Matemática aplicada à arquitetura 1

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MATEMÁTICA APLICADA À 
ARQUITETURA
CONJUNTOS NUMÉRICOS E CÁLCULOS 
INICIAIS
Silmara Grivol
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Olá!
Você está na unidade Conheça aqui temas essências para oConjuntos Numéricos e Cálculos Iniciais. 
aprofundamento da matéria nas próximas unidades. Trabalharemos a aplicação dos conceitos de Matemática
para a Arquitetura, que é essencial para a elaboração de projetos e a construção do ambiente. A utilização dos
princípios da Matemática neste campo é fundamental, pois é utilizada para o cálculo das áreas, altura dos
elementos do ambiente, dimensionamento de ambientes, cálculo de lotação dos espaços, dimensionamento da
ventilação e iluminação, entre muitas outras aplicações.
A Geometria e a Trigonometria também exercem uma forte influência para o exercício profissional de um
arquiteto, como por exemplo, com a projeção de sombras em plantas e maquetes, de forma a definir qual a
melhor posição de um dormitório em função da posição do Sol, tornando assim o ambiente mais confortável
para a utilização do ser humano, entre muitas outras aplicações.
Bons estudos!
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1 Conjuntos numéricos
Esta unidade visa capacitar a compreensão dos , dando subsídio ecálculos numéricos integrais e derivados
embasamento para os cálculos como o de sistemas estruturais, através da abordagem de temas relativos ao
Cálculo Diferencial e Integral.
Através do aprimoramento dos conhecimentos na análise de dados matemáticos, será possível desenvolver
diversos cálculos, como o de áreas e volumes, para que assim possa elaborar os problemas matemáticos que
serão apresentados em outras disciplinas do curso de Arquitetura e Urbanismo, como elétrica e hidráulica
residencial, topografia e, especialmente, no cálculo de estrutura para o concreto armado, entre muitos outros
temas que abordam o exercício da profissão de um Arquiteto e Urbanista.
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1.1 Números naturais, inteiros, racionais, irracionais, complexos e números 
reais
Conjuntos numéricos são coleções de números que possuem características semelhantes. Esses conjuntos de
números com características comuns são formados pelos números naturais, inteiros, racionais, irracionais e
reais, que nasceram como resultado das necessidades da humanidade em determinado período histórico. O ramo
da matemática que estuda os conjuntos numéricos é a (SILVA, 2020).Teoria dos conjuntos
Neste item serão estudadas as características de cada um deles tais como conceito, símbolo e subconjuntos, e
especialmente a sua aplicação para os cálculos matemáticos.
Figura 1 - Conjuntos numéricos
Fonte: Pixeldreams.eu, Shutterstock, 2020.
#PraCegoVer: A imagem apresenta os números naturais.
1.2 Conjunto dos números naturais
O conjunto dos Números Naturais foi a primeira forma que o homem utilizou para a quantificação de elementos,
pela necessidade de se fazer contar ou enumerar objetos, por isso, seus elementos são apenas os números
inteiros e não negativos.
Representado por , o conjunto dos números naturais possui os seguintes elementos:N
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, …}
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1.3 Conjunto dos números inteiros
O conjunto dos números inteiros é uma ampliação do conjunto dos números naturais, é formado pela união do
conjunto dos números naturais com os números negativos (SILVA, 2020). O conjunto dos números inteiros, é
representado por , possui os seguintes elementos:Z
Z = {…, – 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4, …}
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1.4 Conjunto dos números racionais
O conjunto dos números racionais foi desenvolvido em função da necessidade de dividir quantidades, dessa
forma, este é um conjunto dos números escritos na forma de fração (SILVA, 2020). Representado por , oQ
conjunto dos números racionais possui os seguintes elementos:
Q = {x ∈ Q: x = a/b, a ∈ Z e b ∈ N}
A definição é descrita da seguinte forma: pertence aos racionais, tal que é igual a dividido por , com ax x a b
pertencente aos inteiros e pertencente aos naturais.b
Se é uma fração ou um número que pode ser escrito na forma de fração, então é um .número racional
Os números que podem ser escritos na forma de fração são:
Todos os números inteiros;
Decimais finitos;
Dízimas periódicas.
Os são aqueles que possuem um número finito de casas decimais, como por exemplo osdecimais finitos
números: 5,8; 9,76 e 4,45.
Dízimas periódicas são decimais infinitos, mas que repetem a sequência final de suas últimas casas decimais,
como nos seguintes números: 6,88888; 8,6767676 e 4,765476547654.
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Figura 2 - Número irracional Pi
Fonte: Zorabc, Shutterstock, 2020.
#PraCegoVer: A imagem apresenta o símbolo do Número irracional Pi e o seu valor numérico de 3,145.
1.5 Conjunto dos números irracionais
A definição de números irracionais depende da definição de números racionais, pois pertencem ao conjunto dos
números irracionais todos os números que não pertencem ao conjunto dos racionais, dessa forma, ou um
número é racional ou ele é irracional. Não existe possibilidade de um número pertencer a esses dois conjuntos
simultaneamente. Concluindo, o conjunto dos números irracionais é complementar ao conjunto dos números
racionais dentro do universo dos números reais (SILVA, 2020).
Outra maneira de definir o conjunto dos números irracionais é a seguinte: os são aquelesnúmeros irracionais
que não podem ser escritos na forma de fração, e que são designados da seguinte forma:
• Decimais infinitos;
• Raízes não exatas.
Os são números que possuem infinitas casas decimais e que não são dizimas periódicas, pordecimais infinitos
exemplo: 0,12345678910111213; π e √2, entre muitos outros.
•
•
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1.6 Conjunto dos números reais
O conjunto dos números reais é formado por todos os números citados acima, cuja definição é dada pela união
entre o conjunto dos números racionais e o conjunto dos números irracionais (SILVA, 2020). Representado por R
, esse conjunto pode ser escrito matematicamente da seguinte maneira:
R = Q U I = {Q + I}
I é o conjunto dos números irracionais. Dessa maneira, todos os números citados até o momento também são
números reais.
1.7 Conjunto dos números complexos
O conjunto dos números complexos nasceu da necessidade de se encontrar raízes não reais de equações de grau
maior ou igual a 2 (SILVA, 2020). A aplicação pode ser dada, por exemplo, na solução da equação de segundo
grau, por meio da fórmula de (SILVA, 2020).Bhaskara
1.8 Relação entre conjuntos numéricos
Alguns conjuntos numéricos são subconjuntos de outros (SILVA, 2020). Resumindo, a relação entre os conjuntos
numéricos pode ser estabelecida da seguinte forma:
• O conjunto dos números naturais é subconjunto do conjunto dos números inteiros;
• O conjunto dos números inteiros é subconjunto do conjunto dos números racionais;
• O conjunto dos números racionais é subconjunto do conjunto dos números reais;
• O conjunto dos números irracionais é subconjunto do conjunto dos números reais;
• O conjunto dos números irracionais e o conjunto dos números racionais não possuem nenhum elemento 
em comum;
• O conjunto dos números reais é subconjunto do conjunto dos números complexos.
É possível estabelecer outras relações indiretas, como por exemplo, que o conjunto dos números naturais é
subconjunto do conjunto dos números complexos. Também é possível fazer a interpretação inversa do conceito,
das relações citadas anteriormente e das relações indiretas que podem ser construídas, de forma que o conjunto
dos números inteiros contém o conjunto dos números naturais (SILVA, 2020).
Utilizando simbologia de teoria de conjuntos, essas relações podem ser escritas da seguinte maneira:
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•
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2 Sistemas numéricos de coordenadas no plano e no espaço
Sistema de coordenadas no plano cartesiano é um sistema quadriculado necessário para determinar pontos com
precisão em vários espaços. A teoria para este esquema surgiu em 1637 pelo matemático francês e filósofo
Descartes.
A representação gráfica das coordenadas é possível pelo , ou também denominado como plano cartesiano
. O plano cartesianoconsiste de um traçado de retas perpendiculares, uma na horizontal esistema cartesiano
outra na vertical, formando quadrantes de 90°.
O sistema de coordenadas cartesianas no espaço, que também pode ser chamado de , égeometria cartesiana
um plano cartesiano com 3 eixos (x, y, z), que é muito usado na geometria para descrever a localização de um
ponto em um espaço tridimensional. Passou-se a utilizar um plano com duas retas graduadas ortogonais, uma
para representar os valores de x e outra os valores de y, portanto, para cada ponto P. O ponto P tem um par de
números indicando sua posição: o número x, indicado no eixo das abscissas, e um segundo número y, no eixo das
ordenadas. Os termos abscissa, ordenada e coordenadas foram usados pela primeira vez por Leibniz em 1692.
Figura 3 - Sistema de coordenadas espaciais dos eixos X, Y e, Z
Fonte: Dmitri Gruzdev, Shutterstock, 2020.
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#PraCegoVer: A imagem apresenta o sistema de coordenadas espaciais dos eixos X, Y e, Z, quadriculado para
indicar a numeração de unidades.
Em topografia, as coordenadas são referidas ao plano horizontal de referência, o ; o sistemaplano topográfico
de coordenadas topográficas é definido por um sistema plano-retangular XY, sendo que o eixo das ordenadas (Y)
tem orientação paralela segundo a direção norte-sul, seja magnética ou verdadeira, e o eixo positivo.
Figura 4 - Gráfico no plano dos eixos X e Y
Fonte: Radu Bercan, Shutterstock, 2020.
#PraCegoVer: A imagem apresenta um gráfico no plano dos eixos X e Y, com a marcação de três pontos e suas
coordenadas.
O surgiu conforme uma teoria de georreferenciamento, a partir dasSistema de Coordenadas Cartesianas
seguintes premissas:
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Um sistema coordenado cartesiano no espaço 3-D é caracterizado por um conjunto de três retas (x, y
e z), denominados de eixos coordenados, mutuamente perpendiculares. Ele associado à um Sistema
de Referência Geodésico, recebe a denominação de Sistema Cartesiano Geodésico de modo que: O
eixo X coincidente ao plano equatorial, positivo na direção de longitude 0°; O eixo Y coincidente ao
plano equatorial, positivo na direção de longitude 90°; e O eixo Z é paralelo ao eixo de rotação da
Terra e positivo na direção norte.
A origem é definida quanto a localização. Se está localizada no centro de massas da Terra
(geocêntrico), as coordenadas são denominadas de geocêntricas, usualmente utilizadas no
posicionamento à satélites, como é o caso do WGS84, SIRGAS 2000, SAD69 (SILVA, 2013, n.p.).
O estudo dos sistemas cartesianos, possibilita compatibilizar as medições topográficas e pontos com GPS, assim
específico é possível detectar erros devido às diferenças existentes entre os sistemas de projeção. Esse tema é
fundamental para os futuros estudos para a aplicação de Topografia na Arquitetura (SILVA, 2013).
Assista aí
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2.1 Os três tipos de geometria e suas utilizações
As origens da geometria remontam às próprias origens da civilização, pois as civilizações egípcia, suméria e
babilônica foram o berço dos estudos geométricos. Posteriormente foram os gregos, considerados os fundadores
da geometria, que a desenvolveram como uma disciplina autônoma.
Figura 5 - Geometria Euclidiana
Fonte: Tupungato, Shutterstock, 2020.
#PraCegoVer: A imagem apresenta diversas formas geométricas e suas respectivas equações para o cálculo de
áreas.
A é uma subdivisão da Matemática que estuda as formas geométricas para calcular todas as suasGeometria
propriedades como comprimento, área e volume. O significado de geometria surgiu como a fusão dos termos
“geo” (terra) e “metron” (medir), ou seja, significa a “medida de terra”.
A Geometria é dividida em três categorias:
Geometria
Analítica
Estuda a relação da álgebra e a análise matemática com a geometria.
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Geometria
Plana
Também conhecida como , estuda o plano e o espaço baseando-seGeometria Euclidiana
nos postulados de Euclides.
Geometria
Espacial
Realiza o estudo de figuras tridimensionais.
Assim, a , também chamada de geometria cartesiana, une conceitos de álgebra e geometriaGeometria Analítica
através dos sistemas de coordenadas. Os conceitos mais utilizados são o ponto e a reta (PINHO, 2010).
Por sua vez, a reúne os estudos sobre as figuras planas, que não apresentamGeometria Plana ou Euclidiana
volume. Finalmente, a estuda as figuras geométricas que possuem volume e mais de umaGeometria Espacial
dimensão.
A geometria pode ser considerada como uma ferramenta muito importante para a descrição e inter-relação do
homem com o espaço em que vive, já que pode ser considerada como a parte da matemática mais intuitiva,
concreta e ligada com a realidade. Conforme Nogueira (2009), a intuição geométrica é conceber de um modo
claro as relações geométricas, ou seja, visualizar um caminho de solução (PINHO, 2010).
A aplicação dos conceitos da geometria está presente nas construções, na agricultura, na pecuária, enfim é
possível aplicar seus princípios, na resolução de muitos problemas, que envolvam cálculos e medidas.
Santos desenvolveu detalhadamente o tema da utilização da geometria na Arquitetura, com destaque no período
da Perspectiva, especialmente nas construções no período do Renascimento, com o aprendizado de conceitos
geométricos:
Recorrer aos relatos históricos possibilita a percepção de que na Antiguidade Clássica, a Arquitetura
greco-romana seguia normas rígidas de simetria e proporcionalidade, utilizando-se da matemática,
na busca da harmonia das formas, por exemplo, utilizando-se da Simetria e da Razão Áurea para
alcançar a harmonia e a beleza em suas construções, conseguidas por meio de conceitos e resultados
matemáticos.
Os gregos buscavam o máximo de perfeição em tudo que construíam, o Partenon, na Acrópole de
Atenas é um exemplo de que, a Arquitetura Clássica Grega destacou-se pelo grande valor dado às
proporções, é uma das mais conhecidas e admiradas construções do mundo, o que nos estimula a um
estudo mais detalhado deste monumento (SANTOS, 2013, p. 14 - 15).
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A diversidade geométrica encontrada nas edificações arquitetônicas, desde a Antiguidade, demonstra que a
Arquitetura pode ser usada como um aprendizado de conceitos geométricos, sendo eles Euclidianos ou não
Euclidianos (SANTOS, 2013).
Atualmente, a produção arquitetônica ainda utiliza os princípios clássicos da geometria, mas agora através de
ferramentas tecnológicas que permitem projetar com rapidez e precisão computacional, através dos recursos
dos programas de computação gráfica.
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2.2 Conceito de cônicas e quadráticas e sua aplicação nos cálculos 
arquitetônicos
Utilizamos diversos objetos no nosso cotidiano que possuem formas de cônicas, como a parábola, elipse,
hipérbole e circunferência, assim também ocorre em relação às superfícies quádricas: esferas, cilindros,
parabolóides, elipsóides e hiperbolóides (SOMMERFELD, 2013).
As , foram exaustivamente estudadas por matemáticos. A circunferência, simbolizava a perfeiçãocurvas cônicas
na Grécia Antiga, já a elipse corresponde a geometria das órbitas de planetas, e a hipérbole corresponde à
geometria das trajetórias de cometas.
Figura 6 - Construção de ponte
Fonte: Brian A. Jackson, Shutterstock, 2020.
#PraCegoVer: A imagem mostra um profissional da engenharia com um lápis desenhando uma ponte sobre uma
pedra para um homem atravessar um vão. O desenho é de um arco, pois o arco é a forma mais utilizada para
desenho de pontes.
É possível compreender o conceito de cônicas segundo descrição de Geraldini et al.:
Considerando-se uma superfície cônica gerada por uma reta chamada geratriz, que gira em torno de uma reta
chamada de eixo e mantendo-se fixa em um ponto chamado vértice e tendo como diretriz uma circunferência,
obtém-se um cone duplo. O cone duplo, secionado por um plano secante, dependendo do ângulo que este plano
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secante formar com o eixo, teremosuma das quatro curvas cônicas: a circunferência, a elipse, a parábola ou a
hipérbole (GERALDINI et al., 2020, n.p.).
As cônicas são muito utilizadas na Engenharia e Arquitetura, desde tempos remotos, até hoje, devido às suas
propriedades físicas e até mesmo estéticas como no caso das pontes, pórticos, cúpulas, torres e arcos. Um caso
clássico para a construção civil, são os cabos sustentados por tirantes de uma ponte, quando o peso total é
distribuído uniformemente no eixo horizontal da ponte, na forma de uma parábola (SOMMERFELD, 2013).
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2.3 Círculo e circunferência
Matematicamente, a circunferência é definida como o conjunto de todos os pontos P (x, y) do plano que estão a
uma certa distância (raio) de um ponto fixo (centro). Fixados o raio r ˃ 0 e o centro (a, b) (SOMMERFELD, 2013).
Figura 7 - Estádio de futebol
Fonte: Blaz Kure, Shutterstock, 2020.
#PraCegoVer: Foto de um estádio em que se observa a utilização de um círculo para a sua cobertura.
Circunferências são figuras geométricas planas geralmente representadas por figuras “perfeitamente redondas”,
mas a representação geométrica nada mais é do que a representação de uma . Afórmula algébrica
circunferência é apenas o contorno de um círculo. Dessa maneira, a distância entre o centro e um ponto qualquer
de um círculo é sempre menor ou igual a r.
O círculo é uma figura geométrica plana formada por todos os pontos, cuja distância até um ponto fixo, chamado
de centro, é igual a uma constante chamada de raio.
A circunferência é uma figura geométrica plana formada por todos os pontos cuja distância até um ponto fixo,
chamado de centro, é menor que uma constante chamada de raio (INFOESCOLA, 2020).
Quanto ao cálculo de área de um círculo, ele é dado pela seguinte expressão:
A = π.r2
Podemos definir um como sendo o conjunto de todos os pontos interiores de uma , oucírculo circunferência
seja, é o espaço contido dentro da circunferência (INFOESCOLA, 2020).
Todo círculo ou circunferência possui alguns elementos importantes:
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Figura 8 - Elementos trigonométricos de uma circunferência
Fonte: SILVA, 2020 (Adaptado).
#PraCegoVer: Circunferência em destaque dos pontos e elementos trigonométricos como corda, diâmetro e raio.
• O é o centro da circunferência;
• AB é uma Corda (c);
• OE é um raio (r);
• CD é o diâmetro (d).
Podemos estabelecer a seguintes relações:
D=2r
Diâmetro é o dobro do raio, ou:
r=D2
O raio é metade do diâmetro.
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•
•
•
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2.4 Parábola
As parábolas são utilizadas no nosso cotidiano em diversos equipamentos e sistemas de muita importância para
nossa sociedade. As da parábola contribuem para a construção de telescópios,propriedades refletoras
antenas, radares, faróis, etc. Fazendo uso da propriedade refletora da parábola, Arquimedes construiu espelhos
parabólicos, os quais por refletirem a luz solar para um só ponto, foram usados para incendiar os barcos
romanos nas invasões de Siracusa (cidade italiana). A partir da propriedade refletora das parábolas, os
engenheiros civis constroem pontes de suspensão parabólica (SOMMERFELD, 2013).
Figura 9 - Ponto F e a reta r de uma parábola
Fonte: BrasilEscola, 2020 (Adaptado).
#PraCegoVer: A demonstração de seu ponto F e a reta r de uma parábola.
São cinco os principais elementos da parábola. Eles são figuras geométricas que recebem nomes especiais devido
à sua função e à sua importância na definição das parábolas. São eles:
a) é o ponto F usado para a definição da parábola.Foco: 
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b) é a reta r, também usada na definição da parábola. Lembre-se de que a distância entre um pontoDiretriz:
qualquer da parábola e a reta r tem a mesma distância que esse mesmo ponto e o seu foco.
c) o parâmetro de uma parábola é a distância entre o seu foco e sua diretriz. Essa distância é oParâmetro:
comprimento do segmento de reta que liga o foco e a diretriz, formando com ela um ângulo reto. Para encontrar
esse valor, pode-se usar a distância entre ponto e reta.
d) : é o ponto da parábola que fica mais próximo de sua diretriz. Uma das propriedades desse ponto éVértice
que a sua distância até o foco da parábola é igual à metade do parâmetro. Também podemos dizer que a
distância entre esse ponto e a diretriz da parábola é igual à metade do parâmetro. Seja a medida do parâmetro
de uma parábola representada pela letra p, a medida do segmento VF será dada por:
VF = P/2
e) o eixo de simetria de uma parábola é uma reta perpendicular à diretriz que passa pelo seuEixo de simetria:
vértice. Consequentemente, essa reta também passa pelo foco da parábola e contém o segmento chamado
parâmetro.
A imagem abaixo mostra cada um dos elementos de uma parábola:
Figura 10 - O eixo de simetria de uma parábola
Fonte: BrasilEscola, 2020 (Adaptado).
#PraCegoVer: O eixo de simetria de uma parábola é uma reta perpendicular à diretriz que passa pelo seu vértice.
Existem duas equações reduzidas da parábola:
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y2 = 2px
e
x2 = 2py
Essas equações são obtidas colocando o vértice de uma parábola na origem de um plano cartesiano.
Primeiramente, suponha que a diretriz dessa parábola é paralela ao eixo y do plano, como mostra imagem a
seguir:
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Figura 11 - Diretriz de uma parábola
Fonte: BrasilEscola, 2020 (Adaptado).
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#PraCegoVer: A diretriz dessa parábola é paralela ao eixo y do plano.
Escolhendo um ponto P (x, y) qualquer na parábola, teremos as seguintes hipóteses:
a) como o segmento VF = p/2, então as coordenadas de F são (p/2, 0). Para perceber isso,Coordenadas de F:
note que o eixo x, nessa construção, é o eixo de simetria da parábola.
b) o ponto A pertence à diretriz, e a distância de P até A é igual à distância de P até F. Assim,Coordenadas de A:
mudando a posição do ponto P, sempre teremos essa característica. As coordenadas de A são: (– p/2, y).
Isso acontece porque A sempre estará à mesma altura de P, e sua distância até o eixo y é a mesma que a distância
de V até F, com sinal invertido.
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2.5 Elipse
A elipse é extremamente importante para a Arquitetura e a Engenharia, além de ser amplamente investigada em
vários campos da matemática e da física.
A é definida como dois pontos quaisquer do plano F1 e F2 e seja 2c a distância entre eles, elipse é oelipse 
conjunto dos pontos do plano cuja soma das distâncias à F1 e F2 é a constante 2a (2a > 2c).
Figura 12 - Forma de uma elipse em um monumento arquitetônico
Fonte: Dmitrii Postnov, iStock, 2020.
#PraCegoVer: Foto aérea do Coliseu, em Roma, na Itália, de um drone, aonde pelo seu contorno pode-se notar a
forma de uma elipse.
A figura abaixo apresenta os elementos da Elipse:
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Figura 13 - Elementos da elipse
Fonte: BrasilEscola, 2020 (Adaptado).
#PraCegoVer: A figura apresenta os elementos da Elipse como os focos, centro, distância focal, eixos maior e
menor e excentricidade.
F1 e F2 → são os focos.
C → Centro da elipse.
2c → distância focal.
2a → medida do eixo maior.
2b → medida do eixo menor.
c/a → excentricidade.
Há uma relação entre os valores a, b e c→ a2 = b2+c2.
1º caso - Elipse com focos sobre o eixo x:
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Figura 14 - Elipse com focos sobre o eixo x
Fonte: BrasilEscola, 2020 (Adaptado).
#PraCegoVer: A imagem representa uma elipse com focos sobre o eixo x.
Nesse caso, os focos têm coordenadas F1(- c, 0) e F2(c, 0). Logo, a equação reduzida da elipse com centro na
origem do sistema cartesiano e com focos sobre o eixo x será:
2º Caso - Elipse com focos sobre o eixo y:
Figura 15 - Elipse com focos sobre o eixo y
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Figura 15 - Elipse com focos sobre o eixo y
Fonte: BrasilEscola, 2020 (Adaptado).
#PraCegoVer: A imagem representa uma elipse com focos sobre o eixo y.
Nesse caso, os focos apresentam coordenadas F1(0, -c) e F2(0, c). Assim, a equação reduzida da elipse com
centro na origem do sistema cartesiano e com focos sobre o eixo y será:
que é a equação reduzida da elipse.
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2.6 Hipérbole
Conforme Rigonatto (2020), a definição de uma Hipérbole consiste em: sejam F1 e F2 dois pontos doplano e seja
2c a distância entre eles, hipérbole é o conjunto dos pontos do plano cuja diferença (em módulo) das distâncias à
F1 e F2 é a constante 2a (0 < 2a < 2c).
A seguir, você poderá observar os :elementos de uma Hipérbole
Figura 16 - Posição dos focos da hipérbole F1 e F2
Fonte: SOMMERFELD, 2013 (Adaptado).
#PraCegoVer: A imagem representa os focos e da hiperbole.
F1 e F2 → são os focos da hipérbole.
O → é o centro da hipérbole.
2c → distância focal.
2a → medida do eixo real ou transverso.
2b → medida do eixo imaginário.
c/a → excentricidade.
Existe uma relação entre a, b e c → c2 = a2 + b2.
Equação reduzida da hipérbole:
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1º caso - Hipérbole com focos sobre o eixo x:
Nesse caso os focos terão coordenadas F1 (-c , 0) e F2( c , 0). Assim, a equação reduzida da elipse com centro na
origem do plano cartesiano e focos sobre o eixo x será:
2º caso - Hipérbole com focos sobre o eixo y:
Figura 17 - Hipérbole com focos sobre o eixo y
Fonte: BrasilEscola, 2020 (Adaptado).
#PraCegoVer: Imagem de uma Hipérbole com focos sobre o eixo y.
Neste caso, os focos terão coordenadas F1 (0,-c) e F2(0,c). Assim, a equação reduzida da elipse com centro na
origem do plano cartesiano e focos sobre o eixo y será:
Exemplo:
Determine a equação reduzida da hipérbole com eixo real 6, focos F1(-5, 0) e F2(5, 0).
Solução:
Temos que
2a = 6 → a = 3
F1(-5, 0) e F2(5, 0) → c = 5
Da relação notável, obtemos:
c2 = a2 + b2 → 52 = 32 + b2 → b2 =25 – 9 → b2 = 16 → b = 4
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Assim, a equação reduzida será dada por:
Figura 18 - Forma de uma hipérbole em um monumento arquitetônico
Fonte: Alfotto, Istock, 2020.
#PraCegoVer: Fotografia da catedral de Brasília projetada pelo arquiteto Oscar Niemeyer em que se observa o
contorno de uma hipérbole em sua fachada.
As superfícies quádricas elipsoides têm propriedades acústicas refletoras usadas, por exemplo, para criar
condições acústicas especiais em auditórios, teatros e igrejas.
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2.7 Noções de estatística para a organização e análise de dados
No caso da arquitetura e urbanismo, a estatística tem diversas aplicações e utilidades. A estatística, no estudo do
urbanismo, tem ajudado muito para visualizar os caminhos a seguir, porque o estudo da cidade, ou seja, do
urbanismo, tem como princípio atender as necessidades da população.
Ao longo de sua história, a estatística se tornou uma importante ferramenta utilizada por governantes, através
da divulgação de índices econômicos ou demográficas que ajudam a tomar decisões e estabelecer diretrizes de
planejamento urbano, por exemplo.
Dessa forma, a estatística se tornou um instrumento fundamental para a tomada de decisões, a julgar pela
complexidade e sofisticação do processo de projeto em arquitetura, em se tratando de processo criativo, utilizar
a ferramenta estatística, torna o processo mais eficiente (DENICOL, 2018).
Estatística é um ramo da Matemática que se destina ao estudo dos processos de obtenção, coleta, organização,
apresentação, descrição, análise e interpretação de dados numéricos variáveis, referentes a qualquer fenômeno
(COSTA, 2011).
A seguir, de acordo com Santos (2020), listamos os principais conceitos estatísticos:
População
É uma coleção completa de todos os elementos a serem analisados, como por exemplo:
valores, pessoas, medidas, e muitos outros.
Censo
É uma coleção de dados relativos aos elementos de uma população. Esse estudo é
realizado, normalmente, de dez em dez anos, na maioria dos países.
Amostra
É uma sub-coleção de elementos extraídos de uma população. Os elementos de uma
amostra são conhecidos como pontos amostrais, unidades amostrais ou observações.
Parâmetro É uma medida numérica da população, que descreve uma característica de uma população.
Estatística
É uma medida numérica que descreve uma característica de uma amostra. Por exemplo,
quando extraímos uma amostra aleatória de uma população distribuída normalmente, a
média da amostra é uma estatística.
Dados
São a matéria prima da Estatística. Definido o assunto de interesse, os dados são obtidos
da medição de determinada característica ou propriedade desse objeto, pessoa ou coisa.
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D a d o s
quantitativos
Consistem em números que representam contagens ou medidas.
D a d o s
qualitativos
Podem ser separados em diferentes categorias que se distinguem por alguma
característica não-numérica.
D a d o s
discretos
Resultam de um conjunto finito de valores possíveis, ou de um conjunto enumerável
desses valores.
D a d o s
contínuos
Resultam de um número infinito de valores possíveis que podem ser associados a pontos
em uma escala contínua de tal maneira que não aconteçam lacunas ou interrupções.
Variável
Qualquer conjunto de dados contém informações sobre algum grupo de indivíduos. As
informações são organizadas em variáveis, ou seja, uma variável é uma característica,
propriedade ou atributo de uma unidade da população, cujo valor pode variar entre as
unidades da população.
Variação
O padrão de variação de uma variável constitui a sua distribuição. A distribuição de uma
variável quantitativa registra seus valores numéricos e a frequência de ocorrência de cada
valor.
Frequência
absoluta
É o número de vezes que um dado aparece no levantamento.
Frequência
relativa
É o número de observações de cada variável divido pelo número total de observação. Esse
índice pode ser descrito como a frequência absoluta de cada variável dividida pela
somatória das frequências absolutas. Esse índice é usado para comparar dados.
M é d i a
aritmética
É a medida de tendência central. Corresponde ao somatório dos valores dos elementos,
dividido pelo número de elementos.
M é d i a
aritmética
ponderada
Somatório dos valores dos elementos multiplicado pelos seus respectivos pesos, dividido
pela soma dos pesos atribuídos.
- -33
Moda Valor de maior frequência em uma série de dados, o que mais se repete.
Mediana Medida central em uma determinada sequência de dados numéricos.
Amplitude Subtração entre o maior valor e o menor valor dos elementos do conjunto.
Variância Dispersão dos dados variáveis em relação à média.
D e s v i o
Padrão
Raiz quadrada da variância. Indica a distância média entre a variável e a média aritmética
da amostra.
A atividade da estatística é baseada na prática do levantamento e análise de dados estatísticos, que se tornam as
ferramentas para o desenvolvimento da estatística descritiva e análise de regressão.
Assista aí
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- -34
2.8 Erros absolutos, relativos, de arredondamento e truncamento
Os dados de entrada são enviados ao computador pelo usuário no sistema decimal, e toda a informação é
convertida para o sistema binário. Todas as operações são efetuadas no sistema binário e os resultados finais são
convertidos para o sistema decimal e transmitidos ao usuário. Todas essas operações com os números não são
representadas de forma exata nos computadores, o que acarreta um erro de arredondamento. Todo esse
processo de conversão é uma fonte de erros que pode afetar o resultado final dos cálculos (CAVALCANTI, 2020).
Quando são feitas as aproximações numéricas, os erros são gerados de várias formas, sendo as principais delas
as seguintes:
Incerteza dos dados são devidos aos erros nos dados de entrada. Quando o modelo matemático é oriundo de
um problema físico, existe incerteza nas medidas feitas pelos instrumentos de medição.
Erros de arredondamento são relacionados com as limitações existentes na forma de representar números em
máquina.
Erros de truncamento surgem quando aproximam um conceito matemático formado por uma sequência
infinita de passos por de um procedimento finito. O erro de truncamento deve ser estudado analiticamente para
cada método empregado (CAVALCANTI, 2020).
Fique de olho
Na solução de problemas através de , após as fases de definição,métodos numéricos
modelagem, escolha e implementação,verifica-se algumas vezes que os resultados obtidos não
apresentam valores dentro de uma faixa esperada. Dentre outros fatores, os resultados
dependem da precisão dos dados de entrada, da forma como estes dados são representados no
computador e das operações numéricas efetuadas.
- -35
3 Noções preliminares de Cálculos Iniciais
O conceito de Cálculos Iniciais está relacionado ao desenvolvimento dos diversos tipos de funções matemáticas,
desde o seu conceito, expressão matemática e o seu gráfico.
3.1 O conceito de função e sequência como função de domínio natural
Uma função matemática desenvolve as mudanças sofridas por uma grandeza, provocadas pela transformação de
outra grandeza, ou seja, quando resolvemos uma função, temos de alguma forma uma grandeza variando em
função da variação de outra. Matematicamente, dizemos que uma função é uma relação entre os elementos de
dois conjuntos, em que para cada elemento de um conjunto, é associado apenas um elemento do outro conjunto
(BROLEZZI et al. 2020)., 
Uma função pode ser representada por meio de uma fórmula matemática, ou então por meio de um gráfico. O
conceito é desenhar o comportamento das funções em um plano é utilizada como forma de representar figuras
associando-as a uma função.
3.2 Sequência de Fibonacci
Sequência de Fibonacci é a sequência numérica proposta pelo matemático Leonardo Pisa, que descobriu uma
regularidade matemática, a partir de um problema criado pelo crescimento de uma população de coelhos
(GOUVEIA, 2020). A sequência de Fibonacci é descrita pela seguinte sequência de números: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,
34, 55, 89 e a sequência segue de forma infinita.
A sequência é definida mediante a seguinte fórmula:
Fn = Fn - 1 + Fn - 2
Assim, começando pelo 1, essa sequência é formada somando cada numeral com o numeral que o antecede, por
exemplo no caso do 1, repete-se esse numeral e soma-se, ou seja, 1 + 1 = 2, em seguida soma-se o resultado com
o numeral que o antecede, ou seja, 2 + 1 = 3 e assim sucessivamente, numa sequência infinita, como por exemplo:
8 + 5 = 1; 3 + 2 = 5; 5 + 3 = 8; 13 + 8 = 21; 21 + 13 = 34; 34 + 21 = 55; 55 + 34 = 89 etc.
- -36
3.3 Número de ouro, retângulo de ouro e suas aplicações
A partir dessa sequência, pode ser construído um retângulo, que é chamado de Retângulo de Ouro. Retângulo de
Ouro (GOUVEIA, 2020). Ao desenhar um arco dentro desse retângulo, obtemos, por sua vez, a Espiral de
.Fibonacci
Figura 19 - Espiral de Fibonacci
Fonte: Instituto Claro, 2020 (Adaptado).
Figura 20 - Espiral de Fibonacci
- -37
Figura 20 - Espiral de Fibonacci
Fonte: Instituto Claro, 2020 (Adaptado).
#PraCegoVer: As imagens representam uma Espiral de Fibonaccci. Os números de Fibonacci são uma ideia
matemática muito rica e que podem ser apresentadas de diversas maneiras.
A pode ser encontrada em toda a natureza, como por exemplo nas folhas das árvores,sequência de Fibonacci
nas pétalas das rosas, nos frutos como o abacaxi, na concha do marinho ou nas galáxias. nautilus
Um detalhe muito importante é o coeficiente de um número com o seu antecessor, onde sempre se obtém a 
 com o valor aproximado de 1,618. Essa constante é aplicada em análises financeiras e na informáticaconstante
e foi utilizada por Da Vinci, que chamou a sequência de , para fazer desenhos perfeitos.Divina Proporção
Leonardo Pisa (1175-1240) a utilizou no seu livro Liber Abaci, mas há indícios de que os indianos já haviam
descrito essa sequência na data de 1202.
O Parthenon, um dos templos da Grécia Antiga, na Acrópole de Atenas utilizou harmonicamente as linhas
geométricas e a proporção. Os gregos buscavam o máximo de perfeição em tudo que construíam. A proporção
 e a simetria simbolizam a harmonia e beleza na Arquitetura (SANTOS, 2013).áurea
As obras do Oscar Niemeyer também apresentam as relações da razão áurea na concepção de seus conceituados
projetos. A concepção artística é a característica mais marcante da arquitetura de Oscar Niemeyer, mas toda a
sua concepção formal da estrutura, é baseada no equilíbrio por meio das relações de proporção que se
estabelecem com base na Razão Áurea (SANTOS, 2013).
Fique de olho
Verifique as nas obras de um dos maiores expoentes da arquiteturaproporções matemáticas
brasileira, Oscar Niemeyer, conforme indicado na pesquisa de Marcia Boiko dos Santos, A
Geometria na Arquitetura: uma abordagem dos estilos arquitetônicos da Antiguidade Clássica,
.do Renascimento e da Modernidade
- -38
Figura 21 - Fachada do Partenon
Fonte: Panptys, Istock, 2020.
#PraCegoVer: A imagem representa a fachada do Parthenon, onde pode se observar a proporção, simetria
resultado de uma construção que se baseia na Razão Aurea.
- -39
3.4 Função afim
A função afim, ou função do 1º grau, é uma , em que f:R→R e os números reais a e b, atendamfunção polinomial
a seguinte condição, ∀x ∈ R e b≠0, as funções f(x) = x + 7, g(x) = 8√2x - 8 e h(x) = 1/7 x são exemplos de funções
afim, a representação formal da função ~e indicada pela seguinte expressão:
y=f(x)= a x+ b
Onde:
• a é o coeficiente angular do gráfico de f
• b é o coeficiente linear, ou o ponto de intersecção com o eixo y
• x é a variável independente.
Na função afim, o número é chamado de coeficiente de e representa a taxa de crescimento ou taxa de variação a x 
da função. Já o número é designado como o termo constante.b
O gráfico da função afim é uma reta, o coeficiente a de x é denominado coeficiente angular e representa a
inclinação da reta em relação ao eixo X. O termo constante é considerado coeficiente linear e indica o ponto b
onde a reta corta o eixo Y (BROLEZZI, 2020).
Figura 22 - Gráfico com três pontos
Fonte: Lari Saukkonen, Shutterstock, 2020.
#PraCegoVer: A imagem representa um gráfico nos eixos X e Y com a indicação de três pontos formando uma
reta, indicando assim uma função afim.
Para identificar se uma função afim é crescente ou decrescente, se o coeficiente angular for positivo, a função
será crescente, mas se for negativo, será decrescente. Por exemplo, a função f(x) = 14x + 5 4 é uma função
•
•
•
- -40
crescente, pois seu coeficiente angular (a = 14), é um número positivo, ao contrário, função f(x) = - 12x + - 7, é
uma função decrescente, pois a = - 12 (BROLEZZI, 2020).
Resumindo:
a > 0 - Função afim crescente
a < 0 - Função afim decrescente
Existem vários tipos de função afim, conforme os valores a e b, que vão gerar subtipos da função afim.
- -41
3.5 Função identidade
Seja uma função f:R→R definida por , considerando a = 1 e b = 0, o gráfico de uma função identidade éf(x) = x
uma bissetriz dos 1º e 3º quadrantes, passando no ponto (0, 0) (BROLEZZI, 2020).
Figura 23 - Gráfico da função identidade
Fonte: Educa Mais Brasil, 2020 (Adaptado).
#PraCegoVer: A imagem representa um gráfico da Função Identidade. No caso da identidade o gráfico é
chamado de bissetriz dos quadrantes ímpares (1° e 3°).
- -42
3.6 Função constante
Uma função f:R→R é constante quando , logo a = 0 e o gráfico é uma reta paralela ao eixo x e quef(x) = b
intercepta o eixo Y no ponto b (BROLEZZI, 2020).
O gráfico abaixo representa a função f(x) = 2:
Figura 24 - Gráfico da função constante
Fonte: OLIVEIRA, 2020 (Adaptado).
#PraCegoVer: O gráfico da função constante é bidimensional e sempre será uma reta horizontal em relação ao
eixo x, isso ocorre, pois, o resultado é sempre uma reta.
- -43
3.7 Função linear
Uma função f:R→R é dita constante quando , logo b = 0 e o gráfico é uma reta paralela que cruza af(x) = a x
origem (0,0), por exemplo, a função f(x) = 2x, cujo gráfico será:
Figura 25 - Gráfico da função linear para a função f(x) = 2x
Fonte: Lari Saukkonen, Shutterstock, 2020.
#PraCegoVer: A imagem representa um gráfico nos eixos X e Y com a indicação de três pontos formando uma
reta, indicando assim uma função afim.
- -44
3.8 Equação modular
A equação modular é uma desigualdade em que a incógnita aparece dentro do módulo (FRANÇA, 2020). A função
modular mais simples é representadapela fórmula:
f x = | x |
A representação gráfica da equação é representada pelo gráfico abaixo:
Figura 26 - Gráfico da função modular
Fonte: RIGONATTO, 2020 (Adaptado).
#PraCegoVer: A imagem representa um gráfico da função modular nos eixos X e Y.
Uma é uma equação que contém um valor absoluto, sendo que o valor absoluto determina aequação modular
distância do valor em relação ao ponto zero, portanto, |x| mede a distância do ponto x até o zero (GUIDORIZZI,
2001). As equações modulares têm aplicação em simetrias, limites simétricos ou condições de contorno.
O módulo de um número real é, que é representado por || onde:
|| = se ≥ 0
|| = − se < 0
Algumas propriedades são importantes para aplicamos em soluções de equações modulares:
|| ≥ 0 ∀ ∈ 
|| = 0 ⇒ = 0
|| ≥ ∀ ∈ 
|| ≥ |−| ∀ ∈ 
- -45
|2| = ||2 = 2
| + | ≤ || + ||
| − | ≥ || − ||
|. | = ||. ||
∣∣x y∣∣=|x||y|
||| − ||| ≤ | − |
- -46
3.9 Função quadrática
A função é quadrática, ou função de segundo grau, sendo os coeficientes "a, b e c" números reais e "a" diferente
de zero.
f(x) = a x² + b x + c
O gráfico da função quadrática é uma parábola, cuja concavidade depende do valor de a:
a > 0 - a concavidade da parábola estará voltada para cima
a < 0 - a concavidade da parábola estará voltada para baixo
As são os pontos em que a parábola intercepta o eixo x e o é ponto de máximo ou mínimo araízes vértice
função. A função de segundo grau tem 2 (duas) raízes que podem ser calculadas pela fórmula de Bhaskara
(BROLEZZI, 2020).
Equações da Fórmula de : Bhaskara
x = 
A parábola da função quadrática corta o eixo x nas raízes ou zeros da função, em até dois pontos dependendo do
valor de . Assim, temos:Δ
• Se Δ > 0, o gráfico cortará o eixo x em dois pontos;
• Se Δ = 0, a parábola tocará o eixo x em apenas um ponto.
O , que é o valor máximo ou mínimo da função quadrática, e as suas coordenadas nos eixosvértice da parábola
X e Y, é calculado pelas fórmulas abaixo:
 e 
•
•
- -47
Figura 27 - Gráfico de uma parábola
Fonte: Marekuliasz, Shutterstock, 2020.
#PraCegoVer: A imagem representa o gráfico de uma parábola e a expressão matemática genérica de uma
função quadrática.
- -48
4 Função exponencial
A lei de formação de uma função exponencial indica que a base elevada ao expoente x precisa ser maior que zero
e diferente de um, conforme a seguinte notação:
f: R→R tal que y = a x, sendo que a > 1 ou 0 < a < 1.
Essas restrições são fundamentais, pois 1 elevado a qualquer número resulta em 1, o que dessa forma não seria
uma função exponencial, mas uma função constante. Outra regra básica é que a base não pode ser negativa, nem
igual a zero, pois para alguns expoentes para a função não estariam definidos (SILVA, 2020).
As funções exponenciais devem ser resolvidas utilizando as regras envolvendo potenciação.
Figura 28 - Gráfico de uma função exponencial
Fonte: Marekuliasz, Shutterstock, 2020.
#PraCegoVer: A imagem representa o gráfico de uma curva e a expressão matemática genérica de uma função
exponencial.
- -49
Para o gráfico de uma função exponencial, existem duas configurações, para a > 1 ou 0 < a < 1 (SILVA, 2020).
Conforme você pode verificar nos gráficos abaixo:
Figura 29 - Tipos de gráfico exponencial
Fonte: SILVA, 2020 (Adaptado).
#PraCegoVer: As duas imagens apresentam os dois tipos de gráficos de função exponencial para a > 1 ou 0 < a <
1.
- -50
4.1 Função logarítmica
A inversa da função exponencial é a função logarítmica. Nesse tipo de função o domínio é representado pelo
conjunto dos números reais maiores que zero, e o contradomínio, pelo conjunto dos reais (SILVA, 2020). A
função logarítmica é definida pela seguinte expressão:
f(x) = logax, com a ≠ 1 e a > 0
Sendo, o logaritmo de um número definido como o expoente ao qual se deve elevar a base a para obter o número
x, ou seja, f(x)= logax = ⇔ ay = x .
O gráfico de duas funções inversas, no caso a exponencial e logarítmica, são simétricos em relação a bissetriz dos
quadrantes I e III.
Figura 30 - Gráfico da função logarítmica
Fonte: BrasilEscola, 2020 (Adaptado).
#PraCegoVer: Podemos notar pela figura que (x,y) está no gráfico da função logarítmica se o seu inverso (y,x)
está na função exponencial de mesma base.
Desta maneira, conhecendo o gráfico da função exponencial de mesma base, por simetria podemos construir o
gráfico da função logarítmica. Podemos notar que (x,y) está no gráfico da função logarítmica se o seu inverso (y,
x) está na função exponencial de mesma base.
Função crescente - Para a > 1, temos o gráfico da seguinte forma:
- -51
Figura 31 - Gráfico de uma função logarítmica crescente
Fonte: Brasil Escola, 2020 (Adaptado).
#PraCegoVer: A imagem apresenta um gráfico de uma função logarítmica crescente.
Função decrescente - Para 0 < a < 1, temos o gráfico da seguinte forma:
Figura 32 - Gráfico de uma função logarítmica decrescente
Fonte: Radu Bercan, Shutterstock, 2020.
#PraCegoVer: A imagem apresenta um gráfico de uma função logarítmica decrescente.
- -52
4.2 Funções trigonométricas
Os primeiros estudos de trigonometria surgiram no Egito e na Babilônia, calculando as razões entre números e
os lados de triângulos semelhantes. No Egito, na data de 1650 a.C., surgiu o Papiro Ahmes, que é o mais completo
documento egípcio em matemática (COSTA, 2008).
A utilização da trigonometria para o cálculo de medidas é milenar, e acompanha a geometria. Mas, os estudos das
relações entre lados e ângulos deve-se a um astrônomo grego, Hiparco de Nicéia, considerado o pai da 
.Trigonometria
- -53
4.3 Funções trigonométricas: seno, cosseno e tangente
As definições de seno, cosseno e tangente estão relacionadas com o estudo do triângulo retângulo, que
estabelece razões entre as medidas de seus lados: catetos, lados que formam o ângulo reto, e hipotenusa, lado
que se opõe ao ângulo reto. Portanto, o triângulo retângulo apresenta as seguintes características:
• Seno - a razão entre o cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa.
• Cosseno - a razão entre o cateto adjacente ao ângulo e a hipotenusa.
• Tangente - a razão entre o cateto oposto ao ângulo e o cateto adjacente a esse mesmo ângulo.
Um dos conceitos fundamentais da Trigonometria é o do triângulo, onde temos que a soma dos ângulos internos
do triângulo deve ser 180 graus. Os ângulos notáveis são os de 30º, 45º e 60º, que são representados na Tábua
, que apresenta o valor dos ângulos 0º a 90º, correspondendo a um quarto do cicloTrigonométrica
trigonométrico. Para cada ângulo da tábua há os respectivos valores de seno, cosseno e tangente.
A primeira tabela trigonométrica envolvia apenas ângulos notáveis, isto é, os ângulos de 30º, 45º e 60º., mas
apenas para fins didáticos, pode ser inclusivo os ângulos 0 e 90, de forma a informar todos os valores, portanto
segue a tábua trigonométrica, acrescentando alguns ângulos:
Tabela 1 - Tábua trigonométrica
Fonte: Elaborada pela Autora, 2020.
#PraCegoVer: A imagem apresenta a Tábua Trigonométrica com a relação dos senos, cossenos e tangente.
Analisando a tabela acima, pode ser anlisar a repetição e a sequência de cada dado, de forma que tem 1, 2 e 3 na
primeira linha; 3, 2 e 1 na segunda; divide-se tudo por 2, e o único numerador que não possui raiz é o 1. A linha
referente à tangente é obtida pela divisão dos valores de seno por cosseno.
A partir dos cálculos dos ângulos de um triângulo retângulo, obtemos os seguintes valores:
sen (60º) = cos(30º) = √ 3 /2
cos(60º) = sen (30º) = 1 2
•
•
•
- -54
sem (45º) = cos (45º) = √ 2 / 2
E dessa mesma forma é possível calcular os demais valores da tabela. O sinal das funções trigonométricas varia
de acordo com o quadrante.
Assim,
sen(θ) > 0 em I e II;
cos(θ) > 0 em I e IV;
tan(θ) > 0 em I e III.
4.4 Teorema de Pitágoras
Através dessa relação é possível descobrir a medida de um lado de qualquer triângulo retângulo, desde que as
outras duas sejam conhecidas, ou, o problema traga informações suficientes para deduzi-lo.
Teoremade Pitágoras: “Em todo triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados
dos catetos: ”.
Desta forma, considera-se o triângulo retângulo a seguir:
Figura 33 - Triângulo retângulo
Fonte: Alunos on Line, 2020 (Adaptado).
#PraCegoVer: A imagem apresenta as relações trigonométricas do triangulo retângulo ABC.
 , sendo a representa a hipotenusa, b e c os catetos.
- -55
4.5 Lei dos senos
Considere o triângulo ABC, acutângulo, abaixo, onde CH é a altura relativa ao lado AB.
Figura 34 - Triângulo e a Lei dos Senos
Fonte: Educa Mais Brasil, 2020 (Adaptado).
#PraCegoVer: A imagem apresenta as seguintes relações dos triângulos com base no Teorema dos cossenos.
No triângulo ACH, temos que:
No triângulo BCH, temos que:
Associando as duas fórmulas acima, obtemos:
b. sen A = a. sen B
ou 
Assim, podemos concluir que:
Esta é chamada de Lei dos senos ou Teorema dos senos.
- -56
A indica que as medidas dos lados de um triângulo qualquer são proporcionais aosdefinição da lei dos senos 
senos dos ângulos opostos a estes lados, sendo a constante de proporcionalidade igual a 2R, onde R é o raio da
circunferência circunscrita ao triângulo ABC (VIANA, 2005).
A Lei dos Senos e dos Cossenos é um dos teoremas mais importantes da trigonometria, a aplicação dessa lei é
específica para o triângulo acutângulo (possui todos os ângulos agudos, menores que 90°), o triângulo obtuso
(possui um ângulo interno obtuso, maior que 90º), entre outros. Esse teorema demonstra que num mesmo
triângulo a razão entre o valor de um lado e o seno de seu ângulo oposto será sempre constante.
Assista aí
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é isso Aí!
Nesta unidade, você teve a oportunidade de:
• conhecer as noções e conceitos preliminares que envolvem os conjuntos numéricos: números naturais, 
inteiros, racionais, irracionais, complexos e números reais.
• compreender os conceitos básicos de estatística para a organização e análise de dados.
• aprender sobre os três tipos de geometria e suas aplicações.
• conhecer os erros absolutos, relativos, de arredondamento e truncamento.
• conhecer as expressões matemáticas e gráficos das funções matemáticas.
Referências
ABORDANDO A MATEMÁTICA . 2015. Disponível em: < . A Matemática na Arquitetura
> . Acesso em 12 mai. 2020.https://abordandoamatematica.wordpress.com/2015/09/14/173/
BROLEZZI, A. C.; SALLUM, E. M.; MONTEIRO, M. S. Disponível em: <Matemática: funções e gráficos.
>. Acesso em 12 mai. 2020.http://www.cienciamao.usp.br/dados/pru/_numerosparaque.apostila.pdf
CAVALCANTI, J. Material adaptado dos slides da disciplina Cálculo Numérico da UFCG.Cálculo Numérico. Erros.
Disponível em: < >. Acesso em 14 mai. 2020.http://www.univasf.edu.br/~jorge.cavalcanti/3CN_erros.pdf
•
•
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•
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- -57
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Maria, Curso Técnico em Automação Industrial, 2011.Disponível em: <https://www.ufsm.br/unidades-
.> Acesso em 14 mai. 2020.universitarias/ctism/cte/wp-content/uploads/sites/413/2018/11/04_estatistica.pdf
COSTA, N. M. L. A História da Trigonometria; PUCSP 2008.Disponível em: <. http://www.ufrgs.br/espmat
>. Acesso em 16 mai. 2020./disciplinas/geotri/modulo3/mod3_pdf/historia_triogono.pdf
DENICOL, D. A. . TeseAnálise da complexidade do processo de projeto integrado da obra de arquitetura
(Mestrado em Arquitetura e Urbanismo) – Universidade do Vale do Rio dos Sinos, São Leopoldo, RS.2018.
FUNÇÃO IDENTIDADE. Educa Mais Brasil, 2020. Disponível em: < https://www.educamaisbrasil.com.br/enem
>. Acesso em 16 mai. 2020./matematica/funcao-identidade
FRANÇA, Mi. V. D. Pedagogia & Comunicação. DisponívelInequações modulares - Estratégias de resolução. 
em: <https://educacao.uol.com.br/disciplinas/matematica/inequacoes-modulares-estrategias-de-resolucao.htm
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>. Acesso em 14 mai. 2020./matematica/area-de-um-circulo/
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