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Mec-flu3

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TEF301 - DETEF/UFOP
5.3 As equações do movimento de Euler
As equações gerais da quantidade de movimento, quando aplicadas 
x
g
x
p
z
u
w
y
u
v
x
u
u
t
u ρ∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂ρ +−=


+++


ygy
p
z
v
w
y
v
v
x
v
u
t
v ρ∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂ρ +−=


+++


zg
z
p
z
w
w
y
w
v
x
w
u
t
w ρ∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂ρ +−=


+++


( ) gPVV
t
V ρ∂
∂ρ +−∇=




 ∇+
rr
r
.
• a fluidos incompressíveis
• a escoamento invíscido (µµµµ=0) τ τ τ τ = 0 e σ σ σ σ =-p)
reduzem em,
Capítulo 5 - Q. M. forma diferencial
ou
(26)
(27)
Capítulo 6 
Análise dimensional, 
semelhança e modelos
6.1 – Vantagens da análise dimensional
6.2 - Teorema dos PI de Buckingham 
6.3 - Grupos adimensionais importantes
6.4 - Semelhança de escoamentos e estudos em modelos
6.5 - Equações diferenciais básicas em forma 
adimensionais
TEF301 - DETEF/UFOP
A Equação de Navier-Stoke
( ) gVPVV
t
V ρµ∂
∂ρ +∇+∇−=




 ∇+
rrr
r
2
.
força de
inércia
força de
pressão
força de
viscosidade
força de
corpo
= + +
Números adimensionais
Fr = no de Froude = Força de inércia 
Força de gravidade
Eu = no de Euler = Força de pressão
Força de inércia
Re = no de Reynolds = Força de inércia
Força viscosa
gL
V
g
L
V
2
2
==
ρ
ρ
22 V
p
L
V
L
p
ρρ
∆
=
∆
µ
ρ
µ
ρ LV
L
V
L
V
==
2
2
TEF301 - DETEF/UFOP
Capítulo 6 - Análise dimensional, semelhança e modelos
Capítulo 6 - Análise dimensional, semelhança e modelos
Teorema de Buckingham ΠΠΠΠ
Determinação dos termos ΠΠΠΠ
Resumo, passos da análise dimensional com
método das variáveis repetidas
1) relacione todas as variáveis que são importantes no problema
2) expresse cada uma como função das dimensões básicas
3) determine o número necessário de termos ΠΠΠΠ
4) escolha o número de variáveis repetidas
5) forme os termos ΠΠΠΠ multiplicando cada uma das variáveis não repetidas 
elevadas a um expoente que torne a combinação adimensional
6) repita o passo 5 para cada uma das variáveis repetidas restantes.
7) verifique se todos os termos Π Π Π Π são adimensionais
8) expresse a forma final da relação entre os termos ΠΠΠΠ e analise o significado 
desta relação
TEF301 - DETEF/UFOP
Como determinar os
números adimensionais ?
Dificuldades para resolver as equações de N-S
1. EDP, transiente, não linear 2ª ordem;
2. Não linearidade dos termos das acelerações convectivas [uδδδδu/δδδδx, etc.]
3. Não há processo analítico geral para resolver EDPs não lineares;
4. Cada problema precisa ser considerado individualmente.
6.1 – Vantagens da análise dimensional
Métodos para a 
previsão do 
comportamento
ANALÍTICOS � leis gerais / físicas
EMPÍRICOS
� comparação entre comportamentos
MODELAGEM
� protótipo × modelo
comportamento semelhante
Projetos de engenharia � previsão do comportamento de estruturas, máquinas, 
dispositivos, sistemas naturais, etc..
Previsão do comportamento � o mais próximo possível da realidade
MODELAGEM FÍSICA � Modelos X Protótipos � Similitude de Comportamento Semelhança de 
comportamento:
•O mesmo fenômeno, pondo em jogo as mesmas grandezas regidas pela lei física, se passa nos dois sistemas 
considerados (o modelo e o protótipo);
•Para cada categoria de grandeza existem relações constantes, bem conhecidas e independentes dos valores 
absolutos da grandeza em questão, entre os valores nos modelos e os valores que ocorrerão no protótipo.
ANÁLISE DIMENSIONAL
ATO DE MEDIR � aspectos qualitativos e aspectos quantitativos
Aspectos qualitativos da medição � análise e distinção entre fenômenos
Aspectos quantitativos da medição � análise do grau de intensidade com 
que o fenômeno se manifesta
MEDIR
“Consiste em verificar quantas vezes uma grandeza contém outra 
qualitativamente idêntica e tomada como padrão de unidade”
GRANDEZAS FUNDAMENTAIS 
M, L, T ( MASSA, COMPRIMENTO E TEMPO)
F, L, T (FORÇCA , COMPRIMENTO E TEMPO
TEF301 - DETEF/UFOP
Modelos e semelhança de escoamentos 
Protótipo e modelo 
Semelhança geométrica: requer que tanto o 
modelo como o protótipo tenham a mesma forma,
e todas as dimensões lineares sejam relacionadas 
com um fator de escala constante
Semelhança cinemática: quando as velocidades 
em pontos correspondentes do escoamento estão 
no mesmo sentido e relacionadas em magnitude 
por um fator de escala constante
Semelhança dinâmica: se ocorrer semelhança 
geométrica e cinemática e os números 
adimensionais forem iguais tanto para o modelo e o 
protótipo teremos semelhança dinâmica
Capítulo 6 - Análise dimensional, semelhança e modelos
pm
pm
VDVD
ReRe =






=





µ
ρ
µ
ρ
Ex.
Exemplos de aplicação de semelhança entre modelos e protótipos
Equações Diferenciais básicas adimensionais



+


+−=


+


2
2
2
2
y
u
x
u
x
p
y
u
v
x
u
u ∂
∂
∂
∂µ∂
∂
∂
∂
∂
∂ρ
g
y
v
x
v
y
p
y
v
v
x
v
u ρ∂
∂
∂
∂µ∂
∂
∂
∂
∂
∂ρ −


+


+−=


+


2
2
2
2
Exemplo:
considere o escoamento permanente, incompressível e bidimensional no plano xy 
onde g=-gy
(2)
(3)
TEF301 - DETEF/UFOP
0=+
y
v
x
u
∂
∂
∂
∂
A equação da conservação da massa é
As equações de Navier-Stokes, reduzem a
(1)
Para tornar as eq. 1, 2 e 3 em adimensionais
2****
∞∞
====
V
ppe
V
u
u
L
yy
L
x
x
ρ
Substituindo os termos acima em cada termo das eqs. 1, 2, e 3
( )
( ) *
*
*
2
x
u
u
L
V
LLx
VVu
V
uV
x
u
u ∂
∂
=∂
∂






=
∞∞∞
∞
∞∂
∂
( )
( )
( ) 2
2
22
2
*
*
y
u
L
V
LLy
VVu
LLyy
u
yy
u
∂
∂
=





∂
∂
∂
∂
=





∂
∂
∂
∂
=
∞∞∞
∂
∂
(4)
(5)
Capítulo 6 - Análise dimensional, semelhança e modelos
TEF301 - DETEF/UFOP
As equações 1, 2 e 3 podem ser escritas
0
*
*
*
*
=+ ∞∞
y
v
L
V
x
u
L
V
∂
∂
∂
∂



+


+−=


+


∞∞∞
2
2
2
2
2
22
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
y
u
x
u
L
V
x
p
L
V
y
u
v
x
u
u
L
V
∂
∂
∂
∂µ
∂
∂ρ
∂
∂
∂
∂ρ
g
y
v
x
v
L
V
y
p
L
V
y
v
v
x
v
u
L
V ρ∂
∂
∂
∂µ
∂
∂ρ
∂
∂
∂
∂ρ
−


+


+−=


+


∞∞∞
2
2
2
2
2
22
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
L
V 2
∞
ρ
0
*
*
*
*
=+ ∞∞
y
v
L
V
x
u
L
V
∂
∂
∂
∂



+


+−=


+


∞
2
2
2
2
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
y
u
x
u
LVx
p
y
u
v
x
u
u ∂
∂
∂
∂
ρ
µ
∂
∂
∂
∂
∂
∂
L
V
∞



+


+−−=


+


∞∞
2
2
2
2
2
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
y
v
x
v
LVy
p
V
gL
y
v
v
x
v
u ∂
∂
∂
∂
ρ
µ
∂
∂
∂
∂
∂
∂
Dividindo a eq (5 ) por e as eqs. (6) e (7) por : 
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
Capítulo 6 - Análise dimensional, semelhança e modelos
Exemplo CFX
Exemplo CFX, malha
16
Exemplo CFX, resultados
17
Exemplo CFX, resultados (2)

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