mec-flu

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3. Cinemática dos fluidos 
É a parte da mecânica dos fluidos que estuda o comportamento
do fluido em movimento sem se importar com os efeitos 
das forças
),,,( tzyxVV
rr
=
Em função das componentes escaleres, tem-se
kVjViVV zyx ˆˆˆ ++=
r
ou
ktzyxwjtzyxvitzyxuV ˆ),,,(ˆ),,,(ˆ),,,( ++=r
Em um instante, o campo de velocidade, V, é função das coordenadas espaciais 
x,y,z e a velocidade em qualquer ponto pode variar de um instante a outro
3.1 - Campo de velocidade
Capítulo 3
( ) ktzyxwjtzyxvitzyxuV ˆ),,,(ˆ),,,(ˆ,,, ++=r
Para o campo de velocidade,
3.2 - O Campo de aceleração
TEF301 - DETEF/UFOP
dt
Vd
a
r
r
=
{t
V
z
V
w
y
V
v
x
V
u
Dt
VD
a ∂
∂
+∂
∂
+∂
∂
+∂
∂
==
r
444 3444 21
rrrr
r
A aceleração
Aceleração total 
da partícula
Aceleração 
convectiva
Aceleração 
local
logo
t
u
z
u
w
y
u
v
x
u
u
Dt
Du
a
x ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
==
r
t
v
z
v
w
y
v
v
x
v
u
Dt
Dv
a y ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
==
r
t
w
z
w
w
y
w
v
x
w
u
Dt
Dw
a z ∂
∂
+∂
∂
+∂
∂
+∂
∂
==
r
z
y
x
Trajetória 
da partícula
Capítulo 3 - Cinemática dos fluidos
portanto
Capítulo 3 - Cinemática dos fluidos
CAT118 - DECAT/UFOP
3.3 - Métodos de análise
a) sistema - quantidade de massa fixa e identificável
•separado do meio exterior pela fronteira do sistema
•fronteira fixa ou móvel
•não há transferência de massa através da fronteira
Ex.: conjunto pistão-cilindro
b) volume de controle - volume arbitrário no espaço 
através do qual o fluido escoa,
•o contorno do v.c. é a superfície de controle, s.c.
•a s.c. pode ser real ou imaginária
•o v.c. pode ser finito ou infinitesimal
Ex.: superfície de controle
imaginária 
real
gá 
Capítulo 3 - Cinemática dos fluidos
TEF301 - DETEF/UFOP
3.4- Métodos de descrição
a) Método de Lagrange
método que descreve o movimento da partícula, acompanhando-a em sua 
trajetória total
•as coordenadas (x,y,z) são variáveis dependentes.
b) Método de Euler
Observa o escoamento a partir de um sistema de referência fixo em relação a 
um volume de controle.
•descrição de campo
•as coordenadas (x,y,z)
são todas independentes.
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CAT118 - DECATUFOP
3.1. Metodosos de visualização dos escoamentos
Linha de corrente:é a linha contínua tangente ao campo
de velocidade
• obtida analiticamente
Linha de emissão: são todas partículas do escoamento
que passaram por um ponto
• utilizadas em trabalhos experimentais
Trajetória: é a linha traçada por uma dada partícula que
escoa de um ponto para outro
Linha de filete (raia): linha que une as partículas que passam em determinado
lugar no espaço.
Capítulo 3 - Cinemática dos fluidos
3.1. Tipos de movimentos das partículas de um fluido
a) movimento de translação
b) movimento de rotação
c) movimento de deformação linear
d) movimento de deformação angular
Capítulo 3 - Cinemática dos fluidos
TEF301 - DETEF/UFOP
3.5- Classificação do escoamento do fluido
3.5.1- Quanto a geometria 
a) Escoamento Tridimensional 
b) Escoamento Bidimensional 
c) Escoamento Unidimensional
3.5.1- Quanto ao tipo de escoamento
Capítulo 3 - Cinemática dos fluidos
Escoamento interno ou externo
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3.5.2- Quanto à direção da trajetória
Capítulo 3 - Cinemática dos fluidos
TEF301 - DETEF/UFOP
3.5.3- Quanto à variação no tempo
• Permanente,
• transiente,
Capítulo 3 - Cinemática dos fluidos
r r
V V x y z t= ( , , , )
r r
V V x y z= ( , , )
TEF301 - DETEF/UFOP
3.5.4 - Quanto à variação da seção do escoamento
Uniforme Variado
3.5.5 - Quanto ao tipo de escoamento
FORÇADO
Quando a seção transversal de um conduto, em dado trecho, é preenchida 
inteiramente pelo fluido, e o mesmo escoa a uma pressão maior do que a 
atmosférica
Exemplo: Em condutos forçados, por gravidade ou por bombeamento
À SUPERFÍCIE LIVRE
Quando o escoamento ocupa apenas uma parte da seção transversal de um 
conduto (fechado ou não) e apresenta a superfície livre do líquido sujeita à 
pressão atmosférica
Exemplo: Em canais (naturais ou artificiais) ou em condutos fechados (ex.: 
projeto de rede de esgotos)
Capítulo 3 - Cinemática dos fluidos
3.5.6- Quanto ao seu desenvolvimento
Em desenvolvimento – quando o perfil de velocidade está em processo de 
mudança, tendendo a se estabilizar. Ex. entradas de dutos e tubos ou na 
mudança brusca de geometria
Totalmente Desenvolvido – quando os perfis de velocidade não
Variam com relação à coordenada espacial na direção do escoamento
Capítulo 3 - Cinemática dos fluidos
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Capítulo 3 - Cinemática dos fluidos
3.5.7 - Quanto ao movimento de rotação
• Rotacional e Irrotacional ( não rotacional)
Capítulo 3 - Cinemática dos fluidos
Capítulo 3 - Cinemática dos fluidos Capítulo 3 - Cinemática dos fluidos
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Classificação da Mecânica dos Fluidos
3.6 - Métodos diferencial e integral
a)Método diferencial 
• uso de equações diferenciais governando o movimento.
•Fornece um meio para determinar o comportamento detalhado do 
escoamento, (isto é, ponto a ponto)
b) Método integral 
• usa sistemas finitos ou volumes de controle,
• em geral é mais fácil tratar analiticamente. 
•Comportamento global.
Capítulo 3 - Cinemática dos fluidos
TEF301 - DETEF/UFOP
3.7 - Leis básicas
1) A conservação da massa
2) A segunda lei do movimento de Newton
3) O princípio do momento da quantidade de movimento ou o 
momento do momentum
4) A primeira lei da termodinâmica
5) A segunda lei da termodinâmica
Capítulo 3 - Cinemática dos fluidos
TEF301 - DETEF/UFOP
Vazão volumétrica: AVQ .=
∫=
A
dAV
A
V .1Velocidade média:
AVm ρ=&Vazão mássica:
[ ] [ ]1321 −− ≡≡ tLLLtQ
[ ] [ ]1213 .. −−− ≡≡ MtLLtMLm&
3.8 - Conceito de vazão e velocidade média
Tubo de corrente
Filamento de corrente
3.9 – Teorema de Transporte de Reynolds
�Estabelece uma forma de converter uma análise de Sistema para uma 
análise de volume de controle
Esta transformação pode ser aplicada a todas Leis básicas da Mecânica do 
Contínuo, quando relacionada a derivada temporal de uma grandeza do 
sistema à taxa de variação da mesma grandeza no interior de uma certa 
região ou volume de controle 
Seja B ( propriedade extensiva) um parâmetro físico qualquer ( velocidade, 
temperatura, energia etc.) e b a quantidade deste parâmetro por unidade 
massa ( propriedade intensiva), logo:
Capítulo 3 - Cinemática dos fluidos
CAT118- DECAT/EF/UFOP
A quantidade de uma propriedade extensiva que um sistema apresenta 
num dado instante Pode ser determinada pela somatória da quantidade
Associada a cada partícula fluida que compõem o sistema
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Capítulo 3- Cinemática dos fluidos Finalmente a expressão matemática para o Teorema de 
Transporte de Reynolds
Taxa de mudança de qualquer propriedade 
extensiva do sistema
Capítulo 3- Cinemática dos fluidos
Taxa de mudança de qualquer propriedade
B dentro do volume de controle
Fluxo líquido de qualquer propriedade
B que atravessa a superfície de controle
Derivadas (revisão) 
Derivada parcial: 
Estamos em uma ponte e observamos como a concentração de peixes logo abaixo muda 
com o tempo. Observamos como a concentração muda com o tempo numa posição 
fixa no espaço. 
Pegamos um barco e vamos às vezes para cima, às vezes para baixo e às vezes para o lado. 
Derivada substancial: 
v , v , v – são as componentes da velocidade local do fluido v. 
Capítulo 3- Cinemática dos fluidos
νµ
ρ hDVDV
==Re ; ∫= AdVA
V
rr
.
1
; )/(. 3 smAV=∀& ; )/( skgAVm ρ=& ; kVjViVV zyx ˆˆˆ
rrrr
++= 
 
 
1. Umfluido Newtoniano, que apresenta a viscosidade dinâmica igual a 0,38N.s/m2 e densidade 0,91, escoa no interior de 
um tubo com 25 mm de diâmetro. Sabendo que a velocidade média do escoamento vale 2,6 m/s, determine o valor do 
número de Reynolds. 
 
2. Ar, a 50oC e a pressão atmosférica (ν=1,76x10-5 m2/s), é descarregado de uma fornalha através de um duto com seção 
transversal quadrada (a=0,186 m) com uma velocidade média de 3,35 m/s, sabendo que para dutos de seção não 
circular o número de Reynolds é igual a 
ν
hVD
=Re , onde Dh é o diâmetro hidráulico e é igual a P
A
Dh
4
= . O escoamento no 
duto é laminar ou turbulento? 
 
3. Um líquido viscoso oriundo de um tanque circular, de densidade relativa DR=0,88, escapa através de um longo tubo 
circular de raio R=50mm. O perfil de velocidade no tubo é 














−=
2
max 1 R
r
uu .Determine qual é o valor da velocidade média 
na tubulação, sabendo que umax=1,5m/s. A vazão volumétrica m3/s e vazão mássica? 
 
4. Óleo escoa em regime permanente numa fina camada, para baixo, num plano inclinado. O perfil de velocidade é








−=
22
sen 2yhygu
µ
θρ
 
5. Determine uma expressão para a vazão em massa por unidade de largura em termos de ρ, µ, g, θ e h.