o
190o 210o 230o 250o 270o 290o 310o 330o 350o
Figura 3.14
10o
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Observe também que o tamanho do fasor é exatamente igual ao máximo atingido pela 
função, ou seja, sua amplitude. A representação algébrica da notação fasorial é baseada na 
teoria dos números complexos, porém iremos fazer uma simplificação da teoria, utilizando a 
análise vetorial com um pouco de trigonometria para entendermos as operações com fasores.
Para isto vamos definir dois eixos (figura 3.15), um Real (eixo horizontal) e um 
Imaginário (eixo vertical). Estes dois eixos formam o que chamamos matematicamente do 
plano complexo ou plano imaginário.
A representação de um fasor no plano complexo é muito simples, basta transladarmos o 
fasor do circulo trigonométrico para o plano complexo, atentos à fase inicial do fasor. Observe a 
figura 3.16.
No plano complexo o fasor pode ser representado por um número complexo Z, que 
possui uma parte Real a, e uma parte imaginária b. Podemos também representá-lo através de 
seu módulo (tamanho do fasor) e seu ângulo (fase do fasor). Esta duas formas de 
representação dão origem as formas retangular e polar de se representar um número 
complexo discriminadas a seguir.
- Forma retangular:- Forma retangular:
Na forma retangular o número complexo (nosso fasor) é representado a seguinte forma:
Z = {parte real} + j {parte imaginária}
Observe que o termo j representa na teoria dos números complexos a raiz de −1,
porém em nosso estudo, somente será utilizado para identificar a parte imaginária de uma 
notação fasorial.
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
Figura 3.15
Eixo
Imaginário
Eixo Real
Plano 
complexo
Figura 3.16
Eixo
Imaginário
Eixo Real
Z
a
b
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- Forma polar:- Forma polar:
Na forma polar o número complexo (nosso fasor) é representado da seguinte forma:
Z = ∣Z∣/  
Onde ∣Z∣ representa o módulo do número complexo, ou seja, o comprimento do fasor, e 
/  representa a fase inicial do fasor.
Um número complexo Z qualquer, pode ser representado tanto em sua forma 
retangular, como em sua forma polar, e a transformação de uma forma para outra não passa 
de uma simples transformação trigonométrica. Observe a figura 3.17.
O nosso número complexo Z pode ser representado pela sua forma polar, sendo então:
Z=∣Z∣/  
Observe que a (parte Real) e b (parte Imaginária) são os catetos de um triângulo 
retângulo e Z (módulo do fasor) a hipotenusa. Sendo assim, aplicando um pouco de 
trigonometria, teremos:
A parte Real a do número complexo como sendo a projeção horizontal do fasor, dada 
por:
a=∣Z∣cos
Já a parte Imaginária b pode ser calculada como sendo a projeção vertical do fasor, dada 
por:
b=∣Z∣sen
Podemos também fazer o contrário, aplicando o Teorema de Pitágoras, podemos 
calcular o módulo Z do número complexo, ou fasor, conhecendo suas partes Real e Imaginária. 
Então:
Z2=a2b2
Já a fase  pode ser obtida através da função trigonométrica tangente, pois: 
tg=b
a
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
Figura 3.17
Eixo
Imaginário
Eixo Real
Z
a
b
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Exemplo 1Exemplo 1
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Represente as seguintes funções senoidais na forma polar e retangular.
a) v(t) = 50 sen (1000t + 30o) V
forma polar: 
V=50 / +30o V
Forma retangular:
a=50cos30o=43,30
b=50sen30o=25
V=43,30j25 V
b) i(t) = 2 sen (377t – 45o) A
forma polar: 
i=2 / −45o V
Forma retangular:
a=2cos−45o=1,414 e b=2sen −45o=1,414
i=1,414j1 ,414 A
c) v(t) = 180 sen (377t + 90o) V
forma polar: 
V=180/ +90o V
Forma retangular:
a=180cos90o=0 e b=180sen90o=180
V=j180 V
d) i(t) = 10 sen (500t – 90o) A
forma polar: 
i=10 / −90o A
Forma retangular:
a=10cos −90o=0 e b=10sen −90o =−10
i=−j10 A
e) v(t) = 75 sen 800t
forma polar: 
V=75 / 0o V
Forma retangular:
a=75cos0o=75 e b=75sen0o=0
V=75 V
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2- Operações com fasores2- Operações com fasores
As operações com fasores, ou números complexos são bem simples, sendo realizadas na 
forma retangular ou polar:
- forma retangular- forma retangular
Sejam dois fasores f1=ajb e f2=c jd
A soma ou subtração na forma retangular é bem simples, pois a fazemos agrupando as 
partes reais e as partes imaginárias, fazendo assim as operações com cada grupo. Sendo 
assim:
f1f2=ajbcjd
f1f2=acjbd
f1−f2=ajb−cjd
f1−f2=ac−jbd
O produto pode ser feito aplicando a propriedade distributiva, então:
f1. f2=ajb.cjd
f1. f2=a.cj a.d jb.cj.j b.d
Lembrando que j=−1  j.j=−1.−1=−1
f1. f2=a.c−b.dj a.db.c
A divisão não será apresentada aqui, pois sua resolução é muito complicada, sendo esta 
feita na forma polar.
- forma polar- forma polar
Na forma polar a soma e subtração são bem complicadas, portanto não citadas aqui, 
porém a multiplicação e a divisão são extremamente simples comparadas a forma retangular.
Sejam dois fasores f1=∣f1∣/  e f2=∣f2∣/  .
O produto será dado por:
f1. f2=∣f1∣.∣f2∣/  
Enquanto a divisão:
f1
f2
=
∣f1∣
∣f2∣
/ − 
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Exemplo 2Exemplo 2
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Sejam os seguintes fasores: f1=2 j5, f2=4− j3, f3=20 / 30
o e f4=5/ −45
o . Determine:
a) f1 + f2 b) f1 – f2
=2 j54− j3 =2 j5−4− j3
=24j5− j3 =2−4−j5− j3
=6 j2 =−2−j2
c) f1 . f2
f1=2 j5 retangular⇒polar f1=5,38 / 68,2
o 
f2=4− j3 retangular⇒polar f2=5 / −36,8
o 
=5,38.5 / 68,2o−36,8o 
=26,9 / 31,4o ou =25,26j15,42
d) f1÷f2
f1=2 j5 retangular⇒polar f1=5,38 / 68,2
of2=4− j3 retangular⇒polar f2=5 / −36,8
o 
=
5,38
5
/ 68,2o−−36,8o 
=1,076 / 105o ou =−0,27j1 ,04
e) f3 + f4
f3=20 / 30
o polar⇒retangular  f3=17,32 j10
f4=5/ −45
o polar⇒retangular f4=3,53−j3 ,53
=17,32 j103,53−j3 ,53
=20,85j6 ,47 ou =21,83 / 17,23o 
f) f3 – f4
f3=20 / 30
o polar⇒retangular  f3=17,32 j10
f4=5/ −45
o polar⇒retangular f4=3,53−j3 ,53
=17,32 j10−3,53−j3 ,53
=13,79j13,53 ou =19,32 / 44,45o 
g) f3 . f4
=20.5 / 30o−45o 
=100 / −15o ou =96,59−j25,88
h) f3÷f4
=
20
5
/ 30o−−45o 
=4 / 75o ou =1,036j3 ,86
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