Mecânica dos Fluidos: Conceitos Fundamentais

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CAT118 - DECAT/UFOP
Mecânica dos fluidos
É a parte da mecânica aplicada que se 
dedica a análise do comportamento 
dos líquidos e gases tanto em equilíbrio 
quanto em movimento
Notas de aulas de
Mecânica dos fluidos
2o Semestre de 2012
Professora Eliana Ferreira Rodrigues
CAT118 - DECAT/UFOP
Capítulo 1 - Conceitos fundamentais
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• MUNSON, B.R., YOUNG, D. F, OKIISHI,T.H., Fundamentos da Mecânica dos 
Fluidos, tradução da 2ª edição Americana, vol.1 e vol2, Editora, Edgard Blücher, 
Ltda.,1997
• White Frank M. , Mecânica dos Fluidos, McGraw-Hill Interamericana do Brasil 
Ltda., 4a edição, Rio de janeiro, 2002.
• MERLE C. POTTER e DAVID C. WIGGERT, Mecânica dos Fluidos, Pioneira 
Thomson., 3a edição,São Paulo.2004
• Çengel Y.A. Cimbala J.M. Mecânica dos Fluidos-Fundamentos e Aplicações. 1ª 
Edição- São Paulo:McGraw-Hill,2007.
• FOX. W .R. & McDONALD, A.T. Introdução à Mecânica dos Fluidos. Ed. LTC, 
Rio de Janeiro, 6a edição, 2006.
• Brunetti F. Mecânica dos Fluidos. Editora Prentice Hall, São Paulo2005.
• VIANNA, M.R., Mecânica dos Fluidos para Engenheiros, 3ª edição, Belo 
Horizonte, Imprimatur, 1997
• CARVALHO, D.F. Instalações elevatórias. Bombas.
• CHAVES Arthur Pinto, Teoria e Prática de tratamento de minérios, volume 1 
capítulo 2, Will ....,
Bibliografia:
Conteúdo:
Apresentação da disciplina.
CAPÍTULO 1 CONCEITOS FUNTAMENTAIS
Conceitos fundamentais. Aplicações
CAPÍTULO 2 – ESTÁTICADOS FLUIDOS
Estática dos fluidos. Aplicações
Forças sobre superfícies planas. Aplicações
Forças sobre superfícies curvas. Aplicações.
1a Prática de Laboratório
CAPÍTULO 3 – CINEMÁTICA DOS FLUIDOS
Métodos de análise, Sistema e volume de controle; método diferencial e integral. Métodos de descrição. 
Descrição e classificação dos movimentos dos fluidos. Trajetória, linha de corrente. Vazão e velocidade 
média de um escoamento.
CAPÍTULO 4 – DINÂMICA DOS FLUIDOS
Equação da conservação da massa. Aplicações.
Equação da quantidade de movimento linear. Aplicações.
Equação da energia e equação de Bernoulli, pressões estática, dinâmica e total. Aplicações
2a Prática de Laboratório
CAPÍTULO 5 – LEIS BÁSICAS NA FORMA DIFERENCIAL
Introdução à análise diferencial do movimento dos fluidos.
Equações de Navier-Stokes. Aplicações.
CAPÍTULO 6 – ANÁLISE DIMENSIONAL E SEMELHANÇA 
Análise dimensional e semelhança.
Teorema de Pi de BuckinghamAplicações
CAPÍTULO 7 – ESCOAMENTO VISCOSO INCOMPRESSÍVEL EM CONDUTOS
Escoamento viscoso incompressível, escoamento laminar e turbulento.
Escoamento interno em dutos e tubos; perda de carga. Aplicações.
Teoria da Camada limite. Aplicações.Escoamento em torno de corpos submersos. Aplicações.
3a Prática de Laboratório
Capítulo 1 - Conceitos fundamentais
1.1 - Histórico
1.2 - Definição de um fluido
condição de não deslizamento
1.3 - Propriedades de um fluido
Temperatura, pressão , massa específica, 
densidade relativa 
viscosidade
pressão de vapor, 
tensão superficial
1.5 - Compressibilidade dos fluidos
1.6 - Lei dos gases perfeitos
1.7 Tipos de forças que atuam em um fluido
1.8 - Sistemas de Unidades e Dimensões
homogeneidade dimensional
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Capítulo 1 - Conceitos fundamentais
1.1 - Histórico
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Capítulo 1 - Conceitos fundamentais
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Como resolver os problemas utilizando os recursos 
disponíveis em mecânica dos fluidos
Dinâmica dos 
fluidos analítica 
(DFA)
Dinâmica dos 
fluidos 
experimental 
(DFE)
Dinâmica dos 
fluidos 
computacional 
(DFC)
1.2 - Definição de um fluido
a) sólido b) fluido
Fluido é uma substância que se deforma continuamente sob a ação de um esforço (tensão de 
cisalhamento) tangencial, não importando quão diminuto seja este esforço.
ex. fase líquida e gasosa (ou vapor)
Condição de não deslizamento: o fluido em contato direto com sólido possui a mesma 
velocidade que o próprio sólido, isto é , não há deslizamento no contorno.
Fluido como um meio contínuo: efeitos globais ou médios 
(macroscópicos) de muitas moléculas
Capítulo 1 - Conceitos fundamentais
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FF
F
t1t1 t2 t2
Capítulo 1 - Conceitos fundamentais
1.3 - Propriedades físicas
c) Massa específica ( ρ ): ρ ): ρ ): ρ ): é a massa por unidade de volume (em SI é kg/m3)
a)Temperatura do fluido - ( Τ ): Τ ): Τ ): Τ ): ; 
b) Pressão do fluido - ( P ): ): ): ): ; 
Capítulo 1 - Conceitos fundamentais
Peso específico (γ)γ)γ)γ)
é definido como o peso por unidade de volume
(em SI é N/m3) 
d) Calor específico (C)
é a quantidade de calor ( energia) que se deve fornecer a um fluido para que sua 
temperatura varie certa quantidade.
γ ρ= g
v =
1
ρ
Volume específico ( ν )ν )ν )ν )
é o volume ocupado por uma unidade de massa (em SI é m3/kg)
Densidade relativa ( DR ))))
é definida como a razão entre a densidade específica do fluido e a densidade 
específica da água
CoOH
RD
4@2
ρ
ρ
=
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Tabela de algumas propriedades de fluidos
Capítulo 1 - Conceitos fundamentais
Capítulo 1 - Conceitos fundamentais
t a n δ β δ β δ≈ = a
b
AF /=τ
Como δδδδa=Uδδδδt, segue que δ β
δ
=
U t
b
.
Para fluidos comuns (como água, óleo, gasolina e ar)
τ µ= d u
d y
µ viscosidade dinâmica do fluido e ν viscosidade cinemática
Num intervalo, δt, uma linha vertical AB no fluido rotaciona de um ângulo δβ. 
Placa estacionária
δ a
F
B1 B2 u
A taxa de deformação por cisalhamento, γγγγ é definida
& l i mγ δ βδδ= →t t0
a tensão de cisalhamento aumenta se aumentarmos o valor de F ( pois ) e 
a taxa de deformação por cisalhamento aumenta proporcionalmente, isto é , 
&γ = =U
b
d u
d y
U
γτ &∝
dy
du
∝τ
Escoamento para fluidos Newtonianos
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δβ
Ex. a resistência da glicerina é maior que a resistência da água, 
logo é mais viscosa.
e) Viscosidade - µ
⇒propriedade capaz de descrever a fluidez das substâncias
⇒resistência do fluido à deformação quando submetido a tensão cisalhante.
Significado físico: µ é a capacidade de transferir quantidade de movimento (momentum)
Tensão de cisalhamento em função da taxa de 
deformação (du/dy) 
Capítulo 1 - Conceitos fundamentais
Capítulo 1 - Conceitos fundamentais
Para gases: µ aumenta quando T aumenta
para líquidos: µ diminui quando Τ aumenta
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Para gases,
equações de Sutherland
Para líquidos,
equação de Andrade
Variação da viscosidade com a temperatura
Capítulo 1 - Conceitos fundamentais
Capítulo 1 - Conceitos fundamentais
Fluidos não-Newtonianos
a tensão de cisalhamento não é diretamente proporcional à taxa de deformação.Ex. tinta , 
pasta dental, polímeros
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ρ
µ
ν =
12
3
11
−
−
−−
= tL
ML
tML
Independe da massa
ν = m2/s ν = cm2/s= 1 stokes ν = ft2/s
viscosidade cinemática, ν
222 Lt
M
Lt
ML
A
F
===
−
τ
tLt
L
L
V
y
ue
1
.
===∂
∂
Lt
M
=µ
µ = kg/(m s )
µ = g/(cm s )= poise
µ =(Ν.s)/m2
µ =lbf/(ft2s) 
Unidades de viscosidade
viscosidade dinâmica, µ
y
u
∂
∂=
τµ
Capítulo 1 - Conceitos fundamentais
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Valores de viscosidade dinâmica 
para vários fluidos
Capítulo 1 - Conceitos fundamentais
Mecânica dos fluidos 
dos meios contínuos
Não viscoso, µµµµ=0 Viscoso
Laminar Turbulento
Interno ExternoIncompressívelCompressível
Possível classificação da mecânica dos fluidos
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Logo cavitação é uma mudança de fase muito rápida de líquido para 
vapor, que ocorre em um líquido todas as vezes que a pressão local for 
igual ou menor que a pressão de vapor
• Se a pressãono líquido > pressão de vapor, existe unicamente troca entre o liquido 
e o vapor através da evaporação.
•Se pressão no líquido < pressão de vapor, bolhas de vapor aparecerão no líquido.
– Cavitação ocorre quando a pressão no líquido cai muito abaixo da pressão 
de vapor devido a um fenômeno de fluxo
Capítulo 1 - Conceitos fundamentais
depende das forças intermoleculares 
depende da temperatura
Pressão
de vapor
h- Pressão de vapor - Pv
Define-se pressão de vapor à pressão que o vapor exerce na superfície da fase
liquida de um fluido, quando o equilíbrio entre o número de moléculas que
deixam a superfície é igual ao número de moléculas que é absorvido pela
mesma superfície (isto é, o vapor está saturado), ou seja
Capítulo 1 - Conceitos fundamentais
1.8.2 - Compressão e expansão de gases
Processos politrópicos teconsp n tan=ρ
..0 constpconst
p
=→=
ρ
..1 constTconst
p
=→=
ρ
)(. adiabáticoconstp k →=ρ
Processo isobárico: n=0
Processo isotérmico: n=1 
Processo isoentrópico: n=k 
Processo isovolumétrico: .. constVconstp =→=∞ρ∞→n
P
V
1.8.3 - Velocidade do som
c
VM =
Número de Mach
Onde V é a velocidade do escoamento e 
c a velocidade do som, no gás
ívelincompressM ⇒< 3,0CAT118 - DECAT/UFOP
Capítulo 1 - Conceitos fundamentais
1.7.- Lei dos gases perfeitos
Onde p= pressão absoluta, [FL-2]
ρ ρ ρ ρ = massa específica,[ML-3]
T = temperatura absoluta,[T]
R é a constante particular do gás
RTp ρ=
Dimensão:
[ ]




≡
=





≡
−−+
−−−
MT
FL
TtML
T
MLLMtR 122
1312
Unidades: KkgJSI ./→
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Propriedades físicas aproximadas de alguns 
gases
Capítulo 1 - Conceitos fundamentais
f - Compressibilidades dos fluidos - Ev
f.1 - Módulo de Elasticidade volumétrico (coeficiente de compressibilidade)
É fácil variar o volume de uma certa massa de fluido
pelo aumento do valor da pressão?
A propriedade utilizada para caracterizar a compressibilidade de um fluido é 
definida como o módulo de elasticidade volumétrico
VdV
dpE v /
−=
Vm ρ=Mas,
ρρ /d
dpE v −=
Dimensão: Ev=FL-2 - Unidades em Si: N/m2 (Pa)
Fluido incompressível Ev é grande e
portanto a variação da densidade é desprezível
Líquidos Ev aumenta com a pressão
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é um fenômeno pelo qual os fluidos interagem na interface com outros 
fluidos ou sólidos, quer através de forças de coesão (quando há atração 
mútua entre as moléculas de um fluido) e de adesão (quando há atração 
entre as moléculas do fluido e as moléculas de uma superfície adjacente. 
Assim a interface fluido-sólido depende daquilo que se chama 
molhabilidade característica do fluido. 
g - Tensão superficial
dL
dFY == τ
Valores para ar-água σ = 0,073 N/m 
ar-mercúrio σ = 0,48 N/m 
e σ diminui com a temperatura do líquido 
σ é zero no ponto crítico
Capítulo 1 - Conceitos fundamentais
Capítulo 1 - Conceitos fundamentais
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( ) ( )βασ
βσασ
sensen2
sen2sen2
21
21
dydxdxdypp
dydxdxdypdxdyp
+=−
++=
21 2
sen
2
sen
R
dx
e
R
dy
== βα
( ) 





+=−
21
21 22
2
R
dxdy
R
dydxdxdypp σ
( ) 





+=−
21
21
11
RR
pp σ
1.9.1 - Capilaridade
Tubo Capilar
h
σσσσ
r
α α
hrg 2cos2 piραpiσ =
r
h
γ
αpiσ cos2
=
WF =
A componente vertical da tensão superficial em um tubo, na sua interface, 
deve balancear o peso da coluna de fluido de altura h, isto é:
Coesão e Adesão
Peso da 
coluna de 
líquido
Propriedades Físicas aproximadas 
de alguns líquidos
1.7. Forças que atuam em um fluido
b) Forças de superfície - todas as forças exercidas sobre um contorno por meio da 
vizinhança, através de contato direto são elas: forças normais (pressão); forças 
tangenciais ( cisalhamento)
Força de superfície (contato) e de corpo ( campo ou massa)
∀= gd
c
F ρ
Capítulo 1 - Conceitos fundamentais
a) Força de corpo - todas as forças externas sobre o material sem contato físico.
Ex. força de gravidade, eletromagnéticas, etc.
2
3
23 t
MLL
t
L
L
M
=
N
s
mkg
=2
.
Concluindo as forças podem ser de quatro natureza: 
gravidade; pressão; viscosa e inercial 
Tensão em um ponto
Produto escalar ( escalar x vetor= vetor)
O vetor kAjAiAnA zyx
ˆˆˆ δδδδ ++=⋅ r
kFjFiFF zyx ˆˆˆ δδδδ ++=
r
Da mesma formar
Logo a eq. 1 pode ser substituída por 9 equações escalares
),,,(lim
0
zyxjionde
A
F
T
i
j
A
ij ==
→ δ
δ
δ
i (1o índice ) o plano sobre o qual a tensão atua
j (2o índice ) a direção sobre o qual a tensão atua
Campo de Tensões
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Capítulo 1 - Conceitos fundamentais
Capítulo 1 - Conceitos fundamentais
Tensão normal, σσσσ
A
F n
A δ
δ
σ
δ
lim
0→
=
Tensão de cisalhamento, ττττ
A
F t
A δ
δ
τ
δ
lim
0→
=
x
y
∆∆∆∆z
∆∆∆∆y
∆∆∆∆x
σσσσzz
ττττyx
σσσσyy
ττττyz
ττττxy
σσσσxx
ττττzx
ττττzy
ττττxz
z
Convenção de sinal: 
tensão positiva quando o plano sobre o qual ela atua e a direção sobre o qual ela 
atua são ambos positivos ou ambos negativos
tensão negativa quando o plano sobre o qual ela atua e a direção sobre o qual ela 
atua tem sentidos contrários.
Ex. τyx=5 lbf/ft2
representa plano y (+) e direção x (+) ou
plano y(-) e direção x (-)










zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
σττ
τστ
ττσ
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Tensor de tensões
Capítulo 1 - Conceitos fundamentais
1.8 Dimensões e unidades
Massa (M), comprimento (L), tempo (t) e temperatura (T)
a) Sistema de dimensões MLtT:
• dimensões secundárias (dependentes):
Representação dimensional
Da 2a Lei de Newton: F= ma






≡
t
LV 





≡ 2L
FP
1.8.1.Sistema de Dimensões
Força (M), comprimento (L), tempo (t) e temperatura (T)
b) Sistema de dimensões FLtT:
• dimensões básicas:






≡
t
LMF ][][
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Homogeneidade dimensional
Unidades em SI:
Energia
1.8.2 .Sistemas de unidades
J=N.m
Potência
Pressão Pa=N/m2
W=J/s
Sistema Inglês de engenharia - FLtT:
Força lbf
Massa slug
Comprimento
Temperatura
ft
R
tempo s
Força N
Massa kg
tempo s
Comprimento m
Temperatura K
1. Se 6,0m3 de óleo pesam 47,0 kN determine o peso específico, massa 
específica e a densidade do fluido. Resp. g=7899,34 N/m3, r=798,51 
kg/m3, Dr=0,8
2. Um fluido tem uma viscosidade dinâmica de 5x10-3 N.s/m2 e uma massa 
específica de 0,85kg/dm3. Determinar a sua viscosidade cinemática. 
Resp. n=5,88 x 10-6 m2/s
3. Qual o valor da pressão em lbf/in2 (psi) e em N/m2 (Pa) de 5 Kgf/cm2 
4. Qual é o valor da viscosidade dinâmica m=3,5 x10-5 lbf.s/ft2 em SI e em 
poise
5. Um líquido foi colocado no interior de um balão volumétrico, suposto 
indeformável, cuja capacidade é de 500ml. O peso do balão vazio é 750 
gf e o peso do balão cheio de líquido passou a ser de 7,55 kgf. 
Posteriormente, instalou-se um êmbolo no interior do gargalo do balão. 
O diâmetro interno é 1 cm. Aplicou-se ao êmbolo uma força de 300 kgf e 
o êmbolo deslocou-se uma distância de 5 mm. Determine em SI as 
seguintes propriedade do líquido: a) massa específica; b) peso 
específico; c) densidade relativa; d) volume específico; e) módulo de 
elasticidade volumétrico.
6. Considere um gás perfeito, a 27 oC, aprisionado num cilindro por um 
êmbolo de peso desprezível, que se move ao longo do cilindro, sem 
atrito. Coloquemos sobre o êmbolo um peso W. em seguida, aquecemos 
o gás a 127oC. Observa-se, conseqüentemente um aumento de 50% na 
pressão absoluta do gás. Sendo Vi o volumeinicial de gás, qual será seu 
volume final?
7.Uma placa infinita move-se sobre outra igual e estacionária. Entre ambas há 
uma camada líquida de espessura e. A lei de distribuição das 
velocidades para escoamento laminar entre placas planas paralelas é 
linear e a viscosidade do óleo é (m=0,65x10-3kg/m.s) e velocidade média 
da placa é V=0,3 m/s , e=3 mm e a densidade relativa é 0,88. Determine 
a tensão de cisalhamento (tangencial) que atua na placa superior
8.Uma placa de vidro quadrada de 0,6 m de lado desliza sobre um plano 
inclinado também de vidro. Sabendo-se que a placa pesa 30 N e que 
adquire uma velocidade constante de 5 cm/s, quando o plano tem 
inclinação de 30º em relação à horizontal, determinar a viscosidade 
dinâmica da película lubrificante de 0,1 mm, que está entre as 2 
placas. Resp.: 0,0833 Nm-2.s
9. Determinar a viscosidade dinâmica e cinemática do fluido lubrificante para 
que o conjunto esquematizado a seguir tenha velocidade constante e 
igual a 2 m/s. 
Dados: Gbloco = 20 N ; G = 80 N ; g = 10 m / s ; DR=07 γH20=9810 
N/m3.
10.A lei de distribuição das velocidades para escoamento laminar no interior 
de um tubo é dada por onde r é a distância radial da linha do centro, u 
é a velocidade em qualquer r e b é uma constante. Determine:
a tensão de cisalhamento que atua na parede do tubo devido ao escoamento 
d'água?
a tensão de cisalhamento que atua no em uma posição r=D/4?
A força na parede se o comprimento do tubo é L.
11. Um viscosímetro de cilindros concêntricos pode ser formado girando-se 
o cilindro interno enquanto o cilindro externo permanece fixo, de tal 
modo que a folga entre eles seja muito pequena. Para pequenas 
folgas, pode-se supor um perfil de velocidade linear no líquido que 
preenche o espaço anular. Este viscosímetro tem um cilindro interno 
de 75 mm de diâmetro e 150 mm de altura, e uma folga entre os dois 
cilindro de 0,02 mm. Um torque de 0,021 N.m é necessário para girar o 
cilindro interno a 100 rpm. Determine a viscosidade do líquido na folga 
do viscosímetro?
;;;;;;
4@2
RTp
d
dp
VdV
dpE
dy
duDg
V
m
amF v
CoOH
f
R ρρρ
µτ
ρ
ρ
ργρ ==−======∑
vr
ρ
µ
ν =
EXERCÍCIOS - SÉRIE No 1 - Capítulo 1 – Conceitos fundamentais
1ft=12 in=0,3048m; lbm=0,4536 kg; 1slug=32,2 lbm; 1kgf=9,81 N; g=9,81 m/s2 ou g=32,2ft/s2