Matematica EAD Pimentel

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Rua João Nutti, 2195 Pq. Bandeirantes Ribeirão Preto - SP
(16) 3235-2900
Matemática
Material produzido para uso e divulgação exclusivos da 
Escola Prof. Pimentel
Autor:
Prof.º Hélio Pimentel
ÍNDICE 
1 Matemática • PP
Módulo 01 - Números decimais �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������5
 Exercícios ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 16
Módulo 02 - Números não decimais ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 23
 Exercícios ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 32
Módulo 03 - Múltiplos e Divisores ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 37
 Exercícios ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 45, 49, 55
Módulo 04 - Média �����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������59
 Exercícios ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 63
Módulo 05 - Frações ou Números Racionais ����������������������������������������������������������������������������������������������������������71
 Exercícios ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 83
Módulo 06 - Potenciação e Radiciação �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������89
 Exercícios ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������93 e 102
Módulo 07 - Regra de Três ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 105
 Exercícios ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 108, 115
Módulo 08 - Razão ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 117
 Exercícios ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 119
Módulo 09 - Proporção ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 121
 Exercícios ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 132
Módulo 10 - Geometria ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 137
 Exercícios ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 150
Módulo 11 - Álgebra ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 163
 Exercícios ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 174
Módulo 12 - Porcentagem ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 183
 Exercícios ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 194
Módulo 13 - Juros Simples ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 205
 Exercícios ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 214
Anotações
Prof. Pimentel
01 Módu
lo
Matemática • PP5
Números Decimais
O sistema numérico que mais utilizamos no dia a dia é o sistema decimal. Desta 
forma temos 10 algarismos para representar os números.
Algarismos: São os símbolos que representam os números, assim sendo, 
os algarismos são representados por 10 símbolos.
Os números são escritos obedecendo à seguinte formação:
O último algarismo representa a casa das unidades;
O penúltimo, a casa das dezenas;
O antepenúltimo, a casa das centenas;
O anterior, ao antepenúltimo da casa do milhar e assim por diante.
0, 1, 2, 3, 4, 5 , 6, 7, 8, e 9 
10 unidades formam uma dezena;
10 dezenas formam uma centena;
10 centenas formam um milhar;
10 milhares formam uma dezena de milhar;
10 dezenas de milhar formam uma centena de milhar;
Exemplo: 
O número 4837
4 8 3 7
4 milhares + 8 centenas + 3 dezenas + 7 unidades
VALOR ABSOLUTO × VALOR RELATIVO
Em relação ao número, o algarismo possui dois valores distintos:
Valor absoluto: é o valor do símbolo.
Valor relativo: é o valor que ele representa dentro do número.
Exemplo: No número acima (4837):
O valor absoluto do 8 é 8 (mesmo valor do símbolo).
O valor relativo do 8 é 800 (como falamos ao ler o número).
Todo número é a soma dos valores relativos dos algarismos que o compõe.
Exemplo: 
No número 4.837 o valor relativo de cada um seus algarismos é: 
4 é 4.000
8 é 800
3 é 30
7 é 7
Somando 4.837
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Matemática • PP6
AnotaçõesPodemos também escrever o número 4.837 na forma de adição:
4 × 1.000 + 8 × 100 + 3 × 10 + 7 × 1
Quando dividimos um algarismo por 10, o resultado será um décimo desse alga-
rismo, quando dividimos por 100 será um centésimo, por mil, milésimo e assim por 
diante. 
Os números que estão a esquerda da igualdade recebem o nome de fração de-
cimal e os da direita número decimal. Todo número decimal pode ser representado 
através de uma fração decimal e vice versa.
Lendo um número decimal:
Podemos ler o número 0,725 das seguintes formas:
 • setecentos e vinte e cinco milésimos.
 • sete décimos, 2 centésimos e cinco milésimos.
 • setenta e dois centésimos e 5 milésimos.
Qualquer número é igual a soma dos valores relativos de seus algarismos.
1.000 100 10 1 1 10
 1 
 100
 1 
 1.000
3 8 2 5 8 3 4
3 milhares 3.000
8 centenas 800 
2 dezenas 20
5 unidades 5
8 décimos 0,8
3 centésimos 0,03
4 milésimos 0,004
Somando 3.825,834
OPERAÇÕES
Por ser a base de quase todos os exercícios de Matemática, serão apresentadas 
as operações com números decimais. Não com o intuito de se ensinar a somar, sub-
trair, multiplicar ou dividir, mas sim com a ideia de trabalhar estas operações de uma 
maneira rápida e eficiente.
Soma ou Adição
A adição é a operação aritmética que “junta” dois ou elementos (parcelas) de 
uma mesma espécie, formando um novo número (soma ou total).
Propriedade: se aumentarmos (ou diminuirmos) uma das parcelas de um deter-
minado valor, o total ficará aumentado (ou diminuído) daquele valor.
15
13 parcelas
45
soma ou total73

+ 
→
Propriedade comutativa: Na adição a ordem das parcelas não altera o valor da soma.
Exemplo: 
Na adição 49 + 63, obtemos o mesmo resultado se alterarmos a ordem das par-
celas. Observe:49 + 63 = 112
63 + 49 = 112
Matemática • PP7
Anotações
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Propriedade associativa: A operação adição pode ser resolvida por partes, essa 
propriedade permite dividir a soma em duas ou mais partes, assim achamos o total 
de cada uma das partes e depois efetuamos a adição dos resultados encontrados.
Exemplo: 47 + 23 + 52 = (47 + 23) + 52 = 70 + 52 = 122
Propriedade: Se aumentarmos um parcela de um determinado valor e dimi-
nuirmos a outra deste mesmo valor o resultado não altera.
Essa propriedade facilita muito os cálculos, permitindo que seja feito mentalmente. 
Fazendo uso da propriedade
Para efetuar a seguinte soma: 243 + 198 = 441, podemos fazer algumas trans-
formações, tiramos duas unidades do número 243 e acrescentamos ao 198 . 
(243 + 198) = (241 + 200) = 441
Resumindo, O segundo membro da igualdade permite que a conta seja feita 
mentalmente. 
Neste momento é importante praticar, faça o exercício abaixo utilizando este 
método.
EXERCÍCIOS
154 + 497 = 151 + 500 = 651 (emprestamos 3 unidades do 154 para o 497)
247 + 694 = 241 + 700 = 941 (emprestamos 6 unidades do 247 ao 694)
394 + 298 =
149 + 192 =
448 + 894 =
154 + 204 =
206 + 407 =
826 + 387 =
1.257 + 385 =
2.321 + 493 =
Subtração
A subtração é a operação aritmética inversa à adição. Nesta operação o primei-
ro termo (minuendo) é reduzido de uma quantidade (subtraendo), o que sobra é o 
resto ou diferença.
178 Minuendo
37 Subtraendo
141 Resto
→
− →
→
 Por ser a operação inversa da adição podemos escrever a seguintes igualdades:
•	 Minuendo	–	subtraendo	=	resto	
•	 Resto	+	subtraendo	=	minuendo		(conhecida como prova real)
•	 Minuendo	–	resto		=	subtraendo	
Exemplo
Propriedades: numa subtração, se aumentarmos (ou diminuirmos) o minuendo 
de um determinado valor, o resultado aumentará (ou diminuirá) deste valor.
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Matemática • PP8
Anotações
178	–	37	=	141					→					141	+	37	=	178 
Ou ainda:
178	–	141	=	37					→					37	+	141	=	178
No exemplo anterior se aumentarmos o minuendo de 15 teremos:
 178 
− 37 
 141
Subtraindo 15 de 178
 163 
− 37 
 126
O resto ficou diminuído de 15.
Em uma subtração, se aumentarmos (ou diminuirmos) o subtraendo de um de-
terminado valor o resultado diminuirá (ou aumentará) deste valor.
 178 
− 37 
 141
Aumentando 3 no 37
 178 
− 40 
 138
O resto ficou diminuído de 3 unidades.
A propriedade a seguir tem uma aplicação prática muito útil para o cálculo mental. 
Observe
Numa subtração se aumentarmos (ou diminuirmos) o Minuendo e o Subtraendo 
de um determinado valor o resultado não sofrerá alteração.
 178 
− 37 
 141
Aumentando 3 tanto no 
178 como 37
 181 
− 40 
 141
O resultado permaneceu inalterado. 
Fazendo uso das propriedades 
 945
−	178 
 767
Aumentando 22 ao 178
 945 
− 200 
 745
O nosso resto esta diminuído de 22, portanto devemos adicionar 22 ao resto 
encontrado.
Assim nossa resposta será (745 + 22) = 767 
 873 
− 218 
 655
Aumentando 2 ao 218
 875 
− 220 
 655
O nosso resto esta diminuído de 2, portanto devemos adicionar 2 ao resto en-
contrado.
Assim nossa resposta será (653 + 2) = 653 
Observação: esse método só é interessante para quem deseja resolver 
as contas mentalmente.
Caso o aluno não tenha esse interesse, deverá continuar a fazer pelo mé-
todo tradicional. Lembrado que quanto mais intimidade tivermos com as 
operações mais prazeroso será resolver os exercícios de matemática. 
 
Matemática • PP9
Anotações
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EXERCÍCIOS
942	–	397	= 945	–	400	=545 (somamos 3 unidades no 942 e no 397)
674	–	296	= 678	–	300	=	378 (somamos 4 unidades no 674 e no 296)
1231	–	725 1206	–	700	=	506 (subtraímos 25 de 1231 e de 725)
3.284	–	1.268	= 3.216	–	1200	=2.016 (subtraímos 68 de 3.284 e de 1.268)
EXERCÍCIOS PARA PRATICAR
873	–	194	=
695	–	187	=
438	–	279	=
495	–	187	=
315	–	78		=
763	–	227	=
578	–	199	=	
1456	–	792	=
2.311	–	2.198	=
1.880	–	2.387	=
EXERCÍCIOS PARA PRATICAR (DAR SOMENTE O RESULTADO DIRETO):
743	–	114	=
995	–	327	=
438	–	239	=
395	–	187	=
378	–	115		=
878	–	199	=
2.311	–	2.078	=
1.880	–	987	=
Multiplicação
A multiplicação é a operação aritmética que soma determinada quantidade de 
parcelas iguais. Quando fazemos A × B estamos somando o A por B vezes, ou so-
mando o B por A vezes. A e B são os fatores e o resultado desta operação é chamado 
de produto.
Exemplo: 
5 × 8 = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 40
ou
5 × 8 = 8 + 8 + 8 + 8 + 8 = 40
Nas duas situações, o resultado é o mesmo: 40.
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Matemática • PP10
AnotaçõesPropriedade comutativa: Na multiplicação, a ordem dos fatores não altera o va-
lor do produto.
Veja:
4 × 12 = 48
e
12 × 4 = 48
Propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição: Multiplicar um 
número por uma soma é igual a soma dos produtos deste número por cada uma das 
parcelas.
8 × (10 + 5) = 8 × 15 = 120
8 × (10 + 5) = 8 × 10 + 8 × 5 = 80 + 40 = 120
De maneira análoga, temos a Propriedade distributiva da multiplicação em rela-
ção à subtração.
8 × (18 – 3) = 8 × 15 = 120
8 × (18 – 3) = 8 × 18 – 8 × 3 = 144 – 24 = 120
Essa propriedade tem uma aplicação prática muito útil para o cálculo mental.
Exemplo
Para efetuar a seguinte multiplicação: 32 × 21 
Sendo 21 = (20 + 1), a multiplicação poderá ser escrita 32 × (20 + 1)
Resolvendo temos: (32 × 20) + (32 × 1) = 640 + 32 = 672 
EXERCÍCIOS
43 × 25 = (40 + 3) × 25 = (40 × 25) + (3 × 25) = 1.000 + 75 = 1.075
52 × 18 = 52 ×		(20	–	2)	= (52 ×	20)	–	(52	× 2) = 1.040	–	104	=	936
38 × 45 = 45 ×		(40	–	2)	= (45 ×	40)	–	(45	× 2) = 1.800	–	90	=	1.710
245 × 99 = 245 ×		(100	–	1)	= (245 ×	100)	–	(245	× 1) = 24.500	–	245	=	24.255
270 × 202 = 270 × (200 + 2) = (270 × 200) + (270 × 2) = 54.000 + 540 = 54.540
EXERCÍCIOS PARA PRATICAR (RESOLVER CONFORME MODELO ACIMA)
Sem preencher a coluna sombreada
32 × 25 = 
43 × 22 =
72 × 39
97 × 34 =
72 × 41 =
63 × 33 =
102 × 18 =
351 × 220 =
125 × 98 =
Matemática • PP11
Anotações
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EXERCÍCIOS PARA PRATICAR (COLOCAR SOMENTE O RESULTADO)
82 × 33 = 
91 × 73 =
122 × 55 =
151 × 22 = 
37 × 41 =
320 × 99 =
132 × 25 =
861 × 99 =
Para melhorar seu desempenho o ideal é que essa série seja repetida mais de 
uma vez, em horários diferentes, o mais interessante é cronometrar o tempo gasto 
para resolver e tentar baixa-lo a cada série resolvida.
Multiplicação com vírgula
A conta deverá ser feita normalmente, como se não houvesse vírgula. Depois conta-
remos o número de casas a direita da vírgula em cada um dos fatores. A quantidade de 
casas decimais no produto (resultado) será a soma das quantidades de casas decimais 
dos fatores.
Exemplo: 2,4 x 1,52
Efetuando a multiplicação como se não houvesse vírgula: 
24 × 152 = 3.648.
Neste caso o fator 2,4 possui uma casa decimal e o segundo fator tem duas ca-
sas decimais, totalizando 3 casas decimais. 
Após efetuarmos a multiplicação, colocamos a vírgula contando as casas deci-
mais da direita para a esquerda. Chegamos ao seguinte resultado: 3,648.
Divisão
A divisão é a operação aritimética que calcula a quantidade de vezes que uma quan-
tidade se contém em outra. A divisão é a operação inversa à multiplicação.
dividendo  47 11  divisor
resto  3 4  quociente
Prova Real:
Dividendo = divisor × quociente + resto
O resto obrigatoriamente será menor ao divisor.
O conceito de prova real da divisão é muito importante para resolução dos exer-
cícios uma vez que o aluno consegue transformar um problema que envolve divisão 
numa equação matemática.Propriedade: se multiplicarmos ou dividirmos o dividendo e o divisor por um 
mesmo número, o resultado não se altera.
Essa propriedade nos permite, o cancelamento do mesmo números de zeros do 
(divisor e dividendo) quando estamos efetuando a conta (nesse caso estamos dividindo 
ambos por um mesmo número) ou igualar o número de casas decimais entre o divisor 
e dividendo e cortar a vírgula (neste caso estamos multiplicando).
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Matemática • PP12
AnotaçõesExemplo: 48 000 : 200 =
 48 000 200 
 0 240
Observação: Nós aprendemos que: quando o divisor e o dividen-
do forem múltiplos de potência de 10, podemos cancelar a mesma 
quantidade de zeros nos dois termos que o resultado não altera. Po-
rém apesar do quociente não alterar, o resto ficará dividido, vejam o 
exemplo abaixo:
 Exemplo: Dividir 200 bolinhas entre 30 meninos
Sem cancelamento
 200 30
20 6
Neste caso: cada menino recebeu 6 boli-
nhas e sobraram 20.
Com cancelamento
 2 0 0/ 3 0/ 
1 8 6
2
Neste caso porém não podemos afir-
mar que sobraram 2 bolinhas, o resto 
ficou dividido por 10.
MACETES
Quando forem feitas as seguintes divisões:
Exemplo 1 (divisão por 5, “dobra-dobra”)
7 7 2 14
1,4
5 5 2 10
×
= = =
×
Neste exemplo utilizamos o caso: dobra-dobra, ou seja, dobramos o valor do nume-
rador e o valor do denominador, pois a divisão fica simplificada quando o divisor é um 
número múltiplo de 10, já que podemos somente mudar a posição da vírgula.
Exemplo 2: (divisão por 25, “dobra-dobra”, “dobra-dobra”)
56 56 2 112 2 224
2,24
25 25 2 50 2 100
× ×
= = = =
× ×
Neste exemplo utilizamos o caso: dobra-dobra, dobra-dobra, ou seja, dobramos o 
valor do numerador e o valor do denominador duas vezes, pois a divisão fica simplifi-
cada quando o divisor é um número múltiplo de 10, já que podemos somente mudar 
a posição da vírgula.
Divisão sem vírgula uma forma segura
Muitas vezes ao ser feita a conta a seguir a pessoa que esta fazendo se perde, 
principalmente quando ao baixar um algarismo do dividendo e ao juntar este asso-
ciado ao resto anterior o número formado for menor que o divisor.
Nesse caso, basta colocar zero na chave e continuar a conta normalmente.
 . . .
62.515 25 
Um macete legal para sabermos com antecedência quantas casas decimais antes da 
vírgula o quociente terá basta contar uma vez o arco que faremos para separar os algaris-
mos para iniciar a divisão a adicionar a quantidade de algarismos que sobraram. 
No exemplo acima, podemos afirmar que ao baixar o último algarismo de 62.515, 
deveremos ter 4 (quatro) algarismos formando o quociente.
Matemática • PP13
Anotações
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Divisão com vírgula uma forma fácil, rápida e segura.
Para efetuarmos a divisão, usaremos o mesmo conceito da multiplicação de 
dois números com vírgula, ou seja, faremos a conta normalmente ignorando a vír-
gula e posteriormente apuramos a diferença entre o número de casas decimais do 
dividendo e divisor e voltaremos o nº de casas igual ao valor determinado.
Exemplo: 0,64272 ÷ 0,52
Casas decimais da resposta (quociente)
Devemos contar o número de casas depois da vírgula do dividendo e do divisor. 
Se na multiplicação somamos, na divisão devemos SUBTRAIR.
 2 casas 
 
 0,64272 0,52 
 
5 casas
Assim : ignoramos a vírgula e faremos a divisão :
Inicialmente já sabemos que após abaixarmos o último algarismo do dividendo, 
termos 4 algarismos na chave 
 * * * * *
6 4 2 7 2 5 2 
* * * *
Como o dividendo tem 5 casas após a vírgula e o divisor apenas 2:
5	casas			–		2	casas		=		3	casas	(é	o	número	de	casas	que	devermos	voltar	para	
colocação da vírgula).
O resultado, sem fazer a conta será:
 * * * * *
6 4 2 7 2 5 2 
* ,* * *
Fazendo a divisão passo a passo:
3 8 8 2 9, 5 3 2 4 7, 8 
1º Passo: Contar quantas casas decimais existem após a vírgula, para fazemos 
a diferença e determinarmos quantas casas decimais voltaremos ao fina da conta. 
(Nesse	acaso,	temos		3	–	1),	portanto	voltaremos	2	casas.
 . . . .
3 8 8 2 9, 5 3 2 4 7, 8 
2º Passo: Ignoramos as vírgulas, passamos o arquinho para iniciarmos a conta 
e contarmos quantos algarismos farão parte do quociente, Nesse caso o quociente 
terá 5 algarismos que corresponde a um do arco + 4 referentes aos que estão fora 
do arco, como no primeiro passo detectamos que vamos voltar 2 casas podemos 
afirmar que nossa resposta será do tipo: 
. . . , . .
Desta forma, sem fazer a conta, já sabemos que o resultado será: três casas 
antes da vírgula e duas após.
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Matemática • PP14
Anotações3º passo: Para iniciar, vamos pegar o primeiro nº formado no arquinho da es-
querda para direita que seja maior que 4. Nesse caso o nº formado é o 38, agora 
vamos descobrir por quem eu devo multiplicar o algarismo quatro que está chave 
cujo produto seja o mais próximo de 38, lembrando que ao multiplicarmos devemos 
somar o a quantidade vinda uma multiplicação do número por 7.
Nesse caso é o 8 (oito) pois 8 × 4 = 32 que aumentado das cinco unidade prove-
niente da operação (8 × 7 = 56) é menor que 38.
 
3 8 8 2 9, 5 3 2 4 7, 8 
8
4º passo: Multiplicamos o nº 478 por 8 e o resultado colocamos abaixo de 3.882 
fazendo em seguida a subtração
 
 
 3 8 8 2 9, 5 3 2 4 7, 8 
 −	3 8 2 4 
 0 5 8
8
 5º passo: Baixamos o algarismo 9, que é o primeiro algarismo após 3.882, e o 
colocamos a direita do 058 (resto da conta anterior, formando assim o nº 589 que 
será dividido por 478 .
 
  
 3 8 8 2 9, 5 3 2 4 7, 8 
	−	3 8 2 4 
 0 5 8 9
8
6º passo: Vamos repetir aqui os passos 3 , 4 e 5.
 
 
 3 8 8 2 9, 5 3 2 4 7, 8 
 −	3 8 2 4 
 0 5 8 9
 	−	4 7 8 
 1 1 1 
8 1
A partir de agora, vamos repetir a operação até final:
 
  
 3 8 8 2 9,5 3 2 4 7, 8 3 8 8 2 9, 5 3 2 4 7, 8
 −	3 8 2 4 
 0 5 8 9
 	−	4 7 8 
 1 1 1 5 
 	−	9 5 6 
 1 5 9 3
 −	1	4 3 4
 1 5 9
8 1 2 3 −	3 8 2 4 
 0 5 8 9
 −	4 7 8 
 1 1 1 5 
 	−	9 5 6 
 1 5 9 3
 −	1	4 3 4
 1 5 9 2
 −	1 4 3 4 
 1 5 8
8 1 2, 3 3
Inicialmente já sabía-
mos que deveríamos 
colocar a vírgula, vol-
tando duas casas da 
direita para esquerda.
Matemática • PP15
Anotações
Prof. Pimentel
EXERCÍCIOS: EFETUAR AS DIVISÕES
1) 1421 ÷ 7 203
2) 104104 ÷ 26 4.004
3) 111,15 ÷ 45 2,47
4) 10241 ÷ 32 320,031
5) 2.706 ÷ 22 123
6) 783 ÷ 58 13,5
7) 324 ÷ 24 13,5
8) 760 ÷ 16 47,5
9) 845 ÷ 14 60,35
10) 2456 ÷48 51,16
11) 7568 ÷ 87 86,988
12) 35981 ÷ 324 111,05
13) 4786,26 ÷ 45 106,36
14) 27014 ÷ 2352 11,485
15) 8745,478 ÷ 22 397,52
16) 698,745 ÷ 58 12,047
17) 2.658 ÷ 117 22,717
18) 654,723 ÷ 26 25,181
19) 875,175 ÷ 245 3,572
20) 7125,172÷ 267 26,686
21) 85642 ÷ 422 202,94
22) 6251 ÷ 25 250,04
23) 8289,2 ÷ 224 37,005
24) 354,456 ÷ 216 1,641
25) 1723,1 ÷ 14 123,078
26) 23,135 ÷ 7,8 2,966
27) 104.104 ÷ 26,45 3,935
28) 0,0087452 ÷ 0,0127 0,688
29) 0,3775 ÷ 0,00175 214,28
30) 12,706 ÷ 2,45 5,186
31) 0,00125 ÷ 0,075 0,0166
32) 4365,24÷ 13,24 329,70
33) 85,32 ÷ 0,16 533,25
34) 17,563 ÷ 27,02 0,65
35) 136,536 ÷0,0048 28.445
36) 3.521,25 ÷0,75 4695
37) 138,907÷ 0,23 603,94
38) 428,655 ÷ 3,485 123
39) 418,84 ÷ 112,5 3,723
40) 2,7048 ÷ 0,322 8,4
41) 0,783 ÷ 1,58 0,495
42) 0,1421 ÷ 35 0,00406
43) 1278,432 ÷ 15,8 80,913
44) 111,15 ÷ 0,45 247
45) 116,775 ÷ 2,75 42,463
46) 312,65 ÷ 1,85 169
47) 878,3 ÷ 4,58 191,768
48) 0,00324 ÷ 0,00024 13,5
49) 7681,4 ÷ 24 320,058
50) 9613,1 ÷ 31 310,1
Prof. Pimentel
Matemática • PP16
AnotaçõesRegras de Sinais
Adição:
a) sinais iguais: somam-se as parcelas e conserva-se o sinal.
(+3) + (+5) = +8
(–7)	+	(–5)		=	–12
b) sinais diferentes: subtrai-se um do outro e conserva-se o sinal do maior.
(–8)	+	(+3)	=	–	5
(+10)	+	(–2)	=	+	8
Subtração:
Troca-se	o	sinal		(–)	por	(+),	inverte-se	o	sinal	do	2°	termo	da	subtração	e		efetua-
se a regra acima.
(+10)	–	(–3)	=	(+10)	+	(+3)		=	+13
(–8)	–	(–3)	=	(–8)	+	(+3)	=	–	5
(–7)	–	(+4)	=	(–7)	+	(-4)		=	–11
Multiplicação e Divisão 
a) sinais iguais: faz-se a operação normalmente e o resultado será positivo.
(+24) ÷ (+2) = + 12
(–10)	×	(–5)	=	+	50
b) sinais diferentes: faz-se a operação normalmente e o resultado será negativo.
(–40)	÷	(+8)	=	–	5	
(+3)	×	(–2)		=	–	6
QUESTÕES DE CONCURSOS
1)	 VUNESP-	2014	-	Analista	Administrativo	-	Emplasa
Um jogo é constituído de quatro cartas: uma carta azul de número 1, uma carta azul 
de número 2, uma carta verde de número 1 e uma carta verde de número 2. Três 
cartas foram sorteadas e colocadas lado a lado, da esquerda para a direita. Cada carta 
tem uma pontuação que é o próprio número nela impresso, somado com 3 ou 5, caso 
a carta seja azul ou verde, respectivamente, somado com 10, 15 ou 20, conforme a 
carta esteja na esquerda, no meio ou na direita, respectivamente. A primeira carta à 
direita do número 1 é uma carta com o número 2. À esquerda desse número dois está 
um número 2. À esquerda da carta azul está pelo menos uma carta verde. Há uma 
carta verde imediatamente à direita de uma outra carta verde. A soma das pontua-
ções das três cartas sorteadas vale:
(A) 58. (B) 59. (C) 60. (D) 62. (E) 63.
2) VUNESP Assistente Adm. e Téc. Emplasa
 Sabe-se que x requerimentos protocolados em determinado período foram reparti-
dos igualmente entre todos os n funcionários de certo setor, para análise e providên-
cias. Se o número de requerimentos que cada funcionário recebeu foi igual ao triplo 
do número de funcionários desse setor, então o número total de requerimentos re-
partidos pode ser corretamente expresso por:
(A) 3 n 
(B) 3 n2 
(C) 3 x n 
(D) 3 x2 n 
(E) 3 x n2
Matemática • PP17
Anotações
Prof. Pimentel
3)	 VUNESP	–	2014	-		Oficial	de	Manutenção	-	Prefeitura	de	Sorocaba
Uma Secretaria de Saúde destinou, do seu orçamento, R$ 660.000,00 para a compra de 
ambulâncias. O preço de uma ambulância UTI é R$ 55.000,00 e socorre, em média, cinco 
pessoas por dia. Se com o valor desse orçamento forem adquiridas essas ambulâncias, o 
número de pessoas que, em média, serão socorridas diariamente será:
(A) 60. (C) 75. (E) 90. 
(B) 70. (D) 80. 
4)	 VUNESP	2014		Oficial	de	Manutenção	Prefeitura	de	Sorocaba
Em 36 dias, uma família consumiu 54.000 litros de água. Em média, o consumo de 
água dessa família, por semana, em m3, é:
(A) 8,5. (C) 9,5. (E) 10,5. 
(B) 9. (D) 10. 
5) VUNESP – Motorista – Câmara de Sertãozinho – 2014 
Em um dia do mês de junho, na cidade de Urupema, localizada na Serra Catarinen-
se,	os	termômetros	registraram	8	°C	abaixo	de	zero.	Nesse	mesmo	dia,	na	capital	
paulista,	a	temperatura	foi	de	17	°C	acima	de	zero.	Então,	a	diferença	entre	as	tem-
peraturas das duas cidades brasileiras, nesse dia, foi de
(A) 25º C. (C) 19º C. (E) 9º C.
(B) 21º C. (D) 15º C.
6) VUNESP – Motorista – Prefeitura Ribeirão Preto – 2014
No extrato bancário de Juvenal, alguns campos não foram impressos.
Data Histórico Valor
05/06 Saldo + 1.260,00
06/06
Depósito + 300,00
Cheque –	400,00
Saldo //////////////
07/06
Depósito //////////////
Retirada –	500,00
Saldo + 1.160,00
08/06
Cheque –	99,00
Saldo //////////////
09/06
Depósito + 100,00
Retirada /////////////
Saldo + 661,00
O valor da retirada feita no dia 09/06 foi de
(A) R$ 500,00. (C) R$ 325,00. (E) R$ 200,00.
(B) R$ 450,00. (D) R$ 250,00.
7) VUNESP – Motorista – Prefeitura Ribeirão Preto – 2014 
Um estádio de futebol tem as arquibancadas distribuídas em três pisos diferentes 
(o inferior, o intermediário e o superior). No piso inferior, a arquibancada comporta 
22 360 pessoas sentadas e o piso superior tem lugar para 16 690 pessoas a mais do 
que na arquibancada inferior. Sabendo que a capacidade total de público sentado 
nas arquibancadas dos três pisos, desse estádio, é de 70 824 pessoas, o número de 
pessoas que podem se sentar na arquibancada do piso intermediário é
(A) 11 305. (C) 9 024. (E) 6 716.
(B) 9 414. (D) 8 305.
Prof. Pimentel
Matemática • PP18
Anotações08) VUNESP – Educador – Prefeitura Ribeirão Preto – 2014
Um jogo tem o seguinte tabuleiro:
Para mover a peça no tabuleiro, é utilizado um dado especial que possui os seguintes 
valores:	−6,	5,	−4,	3,	−2,	1.
A tabela mostra 5 lançamentos sucessivos do dado com seus respectivos valores, 
bem como o movimento da peça.
Lançamento Valor do dado Movimento da peça
1º 5 Avança 5 casas
2º –2 Retrocede 2 casas
3º 3 Avança 3 casas
4º –4 Retrocede 4 casas
5º ? ?
Sabendo que a peça encontra-se inicialmente no ponto de partida e que a cada lan-
çamento ela se move a partir de onde parou no lançamento anterior, então, se após 
o 5.º lançamento a peça parou na letra E, o valor obtido nesse lançamento foi:
(A)	−6.	 	 	 (C)	−2.	 	 	 (E)	5.
(B)	−4.	 	 	 (D)	3.
09)	 VUNESP	2011	-	Oficial	Administrativo	-	Secretaria	de	estado	da	Educação	-	SP	
 Nas contas de adição e subtração indicadas a seguir, A3B e D14 representam núme-
ros inteiros de três dígitos, e C6, um número inteiro de dois dígitos. Além disso, A, B, 
C e D são algarismos de 0 a 9.
A3B 
+ C6 
D14
D14
–			 A3B
 ? 
Resolvendo corretamente as contas, pode-se concluir que o resultado da subtração 
indicada é:
(A) 66 (C) 76 (E) 86
(B) 67 (D) 78 
10) VUNESP 2012 Agente de Organização Escolar Secretaria de estado da Educação - SP
Se o resto da divisão de um número inteiro positivo por 14 é igual a 6, o resto da 
divisão do dobro desse número por 7 será sempre igual a
(A) 3
(B) 4
(C) 5
(D) 6
(E) 7 
Matemática • PP19
Anotações
Prof. Pimentel
11) VUNESP 2012 Agente de Organização Escolar Secretaria de estado da Educação-SP 
A operação indicada a seguir é uma multiplicação de dois números decimais (não 
inteiros), que estão escritos como 5,A e B,3. Nesses números, e nos demais que 
aparecem ao longo da operação, A e B representam algum algarismo de 0 a 9, sen-
do que A é diferente de B.
 5,A 
 B,3 ×
16B
 1080 + 
1B,AB
Nas condições dadas, A + B é igual a:
(A) 4 (C) 8 (E) 12 
(B) 6 (D) 10 
12)	 VUNESP		2013	Analista	Administrativo		Câmara	Municipal	de	São	Carlos
Certa câmara municipal remunera seus vereadores de forma diferente da habitu-
al: cada vereador recebe pelo número de horas trabalhadas em cada sessão e por 
projeto aprovado. Cada hora de sessão é remunerada por R$ 20,00, e cada projeto 
aprovado rende R$ 1.000,00 a seu autor. As sessões são semanais e, em um mês em 
que houve 4 sessões, o número de vereadores presentes, o número de horas por 
eles trabalhadas e o de projetos aprovados estão na tabela.
Sessão Vereadores Presentes
Horas 
Trabalhadas
ProjetosAprovados Total
1ª 10 3 2
2ª 12 3 2
3ª 12 4 3
4ª 15 3 3
Total
Nesse mês, a despesa gerada por essas atividades dos vereadores aos cofres da 
prefeitura desse município foi, em reais, mais próxima de:
(A) 11.000 (C) 13.000 (E) 15.000
(B) 12.000 (D) 14.000 
13)	 VUNESP		2013	Analista	Administrativo		Câmara	Municipal	de	São	Carlos
A biblioteca municipal de certa cidade possui uma videoteca com fitas de videocas-
sete e dvd’s que ficam dispostos na posição vertical em uma estante, de tal modo 
que os títulos em suas lombadas sejam visíveis, como mostram as figuras. As ares-
tas das caixas que embalam as fitas medem 19 cm por 13,5 cm por 2,5 cm (Figura 
1), e as de dvd’s medem 19 cm por 10,5 cm por 1,5 cm (Figura 2), todas em forma 
de paralelepípedo reto retângulo.
Cada compartimento da estante, com profundidade 
e altura suficientes para abrigar as caixas, mede 1,50 
m e abriga ou somente fitas ou somente dvd’s. Em 
cada compartimento cabe uma quantidade máxima 
de fitas ou dvd’s, respectivamente, de
(A) 50 e 100. 
(B) 60 e 100. 
(C) 60 e 150. 
(D) 90 e 100.
(E) 90 e 150.
Prof. Pimentel
Matemática • PP20
Anotações14) VUNESP 2013 AUXILIAR PROCON-SP
A capacidade de uma jarra é de 8 copos de 200 mL. Dona Anna despejou 300 mL de suco 
concentrado dentro dessa jarra, que estava vazia, e completou com água até encher total-
mente a jarra. A quantidade de água, em litros, que ela colocou nessa jarra foi:
(A) 1,3 (D) 1,45
(B) 1,35 (E) 1,5
(C) 1,40 
15) CCPP – 2014 
 Ao efetuar a multiplicação abaixo, onde A; B; C e D são algarismos.
 Determinar a soma (A + B + C )
 B A
 × C 9
 A D 7
 D 6 +
 1 C B 7
(A) 5 (B) 7 (C) 9 (D) 11 
16) CCPP - 2014
Ao dividir um determinado número x por 42 obteve-se o quociente e o resto igual, o 
resto da divisão de x por 43 será:
(A) ZERO 
(B) 1 
(C) 21 
(D) 23
(E) 41
17) CCPP - 2014
Quando efetuamos a divisão de 6.251 por x obtemos o quociente igual a 25, pode-
mos afirmar que x vale:
(A) 25,4 
(B) 25,04 
(C) 25,004 
(D) 250,4
(E) 250,04
18) CCPP - 2014
 Abigail fez uma compra no supermercado, ao conferir os preços cobrados percebeu 
que o caixa numa das mercadorias digitou invertendo os valores da unidade com os 
da dezena e consequentemente foi lhe cobrado a mais a importância de R$ 36,00. 
Um possível valor original desta mercadoria é:
(A) R$ 175,00 
(B) R$ 139,00 
(C) R$ 248,00 
(D) R$ 362,00 
(E) R$ 238,00
Matemática • PP21
Anotações
Prof. Pimentel
19) CCPP - 2014
Multiplicando o número x por y obteve-se um resultado, porém se acrescentarmos 
3 unidades a cada um desses fatores o produto ficará aumentado em 54 unidades. 
Assim sendo ( x + y) vale:
(A) 12 
(B) 13 
(C) 15 
(D) 18 
(E) 21
20) FCC 2013 Analista Judiciário TRT5 
 Nas somas mostradas a seguir, alguns dígitos do nosso sistema de numeração fo-
ram substituídos por letras. No código criado, cada dígito foi substituído por uma 
única letra, letras iguais representam o mesmo dígito e letras diferentes represen-
tam dígitos diferentes.
 P + P = S H + H = U
 S + S = H M + M = PS
Utilizando o mesmo código, pode-se deduzir que o resultado da soma S + H é igual a:
(A) P 
(B) M 
(C) U 
(D) PH 
(E) SM
21) FCC 2014 Assistente Adm Junior Metrô
 Quatro números inteiros serão sorteados. Se o número sorteado for par, ele deve ser 
dividido por 2 e ao quociente deve ser acrescido 17. Se o número sorteado for ímpar, 
ele deve ser dividido por seu maior divisor e do quociente deve ser subtraído 15. Após 
esse procedimento, os quatro resultados obtidos deverão ser somados. Sabendo que os 
números sorteados foram 40, 35, 66 e 27, a soma obtida ao final é igual a:
(A) 87 
(B) 59 
(C) 28 
(D) 65
(E) 63
22) FCC 2014 Assistente Adm Junior Metrô
O algarismo da milhar do resultado da soma
6 + 66 + 666 + 6666 + 66666 + 666666 + 6666666 + 66666666 + 666666666 é igual a:
(A) 0 
(B) 6 
(C) 4 
(D) 8
(E) 7
Prof. Pimentel
Matemática • PP22
Anotações23) FCC – ASSISTENTE ADMINISTRATIVO JÚNIOR/METRÔ 2014 
O resultado da expressão:
(4	–	7)2	.	(4	–	6)3	.	(4	–	5)4	–	(5	–	8)2	.	(5	–	7)3	.	(5	–	6)5 é igual a
(A) 144.
(B)	–192.
(C) 0.
(D)	–144.
(E) 192.
24) (FCC – SABESP – TÉCNICO ESTÁGIÁRIO - 2014) 
Cláudia e Plínio nasceram no mesmo dia. Hoje, no aniversário de ambos, Cláudia 
completou 9 anos e Plínio completou 13 anos. Para que a soma de suas idades seja 
igual a 108 anos, a partir de hoje deverá se passar
(A) 38 anos.
(B) 43 anos.
(C) 86 anos.
(D) 56 anos.
(E) 46 anos.
25) (FCC – SABESP – TÉCNICO ESTÁGIÁRIO - 2014) 
Com o tanque de combustível vazio, o proprietário de um veículo completou a ca-
pacidade máxima do tanque com 60 litros de gasolina, gastando R$ 156,00. Com o 
tanque cheio, ele iniciou viagem do posto de combustível até a cidade A. No percurso 
de ida, o veículo teve que pagar um pedágio de R$ 6,00 na estrada. No mesmo dia o 
veículo voltou, percorrendo exatamente o mesmo caminho da ida, tendo novamente 
que pagar o pedágio. Seu destino final foi o posto em que havia abastecido no início 
da viagem, e lá o proprietário do veículo completou a capacidade do tanque de com-
bustível com o que faltava, o que correspondeu a 52 litros de gasolina. De acordo 
com as informações, o gasto total de gasolina e pedágio no trecho de ida da viagem, 
foi de 
(A) R$ 68,40.
(B) R$ 26,80.
(C) R$ 81,00.
(D) R$ 84,00.
(E) R$ 73,60.
Gabarito:
1) E 14) A
2) B 15) C
3) A 16) A
4) E 17) E
5) A 18) C
6) A 19) C
7) B 20) B
8) D 21) B
9) C 22) A
10) C 23) D
11) B 24) B
12) C 25) E
13) B
Anotações
Prof. Pimentel
M
ó
d
ul
o
Matemática • PP23
02 Números Não Decimais
A base decimal não é a única utilizada em nosso cotidiano. Para tratarmos 
de problemas que envolvem, por exemplo, tempo ou ângulos, é necessário um trata-
mento diferente do utilizado anteriormente.
Trataremos das transformações entre números decimmais em não decimais 
e vice-versa além das operações de soma, subtração, multiplicação e divisão, pois 
diferem da maneira tradicional utilizada com os números decimais.
Introdução
Precisamos definir algumas regras no tratamento dos números não decimais. 
Exemplo: 
Quero dividir 200 bolinhas entre 30 meninos. Quantas bolinhas receberá 
cada um e quantas bolinhas sobrarão? 
Basta dividir ? Então vamos lá ! Muitos imaginam a divisão:
200
30
ou após cancelamento (por 10) a divisão 20
3
Vamos então resolver das duas maneiras e comparar as duas contas:
 2 0 0 3 0 2 0 0/ 3 0/ 
2 0 6 2 6
Na primeira cada menino recebe 6 bolinhas, sobram 20.
Na segunda cada menino recebe a mesma quantidade, porém não podemos 
afirmar que sobraram 2 bolinhas, o resto ficou dividido por 10.
Através do exemplo acima podemos concluir:
Toda vez que precisarmos do resto de uma divisão é aconselhável não usar o 
cancelamento, pois o resto também ficará dividido.
Fique atento!
Dividiu bolinhas! O resto é bolinha!
Dividiu horas! O resto é hora!
Dividiu minutos! O resto é minuto!
E assim por diante, sempre usando a mesma unidade.
Conversão de formatos
Em diversas situações precisaremos fazer a transformação entre os números 
decimais em não decimais e vice-versa. Abaixo vamos apresentar os principais casos 
de conversão. 
Anotações
Prof. Pimentel
Matemática • PP24
AnotaçõesNúmerodecimal para número misto (não decimal)
Quando vemos números do tipo 3,4 horas, 135,4º ou 2,5 caixas, estamos 
diante de números decimais (possuem vírgula). Um erro básico e um tanto comum é 
pensar em 3,4 horas como 3 horas e 4 minutos ou quem sabe 3 horas e 40 minutos. 
Estes precisam ser transformados. Veja os exemplos:
Exemplo: 
TEMPO:
Transforme 3,40 horas para número misto (em horas, minutos, etc.)
Atenção: 3,40 h não são 3 horas e 40 minutos.
ou
= 3 horas + 0,40 horas (separe parte inteira da decimal)
= 3 horas + 0,4 x 60 min (se prefere conta com vírgula faça 0,4 x 60)
= 3 horas + 40 x 60 min
 100
(se prefere fração faça 40 x 60)
 100
 Nos dois casos temos: = 3 horas + 24 min
 
ÂNGULOS
Um aluno mediu um ângulo com o transferidor e obteve a medida de 135,4°. 
A professora pediu ao menino que passasse esse valor para um número misto. Como 
ficaria esse número?
Solução: 
É necessário ressaltar que ângulos são medidos em graus e seus submúlti-
plos são dados em minutos e segundos. 
ou
= 135° + 0,4° (separe parte inteira da decimal)
= 135° + 0,4 x 60' (se prefere conta com vírgula faça 0,4 x 60)
= 135° + 40 x 60'
 100
(se prefere fração faça 40 x 60)
 100
 Nos dois casos temos: = 135° + 24’
Número misto para Número decimal
Vamos reforçar uma ideia para facilitar este tipo de transformação. A conclu-
são é simples e pode ser verificada com a pergunta: 
Quantos dias são 3 meses? 
Se respondeu 90 dias, repare qual conta fez: a multiplicação 3 x 30 dias. 
E quando perguntamos: 
Quantos minutos são 240 segundos?
Se respondeu 4 minutos, repare que fez a divisão 240 ÷ 60= 4 minutos.
Matemática • PP25
Anotações
Prof. Pimentel
Resumindo: Quem sobe, divide. Quem desce, multiplica:
Ano ÷ 
sobe: divide12 Mês
30 Dia
24 Hora
× 
desce: multiplica
60 Minuto
60 Segundo
Exemplo: 
Um Caso Genérico
Uma fábrica de fraldas embala seu produto de seguinte maneira: Cada caixa 
possui 23 embalagens, cada embalagem possui 15 pacotes, que por sua vez possui 
25 fraldas.
Desejo comprar 1 caixa de fraldas, quantas fraldas estarei comprando no total?
Solução: 
÷ 
sobe: dividecaixa
23 embalagem
15 pacote
× 
desce: multiplica
25 fralda
1 × 23 × 15 × 25 = 8.625 fraldas
 
Exemplo com tempo:
Transformar 4 horas e 15 minutos em horas.
Solução: (escrevemos o número na menor unidade e depois efetuamos a 
divisão)
4 horas e 15 min = 240 min + 15 min = 255 min
 255,00 60 
 −240 
 150 
 − 120 
 300 
 − 300 
0
4,25
 Assim, temos: 4 horas e 15 minutos = 4,25h
Exemplo: 
ANO COMERCIAL = (12 meses x 30 dias) = 360 dias
Transformar em anos (forma decimal) o número misto 1 ano 4 meses e 15 dias
Prof. Pimentel
Matemática • PP26
Anotações1 ano = 360 dias (desce, multiplica: 1 × 12 × 30)
4 meses = 120 dias (desce, multiplica: 4 × 30)
15 dias = 15 dias + 
Total = 495 dias
X = 495 = 1, 375 anos
 360
Atenção: Se tivéssemos trabalhado com 1 ano = 365 dias, estaríamos traba-
lhando com ano exato e não comercial (12 meses de 30 dias).
Exemplo: 
Quantos dias, horas, minutos e segundos correspondem 829.565 segundos?
Quem sobe, divide. Vamos começar dividindo por 60 para descobrir quanto 
minutos temos, depois por 60 novamente para descobrir quantas horas, depois por 
24 para descobrir o número de dias.
829.565 
seg 60
5 seg 13.826 min 60
26 min 230 horas 24
 14 horas 9 dias
Portanto, 829.565 segundos corresponde a 9 dias, 14 horas, 26 minutos e 5 
segundos.
Operações com números não decimais
As operações com números não decimais divergem das operações com nú-
meros decimais. Possuem detalhes específicos e os veremos a seguir.
Somando números não decimais
Para somar números não decimais inicialmente somamos cada uma das uni-
dades separadamente. Caso os valores ultrapassem dos valores limites, transforma-
mos estes valores. 
Exemplo: 
Efetuar: (5 h, 45 min e 50 seg. ) + (7 h, 38 min e 47 seg.)
Total
Horas
5
 + 7
12 h
Min.
45
 + 38
83 min
 Seg.
 50
 + 47 
97 seg
A
 J 
U
S
T
E
S





12
+ 1
13
+ 1
84
– 60
24
– 60
37
 
37
 Solução: 13 horas, 24 minutos e 37 segundos
Matemática • PP27
Anotações
Prof. Pimentel
Subtraindo números não decimais:
A subtração deve ser efetuada de forma análoga à adição, ou seja, vamos 
separar as unidades por colunas e depois efetuar as operações separadamente.
Quando o minuendo for menor que o subtraendo, devemos emprestar uma 
unidade na casa da unidade imediatamente superior e transformá-la na unidade que 
estamos operando adicionando-a ao minuendo, como mostra o exemplo abaixo.
Exemplo: 
Efetuar: (8 h 12 min e 15 seg.) – (3 h 45 min e 50 seg.)
Horas
 8
– 3
Min.
 12
– 45
Seg.
 15
– 50
Como na coluna dos segundos não é possível tirar 50 de 15, vamos até a 
coluna dos minutos, emprestamos um minuto que corresponde a 60 segundos e adi-
cionamos aos 15 seg. 
Horas
 8
– 3
Min.
 (12 – 1) 
– 45
Seg.
(15 + 60)
– 50
Como na coluna dos minutos não é possível tirar 45 de 11, vamos até a colu-
na das horas, emprestamos uma hora que corresponde a 60 minutos e adicionamos 
aos 11 que já estão nessa coluna.
Horas
 (8 – 1)
– 3
Min.
(11 + 60) 
– 45
Seg.
 75
– 50
Agora podemos efetuar a subtração
Horas
 7
– 3
 4 
Min.
 71
– 45 
 26 
Seg.
 75
– 50
 25 
Solução: 4 horas, 26 minutos e 25 segundos
Nas operações com data é aconselhável usarmos o formato (ANO – MÊS – DIA).
Por exemplo, o dia 12 de outubro de 1972 deve ser escrito : 1972 anos, 10 
meses e 12 dias.
Exemplo:
O Sr. Epaminondas nasceu no dia 25 de setembro de 1949. Quanto tempo de 
vida ele tinha no dia da sua aposentadoria que ocorreu em 12 de março de 2005?
Para efetuar a operação, devemos subtrair da data mais recente a data mais 
antiga, assim tem:
Ano Mês Dia
 2005 03 12
– 1949 – 09 – 25
1º passo: Como os valores referente ao mês e ao dia na primeira linha é menor 
dos da segunda, devemos acrescentar 30 na coluna Dia e subtrair 1 na coluna mês.
Prof. Pimentel
Matemática • PP28
AnotaçõesAno Mês Dia
 2005 03 – 01 12 + 30
– 1949 – 09 – 25
2º passo: Vamos subtrair uma unidade na coluna Ano a adicionar 12 na coluna mês.
Ano Mês Dia
 2005 – 1 02 + 12 42
– 1949 – 09 – 25
 
Agora podemos efetuar a subtração
Ano
 2004
– 1949
 55 
Mês
 14
– 09 
 05 
Dia
 42
– 25
 17 
O Sr. Epaminondas aposentou aos 55 anos 5 meses e 17 dias.
Multiplicando números mistos por um número inteiro:
Para efetuar a multiplicação basta multiplicar cada uma das unidades pelo 
número inteiro. 
Quando necessário, devemos extrair as unidades maiores das menores.
Exemplo 1: 
57 dias corresponde a 1 mês + 27 dias;
394 dias corresponde a 13 meses e 4 dias que corresponde a 1 ano, 1 mês 
e 4 dias.
Uma maneira pratica para extrair as unidades maiores basta fazer a divisão, 
por exemplo,
497 dias, extraindo a quantidade de meses: 
 497 30 
17 16
Assim 497 dias corresponde a 16 meses e 17 dias, que corresponde a 1 ano 
4 meses e 17 dias
Exemplo 2: Efetuar a multiplicação (2 anos, 4 meses e 16 dias) por 6
2 anos 
× 6
 12 anos 
 4 meses
 × 6
 24 meses 
16 dias
× 6
 96 dias 
Fazendo as transformações, e ajustando as unidades da menor para maior 
temos:
96 dias corresponde:
 96 30 
6 3
Corresponde as3 meses e 6 dias.
Matemática • PP29
Anotações
Prof. Pimentel
Ajustando:
12 anos 24 meses 96 dias
12 anos (24 + 3) meses 6 dias
12 anos 27 meses 6 dias
(12 + 2) anos 3 meses 6 dias
14 anos 3 meses 6 dias
Dividindo números não decimais por inteiro:
Para efetuar a divisão basta dividir cada uma das unidades observando que:
• O quociente deve ser um número inteiro. 
• O resto deve ser adicionado à unidade imediatamente inferior após a 
transformação.
• A última unidade permite uma subdivisão decimal. 
Dividir (15 h, 26 min e 44 seg.) por 8
1º passo: dividimos as horas por 8, o que sobra passamos para minuto e 
adicionamos ao minutos.
Horas Minutos Segundos 8
 15
– 8 
 7 
× 60
 420 
 26 44 1 h
 2º passo: dividimos a quantidade de minutos 8, o que sobra passamos para 
segundos e adicionamos ao segundos.
Horas Minutos Segundos 8
 15
– 8 
 7 
× 60
 420 
 26
 + 420 
 446 
 – 440
 6 
× 60
 360 
 44 1 h 55 min. 
 3º passo: dividimos os segundos por 8, e continuamos com o resto na forma 
decimal.
Horas Minutos Segundos 8
 15
– 8 
 7 
× 60
 420 
 26
 + 420 
 446 
 – 440
 6 
× 60
 360 
 44
+ 360 
 404 
– 400
 40 
 – 40
 0 
1 h 55 min. 
 
Solução: 1hora 55 minutos e 50,5 segundos
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Matemática • PP30
AnotaçõesDividindo números não decimais por números não decimais:
Neste caso reduzimos os dois nº a menor unidade e em seguida efetuamos a 
divisão, o resultado será um nº puro.
Exemplo: dividir 2 dias e 18 horas por 1 hora e 15 min
2 d 2 × 24 × 60 2.880 min. 2d e 18 horas = (2.880 + 1.080) = 3.960 min.
18 horas 18 × 60 1.080 min.
1 hora e 15 min. (60 + 15) = 75 min.
 3.960 75 
0 52,8
Resposta: 52, 8 
Exemplo de exercício:
Um satélite da uma volta ao redor da terra em 6 horas e 50 minutos, após 
exatamente 5 dias, quanto tempo 
Quanto tempo faltara para completar a volta em curso.
5 d 5 × 24 × 60 7.200 min.
06 horas e 50 min. 6 × 60 + 50 410 min.
 
 7.200 410 
230 17
Observação: Nesta divisão não podemos cancelar os zeros do dividendo e 
do divisor uma vez que estamos precisando do resto, e este ficara dividido por 10.
Resposta: faltará exatamente 230 min que corresponde a 3 horas e 50 min.
EXERCÍCIOS
1) Faça as conversões 
forma não decimal Inteira Fracionária Decimal
(A) 5 dias e 6 horas 126 horas 126 dias
24
5,25 dias
(B) 4 anos e 3 meses meses anos anos
(C) 7 horas e 45 min minutos horas horas
(D) 8 meses e 12 dias dias meses meses
(E) 2 anos e 15 dias dias meses meses
(F) 4horas e 30 segundos segundos minutos minutos
(G) 1 ano 3 meses 20 
dias
dias ano ano
(H) 8 meses 15 dias dias ano ano
(I) 6 meses 20 dias dias ano ano
(J) 18 horas e 30 
min
segundos dias dias
Resolução do item a: (5 dias e 6 horas) = (5 × 24 horas + 6 horas) = 126 horas. 
Para passar para forma fracionária basta dividir 126 por 24 (o dia tem 24 horas). 
Finalmente para passar para forma decimal , basta efetuar a divisão. 
Matemática • PP31
Anotações
Prof. Pimentel
2) Faça as conversões
forma 
decimal
1º Passo 2º Passo 3º Passo
(A) 7,4 horas (7 h + 0,4h) 7 h + 0,4 × 60 min 7 h e 24 min
(B) 6,125 anos (6 a + 0,125 a) 6 a + 0,125 a × 12 meses 6 a + 1,5 m = 6 a 1 m e 15 dias
(C) 3,25 anos
(D) 38 meses
(E) 1243 horas
(F) 9,7 horas
(G) 4,725 horas
(H) 2,30 meses
(I) 0,60 dias
(J) 11,25 meses
 
3) Efetue as seguintes operações:
(A) 3 a 4 m 25 d + 5 a 9 m 18 d
(B) 12 h 35 min 22 seg + 9 h 26 min 49 seg
(C) 22 d 13 h 10 min + 7 d 10 h 50 min
(D) 18 h 57 min 18 seg + 13 h 15 min 28 seg
(E) 21 h 42 min 52 seg + 19 h 48 min 17 seg
(F) 8 a 9 m 21 d + 10 a 5 m 9 d
(G) 3 a 4 m 15 d – 2 a 9 m 28 d
(H) 21 h 12 min 2 seg – 15 h 46 min 34 seg
(I) 15 d 11 h 10 min – 7 d 10 h 50 min
(J) 16 h 21 min 12 seg – 13 h 45 min 28 seg
(K) 18 h 12 min 11 seg – 12 h 48 min 37 seg
(L) 8 a 2 m 8 d – 6 a 9 m 13 d
(M) 8 h 21min 16 seg × 4
(N) 4 meses 14 dias 9 h × 12
(O) 21 dias 15 min × 32 
(P) 2 a 7 m 18 dias × 40
(Q) 21 h 12 min 18 seg × 22
(R) 12 h 25 min 15 seg × 35
(S) 18 h 31min 16 seg ÷ 7
(T) 14 meses 15 dias 9 h ÷ 6
(U) 13 dias 15 min ÷ 12
(V) 2 a 3 m 18 dias ÷ 8
Prof. Pimentel
Matemática • PP32
Anotações(W) 21 h 2 min 18 seg ÷ 12
(X) 10 h 25 min 12 seg ÷ 4
(Y) 6 dias e 10 horas ÷ 1 hora e 20 min
(Z) 4 horas e 25 min ÷ 15 min e 40 seg
(XY) 2 meses e 18 dias ÷ 6 horas e 30 min
(YZ) 15 horas ÷ 18 min e 20 seg
(ZZ) 2 dias 15 horas 40 min. ÷ 2 horas e 30 min
QUESTÕES DE CONCURSOS
1) VUNESP - Oficial de Manutenção - Prefeitura de Sorocaba - 2014
Um ciclista treina diariamente uma hora e quarenta minutos, preparando-se para 
uma competição. Ao final de 16 dias, ele terá treinado:
(A) menos de 22 horas.
(B) exatamente 22 horas e 40 minutos.
(C) exatamente 24 horas.
(D) exatamente 26 horas e 40 minutos.
(E) mais de 28 horas.
2) VUNESP - Assistente Operacional - UNESP - 2013
 A soma das idades de três amigos, João, Carlos e Antonio, é de 46 anos e 3 meses. 
João e Antonio juntos têm 31 anos e 11 meses. Conclui-se que a idade de Carlos é
(A) 13 anos e 5 meses.
(B) 13 anos e 9 meses.
(C) 13 anos e 11 meses.
(D) 14 anos e 2 meses.
(E) 14 anos e 4 meses.
3) VUNESP - Agente de Segurança Penitenciária - Secretaria da Administração 
Penitenciária - 2013
Uma competição de corrida de rua teve início às 8h 04min. O primeiro atleta cruzou 
a linha de chegada às 12h 02min 05s. Ele perdeu 35s para ajustar seu tênis durante 
o percurso. Se esse atleta não tivesse tido problema com o tênis, perdendo assim 
alguns segundos, ele teria cruzado a linha de chegada com o tempo de
(A) 3h 58min 05s. 
(B) 3h 57min 30s. 
(C) 3h 58min 30s. 
(D) 3h 58min 35s. 
(E) 3h 57min 50s.
Matemática • PP33
Anotações
Prof. Pimentel
4) (VUNESP – Motorista – PMRP- 2014) 
Em um dia da semana, um trabalhador entra no serviço às 7h 45 min e sai às 15h 15 min. 
Sabendo que ele tem 90 minutos para o almoço, a jornada de trabalho, nesse dia, 
desse trabalhador, será de
(A) 8 h e 30 min.
(B) 8 h.
(C) 7 h e 30 min.
(D) 6 h.
(E) 5 h e 45 min.
5) VUNESP - SECRETARIO - PROCON-SP - 2013
Um estudante precisou transcrever a gravação do áudio de um seminário. Esse áu-
dio teve início quando o marcador do gravador indicava 8h 38min 52s e terminou às 
15h 32min 36s. Durante a gravação, ocorreu uma interrupção de 58min 03s em que 
as pessoas saíram para almoçar e o gravador ficou ligado. Sendo assim, o tempo do 
áudio que esse estudante teve de transcrever, com exceção do intervalo do horário 
do almoço, foi de
(A) 7h 51min 16s.
(B) 6h 52min 13s.
(C) 6h 53min 40s.
(D) 5h 55min 41s.
(E) 5h 57min 16s.
6) (VUNESP – Agente de Administração – Prefeitura Ribeirão Preto – 2014)
O primeiro filme de uma trilogia tem duração de 2 horas e 20 minutos e o tempo de 
duração do segundo filme corresponde a 4/5 do tempo do primeiro. Se o terceiro 
filme tem 26 minutos a mais que o segundo, então o tempo total de duração dos três 
filmes juntos é
(A) 5 horas e 23 minutos.
(B) 5 horas e 35 minutos.
(C) 5 horas e 52 minutos.
(D) 6 horas e 17 minutos.
(E) 6 horas e 30 minutos.
7) (VUNESP – Auxiliar Administrativo – SAAE – São Carlos – 2014)
Três irmãos, André, Beto e Caio estão colaborando com a economia de água e por 
isso reduziram o tempo de duração de seus banhos, de modo que a soma do tempodos três banhos juntos é 18 minutos. O tempo de duração do banho de Beto é a me-
tade da soma dos tempos dos banhos de André e de Caio. Sabendo que o banho de 
Caio dura 1 minuto a menos que o de Beto, então a duração, em minutos, do banho 
de André é
(A) 4.
(B) 5.
(C) 6.
(D) 7.
(E) 8.
Prof. Pimentel
Matemática • PP34
Anotações8) (VUNESP – Câmara de Sertãozinho – Motorista - 2014)
Um funcionário da Prefeitura Municipal de Sertãozinho aproveita o horário do almo-
ço, de 2.ª a 6.ª feira, para fazer uma caminhada, de ida e volta, da Prefeitura até o 
Estádio Municipal Frederico Dalmaso. Sabe-se que a distância entre os dois lugares é 
de 950 m e que o tempo para fazer esse percurso a pé, é de, aproximadamente, 11 
min. Nessas condições, pode-se afirmar que esse funcionário, ao final dos cinco dias, 
percorreu
(A) 4,75 km em, aproximadamente, 55 min.
(B) 6,65 km em, aproximadamente, 1 h 17 min.
(C) 8,5 km em, aproximadamente, 1 h 05 min.
(D) 9,5 km em, aproximadamente, 1 h 50 min.
(E) 13,3 km em, aproximadamente, 2 h 34 min.
9) (VUNESP – Educador Social – PMRP- 2014) 
Um CD de música clássica possui apenas quatro músicas e o tempo de duração de 
cada uma delas está registrado na seguinte tabela:
Música Tempo de duração
1.ª 7 minutos e 25 segundos
2.ª 8 minutos e 30 segundos
3.ª 6 minutos e 53 segundos
4.ª ????
Sabendo que a duração das quatro músicas juntas é de 28 minutos e 30 segundos, 
então, a duração da 4.ª música é
(A) 5 minutos e 53 segundos.
(B) 5 minutos e 42 segundos.
(C) 5 minutos e 28 segundos.
(D) 4 minutos e 42 segundos.
(E) 4 minutos e 28 segundos.
Matemática • PP35
Anotações
Prof. Pimentel
10) (VUNESP – Motorista – PMRP- 2014) 
João fez uma viagem de Ribeirão Preto a Uberlândia, como mostra o roteiro, man-
tendo uma velocidade média de 80 km/h. O tempo gasto para ir de Ribeirão Preto a 
Uberlândia, considerando que não houve nenhuma parada, foi
(A) mais do que 4 h.
(B) aproximadamente 3 h 30 min.
(C) exatamente 3 h.
(D) aproximadamente 2 h 40 min.
(E) menos do que 2 h 20 min.
11) VUNESP - 2013 
No último domingo, Maria resolveu assistir à 2 filmes que havia retirado na locadora, 
o tempo total de duração dos dois filmes era de 3,20 horas, porém o primeiro filme 
tinha uma duração de 20 min a mais que que o segundo. Se ela começou assistir o 
filme às 19 horas e 30 min e não houve nenhuma interrupção, que horas ela termi-
nou a assistir este filme.
(A) 21horas e 10 min
(B) 21horas e 16 min
(C) 21horas e 20 min
(D) 21horas e 6 min
(E) 21 horas e 18 min
12) (FCC – Assistente Administrativo Júnior – Metrô - 2014) 
Um operador de composições do Metrô faz o trajeto de treinamento em 1 hora, 56 
minutos e 40 segundos. Após uma semana de treinamento, esse operador diminuiu 
o seu tempo em 5%. Sob a orientação de um novo técnico, esse operador diminuiu o 
seu tempo, aquele já melhorado, em 10%. Desta forma, o tempo inicial para percor-
rer o trajeto diminuiu, após as duas medições, em
(A) 14 minutos e 21 segundos.
(B) 17 minutos e 30 segundos.
(C) 15 minutos e 35 segundos.
(D) 18 minutos e 48 segundos.
(E) 16 minutos e 55 segundos.
Prof. Pimentel
Matemática • PP36
Anotações13) (FCC – Técnico Judiciário – TRT 2ª Região - 2014) 
No dia 21 de dezembro de 2013, o Atlético Mineiro venceu a equipe chinesa do 
Guangzhou pelo placar de 3 a 2, conquistando a terceira colocação do Campeonato 
Mundial de Clubes. O resumo dos gols marcados na partida é dado a seguir.
Atlético Mineiro 3 X 2 Guangzhou
Diego Tardelli (2 min − 1º tempo)
Ronaldinho Gaúcho (45 min − 1º tempo)
Luan (45 min − 2º tempo)
Muriqui (8 min − 1º tempo)
Conca (15 min − 1º tempo)
Considerando que o primeiro tempo durou 46 minutos e que o segundo tempo du-
rou 48 minutos, o total de minutos em que essa partida esteve empatada é igual a
(A) 55.
(B) 53.
(C) 54.
(D) 52.
(E) 56.
14) FCC - Assistente Adm Junior - Metrô - 2014
Um painel de operação do Metrô necessita 24 horas diárias de monitoramento. 
Um turno de trabalho de Lúcia no monitoramento desse painel é das 22:38 do dia 
08/10/2013 até 02:46 do dia 09/10/2013. Durante esse turno de trabalho Lúcia é 
obrigada a parar para descanso, sendo substituída por Marisa por 10 minutos. Se a 
parada de descanso de Lúcia divide seu tempo de trabalho no monitoramento em 
duas metades idênticas, então a parada se inicia no dia 09/10/2013 às:
(A) 00:42 
(B) 02:04 
(C) 01:59 
(D) 01:02 
(E) 00:37
15) FCC - Analista Judiciário - TRT1 - 2013
Em um planeta fictício X, um ano possui 133 dias de 24 horas cada, dividido em 7 meses de 
mesma duração. No mesmo período em que um ano terrestre não bissexto é completado, 
terão sido transcorridos no planeta X, exatamente,
(A) 1 ano, 6 meses e 4 dias.
(B) 2 anos e 4 dias.
(C) 2 anos e 14 dias.
(D) 2 anos, 5 meses e 14 dias.
(E) 2 anos, 5 meses e 4 dias.
Gabarito:
1) D 9) B
2. E 10) B
3) B 11) B
4) D 12) E
5) D 13) A
6) E 14) E
7) D 15) E
8) D
Anotações
Prof. Pimentel
M
ó
d
ul
o
Matemática • PP37
Múltiplos e Divisores03
Muitas vezes quando estamos trabalhando com problema que envolve nº 
inteiro os conceitos de divisor e de múltiplo são muito úteis para ganharmos tempo.
A palavra divisor significa que a divisão o quociente será um número inteiro 
e não sobrará resto.
Por exemplo: o número 5 é um divisor de 40 uma vez que a divisão de 40 
por 5 é igual a 8 e o resto é zero.
Como consequência o número 40 é considerado um múltiplo de 8. 
Apesar de terem significados diferentes as palavras divisor e múltiplos es-
tão entre si com pai está para filho.
Assim quando afirmamos que b é múltiplo de a, devemos entender que a 
é divisor de b, e vice versa.
Definição:
O número a é chamado divisor de b, se a divisão de b por a for exata.
Assim sendo surgirá um terceiro c de tal maneira que podemos dizer:
8 ou b = a × c 2
 
Desta forma o nº b também será divisível por c.
Dicas:
a) não confundir a palavra divisível (conta exata) com a palavra dividido (a conta 
pode não ser exata).
b) Se a é divisor de b então b é múltiplo de a.
c) Se b é múltiplo de a então a é divisor de b.
As questões de concursos relacionadas ao tema concentram-se nos con-
ceitos do MDC e do MMC. Serão abordados tópicos elementares para construção 
destes conceitos.
Números primos:
São aqueles que admitem apenas dois divisores distintos, ele mesmo e o 
número 1.
Exemplos:
7 13 31 47 53 
Importante: o número 1 não é primo, ele não tem dois divisores distintos.
Números primos entre si:
São aqueles que têm como divisor comum apenas o número um (1).
Prof. Pimentel
Matemática • PP38
AnotaçõesExemplo:
- Os divisores do número 9 são { 1, 3, 9 }
- Os divisores do número 8 são { 1, 2, 4, 8 }
Conclusão:
Os números 8 e 9 não são primos, porém são considerados primos entre si, 
pois o único divisor comum entre eles é o número 1.
Propriedade:
Se dois divisores de um nº forem primos entre si, esse nº será divisível pelo 
produto dos dois divisores;
Exemplo: 
O número 45 é divisível por 3 e por 5, portanto ele é divisível por (3 × 5) = 15
Números compostos:
São aqueles que vêm da multiplicação de dois ou mais números primos.
Exemplo: 
6 = 2 × 3
48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3
 
Decomposição de um número em fatores primos:
Todo número inteiro pode ser decomposto em fatores primos. É o que cha-
mamos de fatoração. Uma maneira simples de se fatorar um número é dividi-lo su-
cessivamente pelo menor número primo possível até que se encontre o resultado 1.
Exemplo:
120 2
O número 120 na forma fatorada é 120 = 23 × 31 × 51
60 2
30 2
15 3
5 5
1
No processo da fatoração é fundamental a percepção rápida dadivisibili-
dade dos números.
Para tal seguem alguns critérios de divisibilidade que ajudarão neste pro-
cesso.
Critérios de Divisibilidade:
Por 2 Os números pares são divisíveis por 2, ou seja quando o último algarismo 
que compuser o número for: 0, 2, 4, 6 ou 8.
Exemplos: 12 24 108 412 7.796
Por 3 Os números são divisíveis por 3 quando a soma de seus algarismos for 
múltiplo de 3.
Exemplos: 27 → (2 + 7) = 9 
 132 → (1 + 3 + 2) = 6
Matemática • PP39
Anotações
Prof. Pimentel
Por 4 Números divisíveis por 4 ou terminam em 00 ou o número formado pe-
los dois últimos algarismos são divisíveis por 4.
Exemplos: 8.016 6.500 8.532
Por 5 Números divisíveis por 5 terminam em 0 ou 5.
Exemplos: 1853.175 99.99.990
Por 6 Números divisíveis por 6 são números divisíveis por 2 e 3 ao mesmo tem-
po.
Exemplo: O nº 6.144 
a) termina em 4, é divisível por 2; 
b) somando os algarismos 6 + 1 + 4 + 4 = 15, é divisível por 3.
Como 2 e 3 são primos entre si, o nº 6.144 será divisível por (2 × 3) = 6
Por 8 Números divisíveis por 8 terminam em 000 ou o número formado pelos 
três últimos algarismos é divisível por 8.
Exemplos: 105.432 432 é divisível por 8
 87.000 termina em 000
Por 9 Números são divisíveis por 9 quando a soma dos algarismos for múltiplo 
de 9 (semelhante a regra do 3).
Exemplos: 27.873 → 2 + 7 + 8 + 7 + 3 = 27 
 27 é múltiplo de 9; portanto, 26.873 é divisível por 9
Por 10 Números divisíveis por 10 são números que terminam em 0.
Exemplos: 23.840 48.150 87.131.720
Por 11 Números são divisíveis por 11 quando a diferença da soma entre os al-
garismos que ocupam as casas de ordem par com a soma dos algarismos 
que ocupam as casas de ordem ímpar for zero ou múltiplo de 11.
Exemplos: 8.734 1° + 3° → 4 + 7 = 11 2° + 4° → 3 + 8 = 11
 11 – 11= 0
 91.839 1° + 3° + 5° → 9 + 8 + 9 =26 
 2° + 4° → 3 + 1 = 4 
 26 – 4 = 22
 
Exercícios: 
Usando as regras acima determinar alguns divisores do número 3.960.
Resolvendo:
O último algarismo é par → divisível por 2
60 (dois últimos algarismos) é múltiplo de 4 divisível por 4
3 + 9 + 6 + 0 = 18 → divisível por 3 e 9.
termina com zero → divisível por 5 e 10.
(3 + 6) – (9 + 0) = 0 → divisível por 11.
Podemos afirmar que 3960 é divisível por:
2 e 3 → ele será divisível por 2 × 3 = 6
2 e 5 → ele será divisível por 2 × 5 = 10
2 e 9 → ele será divisível por 2 × 9 = 18
2 e 11 → ele será divisível por 2 × 11 = 22
Prof. Pimentel
Matemática • PP40
Anotações3 e 4 → ele será divisível por 3 × 4 = 12
3 e 5 → ele será divisível por 3 × 5 = 15
3 e 10 → ele será divisível por 3 × 10 = 30
3 e 11 → ele será divisível por 3 × 11 = 33
5 e 4 → ele será divisível por 5 × 4 = 20
5 e 9 → ele será divisível por 5 × 9 = 45
5 e 11 → ele será divisível por 5 × 11 = 55
9 e 10 → ele será divisível por 9 × 10 = 90
9 e 11 → ele será divisível por 9 × 11 = 99
Regra geral: Se um número a for divisível por dois ou mais números, ele 
será divisível pelo m.m.c. destes números (brevemente veremos como se determi-
na o m.m.c. de dois ou mais números)
Divisores de um número:
Para obtermos o conjunto dos divisores de um determinado número, va-
mos seguir os passos:
Primeiro passo Fatoramos os números:
120 2 48 2
60 2 24 2
30 2 12 2
15 3 6 2
5 5 3 3
1 1
120 = 23 × 31 × 51 48 = 24 × 31
Como todos os números primos na segunda coluna (fatores) são divisores, 
qualquer combinação entre eles também será divisor.
Exemplo:
Os números 2, 3 e 5 são divisores de 120. Qualquer combinação entre eles tam-
bém será: 6 (combinação de 2 × 3), 30 (combinação de 2 × 3 × 5), e assim por diante.
Os números 2 e 3 são divisores de 48. Qualquer combinação entre eles também 
será: 8 (combinação de 2 × 2 × 2), 12 (combinação de 2 × 2 × 3), e assim por diante.
Segundo passo: traçamos um linha vertical ao lado dos divisores encontra-
dos na fatoração, em seguida escrevemos o nº 1 na linha acima do primeiro divisor.
Terceiro passo: multiplicamos o primeiro divisor (no caso é o primeiro 2) por 1 
e o resultado escrevemos na mesma linha que contém esse número. Em seguida vamos 
multiplicar todos os demais divisores primos pelos números que aparecem nas linha aci-
ma onde está o referido divisor, escrevendo o resultado em sua frente.
Não há necessidade de repetir os números que já existem.
1 1
120 2 2 48 2 2
60 2 4 24 2 4
30 2 8 12 2 8
15 3 3, 6, 12, 24 6 2 16
5 5 10, 20, 40, 15, 30, 60, 120 3 3 3, 6, 12, 24, 48
1 1
Matemática • PP41
Anotações
Prof. Pimentel
Quantos divisores tem um número:
Uma forma pratica para descobrirmos quantos divisores tem um número, 
sem fazer todos os cálculos apresentados acima; após a decomposição escrevemos 
o nº na forma fatorada.
O número de divisores corresponderá ao produto de todos os expoentes 
adicionados de uma unidade.
Exemplo 1: Quantos divisores tem o nº 120
120 = 23 × 31 × 51 → nº de divisores = (3 + 1) × (1 + 1) × (1 + 1) = 4 × 2 × 2 = 16
Exemplo 2: o número X = 2a × 3b × 5c × 6d, determinar o nº de divisores de X
 nº de divisores = (a + 1) × (b + 1) × (c + 1) × (d + 1) 
Divisores comuns de dois ou mais números:
Inicialmente determinamos os divisores dos nº conforme acima depois é 
só selecionar aqueles que são comuns.
1 1
120 2 2 48 2 2
60 2 4 24 2 4
30 2 8 12 2 8
15 3 3, 6, 12, 24 6 2 16
5 5 10, 20, 40, 15, 30, 60, 120 3 3 3, 6, 12, 24, 48
1 1
O conjunto dos divisores comuns entre 120 e 48 é {1 – 2 – 3 – 4 – 6 – 8 – 12 – 24}.
O número 24 é o maior divisor comum dos nº 120 e 48.
DICA: Os divisores do M.D.C de dois ou mais números serão também divisores 
comuns dos números.
Determinando os divisores do nº 24:
1
24 2 2
12 2 4
6 2 8
3 3 3, 6, 12, 24
1
 
Observem que os números apurados são iguais ao conjunto determinado acima.
Forma rápida para se determinar o m.d.c.
Os números são fatorados simultaneamente por um divisor comum. Não 
há necessidade de começarmos pelos menores divisores primos, basta chegarmos 
a conclusão que os números são divisíveis por determinado número.
O m.d.c. será o produto dos divisores comuns.
Exemplo 1: Determinar o m.d.c. de 2100, 1800 e 750.
2.100 – 1.800 – 750 10 todos são divisíveis por 10
210 – 180 – 75 5 todos são divisíveis por 5
42 – 36 – 15 3 todos são divisíveis por 3
14 – 12 – 5 Não há mais divisores comuns, exceto o 1.
primos entre si m.d.c. = 10 × 5 × 3 = 150
Prof. Pimentel
Matemática • PP42
AnotaçõesExemplo 2:
Determinar o m.d.c. dos números 480, 144 e 600
Tente dividir todos os números pelo maior divisor possível.
480 – 144 – 600 4 todos são divisíveis por 4
120 – 36 – 150 6 todos são divisíveis por 6
20 – 6 – 25 Não há mais divisores comuns
primos entre si m.d.c. = 4 × 6 = 24
Com o intuito de se ganhar tempo poderíamos tentar a divisão por um nú-
mero maior. Quem visualiza o 4 e o 3, divide todos os números por 12. Esta escolha 
depende da intimidade com os números, da facilidade de enxergar as divisões.
Daí teríamos:
480 – 144 – 600 12 todos são divisíveis por 12
40 – 12 – 50 2 todos são divisíveis por 2
20 – 6 – 25 Não há mais divisores comuns
primos entre si m.d.c. = 12 × 2 = 24
De qualquer maneira, chegamos a um mesmo resultado.
Quando temos dificuldades de identificar os divisores comuns, vamos de-
compor os números simultaneamente pelos menores divisores primos e para deter-
minar o m.d.c. pegaremos somente aqueles que dividem todos aomesmo tempo.
Exemplo: determinar o m.d.c. dos números 780 - 936 - 1248
780 – 936 – 1.248 2
390 – 468 – 624 2
195 – 234 – 312 2
Vamos descartar esses fatores, eles não 
dividem todos os números simultanea-
mente
195 – 117 – 156 2
195 – 117 – 78 2
195 – 117 – 39 3
 65 – 39 – 13 3
 65 – 13 – 13 5
 13 – 13 – 13 13
O m.d.c. é: 2 × 2 × 13 = 52
 1 – 1 – 1
Problemas envolvendo o Máximo Divisor Comum:
Uma vez que já entendemos a ferramenta (m.d.c.), vamos para prática.
As situações problemas onde devemos usar o m.d.c. nós só descobriremos 
através a interpretação dos textos que nos são apresentados. Além disso temos a 
obrigação de sabermos o que significa o m.d.c. dentro do problema e também o 
que estamos procurando.
Exemplo 1 
Qual é a maior quantidade de pacotes iguais que poderei fazer se tenho 
840 livros, 600 cadernos e 960 canetas ?
Antes de resolver o problema, veja as dicas:
Matemática • PP43
Anotações
Prof. Pimentel
1º O problema passou um ideia de divisão exata Divisor
2º O problema fala em quantidades iguais Comum
3º O problema fala na maior quantidade Máximo
Fique atento: 
É a ideia de divisão exata é aquela nos levará a concluir que o proble-
ma é de divisor.
Nos exercícios tanto as palavras maior como menor significa máxi-
mo. (lembre-se a menor quantidade de alguma coisa nos levará ao 
máximo de outra).
Exemplo quando eu divido uma certa quantia em partes iguais entre 
várias pessoas, quanto menor for o nº de pessoas maior será o valor 
que cada uma receberá 
Mesmo descobrindo que a ferramenta adequada é o m.d.c., precisamos 
responder a 3 perguntas:
1º O que representa o m.d.c.?
2º O que estamos procurando?
3º E agora o que faço?
Respostas para esse exercício:
1º O m.d.c. representa a maior quantidade de pacotes
2º nº de pacotes.
3º A resposta é o próprio m.d.c.
Resolvendo:
840 – 600 – 960 10 todos são divisíveis por 10
84 – 60 – 96 12 todos são divisíveis por 12
 7 – 5 – 8 Não há mais divisores comuns, exceto o 1.
primos entre si m.d.c. = 10 × 12 = 120
 
Exemplo 2 
Quanta canetas devo colocar em cada pacote se pretendo fazer o máximo 
de pacotes iguais se tenho 840 livros, 600 cadernos e 960 canetas ?
1º O problema passou um ideia de divisão exata Divisor
2º O problema fala em quantidades iguais Comum
3º O problema fala na maior quantidade Máximo
1º O que representa o m.d.c.?
2º O que estamos procurando?
3º E agora o que faço?
Prof. Pimentel
Matemática • PP44
AnotaçõesRespostas para este exercício:
1º O m.d.c. representa a maior quantidade de pacotes
2º nº quantidade de canetas.
3º divido a quantidade de canetas pelo o m.d.c. .
Resolvendo:
840 – 600 – 960 10 todos são divisíveis por 10
84 – 60 – 96 12 todos são divisíveis por 12
 7 – 5 – 8 Não há mais divisores comuns, exceto o 1.
primos entre si m.d.c. = 10 × 12 = 120
Para sabermos o número de canetas basta efetuar a divisão: 
(960 ÷ 120) = 8
Resposta: 8 canetas
Exemplo 3
Um jardineiro dispõe de 1500 mudas de rosas vermelhas, 1200 amarelas e 
900 brancas. Qual a menor quantidade de mudas que deverá colocar em cada can-
teiro de modos que cada um deles tenha o mesmo número de plantas de cada tom.
1º Dividir em canteiros iguais ideia de divisão  divisor
2º Mesmo número de plantas Comum
3º Menor número de plantas  máximo de 
canteiros
Máximo
1º O que representa o m.d.c.?
2º O que estamos procurando?
3º E agora o que faço?
Respostas para este exercício:
1º O m.d.c. representa a maior quantidade de canteiros
2º Números plantas.
3º Divido a quantidade de plantas pelo o m.d.c. .
Resolvendo:
1.500 – 1.200 – 900 100 todos são divisíveis por 10
15 – 12 – 9 3 todos são divisíveis por 3
 5 – 4 – 3 Não há mais divisores comuns, exceto o 1.
primos entre si m.d.c. = 100 × 3 = 300
 
Dica: como não houve descarte na decomposição, podemos somar o 
número da última linha.
(5 + 4 + 3) = 12
Matemática • PP45
Anotações
Prof. Pimentel
Exemplo 4 
Uma ONG recebeu 4500 Kg de arroz, 1.800 Kg de feijão; 3.600 Kg de batata 
e 2.400 latas de leite em pó, que serão distribuídos entre a comunidade carente por 
ela assistida. A secretaria recebeu ordem de transformar tudo em cestas básicas 
de modo que elas fossem todas iguais e que ainda atendesse o maior número de 
pessoas possíveis. Desta forma quantas cestas foram distribuídas, e o que continha 
em cada uma.
1º Dividir em canteiros iguais ideia de divisão  divisor
2º Mesmo número de plantas Comum
3º Menor número de plantas  máximo de 
canteiros
Máximo
1º O que representa o m.d.c.?
2º O que estamos procurando?
3º E agora o que faço?
Respostas para este exercício:
1º O m.d.c. representa a maior quantidade de cestas
2º Número de cestas e quantidade em cada cesta.
3º O m.d.c. é o nº de cestas - divido cada o total de cada produto pelo nº de cestas.
Resolvendo:
4.500 – 1.800 – 3.600 – 2.400 100
45 – 18 – 36 – 24 3
15 – 6 – 12 – 8
primos entre si m.d.c. = 100 × 3 = 300
Resposta: foram distribuídas 300 cestas contendo 15 Kg de arroz, 6Kg de feijão; 12 Kg 
de batata e 8 latas de leite.
QUESTÕES DE CONCURSOS
1) VUNESP - Assistente Adm. e Téc. - Emplasa - 2014
Três tábuas de espessura igual a 3 cm, cujos comprimentos são iguais a 2,4 m, 3,6 m e 
3 m, respectivamente, deverão ser totalmente cortadas em pedaços iguais e do maior 
comprimento possível, de modo que não haja sobras. Os pedaços cortados devem ser 
sobrepostos, formando uma única pilha, cuja altura, em centímetros, deverá ser igual a 
(A) 30. (B) 35. (C) 45. (D) 50. (E) 55.
2) VUNESP - Tesoureiro - Câmara Municipal de São Carlos - 2013
 Uma pessoa precisa quadricular uma placa retangular de papelão de 1,80 m de 
comprimento por 92 cm de largura. A figura mostra uma parte do quadriculado.
 
 
 
Prof. Pimentel
Matemática • PP46
Anotações Sabendo-se que todos os quadradinhos são iguais e de maior lado possível, e que 
a placa toda foi quadriculada, sem que ocorresse nenhuma sobra, então, o número 
total de quadradinhos desenhados nessa placa foi
(A) 1.035. (B) 1.050. (C) 1.300. (D) 1.350. (E) 1.500.
3) VUNESP - Agente de Trânsito - Detran - 2013
Uma coleção de miniaturas de brinquedos é formada por 328 carrinhos, 256 mo-
tos e 192 caminhões. Os brinquedos serão organizados em grupos com a mesma 
quantidade, de modo que cada grupo seja formado pelo mesmo tipo de miniatura. 
Desejando-se que cada grupo tenha o maior número possível de miniaturas, então 
o número de brinquedos em cada grupo e a quantidade de grupos formados com 
motos são, respectivamente,
(A) 6 e 67. (B) 8 e 41. (C) 6 e 53. (D) 8 e 32. (E) 6 e 41.
4) VUNESP - Oficial administrativo - IMESC - 2013
Necessita-se dividir duas verbas, uma de R$ 60.000,00 e outra de R$ 22.500,00, para 
que possam ser aplicadas apenas em projetos que serão desenvolvidos. Mas para 
essa divisão existem algumas exigências: (1º) essas verbas não podem ser juntadas; 
(2º) cada projeto deverá receber o mesmo valor e nada mais, além disso; (3º) cada 
parte decorrente da divisão deverá ter o maior valor possível. Obedecendo a essas 
exigências, o número de projetos que serão desenvolvidos com essas verbas será
(A) 11. (B) 15. (C) 22. (D) 25. (E) 33.
5) VUNESP - SECRETÁRIO - PROCON-SP - 2013
Uma costureira tem quatrocarreteis de fitas com, respectivamente, 164 m, 136 m, 
112 m e 84 m. Ela precisa cortar essas fitas em pedaços de mesmo comprimento, 
sendo cada pedaço o maior possível. O número máximo de pedaços obtidos e o 
comprimento, em metros de cada pedaço, serão, respectivamente,
(A) 124 e 6.
(B) 124 e 4.
(C) 132 e 4.
(D) 132 e 6.
(E) 184 e 8.
6) FCC - Analista Judiciário - TRT3 - 2014
Um funcionário tem que executar 500 tarefas do tipo A, 150 do tipo B e 300 do tipo 
C no prazo de alguns dias, sendo necessário finalizar as tarefas dos tipos A, B, e C 
simultaneamente ao final do último dia. De acordo com as instruções que recebeu, 
a soma diária da quantidade de tarefas A, B e C realizadas seja a maior possível. Em 
tais condições, esse funcionário terá que realizar um total de tarefas em um total 
de dias igual a
(A) 10. (B) 21. (C) 15. (D) 19. (E) 25.
Gabarito: 
1) C 4) A
2) A 5) B
3) D 6) D
Matemática • PP47
Anotações
Prof. Pimentel
PROBLEMAS DOS PONTOS INTERNOS
É com frequência que nos deparamos com problemas relacionando o nú-
mero de pedaços (partes iguais) e seus pontos de divisão (no contexto dos exercí-
cios, podem ser estacas, árvores, ruas, postes, etc.).
Por exemplo, para dividirmos uma barra de chocolate em 2 partes precisa-
mos fazer apenas um corte; agora se quisermos 3 pedações teremos que fazer dois 
cortes , se quisermos 4 pedaços teremos que fazer três cortes e assim por diante, 
de modo que quando queremos n pedaços precisamos fazer (n – 1) cortes
 1 2 3 4 5
1 2 3 4 5 6
No exemplo acima, temos 6 pedaços, foram necessários 5 cortes.
Fique atento: 
Nos exercícios ora a referência são os pedaços, ora são os cortes.
Se precisarmos de n pedaços então necessitamos de (n – 1) cortes 
(pontos internos)
Se vamos fazer n cortes (pontos internos) então obteremos (n + 1) 
pedaços
Atenção: Estamos falando de pontos internos, nos exercícios que 
temos pontos nas extremidades devemos descontá-los do total de 
pontos ou somar dependendo do exercício.
Exemplo 1
Numa rua com 110 metros de comprimento serão plantadas árvores a cada 
10 metros, sendo também plantada uma árvore em cada extremidade, quantas 
árvores serão necessárias.
Dividindo 110 por 10 vamos obter 11 (pedaços de 10 metros)
Para obter 11 pedaços precisamos de 10 pontos internos.
Como vamos plantar uma árvore em cada extremidade devemos adicionar 
mais 2 pontos
Para 11 pedaços (usando as extremidades), plantamos 12 árvores 
Sendo 10 internamente mais 2 nas extremidades.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Dica:
Desenhar, trazendo o problema para o visual, facilita o entendimento dos proble-
mas com pontos.
 
Exemplo 2:
Antônio quer fixar um sarrafo de 2 metros numa parede, ele dispõe de 5 
parafusos, querendo dividir o sarrafo em partes iguais e sabendo que colocará um 
parafuso em cada extremidade qual deverá ser a distância entre os mesmos.
Prof. Pimentel
Matemática • PP48
AnotaçõesSe ele vai utilizar um parafuso em cada extremidade, sobrarão 3 parafusos 
a ser colocados internamente.
Com três pontos internos obteremos 4 pedaços iguais.
Portanto basta dividir 2 metros por 4 para obter a resposta.
2 metros = 0,5 m = 50 cm4
 
1 2 3 4
1 2 3 4 5
Exemplo 3:
Um sarrafo de 1,80 m deverá ser fixado numa parede com a menor quan-
tidade de parafusos de modo que a distância entre eles fique sempre a mesma e 
ainda um dos parafusos deverá ser colocado a uma distância de 80 cm de uma das 
extremidades (não será fixado parafusos nas extremidades). Quantos parafusos são 
necessários?
80 cm 100 cm
Este exercício envolve dois assuntos: m.d.c. e pontos internos.
Como quer dividir em espaços iguais, passou a ideia de divisão exata (por-
tanto divisor).
Como ele quer a menor quantidade de parafusos → maior espaço.
Portanto precisamos achar o m.d.c. 
1º O m.d.c. representa a maior distância
2º Estamos procurando nº de parafusos..
3º Ao dividir o comprimento do sarrafo pelo m.d.c. vamos determinar 
o nº de partes 
4º Como o que procuramos são os pontos internos a resposta será 
100 – 80 10 todos são divisíveis por 10
10 – 8 2 todos são divisíveis por 2
5 – 4 Não há mais divisores comuns, exceto o 1.
 m.d.c. = 10 × 2 = 20
(180 ÷ 20) = 9 (partes) → 8 pontos internos.
Respostas: 8 parafusos.
Relação entre parte e pontos quando temos uma curva fechada.
Observem, os quatro pontos dividem a curva em 4 pedaços.
Portanto quando a linha é fechada, o número de pontos internos coincide 
com o número de partes.
Matemática • PP49
Anotações
Prof. Pimentel
Exemplo 4: 
Quero cercar um terreno retangular que mede 12 m de frente por 40 m de 
profundidade, com estacas igualmente espaçadas. Quantas estacas são necessárias 
se quero usar o mínimo de estacas possíveis. 
Nesse caso também estamos diante de um problema que cobra os dois 
assuntos (m.d.c. e pontos internos)
O m.d.c. representa distância entre as estacas ( mínimo de estacas → má-
ximo de distância)
Eu quero o número de estacas.
Devo dividir o perímetro pela distância (m.d.c.)
12 – 40 4 todos são divisíveis por 4
3 – 10
primos entre si Não há mais divisores comuns, exceto o 1.
 m.d.c. = 4
Perímetro (soma dos lados) = 12 + 12 + 40 + 40 = 104
104 ÷ 4 = 26 (pedaços) que corresponde a 26 pontos internos (estacas).
QUESTÕES DE CONCURSOS
1) VUNESP - Técnico em metrologia e qualidade - IPEM - 2013
Uma concessionária pretende implantar torres de transmissão de energia em dois 
trechos distintos, tendo um deles 1 200 m e o outro, 1 680 m, observando-se as 
seguintes condições:
• Deverá haver uma torre no início e outra no final de cada trecho;
• A distância entre duas torres vizinhas deverá ser sempre a mesma nos dois trechos;
• O número de torres a serem implantadas deverá ser o menor possível.
Nessas condições, o número total de torres nesses dois trechos deverá ser igual a
(A) 12. 
(B) 18. 
(C) 14. 
(D) 16. 
(E) 10.
2) VUNESP - Soldado PM - Polícia Militar - SP - 2014
 Seguindo recomendações médicas, uma pessoa caminha 300 metros e para por 3 minu-
tos para descansar, caminha mais 300 metros e para por mais 3 minutos, e assim sucessi-
vamente, até completar um total de 1,5 km. Sabendo que, sempre que esteve caminhan-
do, essa pessoa manteve uma velocidade constante de 4 metros por segundo, pode-se 
concluir que o tempo total gasto para percorrer a distância de 1,5 km foi:
(A) 18 min e 15 seg.
(B) 19 min e 20 seg.
(C) 19 min e 05 seg.
(D) 18 min e 05 seg.
(E) 18 min e 30 seg.
Prof. Pimentel
Matemática • PP50
Anotações3) VUNESP - Escrevente Técnico Judiciário TJ-SP - 2010
Uma barra de madeira maciça, com a forma de um paralelepípedo reto retângulo, 
tem as seguintes dimensões: 48 cm, 18 cm e 12 cm. Para produzir calços para uma 
estrutura, essa barra deve ser cortada pelo carpinteiro em cubos idênticos, na me-
nor quantidade possível, sem que reste qualquer pedaço da barra. Desse modo, o 
número de cubos cortados será igual a
(A) 54. 
(B) 52. 
(C) 50. 
(D) 48. 
(E) 46.
4) CCPP - 2012 
Dois viajantes deverão percorrer juntos duas estradas que se cruzam. Na primeira 
eles percorrerão 320 km e na segunda 240 km, querendo revezar na direção de 
modo que seja feito o mínimo de revezamentos possível e em cada revezamen-
to eles percorram os mesmos espaços e obrigatoriamente um dos revezamentos 
deverá ocorrer no cruzamento das estradas. Quantos revezamentos serão feitos e 
quantos km andarão em cada etapa do percurso?
(A) 4 revezamentos e 120 km 
(B) 5 revezamentos e 90 km 
(C) 6 revezamentos e80 km 
(D) 7 revezamentos e 80 km 
(E) 8 revezamentos e 70 km 
5) CCPP - 2012
Uma imobiliária quer lotear um terreno de forma retangular que mede 800 m de 
comprimento por 560 m de largura no menor número de lotes iguais possíveis e 
que tenha a forma de um quadrado. Quantas ruas serão necessárias para separar 
tais lotes?
(A) 15 
(B) 54 
(C) 17 
(D) 63 
(E) 30
6) CCPP - 2012 
Um terreno retangular de 210 m por 90 m será cercado. Em toda a volta deste cer-
cado serão plantadas árvores igualmente espaçadas e com a maior distância possí-
vel entre elas. Quantas árvores serão plantadas?
(A) 18 
(B) 19 
(C) 20 
(D) 21 
(E) 22 Gabarito
1) C 4) C
2) A 5) A
3) D 6) C
Matemática • PP51
Anotações
Prof. Pimentel
MÚLTIPLOS DE UM NÚMERO INTEIRO:
O produto da multiplicação de um nº inteiro a por qualquer outro número 
inteiro b recebe o nome de múltiplo de a e múltiplo de b. 
Por exemplo: quando efetuamos a multiplicação (4 × 5 = 20) o número 
20 recebe nome de múltiplo, e por sua vez os números 4 e 5 serão divisores de 20.
Desta forma, podemos afirmar qualquer número tem infinitos múltiplos.
Fique atento 
A palavra múltiplo deve ser entendida como resultado de uma multi-
plicação, consequentemente o número zero é múltiplo de qualquer 
número inteiro, uma vez que qualquer número multiplicado por zero 
= zero.
 
Número Múltiplos O número 72 é o 
menor múltiplo 
comum de:
 8 – 12 – 18
8 8 – 16 – 24 – 32 – 40 – 48 – 56 – 64 – 72 – 80 – ....
12 12 12 – 24 – 36 – 48 – 60 – 72 – ....
18 18 18 – 36 – 54 – 72 – 90 – ....
Determinando o m.m.c. de dois ou mais números
Determinamos o m.m.c. decompondo os números simultaneamente da 
mesma forma que fazemos com o m.d.c., a única diferença é que devermos fazer a 
decomposição até que os resultados fiquem igual a 1.
Exemplo: determinar o m.m.c. de 12, 15 e 48
12 – 15 – 48 2
O m.m.c. será o produto de todos fato-
res comuns.
2 × 2 × 2 × 2 × 3 ×5 = 240
6 – 15 – 24 2
3 – 15 – 12 2
3 – 15 – 6 2
3 – 15 – 3 3
1 – 5 – 1 5
1 – 1 – 1
Dica importante
Se um número for múltiplo de outros dois números então ele tam-
bém será múltiplo do m.m.c. destes número, como consequência po-
demos afirmar:
Se um número for divisível por outros dois números ele será divisível 
pelo m.m.c. destes números.
Exemplo:
Quantos números menores que 1.000 são ao mesmo tempo divisíveis por 
15, 20 e 25.
Prof. Pimentel
Matemática • PP52
AnotaçõesSolução: os números deverão múltiplos do m.m.c. de 15, 20 e 25:
15 – 20 – 25 5 como os números 3 – 4 e 5 são primos entre 
si, podemos agilizar colocando 1 na ultima li-
nha e os números 3 – 4 – 5 depois da linha 
vertical
m.m.c. = 5 × 3 × 4 × 5 = 300
3 – 4 – 5 3
1 – 1 – 1 4
5
 
Desta forma os números divisíveis por 300 são: 
300 × 1 = 300
300 × 2 = 600
300 × 3 = 900
A grande maioria dos nossos exercícios que envolvem múltiplos comuns 
será resolvida através do m.m.c.
Os problemas que envolvem o m.m.c. são aqueles que passam uma ideia 
de repetição.
Para melhor entendimento, vamos ver o exemplo abaixo:
Em sua noite de núpcias a dona Maria Julia fez o seguinte trato com o Sr. 
Pimentel, e ele aceitou, não é que desde desta data ela cumpriu rigorosamente o 
combinado.
1 – Comeriam Bife (músculo) de 15 em 15 dias
2 – Tomariam Vinho (um copo de sangue de boi) 20 em 20 dias
3 – A cada 25 ele teria direito a uma sobremesa (aquela gelatina)
Se hoje o Sr. Pimentel comeu bife, tomou aquele copo de vinho e saboreou 
aquela sobremesa, daqui a quanto tempo esse fato se repetirá.
Como o Sr. Pimentel é um cara esperto ele elaborou a seguinte tabela para 
não perder nenhum dia.
BIFE (a cada 15 dias)
15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 180 195 210 225 240 255 270 285 300
VINHO (a cada 20 dias)
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300
SOBREMESA (a cada 25 dias)
25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300
Ao observar a tabela observamos que estamos diante dos múltiplos de 15 – 20 e 
25 respectivamente e que ele procura é um múltiplo que seja comum aos três, como ele 
quer o próximo dia que tal fato ocorrerá ele quer o Mínimo Múltiplo Comum.
Analisando esses casos notamos que o 300 é o menor número que pertence às 
tabuadas dos 3 números, por este motivo é chamado de Mínimo Múltiplo Comum.
Logicamente numa prova não é aconselhável o candidato ficar fazendo ta-
bela um vez que em função dos números ela poderá ser muito longa, havendo um 
perda muito grande de tempo, o ideal é achar o m.m.c.
Matemática • PP53
Anotações
Prof. Pimentel
Dica importante
Quando o exercício passar a ideia de repetição, a ferramenta a ser 
usada é o m.m.c. 
 
Após detectarmos que estamos diante de um problema de m.m.c., temos 
que responder a 3 perguntas:
1) O que representa o m.m.c.?
2) O que o problema está pedindo ?
3) O que deve ser feito?
Neste caso as repostas seriam:
1) números de dias para o próximo encontro.
2) após quantos dias (números de dias)
3) O próprio m.m.c.
15 – 20 – 25 5
 m.m.c. = 5 × 3 × 4 × 5 = 300
 3 – 4 – 5 3
 1 – 1 – 1 4
5
Portanto o fato se repetirá a cada 300 dias.
Nem sempre a resposta do problema é o m.m.c., por exemplo, neste exercí-
cio a pergunta poderia ser: quantas vezes nesse período o Sr Pimentel comeu bife.
Desta forma temos que dividir (300 por 15) que nos dará 20 intervalos de 
15 dias, porém temos que ficar atento (aqui temos problema dos pontos interno) 
Assim sendo se contarmos apenas quantas vezes ele comeu no intervalo 
(excluindo os dias que ele comeu o bife, a sobremesa e tomou vinho a resposta 
seria; (20 – 1) = 19.
Porém se contarmos as extremidades a resposta seria (19 + 2) = 21.
O problema tem que nos dar essa informação.
Se o examinador quiser complicar um pouco mais, ele poderá pedir quan-
tas vezes até o próximo encontro dos três o Sr. Pimentel tomou vinho e comeu bife 
no mesmo dia.
Nesse caso temos que determinar o m.m.c. entre 15 e 20 que são os res-
pectivos intervalos do bife e do vinho. Em seguida dividir 300 (m.m.c.) dos três.
15 – 20 5
 m.m.c. = 5 × 3 × 4 = 603 – 4 3
1 – 1 4
(300 ÷ 60) = 5 (intervalos de 60 dias)
Até o próximo encontro não contando a extremidade, o fato aconteceu (5 – 1) = 4 vezes
Contando as 2 extremidades: (4 + 2) vezes.
Prof. Pimentel
Matemática • PP54
AnotaçõesResumindo:
Problemas envolvendo o m.m.c.
Para sabermos se um problema deve ser resolvido através do m.m.c., deve-
mos observar se ele passa ideia de repetição respondemos três perguntas:
1ª O que representa o m.m.c.?
2ª O que o problema pede?
3ª O que faço? (cuidado para não cair na armadilha dos problema dos pontos).
Exemplo 1
Três viajantes passam por um determinado local respectivamente a cada 
12, 15 e 20 dias. Sabendo-se que hoje os três se encontraram, quando acontecerá 
o novo encontro?
O problema passa a ideia de repetição, (m.m.c.), vamos responder as perguntas: 
1ª O que representa a m.m.c.?
2ª O que o problema pede?
3ª O que faço?
As respostas nesse caso:
O m.m.c. representa o nº de dias para o próximo encontro.
O problema pede o próximo encontro
A resposta é o próprio m.m.c. 
12 – 15 – 20 2
 m.m.c. = 2 × 2 × 3 × 5 = 60
6 – 15 – 10 2
 3 – 15 – 5 3
 1 – 5 – 1 5
 1 – 1 – 1
Eles se encontrarão daquia 60 dias
Os 2/3 dos apartamentos de um prédio são de dois quartos; 5/6 tem gara-
gem para dois carros e 2/7 tem ar condicionado.Com os dados apresentado, um 
possível nº de apartamentos deste prédio e:
(A) 36 (B) 48 (C) 56 (D) 84 (E) 102
Quando olhamos para o exercício temos a impressão que faltam dados, porém 
temos certeza que o número de apartamento deverá ser divisível por: 3 – 6 – 7, respecti-
vamente. Uma vez que a fração apresentadas deverão fornecer números inteiros.
Se ele é divisível por 3 – 6 – 7. Então o número será um múltiplo do m.m.c. 
destes números.
3 – 6 – 7 2
 m.m.c. = 2 × 3 ×7 = 42
3 – 3 – 7 3
1 – 1 – 7 7
1 – 1 – 1
 
O número de apartamento será um dos números;
42 × 1 = 42
42 × 2 = 84
42 × 3 = 126
42 × 4 = 168 Portanto a resposta é alternativa: D 
Matemática • PP55
Anotações
Prof. Pimentel
QUESTÕES DE CONCURSOS
1) VUNESP - Oficial Legislativo - Prefeitura de Sorocaba - 2014
A cada 2 horas e meia, um boletim informativo é publicado na internet por uma agência 
A. Outra agência de informações, B, publica seu boletim informativo na internet a cada 
90 minutos, ao passo que uma agência C publica seu boletim informativo de 3 em 3 
horas, também na internet. Sabendo-se que exatamente às 8 horas da manhã de um 
determinado dia essas 3 agências de informações publicaram seus boletins na internet 
ao mesmo tempo, e considerando que desse horário em diante, naquele dia, não houve 
atrasos nas publicações dessas agências, é correto afirmar que esses boletins foram no-
vamente publicados ao mesmo tempo, nesse mesmo dia, às
(A) 19 horas. (C) 21 horas. (E) 23 horas.
(B) 20 horas. (D) 22 horas.
2) VUNESP - Agente de escolta - Secretaria da Administração Penitenciária - 2013
Um ciclista ‘A’ completa cada volta em uma pista circular em 12 minutos, outro ci-
clista ‘B’ completa cada volta em 15 minutos, e um ciclista ‘C’, em 20 minutos. Se os 
ciclistas A, B e C partem do mesmo ponto, no mesmo sentido e no mesmo instante, 
então os três ciclistas irão passar novamente juntos, no mesmo ponto, após
(A) 50 min. (C) 1 h e 5 min. (E) 1 h e 15 min.
(B) 1 h. (D) 1 h e 10 min.
3) VUNESP - Agente de Segurança Judiciária - Tribunal de Justiça Militar - SP - 2013
Ônibus de duas linhas circulares partem de um mesmo ponto inicial. Os ônibus da linha 
X, de percurso menor, partem a cada 20 minutos, e os da linha Y, de percurso maior, a 
cada 35 minutos. Se ônibus de ambas as linhas partiram simultaneamente do referido 
ponto inicial às 7 h 25 min, então a próxima partida simultânea de ônibus de ambas as 
linhas ocorrerá às
(A) 9 h 30 min. (C) 10 h 10 min. (E) 10 h 50 min.
(B) 9 h 45 min. (D) 10 h 35 min.
4) VUNESP - Soldado PM - Polícia Militar - 2014
Um professor de matemática desafiou seus alunos a calcularem a soma dos 514 
números da seguinte sequência numérica: 
Posições → 1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º ...
–2 –1 1 2 –2 –1 1 2 ...
Sabendo que os números dessa sequência seguem o padrão apresentado pelos 8 
primeiros termos, pode-se concluir que a soma de todos os 514 elementos é
(A) − 1. (C) − 3. (E) 0.
(B) 3. (D) 2.
5) VUNESP - Soldado PM - Polícia Militar - 2014
Uma loja de materiais possui uma caixa com menos de 40 parafusos e, para ven-
dê-los, faz pacotinhos, todos com o mesmo número de parafusos. Sabe-se que com 
a quantidade de parafusos da caixa é possível fazer pacotinhos com 4, ou com 6 ou 
com 9 parafusos em cada um, e sempre sobrarão 3 parafusos. Se cada pacotinho tiver 
exatamente 5 parafusos, o número de parafusos que ficarão fora dos pacotinhos será
(A) 1. 
(B) 3. 
(C) 2. 
(D) 4. 
(E) 0.
Prof. Pimentel
Matemática • PP56
Anotações6) VUNESP - Analista Administrativo - Câmara Municipal de São Carlos - 2013
Na câmara municipal de certa cidade, os vereadores estabeleceram que, a cada 4 
dias úteis, haveria atendimento aos munícipes e, a cada 5 dias úteis, haveria uma 
sessão deliberativa. Em um certo mês sem feriados ou pontos facultativos, o aten-
dimento ao público e a reunião deliberativa ocorreram no mesmo dia 2, uma se-
gunda-feira. A próxima coincidência, em que atendimento e reunião ocorrerão no 
mesmo dia, ou seja, na mesma data, será no dia
(A) 27. (C) 29. (E) 31.
(B) 28. (D) 30.
7) Vunesp – Agente – PMRP - 2014 
Em janeiro de 2010, três entidades filantrópicas (sem fins lucrativos) A, B e C, rea-
lizaram bazares beneficentes para arrecadação de fundos para obras assistenciais. 
Sabendo-se que a entidade A realiza bazares a cada 4 meses (isto é, faz o bazar em 
janeiro, o próximo em maio e assim sucessivamente), a entidade B realiza bazares 
a cada 5 meses e C, a cada 6 meses, então a próxima vez que os bazares dessas três 
entidades irão coincidir no mesmo mês será no ano de
(A) 2019. (C) 2017. (E) 2015.
(B) 2018. (D) 2016.
8) Vunesp – Agente – PMRP - 2014 
Em uma gráfica, a máquina utilizada para imprimir certo tipo de calendário está 
com defeito, e, após imprimir 5 calendários perfeitos (P), o próximo sai com defeito 
(D), conforme mostra o esquema.
P P P P P D P P P P P D ...
Considerando que, ao se imprimir um lote com 5 000 calendários, os cinco primei-
ros saíram perfeitos e o sexto saiu com defeito e que essa mesma sequência se 
manteve durante toda a impressão do lote, é correto dizer que o número de calen-
dários perfeitos desse lote foi
(A) 3 642. (C) 4 093. (E) 4 256.
(B) 3 828. (D) 4 167.
9) Vunesp – Auxiliar Administrativo – Prefeitura de São Carlos – 2014 
Uma pessoa comprou um pote com ovinhos de chocolate e, ao fazer pacotinhos, 
todos com a mesma quantidade de ovinhos, percebeu que, colocando 8 ou 9 ou 12 
ovinhos em cada pacotinho sempre sobrariam 3 ovinhos no pote. O menor número 
de ovinhos desse pote é
(A) 38. (C) 75. (E) 97.
(B) 60. (D) 86.
10) Vunesp – Educador Social – PMRP – 2014
Uma escola de educação infantil pintou, em um muro, uma faixa com estrelinhas, 
nas cores vermelho (V), amarelo (A) e laranja (L), conforme mostra a figura.
Sabendo que só havia 30 estrelinhas laranja e que foi mantida sempre a mesma 
sequência de cores até acabarem as estrelinhas laranja, então, a posição da última 
estrelinha amarela foi:
(A) 58ª. (C) 60ª. (E) 62ª.
(B) 59ª. (D) 61ª.
Matemática • PP57
Anotações
Prof. Pimentel
11) VUNESP – NUTRICIONISTA – 2014
Iniciando seu treinamento, dois ciclistas partem simultaneamente de um mesmo 
ponto de uma pista. Mantendo velocidades constantes, Lucas demora 18 minutos 
para completar cada volta, enquanto Daniel completa cada volta em 15 minutos. 
Sabe-se que às 9 h 10 min eles passaram juntos pelo ponto de partida pela primeira 
vez, desde o início do treinamento. Desse modo, é correto afirmar que às 8 h 25 min, 
Daniel já havia completado um número de voltas igual a
(A) 2. (C) 4. (E) 7.
(B) 3. (D) 5
12) VUNESP – TJSP – 2014
Observe a sequência de figuras feitas em uma malha quadriculada, sendo cada figu-
ra composta por quadradinhos brancos e pretos. De acordo com a lei de formação 
dessa sequência, o número de quadradinhos brancos na figura 18 será igual a
(A) 98. (C) 103. (E) 113.
(B) 93. (D) 108.
13) CCPP
Três ônibus circular saem de um terminal às 6,50 horas . O tempo gasto para fazer 
o percurso é respectivamente 18 min, 21 min e 24 min. Desprezando o tempo gasto 
com eventuais paradas extras. Podemos afirmar que os três ônibus se encontrarão 
no terminal às:
(A) 15 horas e 14 min (D) 14 horas e 54 min
(B) 14 horas e 54 min (E) 15 horas e 30 min
(C) 14 horas e 34 min
14) FCC - Agente de Saneamento Ambiental - Sabesp - 2014
No setor de arquivos de um escritório, existem 2.240 pastas arquivadas. Retiran-
do-se certo número de pastas, as que sobram podem ser perfeitamente divididas 
entre 7 departamentos do escritório, ou entre 6 setores do escritório, o que é uma 
situação desejada. Nas condições dadas,o menor número de pastas que devem ser 
retiradas para que se atinja a situação desejada é igual a
(A) 31. (C) 23. (E) 9.
(B) 17. (D) 14. 
15) FCC - Assistente Adm Junior - Metrô - 2014
Uma sequência de nove números naturais foi criada segundo uma regra lógica. Se-
guem os quatro primeiros números da sequência: 1; 12; 123; 1234. O resto da di-
visão entre o maior número da sequência que não é divisível por 3, pelo segundo 
maior número da sequência que também não é divisível por 3 é
(A) 6789. 
(B) 234. 
(C) 567. 
(D) 12. 
(E) 456.
Prof. Pimentel
Matemática • PP58
Anotações16) FCC - Agente de Apoio Adm - Ministério público do amazonas - 2013
No Brasil, entendemos como final de semana o período da semana que compreen-
de o sábado e o domingo. Em determinado ano, para que o mês de setembro, que 
é composto por 30 dias, tenha 5 finais de semana completos, o dia 7 de setembro 
deverá cair em
(A) um sábado.
(B) uma sexta-feira.
(C) uma quinta-feira.
(D) uma quarta-feira.
(E) uma terça-feira.
17) FCC – Câmara Municipal de São Paulo – Técnico Administrativo – 2014 
Uma sequência inicia-se com o número 0,3. A partir do 2º termo, a regra de obten-
ção dos novos termos é o termo anterior menos 0,07. Dessa maneira o número que 
corresponde à soma do 4º e do 7º termos dessa sequência é
(A) – 6,7.
(B) 0,23.
(C) – 3,1.
(D) – 0,03.
(E) – 0,23.
18) FCC - Analista de Desenvolvimento e Gestão - Metrô - 2014
Em um pequeno ramal do Metrô, um trem parte da estação inicial até o destino fi-
nal e volta à estação inicial em exatos 25 minutos. Em outro ramal, parte outro trem 
da mesma estação inicial, vai até o destino final e volta à estação inicial em exatos 
35 minutos. Suponha que os dois trens realizem sucessivas viagens, sempre com a 
mesma duração e sem qualquer intervalo de tempo entre uma viagem e a seguinte. 
Sabendo-se que às 8 horas e 10 minutos os dois trens partiram simultaneamente 
da estação inicial, após às 17 horas deste mesmo dia, a primeira vez que esse fato 
ocorrerá novamente será às
(A) 17 horas e 30 minutos.
(B) 19 horas e 50 minutos.
(C) 18 horas e 45 minutos.
(D) 19 horas e 15 minutos.
(E) 20 horas e 5 minutos.
Gabarito:
1) E 10) A
2) B 11) B
3) B 12) B
4) C 13) B
5) D 14) D
6) D 15) C
7) E 16) B
8) D 17) D
9) C 18) B
Anotações
 Prof. Pimentel
M
ó
d
ul
o
Matemática • PP59
04 Média
Média Aritmética
A média aritmética é obtida dividindo o total pelo número de parcelas em 
virtude desta definição podemos escrever:
média aritmética = total 
 número de parcelas
total = média aritmética × número de parcelas
número de parcelas = total 
 média aritmética
Exemplos: 
1) A média salarial dos 80 funcionários de uma empresa é de R$ 2.000,00, determi-
nar quanto ganha em média cada mulher sabendo que o total de homens é 60 e a 
média salarial deles é de R$ 2.500,00 .
 Assim deduzimos: 
 F. Pgto. Empresa 80 x $ 2.000 = $ 160.000
 F. Pgto. Homens 60 x $ 2.500 = $ 150.000
 F. Pgto. Mulheres 20 . x = $ 10.000
 20 . x = $ 10.000 
 
x = 10.000 = 500,00
 20
Portanto a média salarial das mulheres é de R$ 500,00
2) A média salarial dos 120 funcionários de uma empresa é X, se o total da folha 
de pagamento desta empresa tiver um aumento de $ 60.000,00, podemos afirmar 
que a média salarial da empresa aumentou em:
 Para descobrir quanto aumentou a média salarial da empresa basta dividir o au-
mento da Folha de Pagamento pelo número de funcionários, assim:
Prof. Pimentel
Matemática • PP60
Anotações
 Aumento =
 60.000 
 = 500 
 120
Justificativa, se os 120 funcionários tiveram um aumento de $ 500,00, o total da folha 
será aumentado de 120 × 500,00 = $ 120.000,00.
Média Ponderada:
Chamamos de média ponderada quando a cada parcela é atribuído um 
determinado valor (peso)
Exemplo: numa prova as matérias são Português 25 questões com peso 2; 
Matemática 10 questões com peso 3 e conhecimentos gerais 20 com peso 1.
Para Calcularmos a média ponderada do candidato devemos :
a) Multiplicar o número de acertos em cada prova por seu respectivo peso ;
b) Somar os resultados obtidos;
c) Dividir o total pela soma dos pesos 
Exemplo:
Os candidatos abaixo fizeram as seguintes pontuações:
Português Matemática C. Gerais
A 15 7 5
B 18 8 3
C 16 5 10
D 22 10 8
 
Suas ponderações:
Português Matemática C. Gerais
A 15 × 2 = 30 7 × 3 = 21 5 × 1 = 5
B 18 × 2 = 36 8 × 3 = 24 3 × 1 = 3
C 16 × 2 = 32 5 × 3 15 10 × 1 = 10
D 22 × 2 = 44 10 × 3 = 30 8 × 1 = 8
 
Suas médias:
A
 30 + 21 + 5 
 = 
56 
 = 9,333
 6 6
B
36 + 24 + 3 
 = 
63 
 = 10,25
 6 6
C
32 + 15 + 10 
 = 
57 
 = 9,5
 6 6
D
44 + 30 + 8 
 = 
82 
 = 13,5
 6 6
Matemática • PP61
Anotações
Prof. Pimentel
Média Geométrica:
A média geométrica entre números reais não negativos x1, x2, ..., xn é defi-
nida como sendo a raiz n-ésima do produto dos n termos entre si.
Consequentemente podemos dizer que é o produto do n termos multipli-
cados entre si e elevados ao inverso de n ou seja a 1
n
 
 
G x x x x x x x xnn n n= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅1 2 3 1 2 3
1
... ( ... )
Exemplos: 
1) Média geométrica entre 4 e 9:
G = ⋅ =4 9 62
2) Média geométrica entre 3, 3, 9 e 81:
G = ⋅ ⋅ ⋅ =3 3 9 81 94
3) Média geométrica entre 1, 1, 1, 32 e 243:
 
G = ⋅ ⋅ ⋅ =1 1 32 243 65
 
Obs. A média geométrica entre 0 e quaisquer outros números reais não 
negativos sempre será 0.
Exemplo: Média geométrica entre 0, 11250, 15, 1, 32, 12 e 243:
G = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =0 11250 15 1 32 12 243 07 
Usamos a média geométrica principalmente quando temos uma sequên-
cia com aumentos sucessivos. Ou seja quando um termo da sequencia é o produto 
do anterior por um determinado fator. Não é necessário que este seja constante 
para todos produtos.
Exemplo 1: durante 4 anos sucessivos 
O valor da mercadoria sofreu vários aumento e seus respectivos preços 
nesse períodos foram de:
1º ano R$ 100,00
2º ano R$ 120,00
3º ano R$ 150,00
4º ano R$ 200,00
Prof. Pimentel
Matemática • PP62
AnotaçõesQual foi seu valor médio?
Observem que o valor da mercadoria variava de acordo com o preço ante-
rior e o índice de inflação.
Para obter o valor médio devemos usar a média geométrica.
G = ⋅ ⋅ ⋅ =100 120 150 2004
 
Simplificando:
G
G
G
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
= ⋅ ⋅ = ⋅
= ⋅ =
( )
.
,
10 12 15 20 10
10 120 300 10 36 000
10 13 774 1
44
4 4
337 74,
O preço médio nesse período foi de R$ 137,74.
Exemplo 2: 
Numa experiência no HC, feito com bactérias, verificou-se que em milhões:
1ª hora 1
2ª hora 2
3ª hora 3
4ª hora 5
5ª hora 8
 Qual foi o aumento médio por hora
Quantidade Índice de aumento 
Vfinal ; Vinicial (1 + aum)
1ª hora 1
2ª hora 2 (2 ÷ 1) = 2
3ª hora 3 (3 ÷ 2) = 1,5
4ª hora 5 (5 ÷ 3) = 1,66
5ª hora 8 (8 ÷ 5) = 1,6
Para obter o valor médio devemos usar a média geométrica.
G = ⋅ ⋅ ⋅ = =2 1 5 1 66 1 6 8 1 68174 4, , , ,
(1 + amédio) = 1,6817
amédio = 0,68 = 68,17% 
Matemática • PP63
Anotações
Prof. Pimentel
Quando no exercício pedir o aumento médio
Devemos sempre trabalhar com os índices esses são obtidos através de 
relação:
v
v
aumentofinal
inicial
= +( )1
O aumento é dado em % .
Mediana
Colocados os valores em ordem crescente, mediana é o elemento queocupa a posição central.
Vamos considerar, em primeiro lugar, a determinação da mediana para o 
caso de variável discreta, isto é, para distribuição de freqüência simples. 
Assim, para a série: 5, 7, 8 , 10, 14, a mediana será o 8. Indica-se por x = 8. 
Para a série: 5, 7, 8, 10, 14, 15, a mediana será o 9, ou seja x = 9. 
Você já deve ter percebido que precisamos considerar os dois casos: para “n” 
(número de elementos da amostra) ímpar o 1° exemplo; e para “n” par o 2° exemplo.
Então: Se n for ímpar, a mediana será o elemento central (de ordem n + 1
2
). 
Caso n seja par, a mediana será a média entre os elementos centrais (de 
ordem n n
2
1
2
e
+ ), podendo inclusive ser um número que não pertence a série 
como vimos no exemplo acima.
Moda
Valor que mais se repete. Ex.: (5, 8, 10, 10, 12). A moda é 10.
EXERCÍCIOS
1) Vunesp - Fundação casa
Observe as informações do quadro sobre a duração do desfile de Carnaval de cada escola 
de samba do Grupo Especial no sambódromo do Rio de Janeiro. Suponha que a duração 
dos desfiles das escolas A, B e C tenha sido igual, e que a do desfile da escola D tenha 
ultrapassado o tempo máximo, fazendo a escola perder 0,6 ponto. Se a duração média 
do desfile dessas 4 escolas foi de 81,25 minutos, então, o desfile da escola B durou:
67 minutos 82 minutos
é a duração mínima do desfi-
le para o grupo especial
é o tempo máximo do desfile.
cada minuto excedente resulta 
na perda de 0,2 pontos à escola
(A) 1h 20min. (D) 1h 8min. 
(B) 1h 15min. (E) 1h 5min 
(C) 1h 10min. 
Prof. Pimentel
Matemática • PP64
Anotações2) Vunesp –AgAdmII-2011
 Uma classe de 30 alunos obteve média 52 em um exame. Outra classe de 25 alunos 
obteve média 30 no mesmo exame. A média dos 55 alunos nesse exame foi:
(A) 40 
(B) 42 
(C) 44 
(D) 46 
(E) 48
3) Vunesp –AgAdmII-2011
A média de idade, em anos, de quatro agentes vale M. Um novo agente de 31 anos 
foi integrado ao grupo e a nova média de idade desses cinco agentes passou a ser de 
33 anos.
Conclui-se que M, em anos, vale
(A) 30,5 
(B) 33,5 
(C) 35,5 
(D) 36,5 
(E) 37,5
4)	 VUNESP-	CDSP	-	EspPort2-ContrTráfegoMarítimo	2010
O valor médio das comissões recebidas por quatro vendedores de uma loja, em certo 
período, é igual a 750 reais. Se o gerente, que também acumula a função de vende-
dor, for incluído nesse grupo, o valor médio das comissões recebidas passa a ser de 
900 reais. Sabendo-se que a comissão, igual para todos, representa 2% do valor da 
venda, pode-se afirmar que o valor total das vendas efetuadas pelo gerente, nesse 
período, foi, em mil reais, igual a:
(A) 225 
(B) 150,5 
(C) 125 
(D) 82,5 
(E) 75
5) Vunesp - ACPM – Téc. Adm.-Pol. -Militar – 2011
A média de idade dos 25 soldados de uma corporação é 20 anos. Após o ingresso de 
5 novos soldados, a média aumentou em 1 ano, sendo que a idade de dois dos novos 
ingressantes, João e Pedro, é de 20 e 26 anos. Nas condições dadas, a média de idade 
dos 3 novos ingressantes, sem incluir João e Pedro, em anos, é igual a:
(A) 26 
(B) 27 
(C) 28 
(D) 29 
(E) 30
Matemática • PP65
Anotações
Prof. Pimentel
6) Vunesp –CRFT Escriturário 2011 
Foram escolhidos 400 usuários de um site de relacionamento e chegou-se à conclu-
são de que cada um deles tinha uma média de 60 amigos.
Se forem inseridos 100 usuários nessa pesquisa, cada um com 80 amigos, a nova 
média de amigos, por usuário, passará a ser igual a:
(A) 60 
(B) 62 
(C) 64 
(D) 70 
(E) 72
7) Vunesp – 2011
A média aritmética dos salários do funcionalismo público brasileiro, consideradas 
as três esferas de governo, é, em número de salários-mínimos, igual a: 
Esferas de 
Governo
Nº de 
Funcionários 
(em milhões)
Salário Médio 
(em nº de salários 
mínimos)
Municipais 4,95 3,0
Estaduais 3,50 6,2
Federal 0,95 11,0
Fonte: Ipea 
(A) 6,7
(B) 6,0
(C) 5,4
(D) 5,0
(E) 4,8
8) Vunesp - AFSP – Analista Sistema- 2011
A tabela mostra o preço de fechamento (preço do último negócio realizado no pre-
gão normal da bolsa de valores) da ação Y em doze dias seguidos de pregões
Preço de fechamento da ação Y
Data Preço de Fechamento 
(R$)
Data Preço de Fechamento 
(R$)
01/08/2011 8,57 09/08/2011 8,51
20/08/2011 8,59 10/08/2011 8,56
03/08/2011 8,56 11/08/2011 8,57
04/08/2011 8,57 12/08/2011 8,58
05/08/2011 8,54 15/08/2011 8,58
08/08/2011 8,52 16/08/2011 8,57
O número de dias em que a ação Y fechou acima do preço médio de fechamento da 
ação nesses doze dias e o número de dias em que a ação Y fechou abaixo do preço 
médio de fechamento da ação nesses doze dias são, respectivamente,
(A) 5 e 5 (D) 7 e 3
(B) 6 e 6 (E) 8 e 4
(C) 3 e 7
Prof. Pimentel
Matemática • PP66
Anotações9) Vunesp – TJMT TécnicoJudiciário-2007
Numa classe com 16 meninos e 24 meninas, um professor de matemática, após cor-
rigir todas as provas, informou à classe que a média de notas dos meninos foi 5,5 e a 
das meninas, 7,5. Então a média de toda a classe é de 
(A) 6,5. (D) 6,8. 
(B) 6,6. (E) 6,9. 
(C) 6,7. 
10)	 Vunesp	-	CREA	–	Ag.	Administrativo-2008.
Um estudo feito pela Unifesp a respeito dos benefícios da caminhada para pessoas 
que sofrem de insônia apresenta alguns dados interessantes, entre eles, a média 
diária do que aconteceu com essas pessoas nos dias em que caminhavam e nos dias 
em que não caminhavam. Observe essa comparação na tabela:
SEM CAMINHADA COM CAMINHADA
TEMPOTOTAL DE SONO 4 horas e 30 minutos 5 horas e 51 minutos
Unifesp
Considerando essa média, se uma pessoa que sofre de insônia fizer caminhadas por 
5 dias, terá, em comparação aos dias em que não caminha, tempo total de sono de 
cerca de
(A) 6 horas e 45 min a mais.
(B) 5 horas e 30 min a mais.
(C) 5 horas e 15 min a mais.
(D) 4 horas e 45 min a mais.
(E) 4 horas e 15 min a mais.
11)	 Vunesp	-	CREA	–	Ag.	Administrativo-2008	
Com o mercado financeiro muito agitado, um investidor acompanhou durante 10 
dias o comportamento do índice geral de suas ações na Bolsa de Valores:
Considerando esses 10 dias, a média do índice geral foi de:
(A) 0,380. (D) – 0,560.
(B) – 0,231. (E) – 1,024. 
(C) – 0,322.
Matemática • PP67
Anotações
Prof. Pimentel
12) CCPP
A média salarial dos 20 funcionários de uma empresa era de R$ 1500,00. No mês 
seguinte entraram 5 novos funcionários e a média caiu para R$ 1.400,00. Podemos 
afirmar que a média salarial dos novos funcionários foi de:
(A) 1.250,00 (C) 1,150,00 (E) 980,00
(B) 1200,00 (D) 1.000,00
13) CCPP
A média de altura das 50 mulheres presentes em uma reunião é de 1,65 m e dos 
30 homens é de 1,80 m. Desta maneira podemos afirmar que a altura média das 
pessoas presentes nesta reunião é de aproximadamente: 
(A) 1,69 m (C) 1,71 m (E) 1,73 m
(B) 1,70 m (D) 1,72 m 
14) CCPP
 Uma pessoa efetuou a seguinte compra:
Quantidade Valor Unitário
Produto A 25 R$ 12,00
Produto B 35 R$ 10,00
Produto C 40 X
Se o gasto médio por unidade foi de R$ 13,00 . O valor unitário do produto C foi de:
(A) R$ 16,00 (C) R$ 16,50 (E) R$ 17,00
(B) R$ 16,25 (D) R$ 16,75 
15) Vunesp –UES – Assist Operacional 2012 
Um agropecuarista estudou os índices pluviométricos de uma região, obtendo o 
seguinte quadro.
Mês Índice em MM
Janeiro 28
Fevereiro24
Março 32
Abril
Ele esqueceu de anotar o índice em abril, mas afirmou que na média desse quadri-
mestre o índice foi de 25 mm de chuva na região. Seu auxiliar agropecuário, após os 
cálculos, afirmou que no mês de abril o índice pluviométrico foi: 
(A) igual ao de janeiro. (D) de 20 mm.
(B) igual ao de fevereiro. (E) metade do de março.
(C) maior que o de fevereiro.
16)	 Vunesp	-	FAPE	–	Analista	Administrativo	2012
A nota média 0 ≤ M ≤ 10 de análise dos projetos recebidos por uma determinada 
instituição, efetuada para fins de financiamento, é calculada pela média aritmética 
ponderada das notas das fases F1, F2 e F3, pelas quais todos os projetos passam no 
período de avaliação. Se a fase F1 tem peso 1, a fase F2, peso 2, e a fase F3, peso 3, 
e todas elas são avaliadas com notas que variam de zero a dez, um projeto que teve 
nota M igual a 8 e notas 7 e 8,5 nas fases F1 e F2, respectivamente, ele teve a fase 
F3 avaliada com nota: 
(A) 7,5 (B) 8 (C) 8,5 (D) 9 (E) 9,5
Prof. Pimentel
Matemática • PP68
Anotações17)	 Vunesp	-	FAPE	–Analista	Administrativo	2012
A tabela a seguir apresenta o número de usuários internos atendidos por um departa-
mento de uma determinada fundação, de segunda a sexta-feira, da semana anterior.
Dia da Semana Número de atendimentos 
internos
Segunda-feira 52
Terça-feira 47
Quarta-feira 38
Quinta-feira 45
Sexta-feira 53
Total 235
Com base nas informações da tabela, é possível afirmar que o número médio de 
atendimentos diário, daqueles dias, foi:
(A) 120. (C) 110. (E) 47.
(B) 117,5. (D) 54,5.
18) (VUNESP - 2014 - Prefeitura de Sorocaba)
Uma pesquisa identificou que um mesmo produto era comercializado nas lojas A, B, 
C, D e E pelos seguintes preços: 
Loja Preço
A R$ 93,00
B R$ 91,50
C R$ 89,80
D R$ 90,00
E R$ 92,50
Sendo assim, pode-se afirmar corretamente que o preço médio desses produtos, 
considerando-se apenas essas lojas, é 
(A) R$ 91,24. (C) R$ 91,45. (E) R$ 91,68
(B) R$ 91,36. (D) R$ 91,57. 
19) (VUNESP – 2014 - Polícia Militar – SP) 
No estoque de uma empresa, há quatro caixas: A, B, C e D, cada uma delas com de-
terminado número de peças. O encarregado de registrar em uma tabela o número 
de peças por caixa esqueceu o número exato de peças da caixa B e da caixa C, mas 
lembrou que na caixa C havia 2 peças a menos que na caixa B e registrou essas infor-
mações na seguinte tabela: 
Caixas Número de peças por caixa
A 50
B x
C x – 2
D 52
Sabendo que, na média, o número de peças por caixa é 45, pode-se concluir que o 
número de peças das caixas B e C são, respectivamente, 
(A) 41 e 39. 
(B) 42 e 40. 
(C) 40 e 38. 
(D) 43 e 41. 
(E) 44 e 42. 
Matemática • PP69
Anotações
Prof. Pimentel
20) (VUNESP - 2014 - Policia Civil)
Em uma empresa com 5 funcionários, a soma dos dois menores salários é R$ 4.000,00, e 
a soma dos três maiores salários é R$ 12.000,00. Excluindo-se o menor e o maior desses 
cinco salários, a média dos 3 restantes é R$ 3.000,00, podendo-se concluir que a média 
aritmética entre o menor e o maior desses salários é igual a 
(A) R$ 3.500,00. (C) R$ 3.050,00. (E) R$ 2.500,00.
(B) R$ 3.400,00. (D) R$ 2.800,00. 
21) VUNESP – ESCRITURÁRIO – CÂMARA DE SERTÃOZINHO – 2014
Um cinema vende pacotes de pipoca em 3 tamanhos: pequeno (P) a R$ 7,00, mé-
dio(M) a R$ 10,00 e grande (G) a R$ 14,00. O gráfico mostra a quantidade de paco-
tes vendidos de cada tipo, em um dia. Considerando-se o número total de pacotes 
vendidos, na média, um pacote saiu por R$ 12,00. O valor arrecadado com a venda 
dos pacotes grandes, nesse dia, foi
(A) R$ 602,00. (C) R$ 630,00. (E) R$ 658,00.
(B) R$ 616,00. (D) R$ 644,00.
22) VUNESP – AUXILIAR ADMINISTRATIVO – SAAE DE SÃO CARLOS – 2014
A tabela mostra os valores de algumas latinhas de bebidas vendidas em um clube e 
a quantidade consumida por uma família, em certo dia. 
Bebidas (latinha) Valor unitário Quantidade Consumida
Refrigerante R$ 4,00 8
Suco R$ 5,00 6
Cerveja x 4
Considerando-se o número total de latinhas consumidas por essa família nesse dia, 
na média, o preço de uma latinha saiu por R$ 5,00. Então, o preço de uma latinha 
de cerveja era
(A) R$ 5,00. (C) R$ 6,00. (E) R$ 7,00.
(B) R$ 5,50. (D) R$ 6,50.
23) VUNESP – AGENTE - PMRP - 2014 
Uma pessoa comprou uma mesinha, uma cadeira e um banquinho. Sabendo-se que 
a mesinha custou R$ 120,00, que o preço da cadeira foi R$ 31,00 a mais do que o 
preço do banquinho e que, na média, cada peça saiu por R$ 87,00, então o valor da 
cadeira era
(A) R$ 89,00. (D) R$ 78,00.
(B) R$ 86,00. (E) R$ 73,00.
(C) R$ 82,00.
Prof. Pimentel
Matemática • PP70
Anotações24) VUNESP – TJSP - 2014 
Certa competição tem 6 etapas eliminatórias. Sabe-se que a média aritmética do 
número de pessoas que participaram da primeira e da segunda etapa é igual ao quá-
druplo da média aritmética do número de pessoas que participaram de cada uma 
das quatro etapas seguintes. Desse modo, a razão entre o número de pessoas que 
participaram da primeira e da segunda etapa e o número total de pessoas que parti-
ciparam dessa competição é de
(A) 1/2
(B) 1/3
(C) 1/4
(D) 2/3
(E) 3/4
25) (FCC/TRT 4a Região/Analista Judiciário/2010)
Um levantamento realizado em um setor de um órgão público, durante 250 dias 
úteis, forneceu a distribuição dos números de processos analisados apresentada no 
gráfico abaixo. No eixo horizontal constam as quantidades detectadas de processos 
e as colunas representam as respectivas quantidades de dias. Com relação a este 
levantamento, a média aritmética (número de processos por dia), foi de:
(A) 3,48.
(B) 3,58.
(C) 4,35.
(D) 4,85.
(E) 5,00.
Gabarito
1) A 14) B
2) B 15) E
3) B 16) B
4) E 17) E
5) C 18) B
6) C 19) C
7) D 20) A
8) D 21) A
9) C 22) E
10) A 23) B
11) C 24) D
12) D 25) A
13) C
Anotações
Prof. Pimentel
M
ó
d
ul
o
Matemática • PP71
05 Frações ou Números Racionais
INTRODUÇÃO
Chamamos de fração ou de números fracionários aqueles que são escritos 
da forma: 
a
, onde a e b são números inteiros e b ≠ 0. b
Fração pode ser vista como a indicação de uma divisão, onde a é o divi-
dendo e b o divisor 
NOMENCLATURA
O número que fica acima do traço da fração recebe o nome de numerador 
e o que fica abaixo denominador.
3 = numerador5 denomiador
FRAÇÃO PRÓPRIA
É aquela cujo valor absoluto do numerador é menor que o valor absoluto 
do denominador. 
Como consequência seu valor absoluto sempre será menor que 1 (um 
inteiro).
Exemplos
3
  (3 ÷ 4) = 0,754
2
  (2 ÷ 3) = 0,666666....3
FRAÇÃO IMPRÓPRIA
É aquela cujo valor absoluto do numerador é maior que o valor absoluto 
do denominador. Como consequência o seu valor absoluto sempre será maior que 
1 (um inteiro).
7
  (7 ÷ 4) = 1,754
4
  (4 ÷ 3) = 1,3333....3
 
Prof. Pimentel
Matemática • PP72
AnotaçõesRepresentação gráfica “o método da professorinha”
Uma forma interessante de fixarmos o conceito de fração é aquela que 
“nossa professorinha” ensinou:
 O denominador de uma fração representa em quantas partes um inteiro 
foi dividido e o numerador quantas partes foram tomadas. Assim, quando nos refe-
rimos a 3/4 do salário devemos entender que o salário foi divido em quatro partes 
e foram tomado 3 partes. 
Para representar graficamente uma fração basta desenharmos um retân-
gulo que representará o inteiro a ser dividido, em seguida devemos dividi-lo em tan-
tas partes conforme determina o denominador e sombrear quantas partes foram 
tomadas (valor dado pelo numerador)
Desta forma no exemplo acima teríamos:
Salário
Resolvendo um exercício pelo método da professorinha:
Abigail gastou 5/7 do que possuía e ainda ficou com $ 200,00. Quanto ela 
gastou.
Possuia5/7 do que possuia sobrou
Como sobraram R$ 200,00 e equivale a dois quadradinhos, significa que 
cada quadradinho vale R$ 100,00.
Portanto: Abigail gastou R$ 500,00.
NÚMERO MISTO
É aquele composto por um número inteiro e uma fração própria.
Exemplos: 
 4
3
 Lê-se 4 inteiros e três quintos5
 
 2
1
 Lê-se 2 inteiros e um terço.3
 
IMPORTANTE: Toda fração imprópria pode ser escrita como número misto e vice-
versa. 
Transformando uma fração imprópria em número mista
Matemática • PP73
Anotações
Prof. Pimentel
 
13
 →
13 4
→ 3 +
1 = 3 14 1 3 4 4
 
No número misto encontrado, 3 representou o quociente, 1 representou 
o resto e 4 o divisor.
Portanto para transformar um número misto em fração imprópria, basta 
multiplicar o número inteiro pelo denominador e adicionar ao numerador, o valor 
encontrado será o novo numerador. Ou vamos seguir o esquema abaixo: 
3 1 → 134 4
Resolvendo graficamente (método da professorinha)
Vamos imaginar que Joãozinho comeu 13/4 de uma barra de chocolate. 
Para demonstrar vamos pegar várias barras dividir em 4 partes e tomar 13, assim 
teremos:
Na verdade o Joãozinho comeu 3 barras inteiras +
1
 de outra.4
 
Que podemos representar numericamente: 3 +
1 = 3 14 4
FRAÇÃO APARENTE 
É aquela que embora escrita na forma de fração nada mais é do que um 
número inteiro.
Exemplos
10 = 2 12 = 3 24 = 45 4 6
FRAÇÃO DECIMAL
Quando o denominador de uma fração for 10 ou potência de 10 (10 ; 100; 
1.000,...) ela receberá o nome de fração decimal.
Exemplos
3
;
34
;
5
10 100 1000
Prof. Pimentel
Matemática • PP74
AnotaçõesNÚMERO DECIMAL
Chamamos de número decimal todo número que após a vírgula tem um 
número finito de casas decimais. Desta forma, o número que ficar à esquerda da 
vírgula é a parte inteira e os que estão à direita da vírgula formam a parte decimal.
Exemplo: 3,45 (parte inteira: 3; parte decimal: 0,45)
NÚMERO DECIMAL X FRAÇÃO DECIMAL
Para passar um número da forma decimal para fração, basta escrever 
como numerador o número sem a vírgula e como denominador o algarismo 1 acom-
panhado de tantos zeros quantos forem os algarismos que estão após a vírgula:
Exemplo
2,31 = 231 (2 casas decimais, 2 zeros)
100
15,7876 =
157.876 (4 casas decimais, 4 zeros)
10.000
DÍZIMAS PERIÓDICAS
Dízima periódica é um número racional que quando escrito no sistema 
decimal apresenta uma série infinita de algarismos decimais que, a partir de certo 
algarismo, se repetem em grupos de um ou mais algarismos, ordenados sempre na 
mesma posição. Os números que se repetem são chamados de período.
Exemplo:
0,777777... (7 é o período)
0,8231231231... (231 é o período)
DÍZIMA PERIÓDICA SIMPLES
O período vem logo após a vírgula (ou seja, possui somente a parte que 
repete). 
Portanto 0,7777... é uma dízima periódica simples.
DÍZIMA PERIÓDICA COMPOSTA
Neste caso, o período não vem logo após a vírgula (ou seja, possui 2 par-
tes: a que repete e a que não repete).
0,8231231... é uma dízima composta
REPRESENTAÇÃO DE UMA DÍZIMA PERIÓDICA
As dizimas podem ser representadas através de reticências após a se-
gunda vez que o período repetir ou simplesmente colocamos um traço acima do 
período.
Matemática • PP75
Anotações
Prof. Pimentel
Exemplo
0,7 = 0,777.....
0,21 = 0,2121....
0,8345 = 0,834545.......
2,375 = 2,3755555....
Toda dízima periódica pode ser escrita na forma de uma fração. 
Chamamos esta fração de Fração Geratriz.
ENCONTRANDO A FRAÇÃO GERATRIZ
Para facilitar o entendimento deste tópico, as dízimas serão agrupadas em 
quatro grupos, a seguir:
Grupo 01 - Números menores que 1, dizima periódica simples. Escrevemos a fração 
como se fosse um número decimal e subtraímos 1 do denominador. 
Exemplos
0,333... = 0,3 = 3 = 3
10 − 1 9
0,333... = 0,3 = 3 = 3
10 − 1 9
0,24242424... = 0,24 = 24 = 24
100 − 1 99
0,751751751751... = 0,751 = 751 = 751
1000 − 1 999
Grupo 02 - Números menores que 1, dizima periódica composta.
1° devemos multiplicar por uma potência de dez, transformando em uma 
dízima simples
2° resolvemos a dízima periódica simples
3° dividimos a fração pela mesma potência de dez.
Exemplo 
1° 0,022…=(0,02 × 10) ÷ 10 = 0,2 ÷ 10 Multiplicamos e dividimos por 10
2° 0,2 = 29
Lembrando que dividir por 10 é o mesmo que multiplicar 
1
10
.
3° 2 × 1 = 29 10 90
Grupo 03 - Número maior que 1, dízima simples.
Exemplo
2,3333 ... =
2,3333 ... = 2, 3
Prof. Pimentel
Matemática • PP76
Anotações
2, 3 = 2 + 0, 3
2
3
9
18 3
9
21
9
21
9
7
3
+ =
+
=
=
Grupo 04 - Na dízima periódica composta quando o número for maior do que 1.
1º) Devemos deslocar a vírgula para direita até que o número se transforme em 
uma dízima simples 
2º) Separamos a parte inteira da decimal;
3º) Resolvemos a dízima simples.
4º ) Adicionamos a parte inteira a fração encontrada.
5º) Dividir o valor encontrado pela potencia de 10 cujo expoente corresponde 
ao número de casas deslocadas para direita.
Observação: Quando deslocamos a virgula para a direita estamos mul-
tiplicando o número 10 ou de sua potencia, dependendo o número de 
casas deslocadas.
Para que um número não altere seu valor, devemos dividir esse número 
pelo valor que foi multiplicado.
Exemplo:
1,43232 = [14,32 ] × 
1
 = [14 × 0,32] ×
1
 = [14 + 32 ] × 1 = [ 1386 + 32 ] × 1 = 141810 10 99 10 99 10 990
Propriedade fundamental das frações
Observando as igualdades abaixo 
2 = 4 = 6 = 8 = 10 = 12 = 21 2 3 4 5 6
Podemos concluir:
Quando multiplicarmos ou dividirmos o numerador e o denominador de 
fração por um mesmo número, o resultado não ficará alterado.
O uso desta propriedade é importante, uma vez que nas operações de 
adição e subtração de frações ela deverá ser usada assim como nas simplificações 
de frações. Podemos simplificar as frações em várias etapas.
Exemplo: Simplificar as frações abaixo:
1200 = 12 = 2
 1 - dividimos o numerador e denominador por 100
 2 - dividimos o numerador e o denominador por 61800 18 3
1 2
Matemática • PP77
Anotações
Prof. Pimentel
 Simplificar: 604453
 
Quando tivermos dificuldade para descobrir os divisores comuns dos dois 
termos devemos achar o m.d.c. deles.
Neste caso, teremos: 
604 – 453 2
O m.d.c. dos números é 151
302 – 453 2
151 – 453 3
151 – 151 151
1 – 1
Agora vamos fazer o cancelamento.
604 = 604 ÷ 151 = 4453 453 ÷ 151 3
OPERAÇÕES COM FRAÇÕES
Adição e Subtração de frações.
Para melhor entendimento, vamos usar aqui, o método da professorinha.
A Mariazinha comeu 1/4 de um bolo e o Joãozinho comeu 1/3 de um bolo.
Quanto os dois comeram juntos?
Quanto Joãozinho comeu a mais que Mariazinha? 
Representando graficamente:
Joãozinho comeu um 
pedaço do bolo que foi 
dividido em 3 partes
Mariazinha comeu um 
pedaço do bolo que foi 
dividido em 4 partes
 
Dividindo novamente o bolo em quatro e três partes respectivamente, temos:
 Agora os dois bolos foram divididos em 12 pedaços, Joãozinho comeu 4 e Maria-
zinha 3. No total 7 pedaços Joãozinho comeu um pedaço a mais que Mariazinha.
Prof. Pimentel
Matemática • PP78
AnotaçõesA professorinha usou a propriedade fundamental da fração, inicialmente 
ela deveria fazer a operação:
1
+
1
3 4
 
Porém da forma que as frações foram apresentadas não é possível fazer 
a operação uma vez que os pedaços são diferentes, o que ela fez foi transformar as 
duas frações no mesmo denominador (significa que o inteiro foi dividido em partes 
iguais) 
1
+
1
→
4
+
3 = 73 4 12 12 12
Na prática ela multiplicou:
1 × 4 = 4 e 1 × 3 = 33 × 4 124 × 3 12
Observem a professora escolheu esses dois números para multiplicar pois 
ela sabia que o novo numerador deveria ser um múltiplo comum das frações então 
apresentadas.
Simplificando para somar ou subtrair frações devemos seguir os seguintes 
passos:
a) achar o m.m.c. de todos os denominadores envolvidos;
b) O m.m.c. será o denominador de todas as frações.
c) Para determinar os novos numeradores devemos dividir o m.m.c. por cada 
denominador e o resultado multiplicar pelo seu respectivo numerador. (no popular 
divide pelo de baixo e multiplica pelo de cima).
d) Agora somamos ou subtraímos os numeradores e conservamos o nume-
rador
e) Se possível simplificar o resultado final.
Lembrete: 
A professorinha soma ou subtrai somente pedaços iguais, para isso ela acha o 
m.m.c.
 
Exemplo:
Efetuar a operação:
2
+
3
–
2
+
1
–
1
5 4 3 6 12
O m.m.c. de (5 – 4 – 3 – 6 – 2) = 60
Portanto as frações equivalentes ficam assim
24
+
45
–
40
+
10
–
30 = 24 + 45 – 40 + 10 – 30 = 9 = 3
60 60 60 60 60 60 60 20
Matemática • PP79
Anotações
Prof. Pimentel
MULTIPLICAÇÃO
Na multiplicação, basta multiplicar os numeradores entre si, os denomi-
nadores entre si, respeitando a regra dos sinais.
Exemplo:
(− 3 )×(− 2 ) = 3 × 2 = 67 5 7 × 5 35
Na multiplicação é recomendável fazer os cancelamentos antes de 
efetuar a operação.
Devemos cancelar, quando possível, qualquer numerador com qual-
quer denominador.
 
Exemplo: efetuar a multiplicação
48 × 30 × 25
75 72 24
2 5 1
48 × 30 × 25
75 72 24
3 3 4
1) dividimos 25 e 75 por 25
2) dividimos 48 e 72 por 24
3) dividimos 30 e 24 por 6
1
2 × 5 × 13 3 4
2
Despoluindo; e simplificando novamente.
1
× 
5
× 
1
 =
1 × 5 × 1
 =
5
3 3 2 3 × 3 
× 2
18
Efetuando a operação
Observem que as contas ficaram simplificadas.
DIVISÃO:
Na divisão, mudamos o sinal (÷ ) por (×), invertermos o 2° termo da divisão 
e seguimos as regras acima.
No popular (mantém a primeira multiplica pelo inverso da segunda.)
Exemplo:
2 ÷ 4 = 2 × 5 = 103 5 3 4 12
Resolução de Exercícios com fração.
A seguir, vamos dar algumas dicas interessantes em relação aos proble-
mas de fração:
Prof. Pimentel
Matemática • PP80
Anotaçõesa) Na grande maioria dos problemas sempre teremos fração de alguma coisa, 
as palavras (da, de ou do) nesses problemas significa multiplicação.
Exemplo: 
Marlene ganha R$ 6.000,00 por mês, este mês ela depositou 5/12 do sa-
lário. Qual foi o valor do depósito
Depósito = 5/12 do salário. → Depósito = 5/12 × 6.000 = 2.500,00.
Ficar atento: algumas vezes o exercício cita uma fração de algo e em se-
guida ele diz sobre uma fração do restante.
Exemplo 2: 
Marlene ganha R$ 6.000,00 por mês, este mês ela depositou 5/12 do salá-
rio, em seguida gastou 3/7 do restante, quanto lhe sobrou.
Esse problema deve ser resolvido em duas etapas.
A primeira precisamos saber de quanto foi o resto após o depósito, a se-
gunda, de quanto foi o gasto e quanto sobrou.
Primeira etapa: 
(Se ela gastou 5/12 do salário, então restou 7/12 do salário) → Resto = 7/12 × 
6.000 = 3.500.
Segunda etapa:
gastou 3/7 do restante → 3/7 × 3.500 = 1.500
Portanto sobrou com (3.500 – 1.500) = 2.000
Pelo método da professorinha
1ª etapa 2ª etapa
 
Gastou 5/12 do que Gastou 3/7 do restante sobrou
Portanto ela dividiu o inteiro (R$ 6.000,00) por doze e cada parte ficou 
valendo R$ 500,00.
Como sobrou apenas 3 → 3 × 500 = R $ 1.500,00.
Importante: 
No exercício, é saber do que se refere a fração
 
b) quando já conhecemos o valor de uma fração e estamos procurando o valor 
de outra fração. Nesse caso, como conhecemos a relação de duas grandezas basta 
aplicar a regra de três.
Matemática • PP81
Anotações
Prof. Pimentel
Exemplo: 
O custo de 2/3 um determinado serviço é de R$ 1.200.00. Qual o valor de 4/5 ?
 
R$ Serviço
1200
2
3
2 x = 43 51200
 x = 3 × 4 × 1.200 = 12 × 1.200 = 1.4402 × 5 10
x 4
5
Resolução pelo método da professorinha:
2 × x = 1.200 → x = 600,00 (cada parte)
3 partes 3 x 600 = 1 800
600 600 600
 
O inteiro vale 1 800 
360 360 360 360 360
1 800 : 5 = 360
4 partes → 4 x 360 = 1 440
c) Quando o exercício o inteiro é desconhecido e conhecemos somente o valor 
restante após uma sequencia do uso da fração.
Nesse caso é recomendável utilizar o método da professorinha, a resolu-
ção é bem mais rápido e simples, porém, caso o leitor não gostou desse método e já 
está acostumado resolver os problemas através de álgebra na impede de usar essa 
ferramenta, lembrando que devemos chamar de x o inteiro .
Exemplo 1 
João gastou 2/5 do seu salário em compras, do que sobrou depositou a meta-
de, do restante distribuiu 1/3 ficando com R$ 800,00. Qual foi o valor do depósito?
Resolução pelo método da professorinha. 
Resolvendo por etapas para melhor assimilação
1ª etapa
Gastou Sobrou
Prof. Pimentel
Matemática • PP82
Anotações2ª etapa 
Depositou metade do que
Gastou Sobrou
3ª etapa
Depositou metade do que sobrou
Distribuiu 1 do restante3
Gastou Sobrou
 
Observação: A professorinha só trabalha com pedaços iguais.
 Sobraram 2 x que valem R$ 800,00 → x = R$ 400,00
 O depósito equivale a 3 x → 3 × 400,00 = R$ 1.200,00
Resolvendo através de álgebra:
Vamos chamar de x o valor do salário.
Gastou 2 do salário → 2 x → Sobrou 3 x. 5 5 5
Depositou metade do que sobrou →
1 × 3 x = 3 x. 2 5 10
Restante: ( 3 x – 3 x ) = (6 x – 3 x) = 3 x. 5 10 10 10
Distribuiu 1 do restante → 1 × 3 x = 1 x. 3 3 10 10
Portanto ficou com: 
3 x – 1 x = 2 x 
10 10 10
Matemática • PP83
Anotações
Prof. Pimentel
2 x = 800 → x = 4.000 (valor do salário)
10
O depósito correspondente a 3 x → 3 x × 4.000 = R$ 1.200,00 
10 10
Esse método é muito usado pelos alunos do ensino médio, porém, ele é 
muito longo e cansativo. 
Exemplo 2
Dona Suely reserva 1/3 do seu salário em compras e 2/5 ela gasta com educa-
ção. Do que sobra 1/4 ela gasta com lazer e ainda deposita os restantes R$ 1.200,00. Qual 
é o salário de Suely?
Resolução (método da professorinha)
Muito embora este exercício seja parecido com o anterior ele tem uma 
diferença muito grande.
No anterior as frações eram sempre do restante, neste caso tanto as fra-
ções referentes a compra como ao depósito são referentes ao salário .
Então (como a professorinha trabalha com pedaços iguais) vamos escre-
ver as frações com o mesmo denominador.
Compras →
1
 do salário →
5 do seu salário3 15 Achamos o m.m.c. dos dois
Depósito →
2
 do salário →
6 do seu salário5 15
 
Compras Depósito Restante
Após a distribuição, sobraram 3 x 
3 x = 1.200,00 → x = 400
O salário corresponde a 15 x = 15 × 400 = R$ 6.000,00
QUESTÕES DE CONCURSOS
1) VUNESP - Soldado PM - Polícia Militar - SP - 2014
Uma empresa lançou no mercado uma garrafa de refrigerante com 3,25 litros. Uma 
família comprou uma garrafa desse refrigerante e durante o almoço consumiu 2/5 
do total. No jantar foram consumidos 2/3 do que ainda estava na garrafa. Em rela-
ção à capacidade total da garrafa, a fração que representa corretamente a quanti-
dade de refrigerante que restou dentro da garrafa, após o jantar, é
(A) 2/5 
(B) 5/7 
(C) 2/3 
(D) 3/4 
(E) 1/5
Prof. Pimentel
Matemática • PP84
Anotações2) VUNESP - Assistente Operacional - UNESP - 2013
Com um terço do que tenho na poupança consigo comprar uma bicicleta no valor 
de R$ 220,00, um capacete de R$ 45,00 e uma roupa de ciclista de R$ 150,00. Com-
prandoesses três itens, restará, na minha poupança,
(A) R$ 138,60.
(B) R$ 415,00.
(C) R$ 553,60.
(D) R$ 830,00.
(E) R$ 1.245,00.
3) VUNESP - Assistente Adm. e Téc. - Emplasa - 2014
Sabe-se que o salário líquido mensal de André corresponde a 4/5 do salário líquido 
mensal de seu irmão Bruno e que, a cada mês, Bruno reserva 2/5 do valor recebido 
para pagar a mensalidade da faculdade, restando, ainda, R$ 1.830,00 para outros 
gastos. Desse modo, é correto afirmar que a diferença entre os salários líquidos 
mensais de Bruno e de André é igual a
(A) R$ 720,00.
(B) R$ 690,00.
(C) R$ 610,00.
(D) R$ 590,00.
(E) R$ 520,00.
4) VUNESP - Oficial Legislativo - Prefeitura de Sorocaba - 2014
De um reservatório de água totalmente cheio, três quartos do volume total foram uti-
lizados em um determinado dia, um quinto do que havia restado foi utilizado no dia 
seguinte, e os 320 litros de água restantes foram utilizados no terceiro dia. Se nesses três 
dias não houve desperdício de água e, tampouco, reabastecimento, então é verdade que 
o volume total desse reservatório, em metros cúbicos, equivalia a
(A) 1,6. 
(B) 6,4. 
(C) 16. 
(D) 64. 
(E) 120.
5) VUNESP - Assistente Operacional - UNESP - 2013
A gasolina contida no tanque do carro de Bento, de motor flex, ocupava 1/4 de sua ca-
pacidade total. Bento então colocou mais 16,8 litros de gasolina, e a gasolina passou a 
ocupar 3/5 da capacidade total do tanque. Em seguida, Bento colocou etanol, enchendo 
completamente o tanque. A quantidade de etanol colocada foi igual, em litros, a
(A) 22,8. 
(B) 22,5. 
(C) 21,8. 
(D) 20,4. 
(E) 19,2.
6) VUNESP - Assistente Operacional - UNESP - 2013
Um frasco completamente cheio com certo líquido tem massa de 37,5 g. Com o 
líquido preenchendo 2/3 da capacidade do frasco, tem massa de 29,5 g. A massa 
do frasco completamente vazio é igual, em gramas, a
(A) 15,5. 
(B) 14. 
(C) 13,5. 
(D) 12,75. 
(E) 12,25.
7) VUNESP - Agente de Segurança Judiciária - Tribunal de Justiça Militar - SP - 2013
Durante o percurso do ponto N até a cidade B, passando pela cidade A, conforme 
indicado na figura, um motorista fez uma parada no ponto P, quando já havia per-
corrido 2/5 do trajeto total. Quando chegou à cidade A, ele já havia percorrido 3/4 
do trajeto total. Sabendo que A dista 210 km de P, pode-se afirmar que a distância 
percorrida por esse motorista, no percurso em questão, é igual, em quilômetros, a
 
(A) 500 
(B) 520 
(C) 550
(D) 600
(E) 680
Matemática • PP85
Anotações
Prof. Pimentel
8) VUNESP – Agente – PMRP – 2014
Para uma reunião, foram preparados 60 relatórios e colocados em duas pastas, am-
bas podendo comportar um mesmo número máximo de relatórios. Sabendo-se que 
a primeira pasta ficou com o número máximo de relatórios que poderia comportar 
e que a segunda pasta ficou com 2/3 desse número máximo, então o número de 
relatórios colocados na primeira pasta foi
(A) 42.
(B) 40.
(C) 38.
(D) 36.
(E) 34.
9) VUNESP – Câmara de Sertãozinho – Escriturário – 2014
Em uma caixa há vários copos plásticos, sendo 3/5 do total de cor amarela, 3/4 do 
restante de cor azul e 5 brancos. O número total de copos dessa caixa é
(A) 60.
(B) 55.
(C) 50.
(D) 45.
(E) 40.
10) VUNESP – Educador – PMRP – 2014.
Uma caixa contendo copos de vidro cai acidentalmente
Quebrando 2/5 dos copos, e 1/3 dos demais copos apresentaram pequenas trincas, res-
tando apenas 10 copos perfeitos. O número total de copos que havia na caixa era:
(A) 20.
(B) 25.
(C) 30.
(D) 35.
(E) 40.
11) VUNESP – Nutricionista – UNIFESP – 2014
Xavier e Yuri têm dívidas e pretendem pagá-las com o salário recebido. Sabe-se que 
1/5 do valor da dívida de Xavier corresponde a 3/25 do valor da dívida de Yuri e 
que ambos, juntos, devem R$ 2.000,00. Desse modo, se Xavier pagar apenas 3/5 
do valor total da sua dívida, ele ainda continuará devendo
(A) R$ 750,00.
(B) R$ 400,00.
(C) R$ 350,00.
(D) R$ 300,00.
(E) R$ 250,00.
12) VUNESP – Motorista – PMRP – 2014
No almoço, Sofia e Clarissa comeram juntas a quarta parte de uma torta que a mãe 
havia preparado. Quando chegou da escola, André comeu um terço da parte da 
torta que havia sobrado. A fração que representa a parte que foi comida da torta 
inteira, por todos eles juntos, é:
(A) 1/8
(B) 1/4
(C) 3/8
(D) 1/2
(E) 7/8
13) VUNESP – Motorista – PMRP – 2014.
Em uma pesquisa eleitoral, foram entrevistados 2 000 eleitores. Havia apenas 4 
opções: João Falante, Lúcio Calado, Jussara Honesta ou Indecisos. Considerando 
que cada entrevistado só podia assinalar uma das opções, foi obtido o seguinte 
resultado:
Prof. Pimentel
Matemática • PP86
AnotaçõesA fração que representa o número de “Indecisos”, em relação ao total de entrevis-
tados, é de:
(A) 15.
(B) 12.
(C) 21.
(D) 9.
(E) 18.
15) FCC - Agente de Defensoria Publica - Defensoria pública de SP - 2013
O total de frações entre 3/7 e 9/19 com numerador par e denominador 133 é igual a
(A) 3/10 
(B) 7/20 
(C) 2/5 
(D) 9/20 
(E) 1/2
17) FCC - Analista Judiciário - TRT1 - 2013
Somando-se um mesmo número ao numerador e ao denominador da fração 3/5, 
obtém-se uma nova fração, cujo valor é 50% maior do que o valor da fração origi-
nal. Esse número está entre
(A) 1 e 4. 
(B) 5 e 8. 
(C) 9 e 12. 
(D) 13 e 16. 
(E) 17 e 20.
18) FCC - Analista Judiciário - TRT15 - 2013
Renato dividiu dois números inteiros positivos em sua calculadora e obteve como 
resultado a dízima periódica 0,454545... . Se a divisão tivesse sido feita na outra 
ordem, ou seja, o maior dos dois números dividido pelo menor deles, o resultado 
obtido por Renato na calculadora teria sido
(A) 0,22.
(B) 0,222... 
(C) 2,22. 
(D) 2,222... 
(E) 2,2.
19) FCC – Prefeitura Municipal de São Paulo – Serviço Social 
Anualmente, dois colégios A e B promovem um evento esportivo com a participa-
ção exclusiva de seus alunos. Considere que, em 2008, 
– 100 atletas participaram de tal evento; 
– do total de atletas do colégio A, 3/16 disputaram provas de atletismo; 
– do total de atletas do colégio B, 1/7 disputaram provas de natação. 
Nessas condições, o total de atletas do colégio B que participaram do evento em 2008 
foi 
(A) 1/10
(B) 1/8
(C) 1/5
(D) 1/4
(E) 1/2
14) VUNESP –TJSP - 2014
Um grupo de pessoas participou da fase final de um concurso, sendo que, nesse 
grupo, o número de mulheres era igual a 3/5 do número de homens. Sabe-se que, 
concluída a fase final, apenas 1/5 do número de homens e 1/3 do número mulheres 
foram aprovados, num total de 8 pessoas. O número de mulheres no grupo que 
iniciou a participação na fase final desse concurso era igual a
(A) 7. (B) 4. (C) 5. (D) 6. (E) 3.
16) FCC - Analista - Administração - Defensoria pública do RS - 2013
Em uma empresa, 2/3 dos funcionários são homens e 3/5 falam inglês. Sabendo 
que 1/12 dos funcionários são mulheres que não falam inglês, pode-se concluir 
que os homens que falam inglês representam, em relação ao total de funcionários, 
uma fração equivalente a
(A) 84
(B) 80
(C) 77
(D) 64
(E) 63
Matemática • PP87
Anotações
Prof. Pimentel
20) FCC - 2013 - Agente de Segurança Metroviária - Metrô 
Dois amigos foram a uma pizzaria. O mais velho comeu 3/8 da pizza que compra-
ram. Ainda da mesma pizza o mais novo comeu 7/5 da quantidade que seu amigo 
havia comido. Sendo assim, e sabendo que mais nada dessa pizza foi comido, a 
fração da pizza que restou foi 
A) 3/5 
(B) 7/8 
(C) 1/10 
(D) 3/10 
(E) 36/40
21) FCC – 2013 - Analista Legislativo - Assembleia Legislativa do RN 
Para melhorar sua logística de compras, um comerciante de frutas realizou uma 
enquete, com 540 pessoas, para identificar as preferênciasentre as frutas abacaxi, 
laranja e mamão. Descobriu que 3/4 dessas pessoas não gostavam de abacaxi. Den-
tre os que gostavam de abacaxi, 2/3 gostavam também de laranja e mamão simul-
taneamente. Os demais que apreciavam abacaxi se distribuíam igualmente em 3 
grupos formados por aqueles que apreciavam apenas abacaxi ou abacaxi e laranja 
ou abacaxi e mamão. Do grupo maior, daqueles que não gostavam de abacaxi, fo-
ram identificados que 3/5 eram apreciadores tanto de mamão como de laranja. 
Desta maneira, o comerciante identificou que o número de pessoas que apreciavam 
apenas uma dessas três frutas é igual a 
(A) 243. 
(B) 105. 
(C) 135. 
(D) 162. 
(E) 177.
22) FCC – 2014 - Assistente Adm Junior – Metrô
Se P e Q São números distintos do conjunto
− − −{ }920 23 35, ,
então o maior valor possível de P − Q é:
(A) 3/20 
(B) 13/60 
(C) – 21/20 
(D) – 19/15 
(E) 3/10
23) FCC - 2014 - Assistente Adm Junior - Metrô 
Uma engrenagem circular P, de 20 dentes, está acoplada a uma engrenagem circular Q, 
de 18 dentes, formando um sistema de transmissão de movimento. Se a engrenagem P 
gira 1/5 de volta em sentido anti-horário, então a engrenagem Q irá girar : 
(A) 2/9 de volta em sentido horário. 
(B) 9/50 de volta em sentido horário. 
(C) 6/25 de volta em sentido horário. 
(D) 1/4 de volta em sentido anti-horário. 
(E) 6/25 de volta em sentido anti-horário. 
24) FCC - 2014 - Assistente Adm Junior - Metrô 
Dona Amélia e seus quatro filhos foram a uma doceria comer tortas. Dona Amélia 
comeu 2/3 de uma torta. O 1ª filho comeu 3/2 do que sua mãe havia comido. O 2º 
filho comeu 3/2 do que o 1º filho havia comido. O 3º filho comeu 3/2 do que o 2º 
filho havia comido e o 4º filho comeu 3/2 do que o 3º filho havia comido. Eles com-
praram a menor quantidade de tortas inteiras necessárias para atender a todos. 
Assim, é possível calcular corretamente que a fração de uma torta que sobrou foi 
(A) 5/6 
(B) 5/9 
(C) 7/8
(D) 2/3 
(E) 5/24
Prof. Pimentel
Matemática • PP88
Anotações25) FCC – TÉCNICO ADMINISTRATIVO – CÂMARA MUNICIPAL DE SÃO PAULO – 2014
Um funcionário de uma empresa deve executar uma tarefa em 4 semanas. Esse 
funcionário executou 3/8 da tarefa na 1ª semana. Na 2ª semana, ele executou 1/3 
do que havia executado na 1ª semana. Na 3ª e 4ª semanas, o funcionário termina a 
execução da tarefa e verifica que na 3ª semana executou o dobro do que havia exe-
cutado na 4ª semana. Sendo assim, a fração de toda a tarefa que esse funcionário 
executou na 4ª semana é igual a
(A) 5/16.
(B) 1/6.
(C) 8/24.
(D) 1/4.
(E) 2/5.
26) FCC - Atendente - Sabesp - 2014
Dentre os 696 participantes de um congresso de saneamento básico 3/4 deles são 
engenheiros. Sabe-se que 1/6 desses engenheiros também são químicos. Do grupo 
de todos os participantes 1/12 não são nem engenheiros nem químicos. Os demais 
participantes do congresso são todos químicos. O número total de químicos que 
participam desse congresso é igual a
(A) 522. 
(B) 435. 
(C) 116. 
(D) 203. 
(E) 174.
27) FCC - Agente de Saneamento Ambiental - Sabesp - 2014
Somando-se certo número positivo x ao numerador, e subtraindo-se o mesmo nú-
mero x do denominador da fração 2/3 obtém-se como resultado, o número 5. Sen-
do assim, x é igual a
(A) 52/25 
(B) 13/6 
(C) 7/3 
(D) 5/2 
(E) 47/23
28) FCC - Analista Judiciário - TRT9 - 2013
Em uma disciplina de um curso superior, 7/9 dos alunos matriculados foram apro-
vados em novembro, logo após as provas finais. Todos os demais alunos fizeram em 
dezembro uma prova de recuperação. Como 3/5 desses alunos conseguiram apro-
vação após a prova de recuperação, o total de aprovados na disciplina ficou igual a 
123. O total de alunos matriculados nessa disciplina é igual a
(A) 136. 
(B) 127. 
(C) 130. 
(D) 135. 
(E) 126.
29) FCC - Analista de Desenvolvimento e Gestão - Metrô - 2014
Subiram no trem vazio, na estação inicial, x pessoas e nesse dia ninguém mais en-
trou nesse trem. Na 1ª estação desembarcaram 2/3 dos passageiros que estavam 
no trem e ainda mais 10 passageiros. Na 2ª estação desembarcaram 2/3 dos passa-
geiros que ainda estavam no trem e mais 10 pessoas. Exatamente assim aconteceu 
também nas 3ª, 4ª e 5ª estações. Da 5ª estação em diante, o trem trafegou com 
apenas 1 passageiro. Desta maneira, o número de passageiros que desembarca-
ram, ao todo, nas três primeiras estações, é igual a
(A) 1937. 
(B) 3744. 
(C) 2641. 
(D) 3517. 
(E) 3942.
30) (ESAF) 
Que horas são se 4/11 do que resta do dia é igual ao tempo decorrido? 
(A) 7 horas e 40 minutos 
(B) 4 horas 
(C) 7 horas 
(D) 5 horas 
(E) 6 horas e 24 minutos
Gabarito:
1) E 16) B
2) D 17) D
3) C 18) E
4) A 19) A
5) E 20) C
6) C 21) E
7) D 22) B
8) D 23) A
9) C 24) E
10) B 25) B
11) D 26) D
12) D 27) B
13) D 28) D
14) B 29) B
15) E 30) E
Anotações
Prof. Pimentel
M
ó
d
ul
o
Matemática • PP89
06 Potenciação e Radiciação
Definição	
Potência de um número é o produto do número multiplicado por ele mesmo n 
vezes.
Representamos por: 
Definição
Potência de um número é o produto do número multiplicado por 
ele mesmo n vezes. 
Representamos por: 
= 
O número a recebe o nome de base
O número n recebe o nome de expoente.
O número a recebe o nome de base
O número n recebe o nome de expoente.
Exemplo:
Exemplo:
= = 32
= = 
Propriedades:
a) multiplicação de potência de mesma base
am	x	an		=		am+n
Exemplo
23	x	24		= (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2 × 2) = 27
(mantém a base e soma os expoentes).
b) multiplicação de potência de mesmo expoente
an	x	bn		=		(a	x	b)n																																																													
Exemplo
23 × 33 = (2 × 2 × 2) × (3 × 3 × 3) = 
 (2 × 3) × (2 × 3) × (2 ×3) = 63
Multiplicamos a base e conservamos o expoente.
Prof. Pimentel
Matemática • PP90
Anotaçõesc) Divisão entre potências com mesma basec) Divisão entre potências com mesma base
Exemplo:
(mantém a base e subtraí os expoentes)
(mantém a base e subtraí os expoentes)
d) Potência onde a base é uma potênciad) Potência onde a base é uma potência
Exemplo:
= = 
(mantém a base e multiplica os expoentes).
expoente
base
n
(mantém a base e multiplica os expoentes).
e) Potência onde o expoente é uma potênciae) Potência onde o expoente é uma potência
Exemplo:
= = 
(mantém a base e eleva o expoente).
a
expoente
base
(mantém a base e eleva o expoente).
f) Potência com expoente negativo.f) Potência com expoente negativo.
Exemplos:
a) 
b) = 
Dica: Invertemos a base e eliminamos o sinal negativo.
Exemplos
f) Potência com expoente negativo.
Exemplos:
a) 
b) = 
Dica: Invertemos a base e eliminamos o sinal negativo.Dica: Invertemos a base e eliminamos o sinal negativo.
Matemática • PP91
Anotações
Prof. Pimentel
g) potência de expoente zero.
 a0		=		1
Deduzindo a propriedade
g) potência de expoente zero.
=		1
Deduzindo a propriedade
= (propriedade da potência)
(um nº dividido por ele mesmo)
Portanto: = 1
Observar: não existe divisão por zero, portanto a 0
Exemplo : = 1
Qualquer nº diferente de zero elevado a zero é igual a 1 
Portanto: a0 = 1
Observar: não existe divisão por zero, portanto a ≠ 0
Exemplo : (− 2150)0 = 1
Qualquer nº diferente de zero elevado a zero é igual a 1
ATENÇÃO PARA OS CASOS ABAIXOAtenção para os casos abaixo
não existe propriedade para soma de 
potência
(
A soma e subtração não gozam da 
propriedade distributiva em relação a 
potência; o correto seria: a2 + 2ab + b2 
=		
A multiplicação e divisão gozam da
propriedade distributiva em relaçãoa
potência; assim: (a × b)n = an × bn
 
Neste caso, a potência que é negativa;
se a base fosse negativa ela deveria vir
entre parênteses; assim:
=	- e										 =			1
Portanto toda vez que estivermos diante a expressão devemos impor a condição de existência, ou seja,
Prof. Pimentel
Matemática • PP92
Anotações
A afirmação: = 0 
para qualquer valor de 
n é falsa
Porque quando n for negativo, na hora da 
inversão teremos uma fração como 
denominador igual a zero.
Sinal negativo do expoente nada mais é 
do que um comando de inversão da base. 
Para retirá-lo, basta inverter a base
 
= 
= = 
= = 
Lembrando que a soma não goza da 
propriedade distributiva em relação a 
potência. 
Neste caso devemos reduzir as frações 
ao mesmo denominador (achar o MMC) 
para depois fazer inversão.
PROPRIEDADE IMPORTANTE
a) Igualdade de potências com mesma base 
Sendo a ≠ 1 e a ≠ 0
am		=		an		→		m		=		n
Exemplo
Propriedade importante
a) Igualdade de potências com mesma baseSendo a 1 e a
Exemplo
=		4
=	
Portanto: 
Matemática • PP93
Anotações
Prof. Pimentel
b) Igualdade de potências com mesmo expoente 
Sendo m nº impar
am		=		bm		→		a		=		b
Sendo m nº par
am		=		bm		→		a	= ± b
Exemplo
x4 = 81 → x4 = 34 → x = ± 3
EXERCÍCIOS
1) Calcular o valor das potências:
a) 42
b) – 42 
c) (−4)2
d) 4−2
e) – 10 
f) (– 1)0 
g) 2−1 
h) –2–2
i) 1
3
3 
j) (32)–2
k) 23 x 2
l) 0–2
m) (–3)–3
n) 23
-1
o) 4
1
2
Para as próximas questões, responda conforme a tabela abaixo:
a) Se somente I for verdadeira
b) Se somente II for verdadeira
c) Se somente III for verdadeira
d) Se apenas duas alternativas forem verdadeiras
e) Nenhuma das anteriores
Prof. Pimentel
Matemática • PP94
Anotações
2)
 
I. = m = n
II.
III. 
3)
 
I. (0,2)² = 0,4
II. zero elevado a qualquer número inteiro é sempre zero
III. = 0
 
4) Resolver as seguintes operações 
a) 
Resolver as seguintes operações
a. 
b. 
c.
d.
b) 
Resolver as seguintes operações
a. 
b. 
c.
d.
c) 
Resolver as seguintes operações
a. 
b. 
c.
d.
d) 
Resolver as seguintes operações
a. 
b. 
c.
d.
5)	A expressão é:
a) (81)² 
b) 
c) 
d) as três alternativas anteriores estão corretas
e) n.d.a
6) A expressão 00 é: 
a) 0
b) 0,1
c) 1
d) n.d.a.
7)	A expressão (4 + 3)2 é:
a) 42 + 32
b) 42 + 3
c) 4 + 32
d) n.d.a.
Matemática • PP95
Anotações
Prof. Pimentel
8)	Na expressão (6 x 5)2 temos:
a) 62 x 52
b) 62 + 52
c) 62 – 52
d) n.d.a.
9)	Se 1m = 1n , então:
a) m = n
b) m < n
c) m > n
d) n.d.a.
10)	Se 2(x – 1) = 32, então:
a) x = 5
b) x = 6
c) x = 7
d) é impossível calcular pois trata-se de uma equação exponencial.
11)	A expressão: 2(2x+3) pode ser escrito como:
a) 8 . 4x
b) 9 . (2x)2
c) 8 . (22)x
d) somente duas das alternativas acima são verdadeiras
e) as três primeiras alternativas acima são verdadeiras.
12)	Se 2x = a, então 8x vale :
a) 3 × a
b) a3 
c) 3 + a
d) 8 × a
e) n.d.a.
13)	Se 2m = 2n , então:
a) m – n > 0 
b) m – n < 0 
c) m – n = 0 
d) n.d.a.
14)	A expressão ap + q é:
a) ap + aq
b) ap . aq
c) ap – aq 
d) n.d.a.
Prof. Pimentel
Matemática • PP96
Anotações15)	Determinar o valor de x nas equações:
a) 3(x −5) = 81
b) 252x −3 = 5
c) 23x−7 = 1
d) 42x − 3 = 8x+2
e) x3 = 216
f) 2 . x4 = 1250
g) (x −3)4 = 81
h) (2x − 5)0 = 1
16)	A solução da equação 0,52x = 0,25(1–x) é um número x, tal que:
a) 0 < x < 1; 
b) 1 < x < 2;
c) 2 < x < 3;
d) x > 3;
e) x < 0 .
17)		Se (1/8) = 2–x então x vale:
 
Se (1/8) = então x vale:
a)
b) - b. 
c) + 3
d) – 3
e) n.d.a.
RADICIAÇÃO
Definição: dado um número a (radicando) e um número inteiro n maior que 
1, define-se raiz enésima de a o n° x como sendo o n° que elevado à enésima potên-
cia é igual a a
Definição: dado um número a (radicando) e um 
número inteiro n maior que 1, define-se raiz enésima 
de a o n° x como sendo o n° que elevado à 
enésima potência é igual a a
Representações:
Matemática • PP97
Anotações
Prof. Pimentel
Propriedades
a b a bn n n× = ×
n
n
n
b
a
b
a
=
a amn m n= ×
= 
Propriedades:
Exemplos
Exemplos:
Racionalização:
Por convenção, recomenda-se não deixar o denominador de uma fração na for-
ma de radical, assim sendo toda vez que tal fato ocorrer devemos fazer algumas opera-
ções para que sem alterar o valor da fração eliminemos o radical do denominador.
Para isto vamos usar a propriedade das frações de ficar inalterada quando 
multiplicamos por um mesmo número o numerador e o denominador de uma fração;
Exemplo: racionalizar a fração 
Prof. Pimentel
Matemática • PP98
AnotaçõesDICAS:
O nº que estamos multiplicando o numerador e o denominador recebe 
nome de fator racionalizante.
Quando o denominador for uma raiz quadrada o fator racionalizante será a 
própria raiz .
Quando o índice do radical for n > 2, o fator racionalizante será raiz com 
mesmo índice porem o expoente do radicando será a diferença entre o índice da raiz 
e o expoente anterior do radicando, como mostramos a seguir:
Racionalizar	a	fração
racionalizar a fração 
Quando o denominador for uma soma ou diferença envolvendo raiz quadra-
da, o fator racionalizante será o conjugado do denominador.
O conjugado de (a + b) é (a - b) e vice versa .
A multiplicação entre o número e seu conjugado e o produto notável:
Racionalizar
Racionalizar:
Matemática • PP99
Anotações
Prof. Pimentel
EXTRAÇÃO	DA	RAIZ	QUADRADA
Usando a intimidade: para extrair a raiz quadrada de um número que é um 
quadrado	perfeito podemos utilizar a réguinha abaixo.
Para tal basta localizar em qual intervalo o número se encontra e em segui-
da verificar mentalmente qual o número que elevado ao quadrado da aquele valor.
Por exemplo: determinar a raiz quadrada dos números: 361 – 576 e 729
 
Para	achar	a	raiz	dos	números,	perguntamos:
Para o 361: qual o número mais próximo e menor de 20 quando elevado ao 
quadrado termina com 1.
(19 . 19) = 361
Para o 576: número mais próximo, porém maior que 20 quando elevado ao 
quadrado termina com 6.
(24 . 24) = 576
Para o 729: número mais próximo, porém menor que 30 quando elevado ao 
quadrado termina com 9.
(27 . 27) = 729
Extração	da	raiz	quadrada	de	qualquer	nº.	
Para extrair a raiz de qualquer número, vamos utilizar o algoritmo a seguir. 
Exemplo: extrair a raiz quadrada do nº 54.827 
1º Passo
a) Colocamos o nº em baixo do 
radical e em seguida agrupamos os 
algarismos, a partir da virgula de 
duas em duas casas, tanto para 
direita como para esquerda.
b) Escrevemos a direita do radical 
o nº que elevado ao quadrado é 
igual ou próximo ao nº formado no 
1º agrupamento. Neste caso é o 2 
cujo quadrado é o mais próximo 
de 5.
c) Subtraímos do nº formado no 
primeiro agrupamento o produto 
obtido .
Neste caso temos ( 5 - 4 = 1)
Prof. Pimentel
Matemática • PP100
Anotações2º Passo
a) Colocamos o nº formado do 
segundo agrupamento a direita do 
resto obtido anteriormente 
formando um nº (no caso 148), 
em seguida, colocamos a direita do 
radical, na 3ª linha, um nº que seja 
igual ao dobro do nº da primeira 
linha (neste caso 4) .
b) Agora a direita desse nº vamos 
colocar um algarismo, formando 
desta forma um novo nº que 
deverá ser multiplicado pelo 
algarismo de tal forma que o 
produto obtido seja o valor mais 
próximo (no caso 148), 
c). Subtraímos de 148 o valor do 
produto obtido anteriormente.
Neste caso temos (148 – 129 =19)
3º Passo
a) Repetimos a operação anterior, e, 
agora ficaremos dentro do radical 
com o nº 1927. Na quarta linha a 
direita focaremos com o produto
(464 
b) Efetuando a subtração:
(1927 – 1856 = 71)
c) Vamos para quarta etapa e assim 
sucessivamente.
4º Passo
a) Repetimos a operação, antes 
porém devemos colocar a 
virgula no número que 
estamos obtendo na primeira 
linha a direita .
Matemática • PP101
Anotações
Prof. Pimentel
5º Passo
a) Como os agrupamentos 
terminaram e se quisermos 
continuar é só colocar na 
frente do último resto OO.
Em seguida procederemos 
normalmente . 
A raiz quadrada de 54.827,42 é 2 3 4 , 1 5
SIMPLIFICAÇÃO	DE	RADICAIS
Para simplificar os radicais, devemos:
a) decompor o nº em fatores primos. 
b) Agrupar os fatores primos iguais de tal maneira em que cada agrupamento o 
nº de fatores seja igual ao índice do radical.
c) Para cada agrupamento, devemos pegar um fator multiplicando-os entre si. O 
produto ficará fora do radical.
d) Os fatores que não foram agrupar, ficarão dentro do radical .
Simplificar : 
Decompondo:
2
3
= 2
Prof. Pimentel
Matemática • PP102
AnotaçõesEXERCÍCIOS
1)	 Simplificar os radicais
a) b) 
d) 
f) 
g) h) 
2)	 Efetuar as operações:
d)
3)	 O valor da expressão: é:
a) 15
b) 18
c) 12
d) 10
a) 15 b) 18 c) 12 d) 10
4)	O valor de 91,5 + 320,8
a) 43
b) 25
c) 81
d) 64
Matemática • PP103
Anotações
Prof. Pimentel
5)	 Racionalize as seguintes frações:
a) b) 
c) d) 
e) f) 
g) 
6)	Coloque verdadeiro ou falso nas sentenças abaixo:
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
7)	 Escrevendo na forma de potência de 
expoente racional encontramos:
a) 
b) 
c) 
d) 
Prof. Pimentel
Matemática • PP104
Anotações
Potenciação
1) a) 16 
b) -16 
c) 16 
d) 1/16 
e) -1 
f) 1 
g) 1/2 
h) -1/4 
i) 1/27 
j) 1/81 
k) 16 
l) indeterminado
m) 1/-27 
n) 3
o) 2
2) A
3) E
4) a) 128 
 b) –37 
 c) 1/64 
 d) 29 = 512 
5) D
6) D
7) D
8) A
9) D
10) B
11) D
12) B
13) C
14) B
15) a) 9
 b) 7/4
 c) 7/3
 d) 12
 e) 6
 f) F = 5
 g) 0 e 6
 h) qualquer x ≠ 5/2
16) A
17) C
Radiciação
1) a) 2
 b) 4
 c) 8 2
 d) 5 2
 e) 4
 f) 4
 g) 4 27
 h) 6
2) a) 7 + 8 2
 b) 12
 c) sem solução
 d) 3 . 10 27
3) A
4) A
5) a) 3
 b) 
5
5
 c) 2 5
 d) 
6
2
 e) 
33 25
5
 f) 
7 52 3
1
 g) 5 4
6) a) F
 b) F
 c) V
 d) V
 e) V
7) C
GABARITO
Anotações
Prof. Pimentel
M
ó
d
ul
o
Matemática • PP105
07 Regra de Três
Regra de três é um dos tópicos da matemática que o pessoal mais intimi-
dade tem, porém existe a necessidade de diferenciarmos alguns casos como, por 
exemplo: regra de três simples, regra de três composta e também a relação entre 
duas grandezas, se elas são diretamente ou inversamente proporcionais.
Facilmente reconhecemos se um problema é resolvido através desta fer-
ramenta. Para tal basta verificar se conhecemos a relação entre duas grandezas e 
se ao variarmos um delas queremos saber o que acontece com a outra.
Exemplo de regra de três diretamente proporcional:
Se para comprar 5 metros de tecido gastei R$ 80,00. Quanto devo gastar 
para comprar 15 metros?
É logico, se eu tripliquei a metragem eu devo triplicar o meu gasto que 
passará a ser de 3 × 80,00 = 240,00
 
Exemplo de regra de três inversamente proporcional:
Se para fazer um determinado serviço são necessário 12 operários traba-
lhando 10 dias. Porém se reduzirmos para metade o nº de operários em quantos 
dias o serviço deverá ficar pronto, mantendo o mesmo ritmo?
É lógico que se o número de operários foi reduzido pela metade então o 
número de dias deverá dobrar.
Para reconhecer se as duas grandezas são diretamente ou inversa-
mente proporcionais, faremos a seguinte pergunta:
Quando aumentamos a grandeza ou que acontecerá com a outra ? 
Se a resposta for: também aumenta estaremos diante de grandezas 
diretamente proporcionais;
Se a resposta for: ela diminui estaremos diante de grandezas inver-
samente proporcionais.
Resolvendo a regra de três simples:
Para resolvermos um problema de regra de três, vamos seguir a seguintes passos:
 • Vamos montar duas colunas, uma ao lado da outra. 
 • Na primeira linha vamos escrever o nome das grandezas.
 • Na segunda linha vamos escrever os valores que conhecemos relacionando 
as duas grandezas.
 • Na terceira linha vamos escrever o valor que variou em sua coluna, e aquele 
que procuramos vamos representar por x.
Prof. Pimentel
Matemática • PP106
Anotações • Agora colocamos uma seta (voltada para x) na coluna onde ele se encontra. 
 • Agora vamos identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente, 
fazendo as perguntas citadas acima, se quando aumentarmos uma gran-
deza a outra também aumentar as grandezas são diretamente e registra-
mos colocando uma seta na outra coluna com o mesmo sentido da anterior. 
Caso aconteça o inverso, ou seja, se aumentar uma grandeza a outra dimi-
nui é porque as grandezas são inversamente proporcionais e deverá ficar 
registrado com uma seta de sentido inverso da anterior.
 • Quando as setas tem o mesmo sentido, podemos resolver, fazendo uma 
cruz em cima do x. Os valores que estão na cruz multiplicaremos e ficará 
como numerador e o valor que está fora da cruz ficará como denominador.
 • Se as grandezas forem inversamente proporcionais, as setas tem sentidos 
contrários, para resolver devemos inverter o sentido de uma das setas (tro-
cando os valores de posição), depois seguir os passos acima.
 • Basta efetuar a conta (de preferência, fazendo os cancelamentos) e resulta-
do será aquele nomeado na coluna onde estava escrito o x.
Exemplo: 
Regra de três simples com grandezas diretamente 
Para comprar 80 fichas, Luísa gastou R$ 120,00; quanto a mais ela deverá 
gastar se quiser comprar 30 fichas a mais?
1ª etapa
R$ Fichas
a) Distribuimos os valores nas colunas
b) Colocamos a primeira flecha (sempre voltada para o X)
120 80
x 30
2ª etapa
R$ Fichas Quando aumentamos a quantidade de fichas, precisamos 
aumentar o R$. Portanto as grandezas são diretamente proporcio-
nais. (As setas tem o mesmo sentido)
120 80
x 30
3ª etapa 
R$ Fichas Como as setas tem o mesmo sentido, vamos rezar. (quem está na 
cruz vai para cima) (céu); (quem está fora da cruz fica embaixo) 
(inferno).
120 80
x 30
x =
120 × 30 = 3 × 30 = 90 = R$ 45,00
80 2 2
 
Exemplo 2 
Regra de três simples com grandezas inversamente proporcionais
O estoque de um Hotel tem comida suficiente para alimentar 30 hospe-
des durante 20 dias, porém nesse hotel foram feitas 40 reservas para os próximos 
dias. Com esse nº de hospedes a comida deverá durar por quantos dias. 
Hospedes Dias
a) Distribuimos os valores nas colunas
b) Colocamos a primeira flecha (sempre voltada para o X)
30 20
40 x
 
Matemática • PP107
Anotações
Prof. Pimentel
2ª etapa
Hospedes Dias Quando aumenta o número de hospedes , diminui o número de 
dias. Portanto as grandezas são inversamente proporcionais. (As 
setas tem o sentidos contrários)
30 20
40 X
3ª etapa
Hospedes Dias Como as setas têm sentidos contrários, devemos deixa-las no 
mesmo sentido e em seguida rezar. (quem está na cruz vai para 
cima) (céu); (quem está fora da cruz fica embaixo) (inferno)
40 20
30 x
X =
30 × 20 = 60 = 15 dias40 4
 
REGRA DE TRÊS COMPOSTA
Na regra de três composta,conhecemos o relacionamento que existe en-
tre três grandezas ou mais, e queremos saber o que acontece com uma delas quan-
do variamos as demais.
A forma de trabalhar é idêntica ao da regra de três simples, o único de-
talhe é que trabalhamos simultaneamente com todas as grandezas, Desta maneira 
para colocação das setas devemos sempre comparar a coluna que contém o x com 
cada uma das demais separadamente.
Exemplo
Para recapear um trecho de 20 Km de comprimento por 30 m de largura 
de uma estrada, 40 operário gastaram 30 dias trabalhando 8 horas por dia, num 
local onde a dificuldade foi avaliada de grau 3. Quantos dias outra turma com 30 
operários trabalhando 7 horas por dia farão serviço idêntico num trecho de 15 Km 
por 25 m de largura e se a dificuldade foi avaliada de grau 2.
Para melhor entendimento, vamos fazer por etapas.
1) Inicialmente vamos distribuir os valores em suas colunas.
Comp.(km) Larg. (m) Oper. Dias H/D Dif.
20 30 40 30 8 3
15 25 30 X 7 2
2) vamos colocar a 1ª seta, sempre voltada para X (ela será o referencial)
Comp.(km) Larg. (m) Oper. Dias H/D Dif.
20 30 40 30 8 3
15 25 30 X 7 2
Prof. Pimentel
Matemática • PP108
Anotações3) vamos colocar as demais setas.
Comp.(km) Larg. (m) Oper. Dias H/D Dif.
20 30 40 30 8 3
15 25 30 X 7 2
Relacionando (sempre com o X)
aumenta comp.→ aumenta h/d (direta = mesmo sentido)
aumenta larg. → aumenta h/d (direta = mesmo sentido)
aumenta oper. → diminui h/d (inverso = sentido contrario)
aumenta dias → diminui h/d (inverso = sentido contrario)
aumenta dif . → aumenta h/d (direta = mesmo sentido)
4) vamos colocar as setas no mesmo sentido.
Comp.(km) Larg. (m) Oper. Dias H/D Dif.
20 30 30 30 7 3
15 25 40 X 8 2
5) Vamos cancelar nas colunas
Comp.(km) Larg. (m) Oper. Dias H/D Dif.
4 6 3 30 7 3
3 5 4 X 8 2
Os cancelamentos:
coluna comp. → dividimos tudo por 5
coluna larg. → dividimos tudo por 5
coluna oper. → dividimos tudo por 10
6) Rezando
Comp.(km) Larg. (m) Oper. Dias H/D Dif.
4 6 3 30 7 3
3 5 4 X 8 2
Atenção: quem está na cruz vai para o céu (em cima); quem esta fora vai para 
o inferno (em baixo)
X =
3 × 5 × 4 × 8 × 2 × 30
= fazendo os cancelamentos
4 × 6 × 3 × 7 × 3
 
X =
5 × 8 × 
10 = 400 = 19 dias e 20 minutos
3 × 7 21
Matemática • PP109
Anotações
Prof. Pimentel
 
Na regra de três composta, após a distribuição nas colunas, devemos 
colocar uma seta voltada para X. Para colocação das demais setas, 
vamos comparar cada uma das demais colunas com a coluna do X. 
Ignorando as demais. Mesmo que na coluna os valores diminuem não 
existe alteração se você perguntar: se a grandeza aumenta o que vai 
acontecer com a outra. Sempre que possível fazer os cancelamentos 
(sempre elementos da mesma coluna).Os passos a serem seguidos 
(distribuição nas colunas – setas – enxugar – mesmo sentido – rezar)
 
QUESTÕES DE CONCURSOS
1) VUNESP - Agente de Segurança Penitenciária - Secretaria da Administração 
Penitenciária - 2013
Uma máquina demora 1 hora para fabricar 4.500 peças. Essa mesma máquina, man-
tendo o mesmo funcionamento, para fabricar 3.375 dessas mesmas peças, irá levar
(A) 55 min.
(B) 15 min.
(C) 35 min.
(D) 1h 15min.
(E) 45 min.
2)	 VUNESP	-	Oficial	Adm	-	PC	-	Policia	Civil	-	2014
Dez funcionários de uma repartição trabalham 8 horas por dia, durante 27 dias, 
para atender certo número de pessoas. Se um funcionário doente foi afastado por 
tempo indeterminado e outro se aposentou, o total de dias que os funcionários res-
tantes levarão para atender o mesmo número de pessoas, trabalhando uma hora a 
mais por dia, no mesmo ritmo de trabalho, será
(A) 29. (B) 30. (C) 33. (D) 28. (E) 31.
3)	 VUNESP	-	Assistente	Adm.	e	Téc.	-	Emplasa	-	2014
Os amigos Carlos e Danilo caminham diariamente em uma mesma pista. Mantendo 
passadas constantes, eles percorrem distâncias iguais, mas em tempos diferentes, 
que são inversamente proporcionais aos comprimentos das suas passadas. Assim, 
se a passada de Carlos mede 66 cm e ele gasta 47 minutos para completar o percur-
so, então Danilo, cuja passada mede 88 cm, completa o percurso em
(A) 35 min 15 s.
(B) 35 min 25 s.
(C) 38 min 45 s.
(D) 40 min 35 s.
(E) 42 min 55 s.
4)	 VUNESP	-	Enfermeiro	-	UNESP	-	2013
Face ao aumento de pedidos de certo produto, um fabricante decidiu produzir em 
12 dias as 57 000 unidades que eram normalmente produzidas em 8 horas de traba-
lho diário, durante 15 dias. Para que isso aconteça, o número de horas de trabalho 
diário deverá ser aumentado em
(A) 2 h 12 min.
(B) 2 h.
(C) 1 h 36 min.
(D) 1 h 24 min.
(E) 1 h.
5) VUNESP - Agente de escolta - Secretaria da Administração Penitenciária - 2013
Com 1 litro de tinta, Clayton consegue pintar uma parede de 10 m2 em 25 minutos. 
Trabalhando no mesmo ritmo e nas mesmas condições de uso da tinta, para pintar 
uma parede de 14 m2, Clayton precisa de
(A) 1,4 litros e 30 minutos.
(B) 1,4 litros e 35 minutos.
(C) 1,6 litros e 30 minutos.
(D) 1,6 litros e 35 minutos.
(E) 1,8 litros e 30 minutos
Prof. Pimentel
Matemática • PP110
Anotações06)	VUNESP	-	Agente	de	Segurança	Judiciária	-	Tribunal	de	Justiça	Militar	-	SP	-	2013
Se certa máquina trabalhar seis horas por dia, de forma constante e sem parar, ela 
produzirá n peças em seis dias. Para produzir quantidade igual das mesmas peças 
em quatro dias, essa máquina deverá trabalhar diariamente, nas mesmas condi-
ções, um número de horas igual a
(A) 12. (B) 10. (C) 9. (D) 8. (E) 7.
07)	VUNESP	-	Oficial	Legislativo	-	Prefeitura	de	Sorocaba	-	2014
 Considere a seguinte tabela:
Hoje Próximo ano (previsão)
Número de funcionários 25 ?
Carga horária diária (em horas) 8 6
Média de atendimentos diários 
(em unidades)
100 120
Com base nas informações apresentadas, e considerando-se as mesmas condições 
e ritmo de trabalho de hoje, o número mínimo de funcionários que deverão ser 
contratados no próximo ano para atender à previsão que consta da tabela é
(A) 6. (B) 9. (C) 12. (D) 15. (E) 18.
08)	VUNESP	-	Oficial	de	Trânsito	-	Detran	-	2013
Dez cozinheiros fazem 220 pratos idênticos em 8 horas de trabalho. Se aumentarmos 
dois cozinheiros e, considerando que eles mantenham o mesmo desempenho, para pro-
duzir 250 desses mesmos pratos, o tempo gasto será de, aproximadamente,
(A) 8h 12min.
(B) 8h 20min.
(C) 7h 34min.
(D) 7h 17min.
(E) 8h 47min.
09)	VUNESP	-	Operador	de	maquinas	reprograficas	-	Prefeitura	de	Sorocaba	-	2014
Um pedreiro faria um serviço em um muro em 4 horas. Após realizar 20% do ser-
viço, ele machucou-se e foi substituído por dois pedreiros. Como os três pedreiros 
trabalham no mesmo ritmo, o restante do serviço será concluído em
(A) 1 h e 24 min. 
(B) 1 h e 36 min. 
(C) 2 h e 30 min.
(D) 3 h e 12 min.
(E) 3 h e 15 min.
10)	 VUNESP	-	Assistente	Adm.	e	Téc.	-	Emplasa	-	2014
Com uma vazão constante de 40 litros de água por minuto, uma torneira preenche 
3/4 da capacidade total de um reservatório cúbico, inicialmente vazio, em 18 min 
45 s. Nessas condições, é correto afirmar que, para preencher a metade da capaci-
dade total desse reservatório são necessários, apenas,
(A) 12 min 50 s.
(B) 12 min 30 s.
(C) 11 min 40 s.
(D) 11 min 25 s.
(E) 10 min 45 s.
11)	 VUNESP	-	Agente	Penitenciário	-	Secretaria	de	estado	de	justiça	-	ES	-	2013
Para ir de casa ao trabalho, de porta a porta, Elis percorre de bicicleta 3 600 metros 
a uma velocidade média de 300 metros por minuto. Se esse mesmo percurso fosse 
efetuado utilizando-se uma moto a uma velocidade média de 30 quilômetros por 
hora, levaria a menos que de bicicleta
(A) 4 min 48 s.
(B) 4 min 8 s.
(C) 5 min 18 s.
(D) 6 min 8 s.
(E) 7 min2 s.
Matemática • PP111
Anotações
Prof. Pimentel
14)	 FCC	-	Analista	de	Desenvolvimento	e	Gestão	-	Metrô	-	2014
Para inaugurar no prazo a estação XYZ do Metrô, o prefeito da cidade obteve a infor-
mação de que os 128 operários, de mesma capacidade produtiva, contratados para 
os trabalhos finais, trabalhando 6 horas por dia, terminariam a obra em 42 dias. 
Como a obra tem que ser terminada em 24 dias, o prefeito autorizou a contratação 
de mais operários, e que todos os operários (já contratados e novas contratações) 
trabalhassem 8 horas por dia. O número de operários contratados, além dos 128 
que já estavam trabalhando, para que a obra seja concluída em 24 dias, foi igual a
12)	VUNESP	–	NUTRICIONISTA	–	UNIFESP	-	2014
Para manter o forno aceso durante 7 horas diárias, uma pizzaria consome 49 m3 de 
lenha a cada 28 dias. Para um teste de mercado, os proprietários pretendem manter o 
forno aceso durante 10 horas diárias, por um período de 70 dias. Para a realização desse 
teste, a quantidade necessária de lenha será, em metros cúbicos, igual a
(A) 125.
(B) 137.
(C) 155.
(D) 170.
(E) 175.
13)	VUNESP	–	TJSP	–	2014
Certa empresa produz diariamente quantidades iguais do produto P. Se essa em-
presa usar três medidas iguais do componente A em cada unidade do produto final 
P, serão necessárias 480 dessas medidas para suprir a produção de P durante 2 
dias. Se passar a usar 2,5 medidas de A em cada unidade de P, o número de medi-
das de A necessário para suprir a produção de P, durante 5 dias, será igual a
(A) 980.
(B) 1 140.
(C) 1 050.
(D) 1 000.
(E) 1 220.
(A) 40. (B) 16. (C) 80. (D) 20. (E) 32.
15)	 FCC	-	Atendente	-	Sabesp	-	2014
Para catalogar um lote de processos 7 funcionários, trabalhando continuamente, 
gastariam 12 horas e 24 minutos. Após trabalharem metade desse tempo, mais 5 
funcionários foram agregados ao trabalho. Supondo que todos apresentem o mes-
mo desempenho e que o trabalho não seja interrompido, o tempo total gasto na 
catalogação do lote é igual a
(A) 6 horas e 43 minutos.
(B) 6 horas e 12 minutos.
(C) 9 horas e 49 minutos.
(D) 8 horas e 36 minutos.
(E) 10 horas e 15 minutos.
16)	 FCC	–	2013	-	Agente	de	Segurança	Metroviária	-	Metrô	
Um trem viajando a uma velocidade média de 45 km/h gasta 4 minutos e 30 segundos 
para percorrer o trajeto entre uma estação e a estação seguinte. Se viajar com a velocida-
de média de 30 km/h, o tempo gasto para percorrer o mesmo trajeto será de
(A) 9 minutos.
(B) 6 minutos e 45 segundos.
(C) 3 minutos.
(D) 2 minutos e 15 segundos.
(E) 13 minutos e 30 segundos.
17)	 FCC	–	2014	-	Analista	Judiciário		-	TRT3
Um tanque com 5 000 litros de capacidade estava repleto de água quando, às 00:00 
hora de um certo dia, a água começou a escapar por um furo à vazão constante. À 
01:00 hora desse mesmo dia, o tanque estava com 4 985 litros de água, e a vazão 
de escape da água permaneceu constante até o tanque se esvaziar totalmente, dias 
depois. O primeiro instante em que o tanque se esvaziou totalmente ocorreu em 
um certo dia às
(A) 14 horas e 20 minutos.
(B) 21 horas e 20 minutos.
(C) 18 horas e 40 minutos.
(D) 14 horas e 40 minutos.
(E) 16 horas e 20 minutos.
Prof. Pimentel
Matemática • PP112
Anotações
20)	FCC	–	TÉCNICO	–	SABESP	–	2014	Maria digita um texto sempre ao mesmo rit-
mo de toques por unidade de tempo. Nos primeiros 8 minutos, Maria digitou 680 
toques. Nesse mesmo ritmo de trabalho, se Maria digitar um novo texto sem erros 
em 21 minutos, então o número de toques digitados por ela nesse texto é igual a
18)	 FCC	–	2013	-	Analista	Ministerial	-	Ministério	público	do	MA
Um motor funciona durante 3 horas consecutivas com 1 litro do combustível A, e 
2,5 horas consecutivas com 1 litro do combustível B. Admita que esse motor funcio-
ne com qualquer mistura dos combustíveis A e B, e sempre com rendimento dire-
tamente proporcional ao tempo de funcionamento com cada combustível quando 
utilizado isoladamente. O tempo de funcionamento desse motor com uma mistura 
de 500 mL de combustível A e 500 mL de combustível B será de 2 horas e
(A) 42 minutos. 
(B) 52 minutos. 
(C) 48 minutos. 
(D) 40 minutos. 
(E) 45 minutos.
19)	 FCC	-	Agente	de	Saneamento	Ambiental	-	Sabesp	-	2014
Uma piscina está vazia e tem capacidade de 65,4 m3 de água. A vazão da torneira 
que irá encher continuamente essa piscina é de 250 mL por segundo. Nessas condi-
ções, o tempo necessário e suficiente para encher essa piscina é de
Dado: 1 m3 equivale a 1.000 litros
(A) 73 horas e 40 minutos.
(B) 72 horas e 10 minutos.
(C) 73 horas e 06 minutos.
(D) 72 horas e 20 minutos.
(E) 72 horas e 40 minutos.
(A) 2590.
(B) 1895.
(C) 1785.
(D) 2125.
(E) 1980.
21)	FCC	–	TÉCNICO	ADMINISTRATIVO	–	CÂMARA	MUNICIPAL	DE	SÃO	PAULO	–	2014
Uma receita para fazer 35 bolachas utiliza 225 gramas de açúcar. Mantendo-se as mes-
mas proporções da receita, a quantidade de açúcar necessária para fazer 224 bolachas é
(A) 14,4 quilogramas.
(B) 1,8 quilogramas.
(C) 1,44 quilogramas.
(D) 1,88 quilogramas.
(E) 0,9 quilogramas.
22)	FCC	–	TÉCNICO	ADMINISTRATIVO	–	CÂMARA	MUNICIPAL	DE	SÃO	PAULO	–	2014
O trabalho de varrição de 6.000 m2 de calçadas é feita em um dia de trabalho por 18 
varredores trabalhando 5 horas por dia. Mantendo-se as mesmas proporções, 15 varre-
dores varrerão 7.500 m2 de calçadas, em um dia, trabalhando por dia, o tempo de
(A) 8 horas e 15 minutos.
(B) 9 horas.
(C) 7 horas e 45 minutos.
(D) 7 horas e 30 minutos.
(E) 5 horas e 30 minutos.
23) (ESAF)
Para a construção de um prédio de 680m² de área, inicialmente foram empregados 
28 operários, que terminariam a obra em 34 dias. Mas no 14° dia após o início da 
obra o número de operários foi aumentado para 36. Sabendo-se que os operários 
trabalham 8 horas por dia, o tempo gasto para construir o prédio foi de:
(A) 15 d 20 h 
(B) 22 d 20 h 32 min 
(C) 26 d 20 h 32 mim 
(D) 29 d 2 h 40 min 
(E) 32 d 20 h
24)	(ESAF)
Um fazendeiro tem ração para alimentar 50 galinhas durante 80 dias. Decorridos 15 
dias resolveu vender 10 galinhas. De quanto poderá ser aumentada a ração diária de 
cada galinha durante o resto do período?
(A) 5/4 (B) 3/5 (C) 1/5 (D) 1/4 (E) 3/4
Gabarito:
1) E 14) A
2) B 15) C
3) A 16) B
4) B 17) B
5) B 18) E
6) C 19) E
7) D 20) C
8) C 21) C
9) B 22) D
10) B 23) D
11) A 24) D
12) E
13) D
Matemática • PP113
Anotações
Prof. Pimentel
OS PROBLEMAS DAS TORNEIRAS
Frequentemente aparecem nos concursos que envolvem problema das 
torneiras ou similares e o candidato fica sem saber como fazer.
Chamamos problema das torneiras aqueles que aparecem 2 ou mais tor-
neiras porém com vazões diferentes, , ou seja, aquele em que separadamente cada 
uma gasta tempo diferente para encher um tanque. E queremos descobrir o tempo 
que juntas gastarão.
A dificuldade encontrada é que para resolução desses exercícios há neces-
sidade do uso de três ferramentas : 
fração – regra de três – transformações de nº não decimais.
Exemplo 1
Um tanque tem duas torneiras, a primeira gasta 6 horas para enchê-lo e a 
segunda 4 horas. Quanto tempo as duas juntas gastam para encher o tanque.
O segredo é descobrir quanto cada uma faz na unidade de tempo.
1ª torneira 2ª torneira
A primeira torneira encheu 1/6 do tanque
A segunda torneira encheu 1/4 do tanque
juntas, em uma hora
1
+
1
 do tanque6 4
Efetuando a soma temos: 
1 + 1 = 6 + 4 = 106 4 24 24 24
 
Como conhecemos a relação de duas grandezas (em um hora é despeja-
do 10/24 do tanque) vamos aplicar a regra de três.
Hora Volume
1
No módulo anterior vimos em detalhe a regra de 
três. Como esta regra de três é diretamente propor-
cional podemos rezar.x = 24 × 1 = 24 = 2,4 horas = 2 horas e 24 minutos10 10
x
24
24
Exemplo 2
Um tanque tem uma torneira para enchê-lo sendo que uma ela demora 
6 horas , ele possui também uma torneira que é usada para esvaziar o tanque, sen-
do que está gasta 10 horas nessa operação quando o tanque está cheio. Estando 
o tanque vazio e uma pessoa deixar aberta as duas torneiras, depois de quanto 
tempo o tanque estará cheio.
Prof. Pimentel
Matemática • PP114
Anotações 
{ em uma hora enche 16em uma hora esvazia 110
após uma hora: teremos
1
–
1
6 10
Resolvendo
1
 –
1 = 10 – 6 = 46 10 60 60 60
Portanto após uma hora o volume ocupado no tanque será de 4/60
Resolvendo a regra de três
Hora Volume
1 4
60
Como esta regra de três é diretamente proporcio-
nal podemos rezar.
 x = 60 × 1 = 60 = 15 horas4 4x
60
60
 
Uma dica muito legal:
Quando se tratar de apenas 2 torneiras, podemos usar o seguinte 
macete:
Enche e Enche a resposta será
o produto
soma
Enche e Esvazia a resposta será
o produto
diferença
Observem como chegamos nas respostas nos dois exercícios acima
 
Quando o tanque possui mais que duas torneiras, a dica mais interessante 
é dar um valor para o volume, este preferencialmente deverá ser um múltiplo comum 
dos tempos gastos pelas torneiras ( o mais fácil é determinarmos o m.m.c. destes).
Esse procedimento só é possível porque o resultado independe do volu-
me do tanque.
Exemplo 3
Uma tanque possui 3 torneiras para enchê-lo, porém a 1ª gasta 6 horas; a 2ª 
10 horas e a 3ª 15 horas respectivamente, há no tanque um ralo que quando aberto 
demora 8 horas para esvaziar o tanque quando este estiver completamente cheio.
Estando o tanque vazio e se todas as torneiras inclusive o ralo forem aber-
tos, quanto tempo será necessário para que o tanque fique cheio.
Como o resultado independe do volume, vamos dar um valor para este, 
desde que seja divisível por (6 – 8 – 10 – 15).
Matemática • PP115
Anotações
Prof. Pimentel
Esse número pode ser o m.m.c deles que vale 120. Após uma hora: 
{
1º colocou
120
 = + 20 litros6
2º colocou
120
 = + 12 litros10
3º colocou
120
 = + 8 litros15
4º retirou
120
 = – 15 litros8
Portanto após uma hora o tanque terá (20 + 12 + 8 – 15) = 25 litros
Resolvendo a regra de três:
Hora Volume
1 25
 x = 120 × 1 = 120 = 4,8 horas = 4 horas e 48 minutos25 25x 1
Exemplo		4
Maria faz um serviço em 20 horas, Júlia faz o mesmo Serviço em 25horas. 
Se as duas começaram juntas o mesmo serviço e após 5 horas Maria teve que parar, 
quanto tempo Júlia demorará para terminar o serviço.
Este exercício é similar aos de torneira, então vamos seguir os passos:
a) vamos dar um valor para o serviço (de preferência o m.m.c. de 20 e 25) = 100
b) Ver quanto cada fez numa hora.
c) Ver quanto as duas juntas fazem em cinco horas
d) sabendo quanto está feito do serviço, vamos descobrir quanto resta.
e) aplicar a regra de três com os valores de Júlia.
Em uma hora: 
{ Maria = 100 = 520Julia = 100 = 425
Juntas = (5 + 4) = 9
Em 5 horas : 5 × 9 = 45
Portanto faltam (100 – 45) = 55
Aplicando a regra de três:
Hora Serviço
1 4
 x = 55 × 1 = 55 = 13,75 horas = 13 horas e 45 minutos4 4x 55
Prof. Pimentel
Matemática • PP116
AnotaçõesQUESTÕES DE CONCURSOS - TORNEIRA
1) Três torneiras estão com vazamento. Da primeira cai uma gota de 4 em 4 minu-
tos; da segunda, uma gota de 6 em 6 minutos e da terceira uma gota de 10 em 10 
minutos. Exatamente às 15 horas cai uma gota de cada torneira. A próxima vez em 
que pingarão juntas novamente será às:
(A) 35 minutos.
(B) 40 minutos.
(C) 45 minutos.
(D) 50 minutos.
(E) 55 minutos.
3) Vunesp - AFSP – Analista Sistema- 2011 
Uma caixa de água inicialmente vazia e com capacidade de 41 850 litros será cheia 
com a abertura de uma torneira cuja vazão é de 2 litros de água por segundo. No 
mesmo instante em que a torneira for aberta, será aberto também um ralo de es-
coamento da mesma caixa de água que imediatamente começará a escoar água em 
uma vazão de 0,5 litro por segundo.
Nessas condições, o tempo necessário para que o tanque fique completamente 
cheio é de
(A) 6 horas e 25 minutos.
(B) 7 horas e 45 minutos.
(C) 8 horas e 15 minutos.
(D) 8 horas e 45 minutos.
(E) 9 horas e 15 minutos.
4) Um tanque tem duas torneiras para enchê-lo, uma em 8 horas e a outra em 6 
horas, no tanque existe também uma torneira usada para esvaziá-lo que gasta 12 
horas quando este está cheio. Se as três torneiras forem abertas juntas e o tanque 
estando vazio, o tempo gasto para enchê-lo será de:
(A) 5 horas 
(B) 5 horas 30 min 
(C) 4 h 20 min 
(D) 4 h 48 min 
(E) 3 h 50 min
(A) 15 horas e trinta minutos.
(B) 16 horas.
(C) 16 horas e trinta minutos.
(D) 17 horas.
(E) 18 horas
2)	 Vunesp	-	ACPM	–	Téc.	Adm.-Pol.	-Militar	–	2011
Com fluxo constante de água, a torneira A libera 84 litros de água em 6 minutos, e a 
torneira B libera 105 litros em 7 minutos. O tempo necessário para que as torneiras 
A e B, juntas, encham sem transbordamento um tanque inicialmente vazio e de 
capacidade de 1 160 litros é de
5) Um tanque tem duas torneiras para enchê-lo uma em 8 horas e a outra em 6 ho-
ras, no tanque existe também uma torneira usada para esvaziá-lo que gasta 12 horas 
quando este está cheio. Se as três torneiras forem abertas juntas e após 2 horas a 
torneira do escoamento for fechada, quanto tempo as outras duas demorarão para 
encher o tanque?
(A) 2 h 20 min 
(B) 2 h 
(C) 1 h 50 min 
(D) 3 h 
(E) 2 h 40 min
6) Ana e Flávia fazem juntas um determinado serviço em 4 horas, Flávia sozinha fa-
ria o mesmo serviço em 6 horas. Quanto tempo demoraria a Ana para fazer sozinha 
o serviço?
(A) 12 horas 
(B) 10 horas 
(C) 18 horas 
(D) 8 horas 
(E) 10 h e 30 min.
7) (ESAF) 
Para construir um muro, João levaria 30 dias e Carlos levaria 25 dias. Os dois come-
çam a trabalhar juntos, mas após 6 dias João deixa o trabalho; 2 dias após a saída 
deste, Carlos também o abandona. Antônio, sozinho, consegue terminá-lo em 24 
dias. Para realizar a construção do novo muro, sozinho, Antônio levaria?
(A) 48 dias 
(B) 60 dias 
(C) 12 dias e 12 h 
(D) 75 dias 
(E) 50 dias 
Gabarito:
1) B
2) B
3) B
4) D
5) B
6) A
7) E
Anotações
Prof. Pimentel
M
ó
d
ul
o
Matemática • PP117
08 Razão
PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS
Quando perguntamos, qual é a razão entre 8 e 2?
Logo vem a cabeça: é 4
O que fizemos?
Dividimos 8 por 2
A afirmação é correta, pois a razão entre dois números nada mais é que 
o resultado da divisão do primeiro número pelo segundo. 
8 = 42
Exemplo
A razão entre o número de homens e mulheres de uma sala é 3/2, saben-
do-se que o total de mulheres é 30, qual é o número de homens?
Razão = Homens = 3
Mulheres 2
 
H = 3 → H = 3 × 30 = 45
30 2 2
Dando nome aos termos
O primeiro termo da razão recebe o nome de antecedente e o segundo 
consequente:
8 → (antecedente)
4 → (consequente)
Na nomenclatura de razão, lemos:
8 (oito está para quatro)4
 
Escala: é uma razão
Escala = distância do mapadistância real
Prof. Pimentel
Matemática • PP118
AnotaçõesExemplo 
Num mapa cuja escala é de 1: 400.000; a distância entre dois pontos é 
igual a 18 cm, Qual é distância real?
Escala =
distância do mapa
=
1
=
18
→ x = 18 × 400.000 = 7.200.000 cm = 72.000 m = 72 km
distância real 400.000 x
 
Exemplo 2 
Quantos cm será a distância num mapa cuja escala é 1: 1.200.000 se a 
distância real é de 600 Km.
Escala =
distância do mapa
=
1
=
x
→ 1.200.000 × x = 60.000.000 →
distância real 1.200.000 60.000.000cm
 
→ x = 60.000.000 = 50 cm
1.200.000
Exercícios resolvidos
01. A razão entre o número de meninas e meninos de uma escola é de 5/7. Quantos 
alunos tem essa escola se a diferença entre eles é de 200.
Vamos chamar de x o número de meninas e de y o número de meninos.
Banco de dados 
x
y
y x
=
− =



5
7
200
Resolvendo:
7 x = 5 y → x = 5 y
7
Substituindo na 2ª equação, temos:
y – 5 y = 200 → achando o m.m.c.
7
7 y = 5 y = 1.400 → eliminando os denominadores.
7 7 7
7 y – 5 y = 1.400 → 2 y = 1.400 → y = 700
700 – x = 200 → x = 500
x + y = 700 + 500 = 1.200
Matemática • PP119
Anotações
Prof. Pimentel
02. Uma empresa com 70 funcionários, sendo 50 homens, teve sua folha de paga-
mento no valor de R$ 160.00,00. A média salarial dos homens é de R$ 3.000,00. Qual 
é a razão entre o salário médio de uma funcionária e de um funcionário.
Gasto com os homens → 50 × 3.000 = 150.000,00
Gasto com as mulheres → (160.000 – 150.000) = 10.000
Salário médio das mulheres →
10.000 = 500
20
 
Razão = salário mulheres = 500 = 1
salário homens 3.000 6
QUESTÕES DE CONCURSOS
1)	 VUNESP	-	Oficial	de	Trânsito	-	Detran	-	2013
O semáforo para travessia de pedestres na rua Aurora é programado para ficar fe-
chado para automóveis por 50 segundos e aberto por 2 minutos e meio. O semá-
foro da rua Glória, que conserva a mesma razão entre o tempo aberto e o tempo 
fechado do semáforo da rua Aurora, é programado para ficar fechado para automó-
veis por 35 segundos e aberto por
(A) 1min 05s. 
(B) 1min 45s. 
(C) 1min 55s. 
(D) 1min 30s. 
(E) 1min 10s.
2)	 VUNESP	-	Oficial	administrativo	-	IMESC	-	2013
Considere a seguinte informação, apresentada por um jornal on-line: Oito em cada 
10 brasileiros apoiam manifestações (Folha de S.Paulo, 29.06.2013 – Cotidiano).
Com base nessa informação e supondo que na época da sua publicação o Brasil 
tivesse 195 milhões de habitantes, o número de brasileiros que apoiariam as mani-
festações seria de, aproximadamente,
(A) 155 milhões.
(B) 156 milhões.
(C) 157 milhões.
(D) 158 milhões.
(E) 159 milhões.
3)	 VUNESP	-	SECRETÁRIO	-	PROCON-SP	-	2013
Em um pet shop, há 45 animais entre cães e gatos. Sabe-se que a razão entre os cães 
para os gatos é de 5/4. Pode-se concluir que o número de cães e o número de gatos 
são, respectivamente,
(A) 27 e 18. 
(B) 26 e 19. 
(C) 25 e 20. 
(D) 24 e 21. 
(E) 23 e 22.
4)	 VUNESP	-	Soldado	PM	-	Polícia	Militar	-	SP	-	2014
Em uma papelaria, a razão entre o número de cadernos com 200 folhas e o número 
de cadernos com 100 folhas, nessa ordem, é 5/7. Se essa papelaria comprar mais 
20 cadernos com 200 folhas e 60 cadernos com 100 folhas, a razão entre o número 
de cadernos com 200 folhas e o número de cadernos com 100 folhas, nessa ordem, 
passará a ser 5/9. O número total de cadernos dessa papelaria após a compra será
(A) 186. (B) 148. (C) 224. (D) 125. (E) 244.
Prof. Pimentel
Matemática • PP120
Anotações5)	VUNESP	–	AGENTE	–	PMRP	–	2014
Uma loja de materiais elétricos testou um lote com 360 lâmpadas e constatou que 
a razão entre o número de lâmpadas queimadas e o número de lâmpadas boas era 
2/7. Sabendo-se que, acidentalmente, 10 lâmpadas boas quebraram e que lâm-
padas queimadas ou quebradas não podem ser vendidas, então a razão entre o 
número de lâmpadas que não podem ser vendidas e o número de lâmpadas boas 
passou a ser de
(A)1/4 .
(B) 1/3.
(C) 2/5.
(D) 1/2.
(E) 2/3.
6)	VUNESP	–	AUXILIAR	ADMINISTRATIVO	–	CÂMARA	DE	SÃO	CARLOS	–	2014
Um marceneiro confeccionou 350 cubos de madeira para uma loja de materiais 
educativos e precisa pintar todos eles antes de entregá-los. Certo dia, após algumas 
horas de trabalho, a razão entre o número de cubos pintados e o número de cubos 
sem pintura era 5/9. O número de cubos que ainda estavam sem pintura era
(A) 210.
(B) 225.
(C) 245.
(D) 260.
(E) 275.
7)	VUNESP	–	ESCRITURÁRIO	–	CÂMARA	DE	SERTÃOZINHO	-	2014
Uma loja depositou no banco um lote de 72 cheques recebidos de clientes e cons-
tatou, algum tempo depois, que a razão entre o número de cheques devolvidos e 
o número de cheques bons era de 2/7 . Alguns dos clientes, que tiveram seus che-
ques devolvidos, foram até a loja e os substituíram por cheques bons; portanto, a 
razão entre o número de cheques devolvidos e o número de cheques bons passou 
a ser de 1/8. O número de cheques substituídos foi
(A) 8.
(B) 9.
(C) 10.
(D) 11.
(E) 12.
8)	VUNESP	–	MOTORISTA	–	CÂMARA	DE	SERTÃOZINHO	–	2014
Uma receita de bolo de cenoura leva 1,5 copo de óleo para cada 3,5 xícaras de fa-
rinha. Para aumentar a receita proporcionalmente à primeira, se colocarmos 10,5 
xícaras de farinha, o número de copos de óleo necessário será
(A) 5.
(B) 4,5.
(C) 4.
(D) 3,5.
(E) 3.
9)	VUNESP	–	EDUCADOR	–	PMRP	–	2014
Uma loja colocou à venda 340 banquinhos de madeira, alguns na cor verde e ou-
tros na cor amarela. Sabendo que a razão entre o número de banquinhos na cor 
verde e o número de banquinhos na cor amarela é 2/3, então, após vender 10 
banquinhos verdes e 36 amarelos, a nova razão entre o número de banquinhos na 
cor verde e o número de banquinhos na cor amarela será:
A) 1/4
B) 2/5
C) 3/5
D) 2/3
E) 3/4
10)	 FCC	-	Agente	de	Segurança	Metroviária	-	Metrô	-	2013
Em um vagão do metrô, com menos de 50 pessoas, a razão entre o número de 
homens e o número de mulheres é 5/7 , nessa ordem. Na estação seguinte 12 mu-
lheres desceram e foi essa a única movimentação de pessoas. A partir desse fato, 
a razão citada que era 5/7 passou a ser 5/4. O total das pessoas que estavam no 
vagão, antes da parada, era um número
(A) maior do que 30 e menor do que 37.
(B) maior do que 15 e menor do que 30.
(C) maior do que 45 e menor do que 50.
(D) maior do que 37 e menor do que 45.
(E) maior do que 4 e menor do que 15.
Gabarito:
1) B
2) B
3) C
4) C
5) B
6) B
7) A
8) B
9) E
10) C
Anotações
Prof. Pimentel
M
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d
ul
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Matemática • PP121
09 Proporção
INTRODUÇÃO
A afirmação que a razão entre o nº de homens e mulheres numa escola 
é de 2/3 , significa que para dois homens existem três mulheres na escola, desta 
maneira podemos afirmar:
Se na escola tem 20 homens, então existem 30 mulheres;
Se na escola tem 30 homens, então existem 45 mulheres;
Se na escola tem 120 homens, então existem 180 mulheres;
O número de mulheres variam na mesma proporção que estamos varian-
do o número de homens. O que nos permite a escrever:
20 = 30 = 120 = 2
30 45 180 3
Portanto podemos dizer que proporção é simplesmente uma IGUALDADE 
de duas ou mais razões. Mesmo que os antecedentes e consequentes sejam dife-
rentes, o valor das razões é sempre o mesmo. 
Como lemos a proporção
20 = 30 = 120 = 2
30 45 180 3
 Vinte esta para trinta, assim como, trinta está para quarenta e cinco, as-
sim como, cento e vinte está para cento e oitenta......
Os numeradores das frações recebem o nome de antecedentes e os nu-
meradores consequentes.
Ainda dando nome aos elementos da proporção:
a = cb d
Nessa proporção lemos: a está para b, assim como, c está para d.
Como a é o primeiro termo e d o último, eles recebem o nome de extre-
mos da proporção.
Como c e d são os termos intermediários, eles recebem o nome de meios 
da proporção
Prof. Pimentel
Matemática • PP122
AnotaçõesQUARTA PROPORCIONAL
O número x recebe o nome de quarta proporcional, quando ele ocupa o 
quatro lugar na proporção.
Exemplo: 
Determinar x de modo que ele seja a quarta proporcional dos números 
12; 18 e 20 . 
12 = 20 → 12 x = 18 × 20 → x = 18 × 20 = 30
18 x 12
 Portanto 30 é a quarta proporcional dos nº 12; 18 e 20 .
TERCEIRAPROPORCIONAL
O número x recebe o nome de terceira proporcional, quando ele ocupa 
o quatro lugar na proporção e o segundo e terceiro termos são iguais.
Exemplo: 
Determinar x de modo que ele seja a terceira proporcional dos números 
4 e 6 .
4 = 6 → 4 x = 6 × 6 → x = 36 = 9
6 x 4
 O número 9 é a terceira proporcional dos números 4 e 6
MÉDIA GEOMÉTRICA
O número x recebe o nome de média geométrica de dois números, 
quando ele ocupar o segundo e o terceiro lugar na proporção.
Exemplo: 
Determinar x de modo que ele seja a média Geométrica entre os núme-
ro 4 e 9 .
4 = 
x
→ 4 × 9 = x2 → x2 = 36 → x = 36 = 6x 9
 
PROPRIEDADES:
O uso das propriedades a seguir são muito interessante uma vez que ga-
nharemos muito tempo na resolução .
Primeira Propriedade: O produto dos extremos é igual ao produto dos meios.
6 = 8 → 6 × 4 = 8 × 3
3 4
Matemática • PP123
Anotações
Prof. Pimentel
Consequência desta propriedade
6 × 4 = 8 × 3 ↔ 4 × 6 = 8 × 3 4 = 8
3 6
6 × 4 = 8 × 3 ↔ 6 × 4 = 3 × 8 6 = 3
8 4
6 × 4 = 8 × 3 ↔ 8 × 3 = 4 × 6 8 = 6
4 3
6 × 4 = 8 × 3 ↔ 4 × 6 = 8 × 3 4 = 3
8 6
Vamos tratar essa propriedade da seguinte maneira.
A proporção deve ser escrita da forma mais conveniente possível, 
desde que multiplicando seus termos em cruz o resultado fique 
sempre constante.
 
Dica:
Para resolver os exercícios de proporção o ideal é que as incógnitas (le-
tras) fiquem sempre como antecedente, caso ela venha no consequente, devemos 
usar o macete acima.
Exemplos:
Escrever as proposições abaixo da forma mais conveniente.
a)
4 = 6 ↔ 4 y = x × 6 ↔ 6 x = 4 y ↔ x = yx y 4 6
b)
y
= 3 ↔ 5y = 3x ↔ 3 x = 5y ↔ x = yx 5 5 3
 
c) y = (3 x) ↔ 4 y = 3 x ↔ 3 x = 4 y ↔ x = y
4 4 3
d)
2 = 3 ↔ 2 × 4 y = 3 x × 3 ↔ 9 x = 8 y ↔ x = y
(3 x) (4 y) 8 9
 
Segunda Propriedade: Quando efetuamos qualquer combinação linear (somamos 
ou subtraímos quaisquer múltiplos) dos antecedentes e repetirmos a mesma com-
binação com os consequentes, os resultados obtidos darão a mesma razão da pro-
porção original. Ou seja, a proporção se mantém.
Veja a proporção:
2 = 4 = 6 = 8 = 10 = 2
1 2 3 4 5
(1) (2) (3) (4) (5)
Prof. Pimentel
Matemática • PP124
AnotaçõesExemplo 1
Somando os antecedentes e os consequentes de (2), (4) e (5), temos:
4 + 8 + 10 = 22 = 2
2 + 4 + 5 11
Exemplo 2
Somando os antecedentes e os consequentes de (1); (3); (5) e subtraindo 
(2) e (4), temos:
2 + 6 + 10 – 4 – 8 = 6 = 2
1 + 3 + 5 – 2 – 4 3
Exemplo 3
Somando o dobro de (1) com o triplo de (2) e subtraindo o quadruplo de 
(4) e adicionando o triplo de (3)
4 + 12 + 32 + 18 = 2 = 2
2 + 6 – 16 + 9 1
 
Resumindo a propriedade, no popular
Numa proporção se fizermos as mesmas operações em cima e em 
baixo, os resultados nos darão o valor da razão. (tudo que faz em 
cima → faz em baixo).
Aplicação:
Dividir o número 240 em partes diretamente proporcionais a 2, 3 e 5:
O exercício nos passou duas informações.
A primeira é que 240 foi dividido em 3 partes que chamaremos de a; b e 
c que juntas valem 240.
a + b + c = 240
 A segunda informação é que as partes são proporcionais 2; 3 e 5; que 
nos permite escrever:
a
= 
b
=
c
2 3 5
 Nos não conhecemos o valor da razão, porém conhecemos o valor da 
soma das partes, usando a 2ª propriedade:
a
= 
b
=
c
= a + b + c = 240 = 24
2 3 5 2 + 3 + 5 10
Matemática • PP125
Anotações
Prof. Pimentel
a
= 24 → a = 2 × 24 = 48
2
b
= 24 → b = 3 × 24 = 72
3
c
= 24 → c = 5 × 24 = 120
5
 
Um macete muito legal para resolver mentalmente
Quando o exercício falar que o inteiro foi dividido em partes propor-
cionais a (x; y; z; ...) vamos falar que a 1ª parte tem x cotas; 2ª parte 
tem y cotas, e a 3ª parte tem z cotas. Portanto juntos tem (x + y + z) 
cotas que valem o inteiro. Agora basta dividir o inteiro pela soma e 
temos a razão.
Resolvendo problema por esse método
01. Dividir o número 240 em partes diretamente proporcionais a 2, 3 e 5:
O primeiro tem 2 cotas, o segundo 3 e o terceiro 5 cotas → juntos 10 cotas.
As 10 cotas juntas valem 240 → cada cota 240 ÷ 10 = 24
O primeiro tem 2 cotas → 2 × 24 = 48
O segundo tem 3 cotas → 3 × 24 = 72
O terceiro tem 5 cotas → 5 × 24 = 120
02. Dividir o número 3.000 em partes diretamente proporcionais a 5, 7 e 8:
O primeiro tem 5 cotas, o segundo 7 e o terceiro 8 cotas → juntos 20 cotas.
As 20 cotas juntas valem 3.000 → cada cota 3.000 ÷ 20 = 150
O primeiro tem 5 cotas → 5 × 150 = 750
O segundo tem 7 cotas → 7 × 150 = 1.050
O terceiro tem 8 cotas → 8 × 150 = 1.200
03. Um certo valor foi dividido entre 3 pessoas em partes diretamente proporcio-
nais aos números 3; 7 e 9.
Quanto recebeu o terceiro, sabendo que o primeiro recebeu R$ 800,00 a menos 
que o segundo.
Resolvendo por cotas
O segundo recebeu 7 cotas e o primeiro recebeu 3 cotas, portanto o se-
gundo recebeu 4 cotas a mais que corresponde a R$ 800,00.
Prof. Pimentel
Matemática • PP126
AnotaçõesPortanto cada cota vale (R$ 800 ÷ 4) = R$ 200,00
O terceiro recebeu 9 cotas → 9 × 200 = 1.800
 Resolvendo usando a propriedade:
a
= 
b
=
c = b – a = 800 = 200
3 7 9 7 – 3 4
c
= 200 → c = 9 × 200 = 1.8009
 
Terceira Propriedade
Quando estamos dividindo em partes diretamente ou inversamente pro-
porcionais, podemos multiplicar ou dividir a série por uma constante que as parte 
não se alteram.
Exemplo:
Vamos dividir R$ 1.000,00 em parte diretamente proporcional a (2; 3 e 5), 
depois em partes diretamente proporcionais a (20; 30 e 50) e comparar as partes.
No primeiro caso juntos temos 10 cotas → cada cota vale R$ 100,00
No segundo caso juntos temos 100 cotas → cada cota vale R$ 10,00
Nos dois casos o primeiro receberá R$ 200,00; o segundo R$ 300,00 e o 
terceiro á R$ 500,00 
Simplificar as séries abaixo:
Série Primeira simplificação Segunda simplificação
Série 
Equivalente
24 – 60 – 96 Dividiu por 12 – 2 – 5 - 8
32 – 48 – 80 – 112 Dividiu por 16 – 2 – 3 – 5 - 7
0,25 – 0,125 – 0,5 Igualou as casas e 
cortou as vírgulas
dividiu tudo por 125 2 – 1 - 4
2
–
3
–
1
3 4 6
Achou o m.m.c.
frações com mesmo 
denominador
eliminou o 
denominador
8 – 9 - 12
Exemplo:
Dividir 580 em partes diretamente proporcionais aos números (0,15; 0,3 e 1) 
Ajustando a série :
1) Igualando as casas depois da vírgula ( 0,15 – 0,30 – 1,00)
2) Cortando a vírgula → (15 – 30 – 100) → dividindo tudo por 5 → (3 – 6 – 20) → 
(série equivalente)
Matemática • PP127
Anotações
Prof. Pimentel
Resolvendo por cotas:
Juntos, temos: 3 + 6 + 20 = 29 cotas que vale 580 → cada cota vale 580 ÷ 29 = 20
O primeiro tem 3 cotas → 3 × 20 = 60
O segundo tem 6 cotas → 6 × 20 = 120 
O terceiro tem 20 cotas → 20 × 20 = 400
Exemplo 2
O Sr. Pimentel fez o pagamento pelos serviços prestados por Isaias, Fábio 
e por Thamires, Sabendo que eles fizeram respectivamente 2/5 ; 1/3 e 1/4 do serviço. 
Quanto recebeu a Thamires se o Isaias recebeu R$ 1.200,00 a mais que o Fábio?
Resolução por cotas
Embora não é citada no exercício a palavra proporcional, devemos con-
cluir que cada uma deve ter recebido proporcionalmente ao serviço prestado. Por-
tanto o pagamento foi feito proporcionalmente a 2/5 ; 1/3 e 1/4 
Ajustando a série 
2
;
1
;
1
→
24
;
20
;
15
→ série equivalente → 24 – 20 – 15
5 3 4 60 60 60
O Isaias recebeu 4 cotas a mais que o Fábio que vale R$ 1.200,00 → cada 
cota vale (R$ 1.200 ÷ 4 = R$ 300,00)
A Thamires recebeu15 cotas → 15 × 300 = R$ 4.500,00.
DIVISÃO E PARTES INVERSAMENTE PROPORCIONAIS
Definição:
Dividir um inteiro em partes inversamente proporcionais é o mesmo que 
dividir o número em partes diretamente proporcionais ao inverso dos números.
Definição de inverso do número: 
Dois números são inverso quando seu produto for igual a 1.
Portanto o inverso de 3 é 1 → 3 × 1 = 1
3 3
Portanto o inverso de 2 é 3 → 2 × 3 = 1
3 2 3 2
 Quando pedimos para dividir o número 3.100 em partes inversamente 
proporcionais aos números (2 – 3 – 5). 
Devemos entender que a divisão será diretamente proporcional a
1
;
1
;
1
2 3 5
Prof. Pimentel
Matemática • PP128
AnotaçõesPortanto a proporção ficará:
a = b = c
1
2
1
3
1
5
 Reduzindo as frações ao mesmo denominador:
a = b = c
15
30
10
30
6
30
 Cancelando o denominador:
a = b = c → a = b = c
15
30
10
30
6
30
15 10 6
Agora resolver a proporção normalmente:
a
=
b
=
c
=
a + b + c
=
3.1000
= 100
15 10 6 15 + 10 + 6 31
Portanto: 
a = 15 × 100 = 1.500
b = 10 × 100 = 1.000
c = 6 × 100 = 600
Obs.: o final do exercício poderia ser feito pelo método das cotas.
Tum – Tum – Tum - Um macete legal (fácil e ganhamos muito tempo)
Quando escrevemos o inverso do nº inteiro vamos ficar com frações 
onde o numerador é sempre 1.
Para reduzir ao mesmo denominador, não há necessidade de ser 
exatamente o m.m.c., podemos multiplicar os denominadores entre 
si e o produto será o novo denominador.
Quando dividimos pelo de baixo e multiplicamos pelo de cima, o 
resultado será o produto dos outros números, e como vamos depois 
simplificar eliminando os denominadores ficaremos com:
- para o primeiro número teremos o produto dos demais (excluindo o 
primeiro número)
- para o segundo número teremos o produto dos demais (excluindo 
o segundo número)
- para o terceiro número teremos o produto dos demais (excluindo o 
terceiro número)
Desta forma, não há necessidade de fazer todo procedimento acima, 
basta fazer o Tum – Tum – Tum 
Matemática • PP129
Anotações
Prof. Pimentel
Exemplo
Dada a série abaixo inversamente proporcionais, achar a série equivalen-
te que seja diretamente proporcional; e em seguida simplificar
 
Série Inversa 6 – 4 – 5
Tum-Tum-Tum Tum × 4 × 5 – 6 × Tum × 5 – 6 × 4 × Tum
Série Direta 20 – 30 – 24
Simplificando 
(dividindo tudo por 2)
 10 – 15 – 12
Exemplo:
Dividir o número 6.000 em partes inversamente proporcionais a 12 – 15 
e 20. Vamos fazer o tum – tum – tum.
Série Inversa Tum Tum Tum Série Equivalente Simplificando 
(dividindo tudo por 6)
12 – 15 – 20 15 × 20 12 × 20 12 × 15 300 – 240 – 180 5 – 4 – 3
Dividir em partes inversamente a (12 – 15 – 20) e o mesmo que dividir 
diretamente a (5 - 4 -3 )
Isso que é moleza!!!!!!!!!!!!!!!!!
Portanto temos (5 + 4 + 3 = 12 cotas) que valem 6.000 → cada cota vale 
(6.000 ÷ 12) = 500
A primeira parte corresponde a 5 × 500 = 2.500.
A segunda parte corresponde a 4 × 500 = 2.000.
A terceira parte corresponde a 3 × 500 = 1.500.
Divisão por duas ou mais séries simultaneamente
Alguns problemas aparece simultaneamente 2 séries podendo ambas se-
rem diretamente, ou ambas inversamente ou então uma direta e a outra inversa.
A resolução destes exercícios é fácil se usarmos a rotina abaixo
a) quando temos séries de mesma natureza devemos multiplicar os respectivos ter-
mos e a série resultante mantém a natureza.
b) quando uma é direta e a outra é inversa, dividimos a série direta pela inversa e a 
série obtida será diretamente proporcional.
c) após a operação usar as simplificações estudadas anteriormente.
Prof. Pimentel
Matemática • PP130
AnotaçõesExemplo: 
Dada as séries abaixo, unifica-las e posteriormente simplifica-las:
Série Direta Unificado Simplificado
8 – 12 – 15 5 – 10 – 4 8 × 5 – 12 × 10 – 15 × 4 
40 – 120 – 60
Dividindo tudo por 20
2 – 6 – 3
a série equivalente é diretamente proporcional
Inversa Inversa Unificado Simplificado
3 – 12 – 8 10 – 5 – 15 3 × 10 – 12 × 5 – 8 × 15 
30 – 60 – 120
Dividindo tudo por 20
1 – 2 – 4
a série equivalente é inversamente proporcional agora fazemos o Tum-Tum-Tum
Direta Inversa Unificado Simplificado
4 – 5 – 8 3 – 4 – 5 4
–
5
–
8
3 4 5
após o m.m.c.
80
–
75
–
96
60 60 60
Eliminando o denominador
80 – 75 – 96
a série equivalente é diretamente proporcional
Aplicação nos exercícios
01. Uma fábrica resolveu premiar seus funcionários, tentando buscar uma forma 
justa resolver dividir o total de R$ 9.600,00 em partes diretamente a produção de 
cada funcionário e inversamente proporcional ao número de peças defeituosas 
produzida por cada um deles. Se Adriano, Luciano, Júlio e a Isabela produziram 
respectivamente 250; 320; 180 e 300 peças e apresentaram 5 – 4 – 3 e 6 peças 
defeituosas. Quem recebeu mais e quanto?
Direta Inversa Juntando Simplificado
250 – 320 – 180 – 300 5 – 4 – 3 – 6 250
–
320
–
180
–
300
5 4 3 6
50 – 80 – 60 – 50
Dividindo tudo 
por 10
5 – 8 – 6 – 5
Resolvendo por cotas:
Temos (5 + 8 + 6 + 5) = 24 cotas valendo R$ 9.600,00 → cada cota vale 
(9.600 ÷ 24) = R$ 400,00
Portanto quem recebeu mais foi o 2º (Luciano) 8 × R$ 400,00 = R$ 3.200,00.
02. O valor de R$ 20.000,00, deve ser dividido entre 3 sócios, sendo diretamente 
proporcional as horas trabalhada num projeto e inversamente proporcional ao gas-
to que cada um fez para executar o projeto. Sendo que eles trabalharam 125 horas 
– 96 horas e 147 horas e gastaram respectivamente R$ 1250,00 – R$ 600,00 e R$ 
1.050,00. Qual é a parte de quem recebeu menos.
Direta Inversa Juntando Simplificado
160 – 96 – 147 1250 – 600 – 1.050
dividindo po 50
25 – 12 – 21
125
–
96
–
147
25 12 21
5 – 8 – 7
5 – 8 – 7
Matemática • PP131
Anotações
Prof. Pimentel
Resolvendo por cotas:
Temos (5 + 8 + 7) = 20 cotas valendo R$ 20.000,00 → cada cota vale 
(20.000 ÷ 20) = R$ 1.000,00
Portanto quem recebeu menos foi o primeiro 5 × R$ 1.000,00 = R$ 5.000,00
UNIFICANDO DUAS OU MAIS PROPORÇÕES DISTINTAS
Às vezes o problemas apresentam duas ou mais proporções distintas, 
para resolvê-los podemos usar a álgebra ou simplesmente transformar as propor-
ções em uma apenas.
Vamos resolver o problema seguinte:
Dividir o número 2840 em quatro partes de tal maneira que a primeira 
esteja para segunda como 4 está para 3; a segunda para terceira como 2 está para 
3; a terceira para quarta assim como 5 esta para 3.
Qual é o valor das partes?
Comentário 
Nesse exercício temos três proporções distintas, nossa primeira tarefa é 
juntá-las numa só.
Dado do Exercício Ajustando
a
–
4
b 3 →
a
=
b
4 3
b
–
2
c 3 →
b
=
c
2 3
c
–
5
d 3 →
c
=
d
5 3
As proporções O que devemos fazer
a
=
b b
=
c
4 3 2 3
Multiplicar a 1ª série por 2 (o número que está 
abaixo de b na segunda proporção)
Multiplicar a 2ª série por 3 (o número que está 
abaixo de b na primeira proporção)
a
=
b b
=
c
8 6 6 9
Nas duas proporçõies temos b/6 o que nos 
permite juntá-las numa só.
a
=
b
=
c c
=
d
8 6 9 5 3
Multiplicar a 1ª série por 5 (o número que está 
abaixo de c na segunda proporção)
Multiplicar a 2ª série por 9 (o número que está 
abaixo de c na primeira proporção)
a
=
b
=
c c
=
d
8 6 45 45 27
Nas duas proporçõies temos c/45 o que nos 
permite juntá-las numa só.
a
=
b
=
c
=
d
40 30 45 27
Quando for possível devemos enxugar a série.
Agora resolvemos o exercício normalmente.
Portanto temos (40 + 30 + 45 + 27) = 142 cotas que juntas valem 2.840 → 
cada uma vale 2840÷ 142 = 20 .
A primeira parte corresponde a 40 × 20 = 800.
A segunda parte corresponde a 30 × 20 = 600.
A terceira parte corresponde a 45 × 20 = 900.
A quarta parte corresponde a 27 × 20 = 540
Prof. Pimentel
Matemática • PP132
AnotaçõesUm macete legal (vamos dar dois tirinhos)
Após escrevermos a proporção uma ao lado da outra, vamos observar a letra 
comum nas duas e em seguida o consequente de cada uma multiplicará a 
outra série; como consequência eles ficarão iguais nas duas.
a
=
b b
=
c
→
a
=
b b
=
c
→
a
=
b
=
c
4 3 2 3 8 6 6 9 8 6 9
3
2
Em seguida fazemos o mesmo coma terceira proporção
Exemplo 1
Glorinha possui 3/5 do que Mara, esta por sua vez tem 3/2 do que Magali 
possui. Se o que a Magali tem corresponde a 4/3 do valor de Célia e juntas elas 
possuem R$ 41.500,00, Quanto possui juntas Glorinha e Magali.
Resolvendo:
Glorinha, Mara, Magali e Célia possuem respectivamente a; b; c; d.
Informação Proporção Dando os tirinhos: virando uma só proporção
a = 3 × b
5
→
a
=
b
3 5 a
=
b b
=
c
→
a
=
b
=
c
3 5 3 2 9 15 10
b = 3 × c
2
→
b
=
c
3 2
c = 4 × d
3
→
c
=
d
4 3
a
=
b
=
c c
=
d
→
9 15 10 4 3
→
a
=
b
=
c
=
d
36 60 40 30
a
=
b
=
c
=
d
Dividindo tudo por 2
a
=
b
=
c
=
d
36 60 40 30 18 30 20 15
 
Portanto temos (18 + 30 + 20 + 15) = 83 cotas que corresponde a R$ 41.500 → 
cada cota vale R$ 500,00.
QUESTÕES DE CONCURSOS
1) VUNESP - Agente de escolta - Sec. Adm. Penitenciaria - 2013
A razão entre o número de litros de óleo de milho e o número de litros de óleo de 
soja vendidos por uma mercearia, nessa ordem, foi de 5/7. Se o número total de 
litros de óleo vendidos (soja + milho) foi 288, então o número de litros de óleo de 
soja vendidos foi
(A) 170. 
(B) 176. 
(C) 174. 
(D) 168. 
(E) 172
Matemática • PP133
Anotações
Prof. Pimentel
6) VUNESP - Agente Penitenciário - Secretaria de estado de justiça - ES - 2013
Os 250 trabalhadores de uma instituição serão distribuídos em frentes de trabalho, 
em 3 grupos de x, y e z pessoas. O número de trabalhadores x, y e z desses grupos 
será diretamente proporcional a 10, 15 e 25. Nesse caso, a diferença entre a frente 
com maior e a frente com menor número de trabalhadores será
2) VUNESP - Oficial Adm - PC - Policia Civil - 2014
Foram construídos dois reservatórios de água. A razão entre os volumes internos do pri-
meiro e do segundo é de 2 para 5, e a soma desses volumes é 14 m3. Assim, o valor 
absoluto da diferença entre as capacidades desses dois reservatórios, em litros, é igual a
(A) 8.000. 
(B) 6.000. 
(C) 4.000.
(D) 6.500.
(E) 9.000
3) VUNESP - TÉCNICO DE SUPORTE - PROCON-SP - 2013
Em um escritório, a razão entre o número de pastas novas e o número de pastas 
usadas, nessa ordem, é 2/5. Se o total de pastas (novas + usadas) é 84, então, o nú-
mero de pastas usadas, que precisariam ser inutilizadas para que a razão entre o 
número de pastas novas e o número de pastas usadas fosse 3/7, é
(A) 3. (B) 4. (C) 5. (D) 6. (E) 7.
4) VUNESP - Agente de escolta - Secretaria da Administração Penitenciária - 2013
De mesada, Julia recebe mensalmente do seu pai o dobro que recebe de sua mãe. 
Se em 5 meses ela recebeu R$ 375,00, então, de sua mãe ela recebe, por mês,
(A) R$ 15,00.
(B) R$ 20,00. 
(C) R$ 25,00.
(D) R$ 30,00.
(E) R$ 35,00.
5) VUNESP - Agente de Segurança Penitenciária - Secretaria da Administração 
Penitenciária - 2013
Em uma papelaria há duas máquinas de xerox. Uma é mais nova e mais rápida do 
que a outra. A produção da máquina antiga é igual a 1/3 da produção da máquina 
mais nova. Em uma semana, as duas máquinas produziram juntas 3.924 folhas xero-
cadas. Dessa quantidade, o número de folhas que a máquina mais rápida xerocou é
(A) 1.762.
(B) 2.943.
(C) 1.397.
(D) 2.125.
(D) 2.125.
(A) 50.
(B) 100.
(C) 75.
(D) 45.
(E) 25. 
7) VUNESP – Motorista – PMRP - 2014
Um refresco de maracujá foi feito na proporção de 12 litros de água para 4 litros de suco 
concentrado de maracujá. A porcentagem de suco concentrado, nesse refresco, é de
(A) 80%.
(B) 75%.
(C) 60%.
(D) 33%.
(E) 25%.
8) FCC - Agente de Segurança Metroviária - Metrô - 2013
Um mosaico foi construído com triângulos, quadrados e hexágonos. A quantidade 
de polígonos de cada tipo é proporcional ao número de lados do próprio polígono. 
Sabe-se que a quantidade total de polígonos do mosaico é 351. A quantidade de 
triângulos e quadrados somada supera a quantidade de hexágonos em
(A) 108.
(B) 27.
(C) 35.
(D) 162.
(E) 81
 
Prof. Pimentel
Matemática • PP134
Anotações
12) FCC - Analista de Desenvolvimento e Gestão - Metrô - 2014
Um rico empresário resolveu presentear seus bisnetos com uma grande fortuna. A 
fortuna deve ser repartida a cada bisneto em partes inversamente proporcionais à 
idade de cada um. Sabe-se que as idades dos bisnetos correspondem exatamente 
aos divisores de 18, exceto o menor dos divisores, e que não há bisnetos que sejam 
gêmeos, trigêmeos etc. Dividindo a fortuna dessa maneira, coube ao último bisne-
to, o mais novo, 
(A) o mesmo que a todos os outros somados.
(B) o dobro do que coube ao mais velho somado com o que coube ao segundo 
mais velho.
(C) o triplo do que coube ao segundo mais velho.
(D) o mesmo do que coube ao penúltimo e antepenúltimo bisnetos somados.
(E) um terço da fortuna.
13) FCC - Analista Judiciário - Tribunal Regional Federal da 4ª Região - 2011
Um prêmio em dinheiro é repartido entre 3 pessoas em partes inversamente pro-
porcionais às suas idades, ou seja, 24, 36 e 48 anos. Se a pessoa mais nova recebeu 
R$ 9.000,00 a mais que a mais velha, então a pessoa que tem 36 anos recebeu
09) FCC - Agente de Segurança Metroviária - Metrô - 2013
Repartir dinheiro proporcionalmente às vezes dá até briga. Os mais altos querem 
que seja divisão proporcional à altura. Os mais velhos querem que seja divisão 
proporcional à idade. Nesse caso, Roberto com 1,75 m e 25 anos e Mônica, sua 
irmã, com 1,50 m e 20 anos precisavam dividir proporcionalmente a quantia de R$ 
29.250,00. Decidiram, no par ou ímpar, quem escolheria um dos critérios: altura ou 
idade. Mônica ganhou e decidiu a maneira que mais lhe favorecia. O valor, em reais, 
que Mônica recebeu a mais do que pela divisão no outro critério, é igual a
(A) 500. (B) 400. (C) 300. (D) 250. (E) 50.
10) FCC - Analista Judiciário - TRT15 - 2013
Em um Tribunal havia um percentual de 30% de funcionários fumantes. Após inten-
sa campanha de conscientização sobre os riscos do tabagismo, 6 em cada 9 fuman-
tes pararam de fumar. Considerando que os funcionários que anteriormente eram 
não fumantes permaneceram com essa mesma postura, a nova porcentagem de 
funcionários fumantes desse Tribunal passou a ser de
(A) 8%. (B) 12%. (C) 10%. (D) 16%. (E) 14%.
11) FCC - Analista Judiciário - TRT1 - 2013
Em uma escola privada, 22% dos alunos têm bolsa de estudo, sendo os demais pagantes. 
Se 2 em cada 13 alunos pagantes ganharem bolsa de estudo, a escola passará a contar 
com 2.210 alunos bolsistas. Dessa forma, o número atual de alunos bolsistas é igual a
(A) 1.430 (B) 340. (C) 910. (D) 1.210. (E) 315.
(A) R$ 9.000,00.
(B) R$ 12.000,00.
(C) R$ 15.000,00.
(D) R$ 18.000,00.
(E) R$ 21.000,00.
14) FCC - Assistente Adm Junior - Metrô - 2014
Anita e Carla trabalham em um restaurante e decidiram repartir R$ 480,00 arrecadados 
com gorjetas usando um critério nada usual. Atribuindo-se numeração crescente às le-
tras do nosso alfabeto (A-1, B-2, C-3, ..., Y-25, Z-26), cada uma receberia a parcela dos 
R$ 480,00 diretamente proporcional à soma numérica das letras do seu primeironome 
(Anita e Carla). Por esse acordo, a diferença de valores na partilha entre as duas será de
(A) R$ 64,00.
(B) R$ 60,00.
(C) R$ 58,00.
(D) R$ 70,00.
(E) R$ 68,00.
Matemática • PP135
Anotações
Prof. Pimentel
16) FCC - Analista Legislativo - Assembleia Legislativa do RN - 2013
Os três vendedores mais bem-sucedidos em uma loja receberão um bônus, em di-
nheiro, diretamente proporcional ao seu desempenho com vendas. Eles venderam, 
respectivamente, 63, 42 e 35 unidades de determinado produto. Sabe-se que o 
total do bônus a ser dividido entre os três é de R$ 3.220,00. A diferença, em reais, 
entre o maior e o menor valor recebido, nessa ordem, é igual a
15) FCC - Atendente - Sabesp - 2014
Uma empresa quer doar a três funcionários um bônus de R$ 45.750,00. Será feita 
uma divisão proporcional ao tempo de serviço de cada um deles. Sr. Fortes traba-
lhou durante 12 anos e 8 meses. Sra. Lourdes trabalhou durante 9 anos e 7 meses 
e Srta. Matilde trabalhou durante 3 anos e 2 meses. O valor, em reais, que a Srta. 
Matilde recebeu a menos que o Sr. Fortes é
(A) 17.100,00.
(B) 5.700,00.
(C) 22.800,00.
(D) 17.250,00.
(E) 15.000,00.
(A) 644,00.
(B) 780,00.
(C) 483,00.
(D) 161,00.
(E) 1.449,00
17) FCC – Técnico Administrativo – Câmara Municipal de São Paulo - 2014
Uma prefeitura destinou a quantia de 54 milhões de reais para a construção de 
três escolas de educação infantil. A área a ser construída em cada escola é, res-
pectivamente, 1.500 m2, 1.200 m2 e 900 m2 e a quantia destinada à cada escola é 
diretamente proporcional a área a ser construída. Sendo assim, a quantia destinada 
à construção da escola com 1.500 m2 é, em reais, igual a
(A) 22,5 milhões.
(B) 13,5 milhões.
(C) 15 milhões.
(D) 27 milhões.
(E) 21,75 milhões.
18) FCC – Técnico Administrativo – Câmara Municipal de São Paulo – 2014 
Uma empresa foi constituída por três sócios, que investiram, respectivamente, R$ 
60.000,00, R$ 40.000,00 e R$ 20.000,00. No final do primeiro ano de funcionamento, a 
empresa obteve um lucro de R$ 18.600,00 para dividir entre os sócios em quantias dire-
tamente proporcionais ao que foi investido. O sócio que menos investiu deverá receber
(A) R$ 2.100,00.
(B) R$ 2.800,00.
(C) R$ 3.400,00.
(D) R$ 4.000,00.
(E) R$ 3.100,00.
19) FCC - 2014 – Atendente - Sabesp
Uma pesquisa realizada pelo Diretório Acadêmico de uma faculdade mostrou que 
65% dos alunos são a favor da construção de uma nova quadra poliesportiva. Den-
tre os alunos homens, 11 em cada 16 manifestaram-se a favor da nova quadra e, 
dentre as mulheres, 3 em cada 5. Nessa faculdade, a razão entre o número de alu-
nos homens e mulheres, nessa ordem, é igual a 
(A) 4/3 (B) 6/5 (C) 7/4 (D) 7/5 (E) 9/7
20) CCPP - 2014
Dividindo o número 620 em partes inversamente proporcionais a 2, 3 e 5 encon-
tramos respectivamente:
(A) 280, 240, 120
(B) 310, 180, 260
(C) 124, 186, 310
(D) 122, 152, 310
(E) 300, 200, 120
Prof. Pimentel
Matemática • PP136
Anotações
22) CCPP - 2012
Comprei 4 lotes de terreno por R$ 77.000,00 . Sabe-se que os comprimentos dos 
lotes são proporcionais a 2, 3, 4 e 5 e as larguras a 6, 7, 8 e 9 respectivamente. Qual 
o preço de cada terreno, se forem pagos proporcionalmente a sua superfície? 
(A) R$8.400,00 , R$18.000,00 , R$23.400,00 e R$32.500,00
(B) R$9.300,00 , R$12.900,00 , R$22.500,00 e R$31.500,00
(C) R$8.400,00 , R$14.700,00 , R$22.400,00 e R$31.500,00
(D) R$5.600,00 , R$15.800,00 , R$21.600,00 e R$34.100,00
23) CCPP - 2014
Distribuir o lucro de R$ 156.000,00 entre os dois sócios de uma firma, sabendo que 
o primeiro aplicou R$65.000,00 na sociedade durante 7 meses, e que o segundo 
aplicou R$25.000,00 durante 13 meses.
(A) R$91.000,00 e R$65.000,00
(B) R$84.000,00 e R$72.000,00
(C) R$94.000,00 e R$62.000,00
(D) R$92.000,00 e R$64.000,00
24) CCPP - 2013
Uma fábrica pretende premiar operários escolhidos, de forma que o prêmio seja di-
retamente proporcional ao número de peças perfeitas produzidas por cada um num 
dia, e inversamente proporcional a cada peça defeituosa (e, portanto, rejeitada) 
que cada um produza no mesmo dia. Os operários premiados produziram cada um 
250, 300, 180 e 320 peças perfeitas e respectivamente 1, 2, 3 e 2 peças defeituosas. 
A quantia estipulada foi de R$6.200,00. Quanto recebeu cada operário?
(A) R$2.200,00 , R$1.800,00 , R$600,00 e R$1.400,00
(B) R$2.600,00 , R$1.700,00 , R$600,00 e R$1.100,00
(C) R$2600,00 , R$1.600,00 , R$700,00 e R$1.100,00
(D) R$2.500,00 , R$1.500,00 , R$600,00 e R$1.600,00
25) CCPP - 2013
Três pessoas possuem juntas R$ 19.400,00. Quanto possui cada uma, se as quantias 
são proporcionais a 1/2, 1/5 e 3/4 e inversamente proporcional 3/7 , 7/5 e 6/8?
(A) R$ 9.800,00 , R$ 1.200,00 e R$ 8.400,00
(B) R$ 9.000,00 , R$ 2.000,00 e R$ 8.400,00
(C) R$ 8.800,00 , R$ 1.600,00 e R$ 9.000,00
(D) R$ 10.000,00 , R$ 1.200,00 e R$ 8.200,00
Gabarito:
1) D 14) B
2) B 15) A
3) B 16) A
4) C 17) A
5) B 18) D
6) C 19) A
7) E 20) E
8) B 21) C
9) A 22) C
10) C 23) A
11) A 24) D
12) D 25) A
13) B
21) CCPP - 2014
Uma empresa irá distribuir R$10.650,00 entre os gerentes. Os valores que cada 
um deles irá receber será inversamente proporcional às quantidades de contratos 
cancelados. Os gerentes A, B e C tiveram respectivamente 3, 5 e 7 contratos can-
celados. Assim, pode-se concluir que a diferença entre o maior e o menor valor 
recebido será:
(A) R$ 2.840,00
(B) R$ 2.900,00
(C) R$ 3.000,00
(D) R$ 3.100,00
(E) R$ 3.200,00
Anotações
Prof. Pimentel
M
ó
d
ul
o
Matemática • PP137
10 Geometria
O radical grego (metria) que forma a palavra Geometria, tem o significado 
de medida, isto permite afirmar que ela é um ramo da matemática voltado para as 
questões que envolvem medidas, formas, tamanhos e posições relativas de figuras 
e com as propriedades do espaço. 
As medidas mais comuns que usaremos no estudo da Geometria são:
− Medida de Comprimento (metro)
− Medida de capacidade (litro)
− Medida de massa (grama)
− Medida de Superfície (metro quadrado)
− Medida de Volume (metro cúbico)
Escrevendo na tabela (passos)
No dia a dia, essas medidas são passadas na forma padrão ou na forma de 
seus múltiplos ou submúltiplos.
Exemplo
12 metros; 45 Quilômetros; 35 centímetros, etc.
Na maioria das vezes precisamos, para resolver os exercícios, passar tudo 
para mesma unidade.
As grandezas decimais têm seus múltiplos uma potência de 10 e seus sub-
múltiplos divisão por potencia de 10, assim temos.
Os prefixos abaixo é quem determina o valor da medida em relação a 
medida padrão
Para escrever um múltiplo ou submúltiplo, basta escrever antes da medi-
da padrão o prefixo para tal indicação:
Tabela dos prefixos mais usados para múltiplos/submúltiplo
Prefixo Representação Significado
Quilo k 1.000 vezes
Hecto h 100 vezes
Deca da 10 vezes
Decí d 0,1 vezes
Centí c 0,01 vezes
Milí m 0,001 vezes
Prof. Pimentel
Matemática • PP138
AnotaçõesMEDIDAS DE COMPRIMENTO
A unidade padrão de comprimento é o metro, que tem como referencia 
uma parte da linha do equador que foi dividia em 40.000.000 (quarenta milhões) 
de partes iguais. Por este motivo podemos afirmar tranquilamente que a linha do 
equador mede 40.000 km. 
A unidade de comprimento serve para determinar a distância entre dois 
pontos, dependendo da situação são usados seus múltiplos ou submúltiplo
USANDO A TABELA PARA FAZER AS CONVERSÕES:
Exemplo: 45,82 dam
Sempre a vírgula será a referência
Nesse caso, a vírgula deverá ficar na casa do decâmetro, 
Medida de comprimento: unidade padrão é o metro
km hm dam m dm cm mm
4 5, 8 2
Para fazer a conversão, basta deslocar a vírgula para casa desejada, lem-brar os números são intocáveis.
Exemplo
Vamos escrever o numero acima nas seguintes unidades: km − dm − mm
Medida de comprimento: unidade padrão é o metro Portanto:
km hm dam m dm cm mm 45,82 dam equivale a:
4 5, 8 2
0, 4 5 8 2 0,4582 km
4 5 8 2, 4.582, dam
4 5 8 2 0 0, 458.200, mm
MEDIDA DE CAPACIDADE
A unidade padrão de capacidade é o litro, que tem como referência o 
volume de um cubo com 1 dm (10 cm) de aresta.
Volume = lado × lado × lado
Litro = 1 dm × 1 dm × 1 dm = 1 dm3
O litro também tem seus múltiplos e submúltiplos e a conversão entre 
eles é idêntica a das medidas de comprimento.
Matemática • PP139
Anotações
Prof. Pimentel
VAMOS VER O EXEMPLO ABAIXO
Exemplo 
150,2 dl
Sempre a vírgula será a referência
Nesse caso, a vírgula deverá ficar na casa do decilitro.
Medida de capacidade: unidade padrão é o litro Portanto: 150,2 dl =
kl hl dal l dl cl ml 1,502 dal = 12,02 l =
1 5 0, 2 0,1502 hl = 1.502 cl
MEDIDA DE MASSA
A unidade padrão de massa é o grama, um grama corresponde a milésima 
parte da massa de água contida em 1 litro, estando a 4°C e ao nível do mar.
Atenção:
O grama é a unidade padrão, não é unidade de peso, mas ela é de 
massa.
O grama também tem seus múltiplos e submúltiplos e a conversão entre 
eles é idêntica a das medidas de comprimento e de capacidade.
Vamos ver o exemplo abaixo:
Exemplo
25,10 g
Nesse caso, a vírgula deverá ficar na casa do grama: 
Medida de massa: unidade padrão é o grama Portanto: 25,10 g =
kg hg dag g dg cg mg 0,0251 kg = 25.100 mg
2 5, 1 0
MEDIDA DE SUPERFÍCIE
A unidade padrão de superfície (área) é o corresponde a área de um 
quadrado que mede 1 metro de lado
Lembrando que área se obtém fazendo a operação: Lado × Lado
1 m2 = 1m × 1m = 1 m2
1m2 = 10 dm × 10 dm = 100 dm2
1m2 = 100 cm × 100 cm = 10.000 cm2
Prof. Pimentel
Matemática • PP140
AnotaçõesAgora a tabela deverá abrigar em cada uma de suas casas dois algarismos, quando faltar completaremos com Zero.
Exemplo
Colocar na tabela 153,458 dam2
Medida de superfície: unidade padrão é o m2 Portanto: 153,458 dam2 =
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 1.534,580 dam2 = 
01 53, 45 80 0,0153458 dam2
MEDIDA DE VOLUME
A unidade padrão de volume é o m3 e que corresponde ao volume de um 
cubo que mede 1 metro de aresta.
As conversões são iguais as de superfície, com a diferença que cada casa 
agora deverá abrigar três algarismos.
Regra:
 – Quando estivermos trabalhando com metros, litros e gramas 
colocamos 1 algarismo por coluna, 
 – Quando envolver metro quadrado colocaram 2 algarismos 
por coluna
 – Quando for metro cúbico 3 algarismos, 
 – Sempre de modo que aquele que está acompanhado da vír-
gula fique na casa indicada pelo exercício.
 – Para conversão, basta colocar a vírgula na casa em que esta-
mos convertendo.
 – Observar que depois que o número foi escrito na tabela ele 
ficará inalterado. Somente a vírgula se desloca.
 – 1 litro = 1 dm3
APLICAÇÃO EM EXERCÍCIOS
01. Um recipiente medindo 0,2 dam de comprimento por 0,5m de largura por 
40 cm de altura esta cheio de um liquido que será envasado em garrafas com 
capacidade de 650 ml. Quantas garrafas serão necessárias, e qual será a quan-
tidade que restará na última garrafa.
 Antes de resolvermos os exercícios, devemos escrever as medidas em dm.
Banco de Dados 
{ Comprimento = 0,2 dam = 20 dmLargura = 0,5 m = 5 dmAltura = 40 cm = 4 dm
Volume = lado × lado × lado = dm3 = litros
Matemática • PP141
Anotações
Prof. Pimentel
Volume = 20 dm × 5 dm × 4 dm = 400 dm3 = 400 litros
Como as garrafas estão em ml vamos passar 400 litros para ml = 400.000 ml
Vamos dividir 400.000 ml por 650 ml, para sabermos o número de garrafas
400.000 650 
 − 3900 
 1000 
 − 650 
 3500 
 − 3250 
250
615
 
São necessárias 616 garrafas sendo que na última teremos 250 ml. 
Atenção, se você cortar os zeros para efetuar a divisão deve lembrar que 
o resto ficará dividido por 10.
PRINCIPAIS FIGURAS GEOMÉTRICAS
DEFINIÇÃO DE POLÍGONOS 
Polígono é a superfície fechada limitada por 3 ou mais segmentos de retas 
que se interceptam. 
Os principais polígonos são: 
 – Triângulo (três lados); 
 – Quadrilátero (quatro lados)
 – Pentágono (5 lados)
 – Hexágono ( seis lados) e assim por diante.
Os polígonos podem ser :
Polígonos convexos Côncavos ou não convexos
Se os ângulos internos do polígono forem 
menores que 180° ele será convexo.
 
O segmento que liga dois pontos in-
ternos do polígono estará totalmente 
contido em seu interior.
Caso tenha um ângulo interno com 
medida maior que 180° ele será classi-
ficado como não convexo ou côncavo.
 
Quando existir dois pontos internos 
do polígono e ao ligarmos o segmen-
to não está totalmente contido em seu 
interior.
 
Prof. Pimentel
Matemática • PP142
AnotaçõesA Soma dos ângulos internos de um triângulo vale sempre 180°
δ + β + δ = 180°
 ÂNGULOS DE UM POLÍGONO
A soma dos ângulos internos de qualquer polígono depende do número 
de lados (n), sendo usada a seguinte expressão para o cálculo: S = (n – 2)× 180, onde 
n o número de lados.
Ligando os vértices do polígono de n lados a um ponto 
interno vamos obter n triângulos.
Somando os ângulos internos dos triângulos vamos 
obter n × 180°. 
Porém devemos subtrair 360° que corresponde a soma 
dos ângulos centrais.
S = n × 180° – 360° = (n – 2)× 180°
 A soma dos ângulos externos de qualquer polígono 
A soma dos ângulos externos de qualquer polígono 
independe do número de lados (n)
SOMA = 360° 
Para qualquer polígono
Número de diagonais de um polígono
Diagonal é o segmento que liga dois vértices não 
consecutivos de um polígono.
Para obter as diagonais partindo de um determinado 
vértice, teremos (n – 3) vértices para serem ligados.
Número de diagonais
n × (n – 3)
2
POLÍGONO REGULAR
O polígono e chamado de regular se todos os seus lados forem iguais e 
consequentemente todos seus ângulos internos também
Exemplo
O triângulo equilátero; o quadrado; o hexágono, etc.
Matemática • PP143
Anotações
Prof. Pimentel
PRINCIPAIS FIGURAS GEOMÉTRICAS
TRIÂNGULO
O triângulo é o polígono que tem 3 lados. 
Ele poderá ser classificado em função dos lados e também em função dos 
ângulos internos.
Classificação quanto aos lados:
 
Triângulo equilátero
 
3 lados iguais
3 ângulos de iguais = 60°
A altura divide em 2 triân-
gulos retângulos iguais.
Triângulo isóscele
 
2 lados iguais
2 ângulos de iguais 
A altura divide em 2 triân-
gulos retângulos simétri-
cos.
Triângulo Escaleno
3 lados diferentes
3 ângulos diferentes
A altura divide em 2 
triângulos retângulos 
diferentes.
Classificação quanto aos ângulos: 
Triângulo acutângulo 
3 ângulos agudos
Todos ângulos menores 
que 90°
Triângulo retângulo
 
Tem um ângulo reto 90°
Triângulo obtusângulo
 
Tem um ângulo maior 
90°
Prof. Pimentel
Matemática • PP144
Anotações BISSETRIZ
A bissetriz de um angulo é a reta que divi-
de o angulo em duas partes iguais.
O cruzamento das bissetrizes de um 
triângulo é sempre um ponto interno do triângulo.
Ele é centro da circunferência inscrita no triângulo, 
este ponto recebe o nome de incentro.
Nos pontos de tangência entre a 
circunferência e os lados do triângulo o raio da 
circunferência forma um ângulo reto com o lado.
O Ponto de tangência não é necessaria-
mente o ponto médio do lado em questão.
MEDIANA
O segmento que vai do vértice ao lado oposto 
do triângulo, dividindo-o em duas partes iguais recebe o 
nome de mediana.
O cruzamento das medianasde um triângulo 
é sempre um ponto interno e recebe o nome de bari-
centro.
A propriedade fundamental do baricentro é 
dividir a mediana em duas partes sendo que aquela que 
vai do vértice ao baricentro é o dobro da que vai do ba-
ricentro a base.
Desta forma se dividirmos a mediana por três 
o resultado representa o tamanho do segmento que vai 
da base ao baricentro e a outra parte o dobro .
AM  Mediana relativa 
a base BC
GM = 1 AM3
AG = 2 AM3
GM = 2AM
MEDIATRIZ
Mediatriz de um segmento é a reta que o 
divide em duas partes iguais formando angulo reto 
com o segmento.
Em qualquer triângulo as três mediatrizes 
se encontram no mesmo e recebe o nome de circun-
centro (centro da circunferência circunscrita ao triân-
gulo)
Obs.: nem sempre o circuncentro é interno ao triân-
gulo
Matemática • PP145
Anotações
Prof. Pimentel
ALTURA
O segmento que vai de um vértice até a reta 
que contém o lado oposto formando um angulo reto 
recebe o nome altura,
O cruzamento das alturas recebe o nome de 
ortocentro, este poderá ser interno ou externo.
O ortocentro é um ponto, podem do ficar in-
ternamente ou externamente ao triângulo.
TEOREMA DE PITÁGORAS
No triângulo retângulo os lados que formam 
o ângulo reto recebem o nome de catetos e o lado 
que fica oposto a este recebe o nome hipotenusa.
O teorema diz:
O quadrado da hipotenusa é igual a soma do 
quadrado dos catetos.
hipotenusa2 = cateto2
1
 + cateto22 a2 = b2 + c2
Essa ferramenta (o teorema de Pitágoras) é uma das mais importantes 
dentro da geometria plana, pois, através de sua aplicação é possível calcular os la-
dos das figuras, uma vez que quaisquer figuras podem dividi-la em triângulos. 
Exemplo
Calcular x nas figuras abaixo
x2 = 92 + 122
x2 = 81 + 144 = 225
x = √225 = 15
132 = 122 + x2
169 = 144 + x2
x2 = 169 – 144
x = √25 = 5
x2 = a2 + (2a)2
x2 = a2 + 4a2 = 5a2
x = √5a2 
x = a√5
Dividindo a figura, vamos obter o triangulo retângulo
 x2 = 32 + 42
 x2 = 9 + 16 = 25
 x = √25 
 x = 5
Prof. Pimentel
Matemática • PP146
AnotaçõesEsta Dica é muito legal
Todo triângulo cujos lados são proporcionais a (3 – 4 e 5) ou a 
(5 – 12 – 13) são triângulos retângulo.
Desta forma quando conhecemos 2 lados do triângulo que são pro-
porcionais a 2 números das séries, não precisamos fazer as contas, 
basta descobrir o 3º
Exemplo: Se um triângulo é retângulo e dois de seus lados medem 
12 e 16 o terceiro será 20 .
12 = 3× 4 16 = 4× 4 está faltando 5 × 4 = 20.
Se um triângulo é retângulo e dois de seus lados medem 36 e 39 
o terceiro será 15 .
36 = 3× 12 39 = 3× 13 está faltando 3 × 5 = 15
Obs.: Em mais de 90% dos exercícios que aparecem em concursos, as 
bancas usam a lei do mínimo esforço, ou seja, o triângulo (3 – 4 – 5).
CARACTERÍSTICAS PRINCIPAIS - PERÍMETRO E ÁREA DAS FIGURAS
Triângulo
Polígono de 3 lados
Características principais:
Perímetro = (a + b + c) Soma dos lados
área = base × altura = a × h
2 2
 Soma dos ângulos internos: 180°
Altura divide o triângulo em outros dois triângu-
los retângulos.
 
Mais uma dica
No triangulo retângulo, como os catetos formam ângulo de , pode-
mos afirmar que um deles é a base e outro é altura, conclusão:
área = caeteto × caeto2
Matemática • PP147
Anotações
Prof. Pimentel
OS QUADRILÁTEROS
Quadrado
Polígono de 4 lados
Características principais:
Possui 4 ângulos retos e quatro lados iguais
Perímetro = 4 × l Soma dos lados
Área l × l = l2 
Soma dos ângulos internos: 360° 
A diagonal divide o quadrado em dois triângulos re-
tângulos.
d2 = l2 + l2 → d = l √2
 
Retângulo
 
Polígono de 4 lados
Características principais:
Possui 4 ângulos retos 
Perímetro : 2 × (a + b) → Soma dos lados
Área: a × b → (lado × lado)
Soma dos ângulos internos: 360° 
A diagonal divide o quadrado em dois triângulos re-
tângulos.
 d2 = a2 + a2 → d = √a² + b²
 
Losango
Polígono de 4 lados iguais.
Características principais:
Suas diagonais são perpendiculares
Perímetro : 4 × l → Soma dos lados
área = D × d
2
Soma dos ângulos internos: 360°
As diagonais dividem o losango em 4 triângulos 
retângulos.
l
2 = ( d ) 2 + ( D ) 22 2
 
Prof. Pimentel
Matemática • PP148
AnotaçõesParalelogramo
Polígono de 4 lados iguais.
Características principais:
Os lados são paralelos dois a dois
Perímetro = 2 × (a + b) Soma dos lados
Área: base × altura → (a × h)
Soma dos ângulos internos: 360°
A altura determina um triângulo retângu-
lo. 
 Trapézio 
Polígono de 4 lados iguais.
Características principais:
Dois lados paralelos
Perímetro = soma dos lados 
Área: 
área = ( B + b ) × h2
 Soma dos ângulos internos: 360° 
A altura partindo do vértice determina 
triang. retângulo.
Circunferência/Círculo
Circunferência é uma linha curva fechada onde qual-
quer ponto tem a mesma distância do centro. Essa dis-
tância recebe o nome de raio.
O diâmetro é a distância máxima entre dois pontos da 
circunferência (corresponde a dois raios), obrigatoria-
mente ele deve passar pelo centro.
O perímetro da circunferência mede 2 π × raio
A área do círculo é a superfície limitada pela circunfe-
rência.
Área = π × raio2. 
O valor de π = 3,14159... 
(normalmente usamos só duas casas decimais).
 
Matemática • PP149
Anotações
Prof. Pimentel
OS PRINCIPAIS SÓLIDOS 
Cubo
Cubo é o sólido geométrico formado por 6 quadrados 
iguais, dispostos em perpendicular entre si, conforme 
a figura abaixo.
lado do quadrado = l 
Área da face = l2
Área lateral = 4 × l2
 Área total = 6 × l2 
Volume = l3 
Diagonal da face = d → d2 = l2 + l2
Diagonal do cubo = d’ → d’2 = d2 + l2
Paralelepípedo
Fórmulas:
Área da face = lado × lado
Área total = soma das áreas das faces
Volume = área da base × altura
Volume = (a × b × c)
O paralelepípedo é um sólido geométrico 
formado por faces planas no formato de 
retângulos. Observando vamos verificar 
que as faces paralelas são iguais: 
ABEF = CDGH
ACGE = BGHF
ACBD = EGFH
AC = EG = FH = BD = a
AB = EF = CD = GH = b
AE =CG = BF = DH = c
Os segmentos GF e EH (d) são chamados 
de diagonais da base. Cada diagonal divide 
a base em 2 triângulos retângulos iguais.
O segmento AH (d’) é chamado de diago-
nal do paralelepípedo.
Se observarmos vamos verificar que o tri-
ângulo AEH é um triângulo retângulo onde 
AH é a hipotenusa
Prof. Pimentel
Matemática • PP150
Anotações 
Cilindro
Cilindro é um sólido geométrico originado da rotação 
de um retângulo em torno da altura, ele é composto 
de duas bases circulares.
r = raio
h = altura
Área lateral = perímetro × altura
Área lateral = 2 π × r × h
Área da base = π × r2 
Área total: área base + área lateral 
Volume: área base × altura
Volume: = π × r2 × h
a) Circunferência = 2 π × r
b) Área Circulo = π × r2
c) Área Esfera = 4 π × r2
d) Volume Esfera = 4 π × r33
QUESTÕES DE CONCURSOS
1) VUNESP - Técnico de enfermagem - IMESC - 2013
Uma caixa d’água em formato de cubo, com medidas internas de 2 metros, compor-
ta um volume máximo de água correspondente, em litros, a
(A) 10.000. 
(B) 8.000. 
(C) 6.000. 
(D) 4.000. 
(E) 2.000.
2) VUNESP - Assistente Operacional - UNESP - 2013
Uma lousa eletrônica retangular mede 2 metros de largura por 3,5 metros de com-
primento. Um aparelho projeta, nessa lousa, uma imagem quadrada de 1,8 metro 
de lado. A área dalousa que fica sem projeção é de
(A) 3,24 m2. 
(B) 3,46 m2.(C) 3,54 m2. 
(D) 3,76 m2. 
(E) 3,96 m2.
3) VUNESP - Tecnico em metrologia e qualidade - IPEM - 2013
O rompimento de uma adutora ocasionou o vazamento de 1,08 x 107 litros de água 
em uma hora. Para melhor dimensionar o fato, considere reservatórios iguais, com 
formato de cilindros retos, de 8 m de diâmetro e de altura (h) igual a 15 m, e que o 
rompimento da adutora tenha despejado, em uma hora, a quantidade de litros de 
água necessária para encher completamente n desses reservatórios, inicialmente 
vazios. Desse modo, e usando π = 3, é correto afirmar que:
(A) n = 15. 
(B) n = 25. 
(C) n = 18. 
(D) n = 22. 
(E) n = 20.
Matemática • PP151
Anotações
Prof. Pimentel
4) VUNESP - Agente de escolta - Sec. Adm. Penitenciaria - 2013
O tampo de uma mesa retangular de madeira, com 1,60 m de comprimento por 
80 cm de largura, tem uma faixa de azulejos brancos distantes 20 cm das laterais, 
conforme mostra a figura.
 
Sabendo que todos os azulejos são quadrados e iguais, com 10 cm de lado, pode-se 
concluir que a área da mesa, em m2, não ocupada pelos azulejos, é de
(A) 1,00. 
(B) 0,90. 
(C) 1,06. 
(D) 0,94. 
(E) 0,86.
5) VUNESP - Oficial de Manutenção - Prefeitura de Sorocaba - 2014
Dentro de um terreno retangular, de 25 m de largura por 65 m de comprimento, 
será construída uma casa quadrada que terá como perímetro 1/5 do perímetro do 
terreno. O comprimento do lado dessa casa é:
(A) 8 m. 
(B) 8,5 m. 
(C) 9 m. 
(D) 9,5 m. 
(E) 10,5 m.
6) VUNESP - Soldado PM - Polícia Militar - 2014
Uma área retangular de 30 km2 será reflorestada e, para isso, os técnicos dividiram 
essa área em quadrados com 2 m de lado onde será plantada uma árvore no centro 
de cada quadrado. O número de árvores que serão plantadas nessa área será:
(A) 7.500. 
(B) 750. 
(C) 75.000. 
(D) 7.500.000. 
(E) 750.000.
7) VUNESP - Soldado PM - Polícia Militar - 2014
Em um terreno retangular de 25 m de largura por 60 m de comprimento, será cons-
truído um pequeno depósito cuja área deverá corresponder a 2% da área total do 
terreno. Para não derrubar uma árvore (A) que havia no terreno, o comprimento do 
depósito só pode ser de 8 m, conforme mostra a figura.
 
 
O perímetro desse depósito, em metros, é
(A) 32,20. 
(B) 23,50. 
(C) 28,40. 
(D) 38,30. 
(E) 35,60.
Prof. Pimentel
Matemática • PP152
Anotações8) VUNESP - Soldado PM - Polícia Militar - 2014
Dois garotos, Marcos (M) e João (J), estão empinando pipas, e, em determinado 
momento, a 15 metros do solo, as duas pipas se enroscam no ponto P, conforme 
mostra a figura.
 
 
 
Desprezando as alturas dos garotos, pode-se concluir que a diferença, em metros, 
entre o comprimento da linha MP (de Marcos) e da linha JP (de João), no momento 
em que as pipas se enroscam, é
(A) 14. (B) 13. C) 15. (D) 16. (E) 17.
9) VUNESP - Assistente Adm. e Téc. - Emplasa - 2014
De um cartão quadrado ABCD, de área igual a 144 cm2, foram recortadas as regi-
ões triangulares congruentes, que aparecem sombreadas na figura.
 
Após os recortes, o perímetro da região remanescente desse cartão passou a ser 
igual, em centímetros, a
(A) 40. (B) 38. (C) 36. (D) 34. (E) 30. 
10) VUNESP - Assistente Operacional - UNESP - 2013
Na figura, o triângulo retângulo ABC representa um jardim, que foi dividido em dois 
canteiros pelo segmento DC, destinados a dois tipos de flores:
 
 
A área do canteiro I é igual, em metros quadrados, a
(A) 30. (B) 45. (C) 60. (D) 75. (E) 90. 
11) VUNESP - Agente Penitenciário - Secretaria de estado de justiça - ES - 2013
 Uma tenda de lona foi montada no pátio da penitenciária, com suas medidas em 
metros e a forma de um prisma reto indicadas na figura. A área total da lona usada 
Matemática • PP153
Anotações
Prof. Pimentel
13) VUNESP - Assistente Adm. e Téc. - Emplasa - 2014
Pretende-se construir uma caixa com faces retangulares e ângulos retos, sem tampa, 
conforme mostra a figura, sendo que essa caixa deverá ter volume igual a 800 cm³. 
 
Sabendo-se que a altura indicada por h na figura mede 5 cm, pode-se concluir que 
a área da base retangular dessa caixa é igual, em centímetros quadrados, a
na montagem foi 252 m², correspondendo à frente, ao fundo, às laterais e à cober-
tura. A altura lateral (x) dessa tenda mede
 
(A) 3,0 m.
(B) 3,2 m.
(C) 3,5 m.
(D) 2,0 m.
(E) 4,0 m.
12) VUNESP - Assistente Operacional - UNESP - 2013
 Uma folha de papel de formato retangular, de lados iguais a 52 cm e 24 cm, foi re-
cortada e totalmente usada, sem haver sobras, para revestir todas as faces de dois 
cubos. Se um dos cubos tem 12 cm de aresta, então o volume do outro cubo é igual, 
em centímetros cúbicos, a
(A) 125.
(B) 216. 
(C) 343. 
(D) 512.
(E) 729.
(A) 200.
(B) 180.
(C) 170.
(D) 160.
(E) 140. 
14) VUNESP - Assistente Operacional - UNESP - 2013
Um retângulo foi dividido em 4 partes, conforme mostra a figura.
 
 
É correto afirmar que os triângulos A, B, C e D têm
(A) a mesma área, mas perímetros diferentes.
(B) a mesma área e mesmo perímetro.
(C) o mesmo perímetro, mas áreas diferentes.
(D) as áreas e os perímetros diferentes.
(E) o perímetro de 36 cm e a área de 56 cm2.
Prof. Pimentel
Matemática • PP154
Anotações
17) VUNESP - Agente técnico de assistência à saúde - IMESC - 2013
Em um salão de baile cuja área é um trapézio de dimensões 18 m, 12 m e 6 m (con-
forme figura), será permitida a entrada de 3 pessoas para cada 2 m2.
 
Neste salão, poderão adentrar:
15) VUNESP - Agente de Segurança Penitenciária 2013
Uma piscina tem a forma de um bloco retangular de base quadrada. Sua altura 
mede 2,8 m e o lado da base quadrada mede 11 m. A piscina deve conter, no máxi-
mo, 3/4 de água para que as pessoas possam entrar e essa não transbordar. Assim 
sendo, a quantidade máxima de litros de água que essa piscina pode conter é
(A) 338,8.
(B) 220,5.
(C) 400,5.
(D) 308,0.
(E) 254,1.
16) VUNESP - Agente de Segurança Penitenciária 2013
O comprimento do piso retangular de um cômodo é 3 m a mais que a largura. 
Sabe-se que a área total desse cômodo é 40 m2. Logo, a medida da largura do cô-
modo, em metros, é um número
(A) par.
(B) múltiplo de 3.
(C) primo.
(D) divisível por 4.
(E) ímpar não primo.
(A) 110 pessoas.
(B) 115 pessoas.
(C) 120 pessoas.
(D) 135 pessoas.
(E) 150 pessoas.
18) VUNESP - 2014 - Soldado PM Polícia Militar
Foram retiradas de um caldeirão, que continha 3 litros de sopa, 20 conchas cheias, 
restando ainda 1,2 litro de sopa no caldeirão. Sabendo que uma pessoa colocou 3 
dessas conchas de sopa em seu prato e que, para tomá-la, utilizou uma colher com 
12 ml de capacidade, pode-se concluir que o menor número de colheradas neces-
sárias para tomar a sopa toda do prato foi
(A) 15. (B) 18. (C) 20. (D) 25. (E) 23.
19) VUNESP - 2014 - Assistente Adm. e Téc. - Emplasa
Na figura, a área da região sombreada, de formato quadrado, é igual a 81 m2 e 
representa 30% da área do terreno retangular ABCD.
 
 
O perímetro do terreno ABCD é igual, em metros, a
(A) 60. (B) 68. (C) 74. (D) 78. (E) 80
20) VUNESP - 2014 - Oficial de Manutenção Prefeitura de Sorocaba
Um campo de futebol retangular possui 100 metros de comprimento e 75 metros 
de largura, totalmente gramado. Uma empresa substituirá a grama em 35 % do 
campo, cobrando R$ 12,00 por metro quadrado de grama. Esse reparo custará 
(A) R$ 25.000,00.
(B) R$ 27.600,00.
(C) R$ 31.500,00.
(D) R$ 35.000,00.
(E) R$ 36.750,00.
Matemática • PP155
Anotações
Prof. Pimentel
21) VUNESP - 2014 - Operador de Camera -Prefeitura de Sorocaba
A figura representa a vista superior de um jardim que será construído no andartérreo de um Shopping Center. Esse jardim tem a forma de um triângulo retângulo, 
com hipotenusa medindo 13 metros e um dos catetos medindo 12 metros.
 
 
Com base nas informações apresentadas, pode-se afirmar corretamente que a área 
triangular, em metros quadrados, correspondente ao jardim, será de
(A) 60. (B) 50. (C) 40. (D) 30. (E) 20.
22) VUNESP - 2014 - Operador de maquinas reprográficas Prefeitura de Sorocaba
Roberto quer trocar uma televisão antiga, cuja tela mede 40 cm x 30 cm, por uma 
nova, cujas medidas da tela são 90 cm x 50 cm. A área da nova tela, em cm2 , será 
superior à área da tela antiga em
(A) 1.200. 
(B) 2.400. 
(C) 3.300. 
(D) 3.400. 
(E) 4.200.
23) VUNESP - 2014 - Operador de maquinas reprográficas Prefeitura de Sorocaba
Em um processo industrial, transforma-se um bloco que tem a forma de paralelepí-
pedo reto-retângulo, de aço, medindo 50 cm de comprimento, 20 cm de largura e 
10 cm de altura, em uma lâmina com 1 mm de altura (espessura), sem alterar sua 
largura.
 
 
Sabendo-se que o volume do bloco original foi conservado, o comprimento da lâmi-
na, em metros, será de
(A) 5. 
 
(B) 25. 
 
(C) 40. 
 
(D) 50. 
 
(E) 54.
24) VUNESP - Oficial administrativo 2013
Considere a figura retangular ABCD:
 
 
Sabendo-se que a região plana escura, também retangular, tem área de 72 cm2, o 
seu perímetro é
(A) 34 cm.
(B) 36 cm.
(C) 38 cm.
(D) 40 cm.
(E) 42 cm.
Prof. Pimentel
Matemática • PP156
Anotações
27) VUNESP – Agente – PMRP 2014
Um recipiente continha 2,8 litros de água e, desse total, foram retirados 530 mL. O 
volume restante de água foi colocado em uma jarra de base quadrada com 9 cm de 
lado, atingindo uma altura h, conforme mostra a figura.
A medida aproximada, em cm, da altura h é
25) VUNESP – Agente – PMRP 2014
Uma pessoa quer confeccionar uma colcha, com 4,5 m2 de área, utilizando para 
isso retalhos de tecido, cada um deles com 12 cm2 de área. O menor número de 
retalhos necessários será
(A) 4 650.
(B) 4 500.
(C) 3 750.
(D) 3 320.
(E) 3 060.
26) VUNESP – Agente – PMRP 2014
O piso de uma sala retangular A, com 3,2 m de comprimento por 2,8 m de largura, 
será totalmente recoberto por placas quadradas de borracha com 40 cm de lado. 
Sabendo-se que o mesmo número de placas quadradas de borracha utilizadas para 
recobrir o piso da sala A foi utilizado para recobrir totalmente o piso da sala B – que 
também é retangular e tem 1,6 m de largura –, é correto afirmar que o comprimen-
to, em metros, da sala B é
(A) 5,2.
(B) 5,4.
(C) 5,6.
(D) 5,8.
(E) 6,0.
(A) 28. (B) 26. (C) 24. (D) 22. (E) 20.
28) VUNESP – Auxiliar Administrativo – SAAE – São Carlos - 2014
Em uma empresa há duas salas, A e B, ambas retangulares, cujas dimensões estão 
indicadas nas figuras.
Sabendo que a área da sala B é 50% maior que a área da sala A, então o perímetro 
da sala B supera o perímetro da sala A em
(A) 4,4 m.
(B) 4,6 m.
(C) 4,8 m.
(D) 5,0 m.
(E) 5,2 m.
Matemática • PP157
Anotações
Prof. Pimentel
30) VUNESP – Auxiliar Administrativo – SAAE – São Carlos - 2014
Os moradores de uma residência utilizam, por mês, 8,1 m3 de água, mas preocu-
pados com o baixo nível dos reservatórios, estão tentando economizar ao máxi-
mo para atingir a meta proposta pelo governo, que é uma redução de 25% de seu 
consumo. Considerando-se um mês de 30 dias e sabendo que nessa residência o 
consumo diário de água foi de 210 litros, então, é correto afirmar que, em relação à 
meta proposta pelo governo, essa residência utilizou, nesse mês,
29) VUNESP – Auxiliar Administrativo – SAAE – São Carlos - 2014
Com o volume de água contido em uma piscina olímpica, que tem a forma de um 
bloco retangular com 50 m de comprimento, 25 m de largura e 2,4 m de profundi-
dade, seria possível abastecer uma residência com 200 litros de água todos os dias 
do ano, por um tempo, em anos, de, aproximadamente, 
Dado: 1 ano = 365 dias
(A) 51. (B) 48. (C) 46. (D) 43. (E) 41.
(A) 75 L a mais.
(B) 180 L a mais.
(C) 180 L a menos.
(D) 225 L a mais.
(E) 225 L a menos.
31) VUNESP – Escriturário – Câmara de Sertãozinho - 2014
A área de uma sala retangular é 24 m2. Sabendo que a largura mede 2 metros a 
menos do que o comprimento, então, o perímetro dessa sala, em metros, é
(A) 22. (B) 20. (C) 18. (D) 16. (E) 14.
32) VUNESP – Escriturário – Câmara de Sertãozinho - 2014
Duas hastes, que fazem parte de uma estrutura metálica, se tocam no ponto P, con-
forme mostra a figura.
Desprezando-se a espessura das hastes, a medida do ângulo α, formado por elas, é
(A) 35°. (B) 48°. (C) 57°. (D) 63º. (E) 75°.
33) VUNESP – Escriturário – Câmara de Sertãozinho - 2014
Um recipiente na forma de um prisma reto encontra-se inicialmente vazio, confor-
me mostra a figura.
Sabendo que nesse recipiente foram despejadas 12 canecas cheias de água, cada 
uma delas com 375 mL, então, em relação ao volume total desse recipiente, o volu-
me de água que ainda falta para completá-lo corresponde a
A) 3/10 B) 1/5 C) 2/15 D) 1/10 E) 1/15
Prof. Pimentel
Matemática • PP158
Anotações34) VUNESP – Escriturário – Câmara de Sertãozinho - 2014
As figuras representam duas peças A e B, confeccionadas em madeira.
Sabendo que as duas peças têm a mesma área, então o perímetro da peça B, em cm, é
(A) 20,30.
(B) 20,90.
(C) 22,20.
(D) 22,80.
(E) 23,10.
35) VUNESP – Motorista – Câmara de Sertãozinho - 2014
Lúcia fez um orçamento para reformar o piso dos dois quartos de sua casa. Um de-
les mede 1,8 m por 2,5 m e, o outro, 2,6 m por 2,5 m. Considerando-se que os pisos 
têm forma retangular, veja as despesas que Lúcia terá:
Orçamento
Lajota/m2 Argamassa/m2 Mão de obra/m2
R$ 10,30 R$ 6,70 R$ 8,00
De acordo com o orçamento feito, ela gastará com, essa reforma,
(A) R$ 244,00.
(B) R$ 250,00.
(C) R$ 264,00.
(D) R$ 270,00.
(E) R$ 285,00.
36) VUNESP – Motorista – Câmara de Sertãozinho - 2014
Segundo a Companhia de Saneamento Básico de São Paulo (Sabesp), em um período 
de 24 horas, uma torneira mal fechada, gotejando, desperdiça 46 litros de água. Con-
siderando que 1 dm3 equivale a 1L, se colocarmos toda a água vazada dessa torneira, 
em caixas de 1/2 m3, ao final de 2 meses estarão completas, aproximadamente,
(A) 7 caixas.
(B) 6 caixas.
(C) 4 caixas.
(D) 3 caixas.
(E) 2 caixas.
37) VUNESP – Nutricionista –UNIFESP - 2014
A figura, com dimensões indicadas em centímetros, mostra uma placa informativa 
com o formato de um trapézio isósceles.
Matemática • PP159
Anotações
Prof. Pimentel
38) VUNESP – Nutricionista –UNIFESP - 2014
Certo produto é vendido em uma embalagem com o formato de um bloco retan-
gular, mostrada na figura. Sabe-se que a razão entre as medidas, em centímetros, 
indicadas por b e a, nessa ordem, é 1/2, e que seu volume é igual a 1 280 cm3.
Por razões mercadológicas, o fabricante teve que modificar a embalagem. Manteve 
a medida da altura (10 cm) e aumentou a medida da largura (b) em 2 cm. Para que 
o volume não fosse alterado, a medida do comprimento (a) foi reduzida para
Se essa placa tem área de 3 600 cm2, então o seu perímetro, em metros, é igual a
(A) 2,8. (B) 2,6. (C) 2,2. (D) 2,0. (E) 1,8.
(A) 14,6 cm.
(B) 14 cm.
(C) 13,8 cm.
(D) 13 cm.
(E) 12,8 cm.
39) VUNESP – Motorista –PMRP - 2014
Júlio tem um terreno retangular de 34,2 metros de comprimento por 50 metros de 
largura onde quer plantar alface, batata e brócolis da seguinte forma:
• irá dividir o terreno em 2 partes iguais, e plantará alface em uma delas;
• a outra parte vai dividir em 3 áreas do mesmo tamanho, e plantará brócolis 
em uma delas, e, batata, nas outras duas.
A área do terreno reservada para o plantio de batata mede, em metros quadrados,
(A) 855. (B) 620. (C) 570. (D) 450.(E) 285.
40) VUNESP – TJSP – 2014
Para efeito decorativo, um arquiteto dividiu o piso de um salão quadrado em 8 regi-
ões com o formato de trapézios retângulos congruentes (T), e 4 regiões quadradas 
congruentes (Q), conforme mostra a figura:
Se a área de cada região com a forma de trapézio retângulo é igual a 24 m², então a 
área total desse piso é, em m², igual a
(A) 225. (B) 196. (C) 324. (D) 400. (E) 256.
Prof. Pimentel
Matemática • PP160
Anotações41) VUNESP – TJSP – 2014
Em uma folha quadrada ABCD, foi desenhado um quadrado Z, de área igual a 169 
cm², conforme mostra a figura:
Nessas condições, é correto afirmar que o perímetro da folha ABCD, em centíme-
tros, é igual a
(A) 1,35.
(B) 1,25.
(C) 1,50.
(D) 1,75.
(E) 1,65.
43) FCC – Técnico Administrativo – Câmara Municipal de São Paulo – 2014
Para se obter a área de um círculo, multiplica-se o quadrado da medida do raio pelo 
número π, que vale aproximadamente 3,14. Para se obter a área de um quadrado, 
basta elevar a medida do lado ao quadrado. Na figura, temos um círculo inscrito em 
um quadrado de área igual a 100 cm2.
A área aproximada da região do quadrado não coberta pelo círculo, em centímetros 
quadrados, é
(A) 60.
(B) 56.
(C) 72.
(D) 68.
(E) 64.
42) VUNESP – TJSP – 2014
Considere um reservatório com o formato de um paralelepípedo reto retângulo, 
com 2 m de comprimento e 1,5 m de largura, inicialmente vazio. A válvula de en-
trada de água no reservatório foi aberta por certo período, e, assim, a altura do 
nível da água no reservatório atingiu 50 cm, preenchendo 40% da sua capacidade 
total. Desse modo, é correto afirmar que a medida da altura desse reservatório, em 
metros, é igual a
(A) 78,5.
(B) 84,3.
(C) 21,5.
(D) 157.
(E) 62,7.
Matemática • PP161
Anotações
Prof. Pimentel
44) FCC – Técnico – Sabesp – 2014
Com o início da operação do Aquapolo Ambiental, a Sabesp terá capacidade de 
fornecer até mil litros por segundo de água de reúso para o Polo Petroquímico de 
Capuava. Com o uso de sua capacidade máxima, o Aquapolo Ambiental será capaz 
de fornecer para o Polo de Capuava, por dia, um total máximo de litros de água de 
reúso igual a
(A) 8,64 . 107.
(B) 1,44 . 108.
(C) 8,64 . 106.
(D) 8,64 . 108.
(E) 1,44 . 107.
45) FCC - Agente de Segurança Metroviária - Metrô - 2013
O raio de uma roda de trem mede, aproximadamente, 0,4 m. Sabendo que o com-
primento de uma circunferência é dado pela fórmula C = 2 .  .R (C: comprimento; 
considere  igual a 3,1 nessa questão; R : raio da roda). O número mínimo de voltas 
completas (desconsidere qualquer arrasto ou patinar da roda) para que uma dessas 
rodas percorra 1 km, é
(A) 248.
(B) 620.
(C) 800.
(D) 404.
(E) 992.
46) FCC - Analista - Administração - Defensoria pública do RS - 2013
As seis faces de um dado são quadrados cujos lados medem L. A distância do centro 
de um desses quadrados até qualquer um de seus vértices (cantos do quadrado) é 
igual a D. Uma formiga, que se encontra no centro de uma das faces do dado, pre-
tende se deslocar, andando sobre a superfície do dado, até o centro da face oposta. 
A menor distância que a formiga poderá percorrer nesse trajeto é igual a
(A) 2L.
(B) 2L + D.
(C) 2L + 2D.
(D) L + 2D.
(E) L.
47) FCC - 2013 - Agente de Segurança Metroviária - Metrô 
Para aumentar a área de um tapete retangular de 2 m por 5 m foi costurada uma 
faixa em sua volta de exatos 10 cm de largura e que manteve o formato retangular 
do tapete. A porcentagem de aumento da área do tapete é igual a 
(A) 12,2. 
(B) 14,4.
(C) 20,4.
(D) 10,2.
(E) 10,4.
48) FCC - 2013 - Agente de Segurança Metroviária - Metrô 
Foram retiradas de um caldeirão, que continha 3 litros de sopa, 20 conchas cheias, 
restando ainda 1,2 litro de sopa no caldeirão. Sabendo que uma pessoa colocou 3 
dessas conchas de sopa em seu prato e que, para tomá-la, utilizou uma colher com 12 
mL de capacidade, pode-se concluir que o menor número de colheradas necessárias 
para tomar a sopa toda do prato foi 
(A) 15. 
(B) 18. 
(C) 20. 
(D) 25.
(E) 23.
Prof. Pimentel
Matemática • PP162
Anotações49) FCC – TRT15ª REGIÃO
Num dado momento, observou-se que o volume de água no interior da caixa d’água 
de um edifício ocupava um terço de sua capacidade e que, se lá fossem colocados 
mais 0,24 m3 de água, o volume de água na caixa passaria a ocupar os dois quintos 
de sua capacidade. Considerando que não foi colocada água no interior da caixa, 
então, no momento da observação, o número de litros de água que seriam neces-
sários para enchê-la era: 
Gabarito:
1) B 26) C
2) D 27) A
3) A 28) A
4) A 29) E
5) C 30) D
6) D 31) B
7) B 32) B
8) A 33) D
9) A 34) A
10) C 35) C
11) A 36) B
12) D 37) A
13) D 38) E
14) A 39) C
15) E 40) E
16) C 41) D
17) D 42) B
18) E 43) C
19) D 44) A
20) C 45) D
21) D 46) A
22) C 47) B
23) D 48) E
24) B 49) B
25) C 50) E
(A) 1.800 
(B) 2.400 
(C) 2.500 
(D) 3.200
(E) 3.600
50) ESAF
Uma caixa de água tem o formato de um cilindro circular reto, altura de 5 m e raio 
da base igual a 2 m. Se a água em seu interior ocupa 30% de seu volume, o número 
de litros de água que faltam para enchê-lo é: (usar π = 3,1) 
(A) 43,4 
(B) 4.150 
(C) 4.340
(D) 41.500
(E) 43.400 
Anotações
Prof. Pimentel
M
ó
d
ul
o
Matemática • PP163
11 Álgebra
EXPRESSÃO NUMÉRICA
É a forma que vários números aparecem agrupados através de operações 
elementares ou complexas. O resultado obtido, após efetuadas as operações, obe-
decendo às convenções matemáticas, recebe o nome de valor da expressão.
Numa expressão, precisamos respeitar as convenções estabelecidas:
O parênteses ( ) significa prioridade máxima, ou seja todas as operações 
indicadas dentro dele deverão ser efetuadas antes das demais obedecendo a se-
guinte ordem primeiro as multiplicações e divisões em seguida as adições e sub-
trações até que fique reduzido apenas a um nº, quando eliminamos os respectivos 
parênteses. 
A segunda prioridade é o colchete [ ], O mesmo deve ser feito posterior-
mente com as operações dentro dos colchetes. 
Por último repetimos o procedimento com as operações que estão dentro 
de chaves, { }. 
Finalmente resolvemos as operações restantes. 
Exemplo
50 + {30 – [25 + 50 ÷ (15 + 2 × 5)] – [40 ÷ (8 × 2 – 24 ÷ 3)]}
Resolvendo × e ÷ dentro dos parênteses:
50 + {30 – [25 + 50 ÷ (15 + 10)] – [40 ÷ (16 – 8)]}
Resolvendo + e – dentro dos parênteses 
50 + {30 – [25 + 50 ÷ (25)] – [40 ÷ (8)]}
Eliminando os parênteses:
50 + {30 – [25 + 50 ÷ 25] – [40 ÷ 8]}
50 + {30 – [25 + 2] – [40 ÷ 8]}
Resolvendo dentro dos colchetes [ ]
50 + {30 – [27] – [5]}
Eliminando os colchetes [ ]
50 + {30 – 27 – 5}
Resolvendo dentro da chave 
50 + {– 2}
Eliminando a chave
50 – 2 = 48
Prof. Pimentel
Matemática • PP164
AnotaçõesEXPRESSÕES ALGÉBRICAS
É a forma que vários números e letras aparecem agrupados através de 
operações elementares ou complexas. O resultado obtido, depois de efetuadas as 
operações, obedecendo às convenções matemáticas, recebe o nome de valor da 
expressão.
Exemplos:
A) 2a + 7b
B) (3c + 4) – 5
C) 23 c + 4
D) 3 x4 y2 – 5 x2 y2 + x2 y2
As letras nas expressões são chamadas variáveis o que significa que o va-
lor de cada letra pode ser substituída por um valor numérico.
PRIORIDADE DAS OPERAÇÕES 
Nas operações em uma expressão algébrica devemos obedecer a seguinte 
ordem:
1. Potenciação ou Radiciação
2. Multiplicação ou Divisão
3. Adição ou Subtração
Propriedades da igualdade
a = b → a + 8 = b + 8 Somando valores iguais aos dois lados da igualdade, 
continuamos com igualdade.
a = b → a – 5 = b – 5 Subtraindo valores iguais aos dois lados da igual-
dade, continuamoscom igualdade.
a = b → 8 a = 8 b Multiplicando os dois lados da igualdade por um 
mesmo número, continuamos com igualdade.
a = b → a
=
b
2 2
Multiplicando os dois lados da igualdade por um 
mesmo número, continuamos com igualdade.
Resumindo: Se fizermos a mesma operação nos dois lados da igualdade, o resul-
tado continuará a ser uma igualdade.
EQUAÇÃO
Em matemática, uma equação é uma afirmação que estabelece uma 
igualdade entre duas expressões matemáticas. São exemplos de equações as se-
guintes igualdades: 
a) 3 x + 8 = 23
b) 2 x2 – 3 x + 15 = 0 
c) log x2 = 3
Nesses exemplos, as letras são as incógnitas de suas equações. 
A incógnita de uma equação é o número desconhecido que se quer descobrir. 
A equação 3 x + 8 = 23 pode ser interpretada como a pergunta:
 “qual o número cujo triplo somado com 8 dá 23?”
Matemática • PP165
Anotações
Prof. Pimentel
Resolver a equação é determinar o valor da incógnita, para isso devemos 
isolá-la em um dos lados da igualde, para tal faremos uso das propriedades da igual-
dade
Para facilitar o entendimento, vamos resolver passo a passo, porém há 
formas mais rápidas p/ resolvermos é o que veremos depois desta demonstração:
3 x + 8 = 23 Subtraindo 8 de ambos os lados 3 x + 8 – 8 = 23 – 8
3 x = 15 Dividindo ambos os lados por 3 3 x
=
15
3 3
x = 5
 
Para isolar a incógnita devemos mandar para o outro lado da igualdade os 
demais termos, sempre fazendo a operação contrária da original, ou seja, se esta 
somando passamos subtraindo e se estiver diminuindo passará somando, 
Procurando o Termo Desconhecido
Numa igualdade, para isolarmos um determinado termo, devemos pri-
meiramente agrupar a expressão que contém o termo num dos lados da igualdade 
e do outro lado os demais termos, lembrando que, para mudar de lado, devemos 
fazer a operação inversa. Essa mudança pode ser feita em várias etapas devendo se-
guir a ordem: soma ou subtração, depois divisão ou multiplicação. Em cada etapa, 
devem ser efetuadas as operações possíveis.
Exemplo
5 x – 25 = 2 x – 40
5 x – 2 x = – 40 + 25
3 x = – 15
x = 15
3
x = – 5
 
 EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU
É uma sentença aberta (aquela que possui valor desconhecido), que pode 
ser reduzida a igualdade:
a x + b = 0 onde a ≠ 0
Resolução:
a x + b = 0 ↔ x = – ba
Solução: {– b }a
Apesar de destacarmos a solução como resolvemos este tipo de problema 
com uma idéia simples: Isole a incógnita, ou seja, ache o valor de x.
Prof. Pimentel
Matemática • PP166
AnotaçõesObservação: Sempre que tivermos igualdade e o termo desconhecido (incógnita) 
tiver como expoente apenas o número 1, a igualdade será uma equação do primei-
ro grau. 
Para resolvê-la, é interessante seguir os passos:
a) quando a equação for composta de vários termos inicialmente vamos reduzir 
a dois grupos, sendo um deles os que contêm a incógnita e o outro os termos inde-
pendentes.
b) cada um dos grupos deverá ser reduzido apenas a um termo.
c) Se entre os termos tivermos frações, devemos reduzir os termos ao mesmo 
denominador (achando o mmc) e posteriormente cancelamos os denominadores.
d) colocamos o termo que está com a incógnita de um lado da igualdade 
passando para o outro lado os valores independentes;.
e) finalmente dividimos o termo independente pela coeficiente de.
Exemplo:
Resolver a equação:
(3 x – 15)
 –
( x + 20)
 = x + 3
2 5
1º vamos achar o mmc das frações (mmc entre 2 e 5 é 10)
2º vamos reduzir tudo ao mesmo denominador
5 × (3 x – 15)
 –
2 × ( x + 20)
 =
10 × (x) + 10 × 3
10 10 10 10
3º eliminando os denominadores:
15 x – 75 – 2 x – 40 = 10 x + 30
4º separando: quem tem x para um lado, quem não tem para o outro
15 x – 2 x – 10 x = + 30 + 75 + 40
Juntando os termos semelhantes:
3 x = 145
S = {x = 145}3
 
EQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAU
É uma sentença aberta que pode ser reduzida a igualdade:
a x2 + b x + c = 0
Desta maneira para resolver a equação deverá ter esse formato, ou seja 
devemos juntar todos os termos que estão com x2: depois todos que tem apenas x 
e finalmente no outro bloco somente os termos independentes.
Obs: para ser equação do 2º grau, o termo a, que recebe o nome de coe-
ficiente de x2 tem que ser diferente de zero.
Matemática • PP167
Anotações
Prof. Pimentel
A solução para resolver a equação é usar a fórmula de Baskara.
x = − b ± ∆
2a
∆ = b² – 4ac 
 O sinal ± da fórmula indica que pode assumir dois valores, um com a 
parte positiva da fórmula e outro com a parte negativa (2 soluções ou 2 raízes).
Exemplo:
Resolver a equação:
– 2x² + 10x – 12 = 0
a = – 2 
b = 10 
c = – 12
∆ = b² – 4ac
∆ = (10)² – 4 (–2)(–12)
∆ = 100 – 96
∆ = 4
x = 
− b ± √∆
2a
x = 
− (10) ± √4
2 (− 2)
x = 
− (10) ± 2
− 4
x1 =
− (10) + 2
=
− 8
= 2
− 4 − 4
x2 =
− (10) − 2
=
− 12
= 3
− 4 − 4
Portanto: x1 = 2 e x2 = 3
S = {2; 3}
Analisando o ∆ (discriminante):
Devemos estar atentos a importância do ∆, já que teve destaque fora da 
fórmula geral.
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Matemática • PP168
AnotaçõesSe ∆ > 0, então teremos duas raízes reais e diferentes. O conjunto solu-
ção S será: 
S = {x1 = − b +√∆ ; x2 = − b − √∆ }2a 2a
Se ∆ = 0, então teremos duas raízes reais iguais (x
1
 = x
2
 )
 
S = {x1 = x2 = − b }2a
Se ∆ < 0, então não teremos raízes reais (não existe raiz de número ne-
gativo)
S = { } (sem solução no conjuntos dos reais} 
SOMA E PRODUTO DAS RAÍZES
Soma = x1 + x2 =
− b
a
e
Produto = x1 × x2 =
c
a
Seja a equação: a x² + b x + c = 0
Se dividirmos tudo por a, teremos: 
x2 + 
b x + c = 0a a
como: 
Como S =
– b
multiplicando ambos lados por (– 1), temos
b
 = − Sa a
 
Toda equação do 2º grau cujo conjunto verdade é { x1; x2 } poderá ser 
escrita da seguinte forma:
x² – S x + P = 0
Onde : 
S = x1 + x2 (soma das raízes)
P = x1 × x2 (produto das raízes)
Exemplo:
Calcular as raízes de 300 x2 -1500 x + 1800 = 0 
Matemática • PP169
Anotações
Prof. Pimentel
Como os coeficientes da equação (a, b e c) possuem valores elevados, 
devemos simplificar antes (pela igualdade, dividir os dois membros por 300).
300 x2 −1500 x + 1800 = 0 (÷ 300)
1 x2 − 5 x + 6 = 0 
a = + 1 b = − 5 c = + 6
Usando a soma e produto
S = 
− b
= 
−( −5)
= 5a (1)
 e
P = 
c
= 
6
= 1a 1
Desta maneira devemos procurar dois números cujo produto é 6 e a soma 5
x1 + x2 = 6
x1 × x2 = 5
 Se você pensou em 2 e 3, acertou a resposta. 
Mas perceba que na maioria das vezes a resposta não é tão óbvia, de-
pende dos valores da Soma e do Produto e seus sinais. Apesar do trabalho com as 
contas, pela fórmula sempre chegamos em um resultado.
 
O dedo duro é uma dica muito legal
Essa dica nos ajudará a tirar proveito máximo das propriedades de 
soma e produto, principalmente quando o coeficiente de x2 (a) for 
igual a 1 (um)
A equação: x² + b x + c 
a Soma é igual a
– 
b = – b e o produto é igual a
c
 = c
1 1
Portanto a soma das raízes sempre será –b e o produto c.
Quando c for um nº positivo em sei que as raízes têm o mesmo sinal, 
porém, quando for negativo tem sinais diferentes. 
Quanto a soma, 
a) Se as raízes tiverem o mesmo sinal; e o b for um nº negativo pode-
mos afirmar que elas são positivas. 
b) Se as raízes tiverem o mesmo sinal e se b for um nº positivo as 
raízes serão negativas.
c) Se as raízes tiverem sinais diferentes (quando c for um nº negativo) 
o sinal de b sempre será contrário ao sinal da maior raiz em valor 
absoluto.
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Matemática • PP170
Anotações
Desta foma podemos analisar os casos abaixo:
An
ál
ise
 Soma ProdutoSoma Produto Direrença Produto Direrença Produto
An
ál
ise
x2 + bx + c = 0 x2 + bx + c = 0 x2 + bx – c = 0 x2 + bx – c = 0
c é positivo → 
raízes com sinais = s
c é positivo → 
raízes com sinais = s
c é negativo → raízes 
com sinais ≠ s
c é negativo → raízes 
com sinais ≠ s
b é positivo → 
raízes negativas.
b é negativo → 
raízes positivas
b é positivo → maior 
raiz é negativa
b é positivo → maior 
raiz é negativa
Para somar dois números com sinais 
iguais:
Efetuamos a soma normalmente conser-
vamos o sinal
Para somar dois números com sinais dife-
rentes:
Subtraímos um do outro e conservamos o 
sinal do maior
 
An
ál
ise
 Soma Produto Soma Produto Direrença Produto Direrença Produto
An
ál
ise
x2 + 7x + 10 = 0 x2 + 8x + 15 = 0 x2 + 3x – 40 = 0 x2 + 2x – 24 = 0
As raízes tem o 
mesmo sinal.
A soma vale 7
O produtor vale 
10.
b positivo → 
raízes negativas
Solução { –2 e – 5}
As raízes tem o 
mesmo sinal.
A soma vale 8
O produtor vale 
15.
b negativo → 
raízes positivas
Solução { 3 e 5}
As raízes têm sinais 
diferentes
A diferença vale 3
O produtor vale 
40.
b positivo → maior 
raiz (negativa)
Solução { 5 e – 8}
As raízes têm sinais 
diferentes
A diferença vale 2
O produtor vale 24.
b negativo → maior 
raiz (positiva)
Solução { – 4 e 6}
 
SISTEMA DE EQUAÇÕES
Introdução
Em nosso dia a dia, muitas vezes temos problemas do tipo:
Maria foi ao supermercado e comprou 3 Kg de arroz e 2 de feijão e gastou 
R$ 21,00, somente com essa informação dificilmente conseguiremos determinar o 
preço de cada produto uma vez que a medida que o preço do arroz aumenta o do 
feijão diminui e vice-versa. 
Para escrever a informação dada vamos dar nome ao desconhecido, ou seja:
Como eu não sei quanto custa o kg de arroz, vamos chama-lo de x
Como eu também não sei quanto custa o kg de feijão, vamos chama-lo de y. 
Desta forma teremos: 3 x + 2 y = 21,00
Matemática • PP171
Anotações
Prof. Pimentel
Agora, se a Maria comprasse 2 kg de arroz e 3 Kg de feijão ela gastaria R$ 19,00.
Usando o mesmo raciocínio acima, temos: 2 x + 3 y = 19,00
Desta maneira acabamos de montar um sistema de equação onde temos 
duas incógnitas, mas também temos duas equações, agora sim, será possível deter-
minarmos os valores de x e y.
 Uma maneira para solucionar o problema, é apurar o que aconteceria se no 
primeiro caso Maria tivesse comprado o dobro das mercadorias e no 2º caso o triplo.
Assim temos:
 
3 x + 2 y = 21,00 duplicando 6 x + 4 y = 42,00
 
2 x + 3 y = 19,00 triplicando 6 x + 9 y = 57,00
 
 Comparando as duas ultimas igualdade de cada linha, constatamos que a 
quantidade de arroz é a mesma nas duas o que muda é que na segunda igualdade 
temos 5 quilos de feijão a mais o que fez com que o gasto aumentasse em R$ 15,00.
Portanto podemos afirmar que: 
5 y = 15,00 → y = 3,00 
Substituindo y por 3,00 em qualquer uma das equações encontraremos o valor de x. 
 
3 x + 2 y = 21,00 substituindo 3 x + 2 × 3 = 21,00 → 3 x = 15 → x = 5
 
DEFINIÇÃO
Chamamos de sistema de equação quando estamos diante de duas ou 
mais equações contendo duas ou mais incógnitas (x, y, z, ... ) . Para que um sistema 
seja possível e determinado, é necessário que o número de equações seja igual ao 
número de incógnitas, e que nenhuma das equações seja múltipla de outra equa-
ção do sistema.
Exemplo
{ 3 x + 2 y = 21,00 2 x + 3 y = 19,00 
SISTEMA INDETERMINADO
Quando o número de incógnitas for maior que número de equações o siste-
ma será possível mas não temos condições de determinar o valor das incógnitas; ou se 
mesmo o nº de incógnitas for igual ao nº de equações, uma delas for múltiplo da outra.
Exemplo
{ 5 x – 4 y – z = 10 Temos 3 incógnita e 2 equações.2 x + 3 y + 3 z = 28 
{ 3 x + 2 y – z = 71 Temos 3 incógnitas e três equações, porém a terceira equação é o dobro da 1ª.2 x + 3 y + 5 z = 95 
6 x + 4 y – 2 z = 142
 
Prof. Pimentel
Matemática • PP172
AnotaçõesSISTEMA IMPOSSÍVEL
Um sistema é considerado impossível quando temos duas equações, sen-
do que os coeficientes correspondentes delas são proporcionais e não existe a mes-
ma proporcionalidade entre os termos independente.
 
Exemplo
{ 3 x + 2 y = 25 3 = 2 ≠ 259 6 709 x + 6 y = 70 
 
Dica:
Dado o sistema { a1 x + b1 y = c1 ele será:a
2
 x + b
2
 y = c
2
 
Possível e determinado
a
1 ≠
b
1 ≠
c
1
a
2
b
2
c
2
 Possível e indeterminado 
a
1 =
b
1 =
c
1
a
2
b
2
c
2
 Impossível 
a
1 =
b
1 ≠
c
1
a
2
b
2
c
2
Resolvendo o sistema
Método da substituição
O método consiste em isolarmos uma variável em uma das equações e 
substituirmos na outra equação. 
Achamos o valor da primeira variável e para achar o valor da segunda 
substituímos novamente.
Exemplo:
{ x + 3 y = 903 x + 2 y = 95 
 Isolando x na primeira equação: x = 90 – 3 y
 Substituindo x na segunda equação:
3 (90 – 3y) + 2y = 95
270 – 9y + 2y = 95
270 – 95 = 7y → 7y = 195 → 175
7 = y → y = 25
Substituindo y:
x = 90 – 3 (25)
x = 90 – 75
x = 15
É aconselhável usar este método quando temos variáveis com coeficiente 
igual a 1 
No exemplo acima o coeficiente de na primeira equação era 1; caso isso 
não ao isolarmos a variável, o outro membro ficará em forma de fração, o que tor-
nará o exercício mais trabalhoso.
Matemática • PP173
Anotações
Prof. Pimentel
MÉTODO DA ADIÇÃO
Esse método foi utilizado na introdução deste capítulo, ou seja, multipli-
camos os termos de cada equação por determinados números de tal maneira que 
os coeficientes de uma das incógnitas ficassem iguais, porém com sinais contrários, 
ao somarmos os respectivos termos, aquele cujos coeficientes são simétricos se 
anularam sobrando desta forma somente uma incógnita.
Exemplo
{ 5 x + 9 y = 237 x + 6 y = 19 
 Para eliminar o x, multiplicamos as equações com os índices trocados. Lembre-
se que para valores simétricos os sinais devem estar trocados. Ou -7 ou -5.
 
5 x + 9 y = 23 multiplicando por (+ 7) 35 x + 63 y = 161
 
 
7 x + 6 y = 19 multiplicando por (– 5) – 35 x – 30 y = – 95
 
Somando os respectivos termos:
{ 35 x + 63 y = 161– 35 x – 30 y = – 95 33 y = 66
y = 66 = 2
33
Substituindo y por 2 em uma das equações:
5 x + 9 y = 23 → 5 x + 9 × 2 = 23 → 5 x = 23 – 18 = 5 → x = 5 
Dica:
Dado o sistema { a1 x + b1 y = c1 ele será:a
2
 x + b
2
 y = c
2
 
Para eliminarmos uma das incógnitas, devemos multiplicar a primeira 
equação pelo coeficiente da mesma incógnita que está na segunda 
equação e vice-versa. Ainda devemos tomar o cuidado, trocando o 
sinal de um dos fatores quando estes forem iguais.
Exemplo: 
{ 3 x + 2 y = 325 x + 3 y = 47 
Para eliminar y vamos multiplicar a primeira equação por 3 e a segunda 
por (– 2), assim ficaremos:
{ 9 x + 6 y = 96– 10 x – 6 y = – 94 
Os coeficiente de y são simétricos, agora é só fazer o cancelamento.
Prof. Pimentel
Matemática • PP174
AnotaçõesMÉTODO DA COMPARAÇÃO
O método da comparação não deixa de ser uma cópia do método da subs-
tituição. Porém isolamos a mesma incógnita nas duas equações. Depois igualamos 
(comparamos) as equações resultantes.
Exemplo
{ 3 x + 2 y = 112 x – 3 y = 3
Isolandox nas duas equações:
x = 11 – 2 y e x = 3 + 3 y 
3 2
Comparando as equações:
11 – 2 y
=
3 + 3 y
3 2
2(11 – 2 y)
=
3(3 + 3 y)
6 6
22 – 4 y = 9 + 9 y
22 – 9 = 9 y + 4 y
13 = 13 y
y = 1
Substituindo y na segunda equação:
2 x – 3(1) = 3
2 x = 3 + 3
2 x = 6
x = 6/2
x = 3
 
QUESTÕES DE CONCURSOS
1) VUNESP - Agente de escolta - Secretaria de estado de justiça – ES - 2013
 Uma pessoa comprou queijo fatiado para fazer sanduíches e colocou 3 fatias de 
queijo em cada um deles, não restando nenhuma fatia. Se colocasse 2 fatias de 
queijo em cada sanduíche, com a mesma quantidade de fatias compradas, poderia 
fazer 5 sanduíches a mais. O número de fatias compradas foi
(A) 24. (B) 36. (C) 30. (D) 42. (E) 48.
2) VUNESP - AUXILIAR - PROCON-SP - 2013
A soma de um determinado número a 12 dá como resultado o mesmo valor do que 
quando do triplo desse número subtraímos 14. Conclui-se que metade desse número é 
(A) 4,5. (B) 5,5. C) 6,5. (D) 7,5. (E) 8,5.
Matemática • PP175
Anotações
Prof. Pimentel
7) VUNESP - Agente de escolta - Secretaria da Administração Penitenciária - 2013
 Em uma sorveteria, o preço de 3 sorvetes e 1 garrafa de água é de R$ 12,00. Ângelo 
comprou dois desses sorvetes e três garrafas dessa água e pagou R$ 15,00. O valor 
de uma garrafa de água é de
3) VUNESP - Assistente Adm. e Téc. - Emplasa - 2014
 No local onde os clientes aguardam atendimento, em uma agência bancária, havia 
n fileiras de cadeiras, tendo cada fileira cadeiras. Com o aumento do fluxo de clien-
tes, foram incorporadas mais três fileiras de cadeiras, iguais às anteriores, e esse 
local passou a ter 130 cadeiras. O número de cadeiras em cada fileira é igual a
(A) 8. (B) 9. (C) 10. (D) 12. (E) 13.
4) VUNESP - Agente de Segurança Judiciária - Tribunal de Justiça Militar - SP - 2013
 A concessionária de certa rodovia dispõe de um determinado número de cones 
para sinalizar um trecho em obras, de x quilômetros. Constatou-se que se forem co-
locados 20 cones a cada quilômetro, faltarão 40 cones. Entretanto, se forem coloca-
dos 16 cones a cada quilômetro, sobrarão 20 cones. Desse modo, é correto afirmar 
que a extensão do trecho que deverá ser sinalizado é igual, em quilômetros, a
(A) 8. (B) 10. (C) 11. (D) 12. (E) 15.
5) VUNESP - Agente de Segurança Penitenciária - Secretaria da Administração 
Penitenciária - 2013
Uma loja tinha 150 televisões de um modelo que estava para sair de linha. Dessas, 
foram vendidas 3/5 e para acabar com essa mercadoria foi feita uma promoção de 
10% de desconto do valor inicial para as televisões restantes. Foram vendidas todas 
as televisões e o valor total arrecadado foi de R$ 172.800,00. O preço de cada tele-
visão com o desconto era de
(A) R$ 1.205,00.
(B) R$ 1.080,00.
(C) R$ 1.250,00.
(D) R$ 1.190,00.
(E) R$ 1.100,00.
6) VUNESP - TÉCNICO DE SUPORTE - PROCON-SP - 2013
 Pedro foi a uma banca de revistas para comprar um jornal e algumas canetas, pois 
essa banca vende todas as canetas pelo mesmo preço. Com o dinheiro que havia le-
vado, Pedro poderia comprar o jornal A e duas canetas, recebendo R$ 0,40 de troco, 
mas se comprasse o jornal B, que é R$ 1,00 mais barato do que o jornal A, poderia 
comprar três canetas e receberia R$ 0,60 de troco. O preço de uma caneta era
(A) R$ 0,90. 
(B) R$ 0,85. 
(C) R$ 0,80. 
(D) R$ 0,75. 
(E) R$ 0,70.
(A) R$ 1,00. 
(B) R$ 1,50. 
(C) R$ 2,00. 
(D) R$ 2,50. 
(E) R$ 3,00.
8) VUNESP - Soldado PM - Polícia Militar - SP - 2014
 Maria entrou em uma loja de calçados na qual havia uma promoção em que todos 
os pares de sapatos estavam sendo vendidos pelo mesmo preço, mas somente para 
pagamento em dinheiro. Com o dinheiro que Maria tinha em sua carteira, poderia 
comprar 3 pares de sapatos e ainda sobrariam R$ 20,00, mas, se ela quisesse com-
prar 4 pares, ficariam faltando R$ 30,00. Sabendo que Maria comprou somente 2 
pares de sapato, o dinheiro que restou em sua carteira foi
(A) R$ 70,00. 
(B) R$ 65,00. 
(C) R$ 75,00. 
(D) R$ 60,00. 
(E) R$ 80,00.
Prof. Pimentel
Matemática • PP176
Anotações
11) VUNESP - Assistente Adm. e Téc. - Emplasa - 2014
Em uma empresa há três máquinas, Y, W e Z, que produzem o mesmo produto. 
Considerando-se um determinado período de tempo, verifica-se que: 
Y e W, juntas, produzem 1500 unidades;
 Y e Z, juntas, produzem 1600 unidades; 
 W e Z, juntas, produzem 1700 unidades.
 Desse modo, é correto afirmar que o número de unidades produzidas pela máquina 
Y, sozinha, no período de tempo considerado, é igual a
9) VUNESP - Soldado PM - Polícia Militar - 2014
 Uma pessoa comprou um frasco de adoçante líquido e, em cada cafezinho que 
bebe, coloca 8 gotas desse adoçante. Se essa pessoa colocasse 5 gotas em cada ca-
fezinho, conseguiria, com esse mesmo frasco de adoçante, adoçar 300 cafezinhos a 
mais. O número total de cafezinhos que podem ser adoçados, utilizando-se 5 gotas 
desse adoçante em cada um deles, é
(A) 700. (B) 800. (C) 750. (D) 900. (E) 850.
10) VUNESP - Soldado PM - Polícia Militar - SP - 2014
Em uma padaria, o preço de uma empada mais um café é R$ 6,50, e o preço de 
uma empada mais um suco é R$ 7,50. Sabendo que um suco mais um café custam 
R$ 7,00, então o preço de uma empada, mais um café e mais um suco é
(A) R$ 10,00.
(B) R$ 11,00. 
(C) R$ 9,00. 
(D) R$ 9,50. 
(E) R$ 10,50.
(A) 700.
(B) 750. 
(C) 800. 
(D) 850. 
(E) 900.
12) VUNESP - Analista Administrativo - Emplasa - 2014
Jonas está isolado no deserto a 100 km de distância de sua tribo e possui uma carga 
de 300 bananas. Ele tem um camelo que consegue transportar 100 bananas por 
vez, mas, para andar 1 km, o camelo precisa comer uma banana. As bananas po-
dem ser deixadas ao longo do caminho para que o camelo volte para pegar aquelas 
que foram deixadas para trás, lembrando que o camelo sempre precisa comer uma 
banana antes de percorrer 1 km, estando ou não carregado de bananas. O número 
máximo de bananas que esse camelo conseguirá transportar para a tribo de Jonas é
(A) 1. (B) 40. (C) 53. (D) 75. (E) 99.
13) VUNESP - Enfermeiro - UNESP - 2013
 Na sequência a seguir, os números correspondentes a cada letra formam uma se-
quência numérica em ordem decrescente:
F E D C B A
Sabe-se que:
E + C = 24; E – B = 12; B = D – C e D + F = 32.
Nessas condições, é correto afirmar que o maior valor dessa sequência é igual a
(A) 16. (B) 18. (C) 20. (D) 24. (E) 28.
14) VUNESP – Agente – PMRP – 2014 
Uma fábrica de blusas comprou um lote de botões e colocou 7 deles em cada uma 
das blusas do modelo A, utilizando dessa forma todos os botões do lote. Se essa 
fábrica tivesse colocado esses botões nas blusas do modelo B, utilizaria 5 deles 
em cada blusa, e com o total de botões do lote conseguiria colocar botões em 12 
blusas a mais do que conseguiu no modelo A. O número de blusas do modelo B era 
(A) 42. (B) 40. (C) 38. (D) 36. (E) 34.
Matemática • PP177
Anotações
Prof. Pimentel
20) VUNESP – Escriturário – Câmara de Sertãozinho – 2014 
O dono de uma papelaria comprou um lote de cadernos e quer colocá-los em uma 
prateleira formando pilhas com 7 cadernos em cada uma. Se ele colocar 10 cader-
nos em cada pilha, fará 3 pilhas a menos. Sabendo que todos os cadernos do lote 
serão empilhados e cada pilha terá o mesmo número de cadernos, é correto con-
cluir que o número de cadernos do lote é
15) VUNESP – Agente – PMRP – 2014 
Um escritório possui dois arquivos de pastas, A e B, sendo que o arquivo A contém 
o dobro do número de pastas do arquivo B. Sabendo-se que, se 40 quarenta pastas 
do arquivo A forem colocadas no arquivo B, ambos passarão a ter o mesmo núme-
ro de pastas, então o número de pastas dos doisarquivos juntos é
(A) 280.
(B) 270.
(C) 260.
(D) 250.
(E) 240.
16) VUNESP – Agente – PMRP – 2014 
Uma pessoa pretende comprar, em determinada loja, uma balança de cozinha, uma 
jarra de vidro e uma forma para bolos. Se ela comprar os três itens, pagará R$ 50,00, 
mas, se comprar somente a balança mais a jarra, gastará R$ 37,00. Sabendo-se que a 
balança custa R$ 7,00 a mais do que a jarra, então o preço a ser pago na compra de 
duas jarras mais uma forma para bolo será
(A) R$ 43,00.
(B) R$ 44,00.
(C) R$ 45,00.
(D) R$ 46,00.
(E) R$ 47,00.
17) VUNESP – Agente – PMRP – 2014 
Uma pessoa colocou café dentro de uma caneca até atingir 80% da capacidade 
total dela. Ao dar o 1º gole, essa pessoa bebeu 20 mL, e, do 2º gole para frente, 
bebeu sempre 50 mL por vez. Sabendo que a capacidade total da caneca é 400 mL, 
então o número de goles necessários, incluindo o 1º gole, que essa pessoa terá que 
dar para beber todo o café da caneca será
(A) 4. (B) 5. (C) 6. (D) 7. (E) 8.
18) VUNESP – Auxiliar Administrativo –SAAE – São Carlos – 2014 
O dono de uma papelaria comprou 98 cadernos e ao formar pilhas, todas com o 
mesmo número de cadernos, notou que o número de cadernos de uma pilha era 
igual ao dobro do número de pilhas. O número de cadernos de uma pilha era
(A) 12. (B) 14. 
 
(C) 16. (D) 18. (E) 20.
19) VUNESP – Escriturário – Câmara de Sertãozinho – 2014 
Uma pessoa recebeu um abono salarial que corresponde a 1/5 do valor de seu salá-
rio líquido (já com os descontos) e, após quitar uma dívida de R$ 600,00, constatou 
que o valor restante do salário líquido mais o abono correspondia a quatro vezes o 
valor do abono. O salário líquido dessa pessoa é
(A) R$ 1.200,00.
(B) R$ 1.500,00.
(C) R$ 1.800,00.
(D) R$ 2.000,00.
(E) R$ 2.300,00.
(A) 56. (B) 63. (C) 70. (D) 77. (E) 80.
21) VUNESP – Escriturário – Câmara de Sertãozinho – 2014 
Uma pessoa fez biscoitos e irá colocá-los em potes. Se forem colocados 20 biscoitos 
em cada pote, 8 biscoitos ficarão de fora, mas, se forem colocados 22 biscoitos em 
cada pote, ficarão faltando 4 biscoitos no último pote. Sabendo que todos os potes 
deverão ter a mesma quantidade de biscoitos, então o número total de biscoitos 
feitos foi
(A) 124. (B) 126. (C) 128. (D) 130. (E) 132.
Prof. Pimentel
Matemática • PP178
Anotações22) VUNESP – Motorista – Câmara de Sertãozinho – 2014 
Sr. Armando trabalha como motorista. O gráfico mostra, aproximadamente, a quilo-
metragem percorrida por ele em cada semana do mês de outubro.
Esse veículo tem um consumo médio de 8 km/L e o combustível usado para abas-
tecê-lo custa R$ 1,80 o litro. Portanto, o total gasto aproximado, nesse veículo, com 
combustível durante o mês de outubro, foi de
(A) R$ 950,00.
(B) R$ 971,00.
(C) R$ 1.071,00.
(D) R$ 1.100,00.
(E) R$ 1.120,00.
23) VUNESP – Motorista – Câmara de Sertãozinho – 2014 
Uma telefonista da Prefeitura Municipal de Sertãozinho, em um determinado dia, 
atendeu a um total de 200 ligações entre as internas, locais e interurbanas. Sabe-se 
que o número de ligações internas foi o triplo das ligações interurbanas e que as li-
gações locais foram 25 a mais que as ligações internas. Então, o número de ligações 
locais, nesse dia, foi
(A) 25. (B) 50. (C) 60. (D) 75. (E) 100.
24) VUNESP – Telefonista – Câmara de Sertãozinho – 2014 
Segundo a Companhia de Saneamento Básico de São Paulo (Sabesp), em um período 
de 24 horas, uma torneira mal fechada, gotejando, desperdiça 46 litros de água. Con-
siderando que 1 dm3 equivale a 1L, se colocarmos toda a água vazada dessa torneira, 
em caixas de 1/2 m3, ao final de 2 meses estarão completas, aproximadamente,
(A) 7 caixas.
(B) 6 caixas.
(C) 4 caixas.
(D) 3 caixas.
(E) 2 caixas.
25) VUNESP – Educador – PMRP – 2014 
Uma ripa de madeira foi totalmente cortada em pedaços iguais de 25 cm cada um, 
não ocorrendo nenhuma sobra. Se cada pedaço tivesse 20 cm, seria possível dividir 
totalmente essa ripa em 2 pedaços a mais, também sem ocorrer sobras. O compri-
mento total, em metros, dessa ripa era:
(A) 1,0.
(B) 1,5.
(C) 2,0.
(D) 2,5.
(E) 3,0.
Matemática • PP179
Anotações
Prof. Pimentel
26) VUNESP – Educador – PMRP – 2014 
Um escritório comprou várias borrachas para distribuir igualmente entre todos os 
funcionários. Se cada funcionário receber 2 borrachas, sobrarão 7 delas; mas, para 
distribuir 3 borrachas para cada funcionário, faltarão 2 borrachas para um deles. O 
número total de borrachas compradas foi:
(A) 37. (B) 35. (C) 32. (D) 28. (E) 25.
27) VUNESP – Nutricionista – Unifesp – 2014 
A distância entre o primeiro e o último posto de pedágio de uma rodovia é X km. 
Entre eles foram instalados mais três postos, de modo que a distância entre dois 
postos adjacentes seja sempre a mesma, de Y km. Se a soma das distâncias X e Y é 
igual a 525 km, então é correto afirmar que a distância Y, em quilômetros, vale
(A) 105.
(B) 100.
(C) 95.
(D) 90.
(E) 85.
28) VUNESP – Motorista – PMRP – 2014 
Benedita tem certa quantia em um banco. Sua irmã Rosana tem R$ 500,00 a mais 
do que ela. Juntas, elas têm R$ 2.750,00. A quantia que Rosana tem no banco é de
(A) R$ 1.625,00.
(B) R$ 1.525,00.
(C) R$ 1.425,00.
(D) R$ 1.125,00.
(E) R$ 1.025,00.
29) VUNESP – Soldado/SP – 2014 
Foram retiradas de um caldeirão, que continha 3 litros de sopa, 20 conchas cheias, 
restando ainda 1,2 litro de sopa no caldeirão. Sabendo que uma pessoa colocou 3 
dessas conchas de sopa em seu prato e que, para tomá-la, utilizou uma colher com 
12 mL de capacidade, pode-se concluir que o menor número de colheradas neces-
sárias para tomar a sopa toda do prato foi
(A) 15. (B) 18. (C) 20. (D) 25. (E) 23.
30) VUNESP – TJSP – 2014 
Um feirante compra mangas ao preço de R$ 0,80 para cada duas unidades. Certo 
dia, ele vendeu 120 mangas ao preço de R$ 6,60 para cada 6 unidades e n mangas 
ao preço de R$ 4,50 para cada 5 unidades. Se, nesse dia, o lucro obtido com a venda 
das mangas foi igual a R$ 224,00, então o número total de mangas que o feirante 
vendeu, nesse dia, foi
(A) 320.
(B) 420.
(C) 280.
(D) 400.
(E) 480.
31) FCC – Assistente Administrativo – Metrô – 2014 
Uma linha de Metrô inicia-se na 1a estação e termina na 18a estação. Sabe-se que 
a distância dentre duas estações vizinhas é sempre a mesma, exceto da 1a para a 
2a, e da 17a para a 18a, cuja distância é o dobro do padrão das demais estações 
vizinhas. Se a distância da 5a até a 12a estação é de 8 km e 750 m, o comprimento 
total dessa linha de Metrô, da primeira à última estação, é de 
(A) 23 km e 750 m.
(B) 21 km e 250 m.
(C) 25 km.
(D) 22 km e 500 m.
(E) 26 km e 250 m.
Prof. Pimentel
Matemática • PP180
Anotações
(A) 45.
(B) 99.
(C) 63.
(D) 35.
(E) 56.
32) FCC – Técnico – Sabesp – 2014 
Os funcionários que estão em um galpão podem ser agrupadosperfeitamente em 
filas de 9 pessoas. Porém, se em cada fila forem colocados dois funcionários a me-
nos, então serão necessárias duas filas a mais para que todas as filas tenham o 
mesmo número de funcionários. Nas condições dadas, o total de funcionários no 
galpão é igual a
33) FCC – Técnico Administrativo – Câmara Municipal de São Paulo – 2014 
Bia tem 10 anos a mais que Luana, que tem 7 anos a menos que Felícia. Qual é a 
diferença de idades entre Bia e Felícia?
(A) 3 anos.
(B) 7 anos.
(C) 5 anos.
(D) 10 anos.
(E) 17 anos.
34) FCC – Técnico Judiciário –TRT 2ª Região – 2014 
Amanda utiliza pequenas caixas retangulares, de dimensões 20 cm por 20 cm por 
4 cm, para embalar as trufas de chocolate que fabrica em sua casa. As trufas são 
redondas, tendo a forma de bolas (esferas) de 4 cm de diâmetro. Considerando 
que as caixas devem ser tampadas, a máxima quantidade de trufas que pode ser 
colocada em uma caixa dessetipo é igual a
(A) 32.
(B) 25.
(C) 20.
(D) 16.
(E) 12.
35) FCC - Agente de Apoio Adm - Ministério público do amazonas - 2013
No campeonato brasileiro de futebol, cada equipe disputa um total de 38 jogos, re-
cebendo 3 pontos a cada vitória, 1 ponto a cada empate e nenhum ponto em caso 
de derrota. Em 2012, o Fluminense foi o campeão brasileiro, conquistando um total 
de 77 pontos e sendo derrotado apenas 5 vezes. Dessa forma, o número de vitórias 
obtidas pelo Fluminense no campeonato brasileiro de 2012 é igual a
(A) 23 (B) 22 (C) 21 (D) 20 (E) 19
36) FCC - Analista Judiciário - TRT5 - 2013
Para montar, com palitos de fósforo, o quadriculado 2 x2 mostrado na figura a se-
guir, foram usados, no total, 12 palitos.
Para montar um quadriculado 6 x6 seguindo o mesmo padrão, deverão ser usados, 
no total,
(A) 64 palitos.
(B) 72 palitos.
(C) 84 palitos.
(D) 96 palitos.
(E) 108 palitos.
Matemática • PP181
Anotações
Prof. Pimentel
37) FCC - Analista Judiciário - TRT9 - 2013
 Em uma loja de bijuterias, todos os produtos são vendidos por um dentre os seguin-
tes preços: R$ 5,00, R$ 7,00 ou R$ 10,00. Márcia gastou R$ 65,00 nessa loja, tendo 
adquirido pelo menos um produto de cada preço. Considerando apenas essas infor-
mações, o número mínimo e o número máximo de produtos que Márcia pode ter 
comprado são, respectivamente, iguais a
(A) 9 e 10.
(B) 8 e 11.
(C) 8 e 10.
(D) 9 e 13.
(E) 7 e 13. 
38) FCC - Analista Judiciário - TRT9 - 2013
 Em nosso calendário, há dois tipos de anos em relação à sua duração: os bissextos, 
que duram 366 dias, e os não bissextos, que duram 365 dias. O texto abaixo descre-
ve as duas únicas situações em que um ano é bissexto. - Todos os anos múltiplos de 
400 são bissextos exemplos: 1600, 2000, 2400, 2800; - Todos os anos múltiplos de 
4, mas não múltiplos de 100, também são bissextos exemplos: 1996, 2004, 2008, 
2012. 
 Disponível em: (http://www.tecmundo.com.br/
mega-curioso/20049-como-funciona-o-ano-bissexto-.htm. Acesso em 16.12.12)
 Sendo n o total de dias transcorridos no período que vai de 01 de janeiro de 1898 
até 31 de dezembro de 2012, uma expressão numérica cujo valor é igual a n é
(A) 29 + 365 x (2012 −1898 + 1).
(B) 28 + 365 x (2012 −1898).
(C) 28 + 365 x (2012 −1898 + 1).
(D) 29 + 365 x (2012 −1898).
(E) 30 + 365 x (2012 −1898).
39) FCC - Analista de Desenvolvimento e Gestão - Metrô - 2014
 Um caminhante do deserto possui, no ponto A, 20 pacotes de suprimentos diários. 
No deserto, a cada 30 Km, em linha reta, há um abrigo no qual o viajante pode 
dormir para seguir viagem no dia seguinte e também para guardar pacotes de su-
primentos. O caminhante percorre 30 Km por dia e consegue transportar, no má-
ximo, 4 pacotes de suprimentos, sendo que, desses 4 pacotes, um é consumido no 
caminho entre dois abrigos consecutivos. Consumindo sempre um pacote por dia 
de viagem, a maior distância do ponto A, em Km, que esse caminhante conseguirá 
atingir é igual a
(A) 180. (B) 210. C) 150. (D) 240. E) 120.
40) FCC - Analista Judiciário - TRT3 - 2014
 O número de ordens judiciais decretadas pelo Órgão 1, há quatro anos, era igual 
ao número de ordens judiciais decretadas pelo Órgão 2, hoje. Daquela época para 
a atual, o número de ordens judiciais decretadas pelo Órgão 1 não mudou, mas o 
número de ordens judiciais decretadas pelo Órgão 2 cresceu 20%. Sabendo que os 
órgãos 1 e 2 somam, hoje, 6 000 ordens judiciais, então há quatro anos o número de 
ordens judiciais decretadas pelo Órgão 2 era igual a
(A) 2 400. 
(B) 2 600. 
(C) 2 500. 
(D) 2 900. 
(E) 2 800.
Prof. Pimentel
Matemática • PP182
Anotações41) FCC - Agente de Apoio Adm - Ministério público do amazonas - 2013
A numeração dos sapatos brasileiros (N) relaciona-se com o comprimento do pé de 
uma pessoa, em centímetros, (c) por meio da fórmula:
 
N =
5 c + 28
4
De acordo com essa fórmula, o comprimento, em centímetros, do pé de uma pes-
soa que calça 44 deve estar entre
(A) 29 e 30. 
(B) 32 e 33. 
(C) 35 e 36. 
(D) 40 e 41. 
(E) 44 e 45.
Gabarito:
1) C 22) C
2) C 23) E
3) C 24) B
4) E 25) C
5) B 26) E
6) C 27) A
7) E 28) A
8) A 29) E
9) B 30) D
10) E 31) A
11) A 32) C
12) C 33) A
13) C 34) B
14) A 35) B
15) E 36) C
16) A 37) A
17) D 38) C
18) B 39) A
19) B 40) C
20) C 41) A
21) C
Anotações
Prof. Pimentel
M
ó
d
ul
o
Matemática • PP183
12 Porcentagem
O Sr. Pimentel comprou um objeto por R$ 200,00 ao vendê-lo teve um 
lucro de 20% sobre a compra, quanto será que ele lucrou?
Muito simples, ele lucrou exatamente R$ 40,00. 
Agora o Sr. Pimentel quer vender o mesmo objeto e ganhar exatamente 
20% sobre a venda, Quanto ele lucrou?
- ihhhh, complicou tudo, como eu faço? Veremos mais adiante.
O assunto é de grande utilização em nosso cotidiano. É comum o uso da 
porcentagem na comparação de valores, aumentos e perdas de uma forma simples 
e universal. 
O domínio desta ferramenta torna-se indispensável para a maioria dos 
problemas relativos à matemática comercial, nem sempre a resolução é tão óbvia, 
como vimos na introdução, é necessário um pouco mais de atenção.
APRESENTAÇÃO
Quando nos referimos a vinte por cento, estamos falando em 20 dividido 
por cem, podendo ser escrito da seguinte forma:
Forma Percentual Forma fracionária Forma decimal
20% 20 100 0,20
Importante, devemos praticar para transformar uma forma de apresentar 
na outra, uma vez que todas serão usadas dependendo do exercício.
Exemplo:
a) 2,37% = 0,0237 Para passar de porcentagem para forma decimal, basta deslocar a vírgula duas casas para esquerda
b) 0,32 = 32% Para passar da forma decimal par porcentagem basta deslocar a virgula duas casas para direita
c) 1,23 = 123%
d) 3 = 300%
Prof. Pimentel
Matemática • PP184
AnotaçõesResolvendo os exercícios:
Nos exercícios que envolvem esse assunto, sempre estaremos procuran-
do a porcentagem de alguma coisa.
Juntando nossos conceitos:
A porcentagem é uma fração de denominador 100
As palavras: da – de – do tem o significado de multiplicação.
Alguma coisa: é onde esta incidindo a porcentagem.
Portanto quando o aluno afirma que se passar no concurso ele vai doar 
30% do seu primeiro salário ao Pimentel.
Como o salário inicial deste concurso é de R$ 8.000,00. Entendemos que 
ele dará ao Pimentel
30
 × 8.000 = 2.400,00
100
O salário onde esta incidindo a porcentagem recebe o nome de valor prin-
cipal. Este sempre equivale ao inteiro, ou seja, a 100%. 
Porcentagem = Taxa × Valor Principal 
Resolvendo através de regra de três.
Quando conhecemos o valor principal, podemos aplicar a regra de três 
uma vez que sabemos a relação de duas grandezas.
O exemplo acima, sendo resolvido por regra de três, ficaria assim:
Salário %
8.000 100
Como essa regra de três é diretamente proporcio-
nal, podemos rezar.
x 30
x = 8.000 × 30 = R$ 2.400,00100
 
DICA
Toda vez que o valor principal é conhecido, podemos 
resolver por regra de três.
Matemática • PP185
Anotações
Prof. Pimentel
Quadradinho
A ideia de visualizar as frações por meio dos “quadradinhos” vale tam-
bém para a porcentagem.
Exemplo
Gastei 20% do meu salário com aluguel. Do resto, gastei 60% em compras. 
Depositei R$ 3600,00 que sobrou. Quanto é meu salário?
a. representar o salário por um retângulo (“quadradinho”) 
b. Saber que 20 % é o mesmo que 1/5 facilita muito. Mas nem sempre os números 
são práticos assim. Então divida em duas partes e pinte uma.
20%
% do resto em 
compras
Cuidado para não confundir com 60 % do salário todo.
20%
60%
3.600 (40%)
Quando fazemos uso desta ferramenta, temos um facilitador grande que 
é a visualização.Primeira regra de três:
40% 3.600
100% x
x = 100 × 3.600 = 9.00040
x = 9.000 (o valor correspondente a 2ª parte, que equivale a 80% do total).
Segunda regra de três:
80% 9.000
100% x
x = 100 × 9.000 = 11.25080
x = 11.250
Prof. Pimentel
Matemática • PP186
Anotações
Conferindo
Salário = 11.250
Aluguel = 20 % de 11.250 = 2.250
Compras = 60% do resto = 60 × 9.000 = 5.400100
Sobra = 3.600
Exemplo 02
Quanto vale 30% de R$ 1.400,00?
{ Valor Principal (VP)= R$ 1.400,00Taxa (i) = 30%
Porcentagem (P) = ?
Opção I: pelo valor principal
P = i × VP 
P = 30 × 1.400 = 420100
Exemplo 03
Sabendo que ao pagar uma conta antecipadamente tive um de desconto 
de R$ 300,00, correspondente a 15%. Determinar o valor que paguei.
{ Valor Principal = VPTaxa de desconto (i) = 15%
Porcentagem de desconto = R$ 300,00
Opção I : pelo valor principal
P = i × VP 
P = 15 × VP 100
VP = 300 × 100 15
VP = 2.000
Como o Valor Principal é R$ 2.000,00 e o desconto foi de R$ 300,00 con-
cluímos que o valor pago foi de R$ 1.700,00, ou seja, a diferença. 
Perceba que neste caso não seria necessário calcular o Valor Principal e 
sim a diferença (valor pago). Aplicando uma regra de três acharíamos o valor mais 
rapidamente.
Matemática • PP187
Anotações
Prof. Pimentel
OPERAÇÕES DE COMPRA E VENDA QUE UTILIZAM PORCENTAGEM
No nosso dia a dia é comum aparecer problemas do tipo:
Comprei uma mercadoria por x e a revendi por y, com essas informa-
ções, qual foi o lucro sobre a compra; ou qual foi o lucro sobre a venda? 
Comprei uma mercadoria por x; por quando devo vendê-la para ganhar 
uma determinada margem de lucro, podendo ser sobre o valor da compra ou sobre 
o valor da venda?
Vendi uma mercadoria por y, com um prejuízo de i % sobre a compra, 
qual foi o valor do meu prejuízo?
Para resolver exercícios desses tipos, vamos lembrar uma relação impor-
tante entre a venda e compra
Venda = Compra + Lucro
ou
Venda = Compra – Prejuízo
O importante é sabermos que as relações acima são válidas tanto para porcen-
tagem como também para os valores, tal fato nos permite a montar as seguintes 
tabelas:
VENDA = COMPRA + LUCRO
%
R$
ou
VENDA = COMPRA – PREJUÍZO
%
R$
Agora vamos distribuir nas células os valores conhecidos como também o 
que estamos procurando chamaremos de x; lembrando sempre que o Valor Princi-
pal (onde esta incidindo a % sempre será 100%; a relação escrita na primeira linha 
da tabela deverá ser observada.
Após a distribuição teremos pronto uma regra de três
Exemplo 1
Uma mercadoria foi adquirida por R$ 200,00 e vendida com lucro de 25% 
sobre a compra, qual foi o valor da venda?
{ Compra = 200Lucro de 25% sobre a compra
Venda = ?
 Já sabemos que compra corresponde a 100% (V.P.) e o lucro será de 25%, 
sabemos também o valor da compra e estamos procurando a; distribuindo os va-
lores conhecidos, temos:
Prof. Pimentel
Matemática • PP188
AnotaçõesVENDA = COMPRA + LUCRO
125 100 25 %
x 200 R$
Observem que as duas primeiras colunas nos dá uma regra de três diretamente 
proporcional. Portanto basta resolve-la.
 
% R$
100 200 x = 125 × 200 = 250100
125 x
Exemplo 2
Uma mercadoria foi adquirida por R$ 300,00 e vendida com lucro de 40% 
sobre a venda, qual foi o valor do lucro?
{ Compra = 300Lucro de 40% sobre a venda
Lucro = ?
 Já sabemos que venda corresponde a 100% (V.P.); e o lucro será de 40%, 
portanto a compra corresponde a 60%
Sabemos também o valor da compra e estamos procurando o lucro (x); 
distribuindo os valores conhecidos, temos:
VENDA = COMPRA + LUCRO
100 60 40 %
300 x R$
Resolvendo a regra de três. 
% R$
60 300 x = 300 × 40 = 20060
40 x
Exemplo 3
Uma mercadoria foi comprada por R$ 350,00 e vendida com prejuízo de 
40 % sobre a venda, qual foi o valor do prejuízo?
{ Compra = 350Prejuízo de 40% sobre a venda
Prejuízo = ?
Já sabemos que venda corresponde a 100% (V.P.) e o prejuízo será 
de 40%, portanto a compra corresponde a 140% , este valor foi obtido da 
equação Venda = compra – prejuízo (100 = x – 40) → x = 140 
Matemática • PP189
Anotações
Prof. Pimentel
 Sabemos também o valor da compra e estamos procurando o prejuízo 
(x); distribuindo os valores conhecidos, temos:
VENDA = COMPRA – PREJUÍZO
100 140 40 %
350 x R$
 Observem que a segunda e terceira colunas nos fornece a regra de três.
% R$
140 350 x = 350 × 40 = 100140
40 x
 
Exemplo 4
Uma pessoa vendeu uma mercadoria por R$ 400,00, sabendo que teve 
um prejuízo de 20% sobre a compra. De quanto foi seu prejuízo.
{ Compra = 400Prejuízo de 20% sobre a compra
Lucro = ?
 Já sabemos que compra corresponde a 100% (V.P.); e o prejuízo de 20%, 
portanto a venda corresponde a 80%
Sabemos também o valor da venda e estamos procurando o prejuízo (x); 
distribuindo os valores conhecidos, temos:
Agora a regra de três é formada pela primeira e terceira coluna; despreza-
mos a segunda coluna.
VENDA = COMPRA – PREJUÍZO
80 100 20 %
400 x R$
% R$
80 400 x = 20 × 400 = 10080
20 x
 
O uso dessa ferramenta, apelidada como o quadradinho do Pimentel, 
quando distribuída corretamente nos fornecerá a regra de três simples evitando 
dessa forma que o aluno tenha que decorar uma porção de fórmulas.
Ainda sobre o quadradinho do Pimentel, podemos trocar as palavras: 
venda, compra, lucro e prejuízo respectivamente por Valor final, Valor inicial, au-
mento e abatimento. Desta forma podemos usar a ferramenta para qualquer situ-
ação, não ficando restrito somente para operações comerciais de compra e venda.
Prof. Pimentel
Matemática • PP190
AnotaçõesDICAS IMPORTANTES
O valor principal é sempre 100%
Quando dois valores de uma linha são conhecidos sempre é possível 
determinar o 30 valor. A equação colocada na primeira linha sempre 
tem que ser observada na distribuição dos valores (soma ou subtra-
ção) Uma coluna sempre é desprezada na regra de três.
DEDUZINDO FÓRMULAS
Se você tem facilidade para guardar fórmulas e não se adaptou com a 
ferramenta acima, vamos deduzir algumas delas.
Quando o lucro ou prejuízo for sobre a compra ele será uma porcentagem 
da compra, que podemos escrever i × C , agora se for sobre a venda, será porcen-
tagem sobre esta, e escrevemos i × V.
Substituindo esses valores nas relações:
Lucro s/ compra Lucro s/ venda Prejuízo s/ compra Prejuízo s/ 
venda
V = C + L V = C + L V = C – P V = C – P
V = C + i × C V = C + i × V V = C – i × C V = C – i × C
V – i × V = C V + i × V = C
V = C (1 + i) C = V (1 – i) V = C (1 – i) C = C (1 + i)
C = V(1 + i) V =
C
(1 – i) C =
V
(1 – i) V =
C
(1 + i)
V = (1 + i)C
C = (1 – i)V
V = (1 – i)C
C = (1 + i)V
Observem que temos 12 fórmulas diferentes, é muito mais fácil resolver 
através do “quadradinho do Pimentel”
A expressão (1 ± i) recebe o nome de índice.
É muito comum usarmos as relações abaixo para determinarmos o valor 
da % .
Porcentagem sobre 
o valor inicial
Vfinal = (1 ± i)Vinicial
Para determinar i, após a divisão, 
basta subtrair I do resultado e obte-
remos o valor procurado na forma 
decimal.Porcentagem sobre o valor final
Vinicial = (1 ± i)Vfinal
 
DICAS IMPORTANTES
Sempre será denominador o Valor Principal (aquele onde incide a 
porcentagem). Ao efetuar a divisão devemos passar o resultado que 
está na forma decimal para percentual. O valor que exceder 100% 
representa o aumento. O valor que falta para completar 100% repre-
senta a % deduzida
 
Matemática • PP191
Anotações
Prof. Pimentel
Exemplo 1
Um produto que custava R$ 800,00 foi vendido por R$ 700,00, de quanto 
foi o desconto 
{ Vinicial = 400Vfinal = 700
Taxa de desconto sobre o valor inicial= ?
 Para resolver basta dividir Valor final pelo valor inicial
Vfinal = (1 – i) = 700 = (1 – i)= 0,875 = 87,5% está faltando 12,5% para completar 100%Vinicial 800
 Portanto o desconto foi de 12,5%
Exemplo 2
Quantos % teve de aumento uma mercadoria que foi de R$ 1200,00 para 
R$ 1.500,00.
{ Vinicial = 1.200Vfinal = 1.500
Taxa de desconto sobre o valor inicial = ?
 Para resolver basta dividir Valor final pelo valor inicial
Vfinal = (1 + i) = 1.500 = (1 + i) = 1,25 = 125% esta excedendo 25% de 100%Vinicial 1.200
Portanto o aumento foi de 25%
Exemplo 3
Para aumentar 40 % o preço de uma mercadoria que hoje é vendida por 
R$ 600,00. Por quanto deverei vende-la?
{ Vinicial = 600Vfinal = ?
Taxa de desconto sobre o valor inicial = ?
Para resolver basta usar a relação:
Vfinal = Vinicial (1 + i) 
Vfinal = 600 × 1,40 = 840,00 
Essa forma de resolver os exercícios é muito interessante uma vez que se 
ganha tempo, a desvantagem é a necessidade de memorizar as fórmulas.
AUMENTOS E DESCONTOS SUCESSIVOS
Há situações onde valores sofrem alterações (aumentos ou descontos) no 
decorrer do tempo.
Prof. Pimentel
Matemática • PP192
AnotaçõesImagine que uma pessoa durante algum tempo ela teve 4 aumentos de 
salários, sendo de 20%; 25%; 10% e finalmente 40%. De quanto foi o aumento real 
do seu salário?
A única atitude que não podemos tomar é somar as porcentagens, uma 
vez que a porcentagem de uma incide também em cima daquelas já aplicadas.
Uma forma prática para resolver o problema é usar a “Reguinha do Pimentel”
Para fazer uso dessa ferramenta vamos incialmente dar um valor de R$ 
100,00 para o salário, em seguida aplicar a 1ª porcentagem, somar aos 100, assim 
vamos obter o 2º valor, repetindo a operação até aplicar todas as porcentagens; 
apurado o valor final a diferença entre este e o inicial representará nesse caso o 
aumento, como iniciamos com o valor de R$ 100,00 ela coincidirá com o valor da 
porcentagem. 
100
+ 20
120
+ 30
150
+ 15
165
+ 66
231
+ 20% + 25% + 10% + 40%
Neste caso o aumento foi de (231 – 100) = 131%
Exemplo 2
Uma mercadoria, adquirida por R$ 17.879,25 , teve seu preço aumentado 
em 10% para compensar os impostos, o comerciante trabalha com uma margem 
de 20% sobre as despesas (mercadoria + imposto), porém, a inflação projetada até 
a venda é de 5%. Não conseguindo vender ele fez uma promoção dando 10% de 
desconto Desta forma qual foi a variação do valor da mercadoria desde a primeira 
compra até o final.
Vamos trocar o valor inicial por R$ 100,00
100
+ 10
110
+ 22
132
+ 6,6
138,6
– 13,86
124,74
+ 10% + 20% + 5% – 10%
Neste caso o aumento foi de (124,74 – 100) = 24,74%
 
Exemplo
Uma mercadoria teve os seguintes reajustes: aumento de 10%, 20% e 
25% e finalmente um desconto de 40%. Quanto essa mercadoria aumentou ou di-
minuiu no final ?
100
+ 10
110
+ 22
132
+ 33
165
– 66
99
+ 10% + 20% + 25% – 40%
Neste caso a mercadoria foi vendida com prejuízo de 1% (V1(final) – V1(inicial)) = (99 – 100)
Matemática • PP193
Anotações
Prof. Pimentel
Resolvendo por fórmula.
Para resolvermos o exercício acima, para o primeiro aumento temos:
Vfinal = Vinicial × (1 + i)
O segundo aumento será aplicado em cima do valor final obtido na pri-
meira operação, o terceiro aumento será aplicado em cima do valor obtido na se-
gunda operação, assim por diante. Desta forma teremos:
Vfinal = Vinicial × (1 + i) (1 ± i1 1) × (1 ± i1 2) × (1 ± i1 3) × (1 ± i1 4) ... × (1 ± i1 n)
 (1 ± if)
Na fórmula acima, quando temos aumento usamos (1 + i) e quando hou-
ver desconto (1 – i)
Observem que para determinar a taxa final não há necessidade de conhe-
cermos nem o valor inicial nem o valor final.
(1 ± if) = (1 ± i1 1) × (1 ± i1 2) × (1 ± i1 3) × (1 ± i1 4) ... × (1 ± i1 n)
Como (1 ± if) é o produto de vários índices e como a multiplicação goza da 
propriedade comutativa não importa a ordem que escrevemos esses índices.
DICA IMPORTANTE
Quando um produto sofre vários aumentos e/ou descontos sucessi-
vos:
Transformamos as taxas em índice e multiplicamos.
Quando temos a sensação de soma das taxas, transformamos em ín-
dice e multiplicamos, no resultado final subtraímos 1; se o resultado 
for positivo haverá aumento, se negativo, perda .
Exemplo: 
Resolver usando a fórmula
Uma mercadoria, adquirida por R$ 17.879,25 teve seu preço aumentado 
em 10% para compensar os impostos, o comerciante trabalha com uma margem 
de 20% sobre as despesas (mercadoria + imposto), porém, a inflação projetada até 
a venda é de 5%. Não conseguindo vender ele fez uma promoção dando 10% de 
desconto Desta forma qual foi a variação do valor da mercadoria desde a primeira 
compra até o final.
Para resolver esse exercício não interessa nem o valor inicial nem o final, 
basta usar a fórmula:
(1 ± if) = (1 ± i1 1) × (1 ± i1 2) × (1 ± i1 3) × (1 ± i1 4) ... × (1 ± i1 n)
(1 ± if) = (1 + 0,10) × (1 + 0,20) × (1 + 0,05) × (1 – 0,10) 
(1 ± if) = (1,10) × (1,20) × (1,05) × (0,90) = 1,2474 (subtraindo 1 do resultado ficamos 
com 0,2474 = 24,74%)
Prof. Pimentel
Matemática • PP194
AnotaçõesDETERMINANDO A TAXA REAL
Um comerciante compra um objeto por R$ 120,00 e o revende por R$ 150,00, 
porém a taxa de inflação desse período foi de 20%. Qual foi o ganho real deste co-
merciante?
Inicialmente vamos dividir o Vfinal pelo Vinicial para descobrir de quanto foi 
o ganho aparente.
Vfinal = (1 + i) = 150 = 1,25 → (1 + i) = 1,25 portanto i = 0,25 = 25%Vinicial 120
 25% recebe o nome de taxa aparente, pois da a impressão que este foi 
o ganho do comerciante.
Porém os 25% é a composição de duas taxas: a primeira é a inflação e a 
segunda o ganho real.
Tendo em vista o exposto, podemos afirmar que: 
(1 + iaparente) = (1 + i1 inflação) × (1 ± i1 real)
 (1,25) = (1 ,20) × (1 + i1 real) → (1 + i1 real) =
 1,24 = 1,04161,20
Portanto i real = 0,04166 = 4,166%
Quando a taxa aparente for menor que a inflação o comerciante teve 
um ganho negativo que significa teve prejuízo.
QUESTÕES DE CONCURSOS
1)	 VUNESP	-	Oficial	de	Manutenção	-	Prefeitura	de	Sorocaba	-	2014
Um cursinho não conseguiu aprovar no exame vestibular 693 de seus alunos. Esse 
número corresponde a 77% do total de alunos do cursinho. O número de alunos 
desse cursinho que foram aprovados no vestibular é:
(A) 203. 
(B) 207. 
(C) 211. 
(D) 214. 
(E) 210.
2) VUNESP - SECRETÁRIO - PROCON-SP - 2013
Em 500 litros de combustível, 75% é de gasolina e o restante, de álcool. Para que 
esse combustível venha conter 20% de álcool, é necessário adicionar de gasolina 
um volume, em litros, igual a: 
(A) 25. 
(B) 75. 
(C) 100. 
(D) 110. 
(E) 125.
Matemática • PP195
Anotações
Prof. Pimentel
6) VUNESP - Tecnico em metrologia e qualidade - IPEM - 2013
Em um grupo de 450 pessoas pré-selecionadas para um teste de mercado de certo 
produto, 60% eram do sexo feminino. O número de mulheres que devem ser ex-
cluídas desse grupo, para que 45% das pessoas restantes sejam do sexo masculino, 
conforme determinação do fabricante, é
3) VUNESP - Agente de Trânsito - Detran - 2013
A parcela do crediário que Carla fez para a compra de um automóvel sofreu um 
reajuste de 20% no mês anterior. Antes do reajuste, o valor dessa prestação corres-
pondia a 10% do seu salário, o qual também sofreu um aumento de 7% no mesmo 
mês. Após esses reajustes, a prestação do crediário passou a representar, do salário 
de Carla, aproximadamente
(A) 13%. 
(B) 12%. 
(C) 11%. 
(D) 15%. 
(E) 14%.
4) VUNESP - Soldado PM - Polícia Militar - SP - 2014
Certo produto, para pagamento à vista, tem 5% de desconto sobre o valorda eti-
queta, mas se for pago com cartão de crédito terá um acréscimo de 3% sobre o va-
lor da etiqueta. Uma pessoa pagou por esse produto, à vista, o valor de R$ 114,00. 
Se ela tivesse comprado no cartão de crédito, teria pagado o valor de
(A) R$ 123,60. 
(B) R$ 118,50. 
(C) R$ 120,80. 
(D) R$ 126,30. 
(E) R$ 112,70.
5)	 VUNESP	-	Oficial	Adm	-	PC	-	Policia	Civil	-	2014
A mais antiga das funções do Instituto Médico Legal (IML) é a necropsia. Num de-
terminado período, do total de atendimentos do IML, 30% foram necropsias. Do 
restante dos atendimentos, todos feitos a indivíduos vivos, 14% procediam de aci-
dentes no trânsito, correspondendo a 588. Pode-se concluir que o total de necrop-
sias feitas pelo IML, nesse período, foi:
(A) 2 500. 
(B) 1 600. 
(C) 2 200. 
(D) 3 200. 
(E) 1 800.
(A) 20. (B) 30. (C) 45. (D) 25. (E) 50.
7)	 VUNESP	-	Agente	de	escolta	-	Secretaria	de	estado	de	justiça	-	ES	-	2013
Para uma festa foram convidadas 150 pessoas, mas 30% não compareceram e, das 
pessoas que estavam presentes, 20% foram embora antes do final. Em relação ao 
total de pessoas convidadas, as que ficaram até o final da festa representam uma 
porcentagem de:
(A) 56%. (B) 54%. (C) 48%. (D) 52%. (E) 50%.
8)	 VUNESP	-	Agente	de	Segurança	Penitenciária	-	Secretaria	da	Administração	
Penitenciária - 2013
Uma pessoa comprou um produto exposto na vitrine por um valor promocional de 
20% de desconto sobre o preço P do produto. Como ela pagou em dinheiro, teve 
mais 10% de desconto sobre o valor promocional. Então, essa pessoa pagou, sobre 
o preço P do produto, um valor igual a
(A) 0,28P. 
(B) 0,03P. 
(C) 0,7P. 
(D) 0,3P. 
(E) 0,72P.
9) VUNESP - Agente de escolta - Sec. Adm. Penitenciaria - 2013
Uma loja vendeu no mês de janeiro e no mês de março, respectivamente, 180 e 
270 unidades de determinado produto. Sabendo que as vendas desse produto no 
mês de março tiveram um aumento de 25% em relação às vendas do mesmo pro-
duto no mês de fevereiro, pode-se concluir que, em relação ao mês de janeiro, as 
vendas desse produto em fevereiro tiveram um aumento de
(A) 15% (B) 25%. 
 
(C) 10%. (D) 5%. (E) 20%. 
 
Prof. Pimentel
Matemática • PP196
Anotações
13) VUNESP – AGENTE – PMRP – 2014
A tabela mostra o resultado de uma pesquisa feita com 160 pessoas sobre o núme-
ro de computadores que possuem em casa.
Número de computadores Número de pessoas
0 8
1 24
2 96
3 ou mais 32
10) VUNESP - Agente técnico de assistência à saúde - IMESC - 2013
O número de habitantes de um bairro cresce 20% ao ano. Daqui a 3 anos, o número 
de habitantes será maior em:
(A) 54%. 
(B) 60% 
(C) 64% 
(D) 70%
(E) 72,8% 
11)	 VUNESP	-	Agente	de	Organização	Escolar	-	Secretaria	de	estado	da	Educação	
- SP - 2012
As lentes A, B, C e D têm, respectivamente, as funções de ampliar 20%, ampliar 10%, 
reduzir 50% e reduzir 20%. Luiz, Pedro e Túlio estão observando um mesmo objeto com 
ordenações diferentes das quatro lentes, como indica a figura. Admita que, fisicamente, 
a imagem gerada por uma lente seja o objeto para a lente seguinte.
 
É correto afirmar que
(A) os três verão o objeto com 52,8% do tamanho original.
(B) os três verão o objeto com 40% do tamanho original.
(C) os três verão o objeto com 13,2% do tamanho original.
(D) Luiz verá o objeto em tamanho maior que o visto por Túlio.
(E) Pedro verá o objeto em tamanho maior que o visto por Luiz.
12) VUNESP – AGENTE – PMRP – 2014
Uma pessoa misturou dentro de uma mesma jarra 500 mL de suco de laranja da 
marca A mais 300 mL de suco de laranja da marca B, ambos com adoçantes líquidos 
já adicionados.
Sabendo-se que a quantidade de adoçante do suco A corresponde a 3% dos 500 mL 
e a quantidade de adoçante do suco B corresponde a 1% dos 300 mL, então a por-
centagem de adoçante em relação ao total de suco colocado dentro da jarra será de
(A) 2,35%.
(B) 2,30%.
(C) 2,25%.
(D) 2,20%.
(E) 2,15%.
Matemática • PP197
Anotações
Prof. Pimentel
14)	VUNESP	–	Técnico	Administrativo	–	SAAE	–	São	Carlos	–	2014
No início do ano, uma escola de idiomas teve 140 alunos matriculados para o módu-
lo Ι do curso de espanhol, mas no decorrer do 1º semestre, 20 alunos desistiram do 
curso e, 15% dos alunos que permaneceram, não foram aprovados para o próximo 
módulo, no 2º semestre. Considerando o total de alunos inscritos no início do ano, 
e sabendo que nenhuma matrícula a mais foi feita para esse curso, o número de 
alunos aprovados no módulo Ι corresponde, aproximadamente, a
(A) 73%.
(B) 70%.
(C) 67%.
(D) 64%.
(E) 60%.
Prof. Pimentel
Matemática • PP198
Anotações
17)	VUNESP	–	Escriturário		–	Câmara	de	Sertãozinho	–	2014
A tabela mostra uma pesquisa feita com 300 adolescentes sobre o número de ho-
ras, por dia, que eles ficam conectados a redes sociais na internet.
NÚMERO DE HORAS POR 
DIA
NÚMERO DE 
ADOLESCENTES
A 2 ou mais 6
B Mais que 2 e menos que 4 165
C De 4 a 6 99
D Mais que 6 30
O gráfico que representa os dados da tabela, em porcentagem, é
15)	VUNESP	–	Escriturário		–	Câmara	de	Sertãozinho	–	2014
Um minicurso foi oferecido em dois horários diferentes e teve, no total 140 pessoas 
inscritas. Porém, no dia do minicurso, 20 pessoas inscritas no 1º horário pediram 
transferência para o 2º horário e, como foram atendidas, isso fez com que o número 
de pessoas presentes no 1.º horário correspondesse a 40% do número de pessoas 
presentes no 2º horário. Sabendo que todos os 140 inscritos compareceram, o nú-
mero de pessoas presentes no 2º horário foi
(A) 84. (B) 87. (C) 92. (D) 95. (E) 100.
16)	VUNESP	–	Escriturário		–	Câmara	de	Sertãozinho	–	2014
Em uma empresa, 20% dos funcionários têm idade acima de 50 anos e 25% desses 
funcionários já estão aposentados, mas continuam trabalhando. Sabendo que o 
número de funcionários aposentados é 12, então, o número de funcionários dessa 
empresa é
(A) 185. (B) 200. (C) 218. (D) 236. (E) 240.
Matemática • PP199
Anotações
Prof. Pimentel
18) VUNESP – EDUCADOR SOCIAL – PMRP – 2014
Em uma fila de banco, há 20 homens e 12 mulheres.
Sabendo que 20% dos homens e 25% das mulheres desistiram de ficar na fila e que 
ninguém mais entrou nessa fila, então, em relação ao número de pessoas que per-
maneceram na fila, o número de mulheres representa uma porcentagem de
(A) 36%. (B) 38%. (C) 40%. (D) 42%. (E) 44%. 
19) VUNESP – EDUCADOR SOCIAL – PMRP – 2014
Uma pessoa quer colocar 2 litros de água em uma panela e, para isso, colocou 3 
vezes uma caneca cheia de água. Sabendo que a capacidade total da panela é de 
3 litros e que a água colocada corresponde a 40% da capacidade total da panela, 
então, o número de canecas cheias de água que ainda precisam ser colocadas nessa 
panela para se obter os dois litros é:
(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. (E) 4.
20) VUNESP – NUTRICIONISTA – UNIFESP – 2014
Do preço de venda de certo produto, um fabricante paga10% de comissão ao re-
presentante comercial. Do restante, 40% correspondem ao custo do produto. Se o 
custo desse produto é R$ 900,00, então o seu preço de venda é igual a
(A) R$ 2.000,00.
(B) R$ 2.250,00.
(C) R$ 2.500,00.
(D) R$ 2.750,00.
(E) R$ 3.000,00.
Prof. Pimentel
Matemática • PP200
Anotações
22) VUNESP – NUTRICIONISTA – UNIFESP – 2014 
Levantamento realizado por um varejista mostra a distribuição porcentual, por sexo 
e faixa etária, dos compradores do produto XIS em determinado período.
Sabendo-se que, nesse período, a diferença entre o número de homens e o de mu-
lheres que compraram esse produto foi igual a 48, pode-se afirmar que o número 
de pessoas de 26 a 30 anos que compraram o produto XIS, nesse período, foi
21) VUNESP – NUTRICIONISTA – UNIFESP – 2014 
As receitas da Sorvetes Gellatto no 1º e no 2º bimestres de 2013 tiveram, em relação 
à receitado último bimestre de 2012, um acréscimo de 20% e uma queda de 40%, 
respectivamente. Sabendo-se que a receita média bimestral no período considerado 
(último bimestre de 2012 até o 2º bimestre de 2013) foi igual a R$ 840.000,00, é cor-
reto afirmar que a receita do 2º bimestre de 2013 foi igual a
(A) R$ 360.000,00.
(B) R$ 420.000,00.
(C) R$ 480.000,00.
(D) R$ 540.000,00.
(E) R$ 560.000,00.
(A) 168. (B) 175. (C) 184. (D) 192. (E) 226.
23) VUNESP – SOLDADO PM – SP – 2014 
A loja de artigos de um clube de futebol vende 4 modelos diferentes de camisas 
desse clube. A tabela mostra a quantidade de camisas vendidas de cada um dos 
modelos, no mês de outubro.
Modelo Quantidade de camisas vendidas
A 114
B 133
C 57
D 76
Considerando-se o total de camisas vendidas nesse mês de outubro, o gráfico que 
representa corretamente essas informações, em porcentagem, é
 
Matemática • PP201
Anotações
Prof. Pimentel
 
24) VUNESP – TJSP - 2014
A Câmara dos Deputados aprovou ontem a Medida Provisória n. 647, que permite 
ao governo elevar para até 27,5% o limite de etanol anidro misturado à gasolina 
vendida nos postos de combustível. Hoje, esse teto é de 25%. (O Estado de S.Paulo, 
07.08.2014)
Suponha que dois tanques, A e B, contenham quantidades iguais, em litros, de um 
combustível formado pela mistura de gasolina e de álcool anidro, sendo 25% o teor 
de álcool na mistura do tanque A e 27,5%, o teor de álcool na mistura do tanque B. 
Nessas condições, é correto afirmar que a quantidade de álcool no tanque B supera 
a quantidade de álcool no tanque A em
(A) 2,5%
(B) 7,5%
(C) 10%
(D) 8%
(E) 5%
Prof. Pimentel
Matemática • PP202
Anotações25)	FCC	–	Técnico	Administrativo	–	SABESP	–	2014	
A Sabesp e o Governo do Estado criaram o bônus de 30% de desconto na conta 
para quem economizar no mínimo 20% de água, antes apenas para consumidores 
do Sistema Cantareira e em 1º de abril ampliado para toda a Região Metropolitana 
de São Paulo. 
(Disponível em: http://sistemacantareira.com.br. Acesso em: 16/04/2014) 
Antes do programa de bonificação por redução no consumo de água, a residência 
da família Andrade consumia 22 m3 de água por mês. Logo no primeiro mês des-
se programa, a residência da família Andrade conseguiu ganhar a bonificação por 
redução no consumo. De acordo com os dados, é correto afirmar que, no mês da 
bonificação, o consumo mensal de água da residência da família Andrade foi
(A) menor ou igual a 14,4 m3.
(B) de 0 a 17,6 m3.
(C) menor ou igual a 4,4 m3.
(D) de 0 a 4,4 m3.
(E) de 0 a 14,4 m3.
26)	FCC	–	Técnico	Administrativo	–	SABESP	–	2014	
Foram encomendados dois pães por pessoa para uma reunião de 10 casais. No mo-
mento da entrega observouse que faltavam alguns pães para completar o pedido, 
ao que os casais solicitaram nova entrega de tantos pães quanto a metade dos que 
já tinham sido entregues, mais um pão. Feita essa segunda entrega, a encomenda 
inicial se completou corretamente. De acordo com os dados fornecidos, da enco-
menda original de pães, a primeira entrega atendeu apenas a
(A) 65%. (B) 60%. (C) 80%. (D) 75%. (E) 55%.
27)	FCC	–	Técnico	Administrativo	–	SABESP	–	2014	
De acordo com a Organização das Nações Unidas (ONU), cada pessoa necessita 
cerca de 110 litros de água por dia para atender as necessidades de consumo e hi-
giene. No entanto, no Brasil, o consumo por pessoa é de cerca de 200 litros por dia. 
(Disponível em: http://site.sabesp.com.br. Acesso em: 16/04/2014)
Para que o atual consumo diário de água por pessoa no Brasil atinja a recomenda-
ção da ONU, ele tem que ser reduzido em
(A) 40%. (B) 82%. (C) 52%. (D) 20%. (E) 45%.
28)	FCC	–	Técnico	Administrativo	–	Câmara	São	Paulo	–	2014	
O preço de uma mercadoria, na loja J, é de R$ 50,00. O dono da loja J resolve rea-
justar o preço dessa mercadoria em 20%. A mesma mercadoria, na loja K, é vendida 
por R$ 40,00. O dono da loja K resolve reajustar o preço dessa mercadoria de ma-
neira a igualar o preço praticado na loja J após o reajuste de 20%. Dessa maneira o 
dono da loja K deve reajustar o preço em
(A) 20%. (B) 50%. (C) 10%. (D) 15%. (E) 60%.
29)	FCC	–	Técnico	Administrativo	–	Câmara	São	Paulo	–	2014	
O preço de venda de um produto, descontado um imposto de 16% que incide sobre 
esse mesmo preço, supera o preço de compra em 40%, os quais constituem o lucro 
líquido do vendedor. Em quantos por cento, aproximadamente, o preço de venda é 
superior ao de compra?
(A) 67%. (B) 61%. (C) 65%. (D) 63%. (E) 69%.
Matemática • PP203
Anotações
Prof. Pimentel
32)	 FCC	-	Analista	de	Desenvolvimento	e	Gestão	-	Metrô	-	2014
A loja A pretende reduzir em 20% o preço P de determinado produto. A loja B vende 
o mesmo produto pela metade do preço P e pretende aumentar o seu preço de tal 
forma que, após o aumento, seu novo preço ainda seja 10% a menos do que o preço 
já reduzido a ser praticado pela loja A. O aumento que a loja B deve realizar é de
30)	 FCC	-	Agente	de	Apoio	Adm	-	Ministério	público	do	amazonas	-	2013
Dentre todas as pessoas que dão entrada diariamente no pronto-socorro de um 
hospital público, 80% são liberadas no mesmo dia. Dos pacientes que não são li-
berados no mesmo dia, 80% ficam internados no próprio hospital e os demais são 
removidos para outros hospitais. Em relação a todas as pessoas que dão entrada 
diariamente nesse pronto-socorro, os pacientes que são removidos para outros 
hospitais representam
(A) 20% (B) 16% (C) 12% (D) 8% (E) 4%
31) FCC - Analista Judiciário - TRT9 - 2013
Atendendo ao pedido de um cliente, um perfumista preparou 200 m da fragrância 
X. Para isso, ele misturou 20% da essência A, 25% da essência B e 55% de veículo. 
Ao conferir a fórmula da fragrância X que fora encomendada, porém, o perfumista 
verificou que havia se enganado, pois ela deveria conter 36% da essência A, 20% da 
essência B e 44% de veículo. A quantidade de essência A, em mL, que o perfumista 
deve acrescentar aos 200 mL já preparados, para que o perfume fique conforme a 
especificação da fórmula é igual a
(A) 32. (B) 36. (C) 40. (D) 45. 
 
(E) 50.
(A) 50% (B) 30% (C) 44% (D) 56%. (E) 15%.
33)	 FCC	-	Assistente	Adm	Junior	-	Metrô	-	2014
Um comerciante comprou certa mercadoria por R$ 133,00 e quer vender com 20% 
de lucro sobre o preço final de venda. Se ele tem que recolher 10% de impostos 
sobre o preço final de venda, para atingir sua meta de lucro ele terá que vender o 
produto por
(A) R$ 189,90.
(B) R$ 172,80. 
(C) R$ 205,20.
(D) R$ 185,00. 
(E) R$ 190,00.
34)	 FCC	-	Agente	de	Defensoria	Publica	-	Defensoria	pública	de	SP	-	2013
Um comerciante comprou uma mercadoria por R$ 350,00. Para estabelecer o preço 
de venda desse produto em sua loja, o comerciante decidiu que o valor deveria ser 
suficiente para dar 30% de desconto sobre o preço de venda e ainda assim garantir 
lucro de 20% sobre o preço de compra. Nessas condições, o preço que o comercian-
te deve vender essa mercadoria é igual a
(A) R$ 620,00.
(B) R$ 580,00.
(C) R$ 600,00. 
(D) R$ 590,00.
(E) R$ 610,00.
35)	 FCC	-	Analista	Judiciário	–	Execução	De	Mandados	-	TRT1	-	2013
Um investidor comprou um apartamento X e revendeu-o em seguida, conseguindo 
lucro nessa transação. Com a totalidade do dinheiro obtido, comprou um aparta-
mento Y e revendeu-o por um valor 40% maior do que o que havia comprado. Con-
siderando o dinheiro investido no apartamento X e o valor pelo qual foi vendido o 
apartamento Y, o investidor obteve 61% de lucro. Dessa forma, o lucro obtido na 
venda do apartamento X foi de
(A) 10%. B) 12%. (C) 15%. (D) 18%. E) 21%.
Prof. Pimentel
Matemática • PP204
Anotações36)	 FCC	-	Analista	de	Desenvolvimento	e	Gestão	-	Metrô	-	2014
Um ramal do Metrô de uma cidade possui 5 estações, após a estação inicial, e que 
são nomeadas por Água,Brisa, Vento, Chuva e Terra. Essas estações não estão lo-
calizadas no ramal, necessariamente, na ordem dada. Considerando o sentido do 
trem que parte da estação inicial, sabe-se que:
I. os passageiros que descem na estação Chuva, descem na terceira estação após 
os passageiros que descem na estação Vento.
II. os passageiros que descem na estação Brisa, descem antes do que os passagei-
ros que descem na estação Água e também os que descem na estação Vento.
III. a estação Terra não é a estação central das cinco estações.
Dos 500 passageiros que embarcaram no trem na estação inicial, 35% desceram em 
Água, 12% desceram em Brisa, 32% desceram em Chuva, 10% desceram em Terra e 
11% desceram em Vento. Assim, pode-se concluir corretamente que, dos 500 pas-
sageiros que embarcaram no trem na estação inicial, ainda restam no trem, após a 
estação Água, um número de passageiros igual a
(A) 220.
(B) 335. 
(C) 445.
(D) 210.
(E) 450. 
37)	 FCC	-	Analista	Judiciário	–	Execução	De	Mandados	-	TRT1	-	2013
A etiqueta de um produto indica que seu preço é R$ 160. No sistema da loja, po-
rém, um de seus três dígitos foi registrado errado, gerando um valor x% maior do 
que o da etiqueta. Apenas com essas informações, conclui-se que x pode valer, no 
máximo,
(A) 5.
(B) 6.
(C) 19.
(D) 500.
(E) 600.
Gabarito:
1) B 20) C
2) E 21) D
3) C 22) D
4) A 23) D
5) E 24) C
6) E 25) B
7) A 26) A
8) E 27) E
9) E 28) B
10) E 29) A
11) A 30) E
12) C 31) E
13) B 32) C
14) A 33) E
15) E 34) C
16) E 35) C
17) D 36) D
18) A 37) D
19) C
Anotações
Prof. Pimentel
M
ó
d
ul
o
Matemática • PP205
13 Juros
Quando uma loja anuncia que um produto pode ser adquirido por 
R$ 500,00 à vista ou em 5 parcelas de R$ 110,00, ela está cobrando um juro 
que corresponde a R$ 50,00; ou
Se a loja anuncia que uma mercadoria poderá ser adquirida com 10% de 
desconto sobre o valor de etiqueta ou em duas parcelas iguais sendo a primeira a 
vista e a 2ª após um mês, ela também estará cobrando juro que é a diferença entre 
o que se paga à vista e o que deve ser pago à prazo.
Em geral, os juros são calculados periodicamente: ao final de um dia, de 
um mês, de um ano, ou de qualquer outro período pré-fixado por ocasião do inves-
timento ou empréstimo; podemos dizer que juro nada mais é do que o aluguel do 
dinheiro que alguém está utilizando.
JURO SIMPLES
A característica principal é que o pagamento do deverá ser pago ao final 
do investimento ou do empréstimo e não é capitalizado (somado ao capital) ao final 
de cada período.
Por exemplo, considere um empréstimo no valor de R$ 2.000,00 pelo qual 
se deve pagar 5% de juro simples ao mês. Ao final de um mês, o juro será:
Número Período Taxa × (número período)i × n Juro
1 5% × 1= 5% 2.000 × 5 = 100100
2 5% × 2= 10% 2.000 × 10 = 200100
3 5% × 3= 15% 2.000 × 15 = 300100
4 5% × 4= 20% 2.000 × 20 = 400100
n 5% × n = 5% 2.000 × 5 × n = 100 × n100
Generalizando. Podemos afirmar que:
 J = C × i × n
Prof. Pimentel
Matemática • PP206
Anotações
onde: { J = Juro (R$)C = Capital (R$)i = taxa (%)
n = número período (tempo)
Atenção: (taxa) e (tempo), devem trabalhar sempre com a mesma unidade, caso 
isso não ocorra, inicialmente devemos fazer a transformação.
Normalmente trabalharemos com juro comercial, nesse caso, o ano tem 
12 meses e o mês tem 30 dias o que significa que o ano tem 12× 30 dias = 360 dias. 
Dessa maneira para transformar certo nº de dias em ano, basta dividir por 360.
Exemplo: 
Calcular os juros recebidos numa aplicação de R$ 6.000,00 durante 45 
dias a uma taxa de 16% ao ano. Aqui, inicialmente temos que passar 45 dias para 
anos, basta dividir 45 por 360 (verifique a regra de três).
{ J = ?C = R$ 6.000i = 16% a.a
n = 45 dias = 15/365 anos = 1/8
 Aplicando a fórmula
J = C × i × n
J = 6.000 × 16 × 1 = 120100 8
 
JURO EXATO
No calculo do juro exato ( o problema deverá mencionar), o ano tem 365 
dias, para isso é necessário que a taxa seja ao ano e o período dado a ser calculado 
seja dados em dias, ou data inicial e data final de uma aplicação.
Exemplo
Qual o valor do juro exato de uma aplicação de R$ 73.000,00 aplicada no 
dia 24 de março cujo montante foi resgatado no dia 18 de agosto do mesmo ano, 
a taxa de 18% a.a.
Inicialmente vamos determinar o tempo:
Março 7 (31 – 24)
Abril 30
127 ano
365
Maio 31
Junho 30
Julho 31
Agosto 18
Total 127
 
Matemática • PP207
Anotações
Prof. Pimentel
{ J = ?C = 73.000i = 18% a.a
n = 127/365
Aplicando a fórmula
 
J = 73.000 × 18 × 127 = 2 × 18 × 127 × 4.572100 365
JURO ORDINÁRIO
No calculo do juro ordinário ( o problema deverá mencionar), a taxa é 
mensal, porém (para período de 30 dias).
Dessa maneira, como no juro exato, o problema deverá mencionar que é 
juros exatos e o tempo será dado em dias ou data inicial e final da aplicação.
Exemplo
Qual é o valor do juro ordinário de uma aplicação de R$ 2.500,00 cujo 
início foi 18 de fevereiro e o término dia 02 de junho do mesmo ano. Sabendo que 
a taxa de juro era de 3% a.m. 
Inicialmente vamos determinar o tempo:
Fevereiro 18 (28 – 18)
Março 31
112 meses30
Abril 30
Maio 31
Junho 02
Total 112
{ J = ?C = 2.500i = 3% a.m
n = 112/30
Aplicando a fórmula
J = 2.500 × 3 × 112 = 25 × 112 = 280,00100 30 10
 
Será aplicação direta da fórmula quando dos 4 elementos 
de J = C × i × n, conhecemos três deles
 
Prof. Pimentel
Matemática • PP208
AnotaçõesExemplo
Calcular em quanto tempo um capital de $ 1.200,00 renderá $ 144,00 de 
juro, quando aplicado a 3% a.m.
{ J = 144C = 1.200i = 3% a.m
n = ?
Usando a fórmula: J = C × i × n
144 = 1.200 ×
3 × n → n = 144 × 100 → n = 4100 1.200 × 3
Como a taxa é mensal, o tempo encontrado também é dado em meses. 
Portanto são necessários 4 meses.
 
Uma Dica Legal
O juro é uma grandeza proporcional, quando não conhecemos o Ca-
pital e estamos procurando um dos outros três elementos, podemos 
dar um valor para o capital, descobrir o valor procurado ; depois fazer 
a regra de três (uma vez que já temos a relação entre duas grandezas).
Exemplo
Qual o valor dos juros de um capital que foi dividido em 2 partes, sendo 
que a primeira corresponde a 3/7 deste e a segunda o restante. A primeira parte 
ficou aplicada durante 8 meses a uma taxa de 2,5% a.m e a segunda durante 10 
meses a uma taxa de 3% a.m.
Resolução
Vamos dar um valor de R$ 700,00 (lei do mínimo esforço) para o capital, 
desta forma ficaremos com dois bancos de dados:
Primeira parte
{ J = ?C = 300i = 2,5% a.m
n = 8
Segunda parte
{ J = ?C = 400i = 3% a.m
n = 10
Aplicando a regra de 
três
Capital
700
x
Juros
180
25.200
J = C × i × n J = C × i × n
J = 300 ×
2,5
× 8 = 60
100
J = 400 ×
3
× 10 = 120
100
x = 
700 × 25.200
= 98.000
180
Total dos Juros: (60 + 120) = 180 Portanto o Capital será 
de R$ 98.000
 
Matemática • PP209
Anotações
Prof. Pimentel
MONTANTE
Quando uma pessoa aplica seu dinheiro, ao resgatá-lo deverá receber o 
juro + o valor aplicado, esse resultado recebe o nome de montante.
M = C + J
Onde M é o montante, C é o capital e J o juro.
Na relação acima, vamos substituir J = C × i × n.
M = C + C × i × n
 Colocando C em evidência, obtemos:
M = C (1 + i × n)
Essa fórmula relaciona o montante com o capital, com a taxa e com o 
período de tempo. 
Exemplo: Calculando montante
Qual é o montante resultante de uma aplicação de $ 29.800,00 à taxa de 
12% a.a. durante 6 meses ?
{ M = ?C = 29.800i = 12% a.a
n = 6 meses = 1/2 ano
 Pela fórmula de juro simples.
J = C × i × n
J = 29.800 × 12 × 1 = 1.788,00100 2
 Como M = C + J, temos:M = 29.800,00 + 1.788,00 = 31.588,00
Usando a fórmula do Montante
M = C (1 + i × n)
M = 29.800 × (1 + 12 × 1 )100 2
M = 29.800 × ( 106 )100
M = 31.588,00
Repare que o Montante é o mesmo nas duas opções, ou seja, R$ 31.588,00. 
Porém quando temos o valor do Capital, fica fácil o cálculo do juro para 
posterior soma (opção 1).
Prof. Pimentel
Matemática • PP210
AnotaçõesCalculando montante
Coloquei certa quantia em um banco a uma taxa de 16% a.a. e retirei, 
depois de 4 anos, $ 9.840,00. Quanto recebi de juros, sabendo que a aplicação foi 
feita à base de juros simples?
{ M = 9.840J = ?C = ?i = 16% a.a
n = 4 anos
Como M = C (1 + i × n), temos:
9.840 = C × (1 + 16 × 4)100
9.840 = C × ( 100 + 64 )100
9.840 = C × ( 164 )100
9.840 × 100 = C
164
C = R$ 6.000
O capital investido foi, portanto, de $ 6.000,00. Para achar os juros, basta 
subtrair do montante o capital:
M = C + J
J = M – C 
J = 9.840 – 6.000 = 3.840
J = R$ 3.840
Repare que nesse caso não foi dado o valor do capital, portanto ficou 
difícil aplicar a fórmula J = C × i × n 
Achamos primeiramente o capital, daí subtraímos este do Montante para 
se calcular os Juro.
Resolvendo montante por regra de três “quadradinho do Pimentel”:
Uma vez que o montante é o valor final de uma aplicação e os juros repre-
senta o acréscimo em relação ao valor inicial (Capital), então temos:
Montante = Capital + Juros
(100 + i × n) 100 (i × n) %
R$ R$ R$ R$
 Onde o cálculo do juro se dá pela multiplicação da taxa e do perío-
do. Desta forma, no “quadradinho do Pimentel” temos: (qualquer duvida verificar 
no capítulo de porcentagem).
Matemática • PP211
Anotações
Prof. Pimentel
Ao usar essa ferramenta, no caso de montante, na linha da porcentagem, 
a célula reservada para o juros, sempre será (i × n); a do capital (100%) e a do Mon-
tante (100 + i × n). Na linha de R$, colocaremos na célula o valor conhecido e um 
x na célula cujo valor estamos procurando.
Exemplo 1
Determinar o juro de uma aplicação à taxa de 5% a.m. e que após 4 me-
ses, gerou um montante de R$ 72.000,00.
{ M = 72.000J = ?i = 4% a.m
n = 5 meses
 Montante = Capital + Juros
x = 20 × 72.000 = 12.000120120 100 20 × (i × n) %
72.000 x R$
 
Portanto o Juro é R$ 40.000,00
Exemplo 2
Após 3 meses de aplicação a juro simples, um aplicador resgatou um mon-
tante de R$ 23.600,00. Qual o valor do juro se a taxa contratada foi de 6% a m?
{
M = 23.600
J = ?
C = ?
n = 3 meses
i = 6% a.m
(n × i) = 3 × 6 = 18%
 Montante = Capital + Juros
x = 23.600 × 18 = 3.600118118 100 18 %
23.600 x R$
 Portanto o juro é R$ 3.600,00 
CALCULANDO TEMPO MÉDIO, TAXA MÉDIA OU CAPITAL MÉDIO
Introdução
Se uma pessoa fizer os seguintes investimentos no regime de juros simples:
CAPITAL 
R$
TAXA 
% a.m
TEMPO 
meses
1º 20.000,00 3,5 4
2º 45.000,00 5 6
3º 25.000,00 6 3
4º 30.000,00 4 5
Prof. Pimentel
Matemática • PP212
AnotaçõesCom esses dados podemos pedir para ser calcular a taxa média.
Para fazermos o cálculo, a somatória dos juros das aplicações deverá ser 
igual quando calculado com a taxa média.
Assim teremos: 
J1 = 20.000 ×
3,5 × 4 = 2.800100
J2 = 45.000 ×
5 × 6 = 13.500100
J3 = 25.000 ×
6 × 3 = 4.500100
J4 = 30.000 ×
4 × 5 = 6.000100
Calculando com a taxa média, teremos:
J1 = 20.000 × im × 4 = 80.000 × im 
J2 = 45.000 × im × 6 = 270.000 × im 
J3 = 25.000 × im × 3 = 75.000 × im
J4 = 30.000 × im × 5 = 150.000 × im
 Somatório dos juros = 575.000 × im 
Como os somatórios são iguais, temos a igualdade: 575.000 × im = 26.800
Portanto: im =
26.800
575.000
im = 0,0466 = 4,66%
A taxa média é de 4,66%
Observem que o numerador foi a somatória J1 + J2 + J3 +J4 e o denomina-
dor somatória do Capital × taxa, de cada uma das aplicações.
Para achar o tempo médio o numerador continua o mesmo só que o de-
nominador será a somatória do Capital × taxa.
Para achar o valor médio o numerador continua o mesmo só que o deno-
minador será a somatória da taxa × tempo.
Matemática • PP213
Anotações
Prof. Pimentel
Facilitando as coisas:
im =
J1 + J2 + J3 onde J’ = C × n (não tem taxa)J’1 + J’2 + J’3
nm =
J1 + J2 + J3 onde J’ = C × i (não tem tempo)J’1 + J’2 + J’3
Cm =
J1 + J2 + J3 onde J’ = i × n (não tem Capital)J’1 + J’2 + J’3
 
 Exemplo de aplicação
Determinar a taxa média, o tempo médio e também o valor médio das 
seguinte aplicações feita de através do sistema de juros simples.
CAPITAL 
R$
TAXA 
% a.m
TEMPO 
meses
1º 20.000,00 4 4
2º 30.000,00 5 6
3º 25.000,00 6 3
Para aplicação, podemos na série do Capital dividir tudo por 5.000,00 
(esse procedimento não altera o resultado, pois estaremos dividindo os valores do 
numerador e também do denominador pelo mesmo número).
Após o cancelamento o quadro ficará:
C i n C × i × n C × n C × i i × n
1º 4 4 4 64 16 16 16
2º 6 5 6 180 36 30 30
3º 5 6 3 90 15 30 18
Somatório 334 67 46 64
Assim, temos : 
im =
334 = 4,985 %
67
nm =
334
= 7,26 meses = 7 meses +
26 m
46 100
nm = 7 m e 8 d
Cm =
334
× 5.000 Como dividimos, temos que multiplicar, uma vez que o capital foi para o denominador.64
Cm = 26.093,75
Prof. Pimentel
Matemática • PP214
AnotaçõesQUESTÕES DE CONCURSOS
1) VUNESP - Agente de Segurança Penitenciária - Secretaria da Administração 
Penitenciária - 2013 
Renato pediu R$ 3.000,00 emprestados para pagar depois de 5 meses, à taxa de 3% ao 
mês, no regime de juro simples. Ao fim desse período, Renato deverá pagar, de juro,
(A) R$ 45,00.
(B) R$ 90,00.
(C) R$ 180,00.
(D) R$ 450,00.
(E) R$ 900,00.
2) VUNESP - Operador de Camera - Prefeitura de Sorocaba - 2014
Um empréstimo foi efetuado para ser pago, em uma só vez, dois meses após a sua 
realização, à taxa de juros simples de 4% ao mês. Se os juros desse empréstimo cor-
respondem a R$ 100,00, então é verdade que o capital emprestado foi de
(A) R$ 750,00.
(B) R$ 1.000,00.
(C) R$ 1.250,00.
(D) R$ 1.500,00.
(E) R$ 1.750,00.
3) VUNESP - Assistente Adm. e Téc. - Emplasa - 2014
Um capital de x reais foi aplicado no sistema de juros simples a uma taxa de 0,8% 
ao mês, e o montante resgatado, ao final da aplicação, foi de 1,12 x. Desse modo, é 
correto afirmar que esse capital permaneceu aplicado durante
(A) 10 meses.
(B) 11 meses.
(C) 1 ano.
(D) 1 ano e 3 meses.
(E) 1 ano e 5 meses.
4) VUNESP - Agente de escolta - Secretaria da Administração Penitenciária - 2013
Elias pediu emprestado R$ 2.600,00 a juro simples com uma taxa de 2,5% ao mês. Se 
o montante da dívida ficou em R$ 3.250,00, o tempo, em meses, que ele demorou 
para quitar sua dívida foi
(A) 7. (B) 8. (C) 9. (D) 10. (E) 11. 
5) VUNESP - Agente de escolta - Sec. Adm. Penitenciaria - 2013
A taxa mensal de juro simples de uma aplicação é de 0,60%. O número de meses 
necessários para que um capital de R$ 1.000,00 colocado nessa aplicação renda um 
juro de, no mínimo, R$ 50,00 é
(A) 9. (B) 11. 
 
(C) 15. (D) 7. (E) 13. 
 
6) VUNESP - Agente de Segurança Penitenciária - Secretaria da Administração 
Penitenciária - 2013
Uma pessoa deseja aplicar seu capital à taxa de 6% a.m., a juro simples, para obter 
R$ 6.000,00 de juro em 4 meses. Para isso, ela deverá aplicar
(A) R$ 50.000,00.
(B) R$ 36.000,00.
(C) R$ 32.000,00.
(D) R$ 29.000,00.
(E) R$ 25.000,00.
7) VUNESP - Tesoureiro - Câmara Municipal de São Carlos - 2013
João aplicou um capital de R$ 500,00 a juro simples com taxa de 0,4% ao mês, 
durante certo tempo, e Pedro aplicou R$ 800,00, também a juro simples, por um 
período de tempo equivalente a 1/3 do tempo da aplicação de João e obteve um 
juro 40% superior ao juro obtido por João. Ataxa mensal de juro da aplicação de 
Pedro era
(A) 0,65%. 
(B) 0,70%. 
(C) 0,85%. 
(D) 0,90%. 
(E) 1,05%.
Matemática • PP215
Anotações
Prof. Pimentel
8) VUNESP - Agente de Trânsito - Detran - 2013
Uma pessoa que aplica um capital a juros simples, durante 4 anos com a taxa de 2% 
a.m., no final desse período irá resgatar, em relação ao capital inicial, quase o
(A) sêxtuplo.
(B) quíntuplo.
(C) triplo.
(D) quádruplo.
(E) dobro.
9) VUNESP - Agente de Segurança Penitenciária - Secretaria da Administração 
Penitenciária - 2013
Para resgatar, no mínimo, o triplo de um capital aplicado a juro simples, à taxa de 5% a.m., 
o tempo, em meses, que uma pessoa tem de esperar é
(A) 30. (B) 50. (C) 10. (D) 20. (E) 40.
10) VUNESP - TÉCNICO DE SUPORTE - PROCON-SP - 2013
João colocou um capital de R$ 500,00 em uma aplicação A, a juro simples por 8 meses, 
com taxa de 0,5% ao mês. Ao término desse período retirou o montante (capital + juro) 
e colocou todo o valor em uma aplicação B, também a juro simples, por mais 5 meses. 
Sabendo que o valor do juro da aplicação B, após esses 5 meses, foi de R$ 18,20, então a 
taxa mensal de juro dessa aplicação B era de
(A) 0,50%. 
(B) 0,55%. 
(C) 0,60%. 
(D) 0,65%. 
(E) 0,70%.
11) VUNESP – Câmara de Sertãozinho – Escriturário – 2014
Um capital foi aplicado a juro simples, com taxa de 1,2% ao mês. O tempo necessá-
rio para que essa aplicação renda um juro que corresponda a 30% do valor do capital 
aplicado será de
(A) 1 ano e 5 meses.
(B) 1 ano e 8 meses.
(C) 1 ano e 11 meses.
(D) 2 anos e 1 mês.
(E) 2 anos e 5 meses.
12) VUNESP – SEED/ PEB I – 2104
Um objeto sofreu um acréscimo de 20% e passou a custar R$ 180,00. Se o aumento 
tivesse sido de apenas 10%, esse objeto passaria a custar
(A) R$ 165,00.
(B) R$ 162,00.
(C) R$ 150,00.
(D) R$ 190,00.
(E) R$ 198,00.
13) VUNESP – TJSP – 2014
Norberto tomou dois empréstimos, que foram pagos após 2 meses com o acrésci-
mo de juro simples. No primeiro, de certo valor, a taxa de juros foi de 1% ao mês. 
No segundo, de valor R$ 1.600,00 maior que o do primeiro, a taxa de juros foi de 
1,5% ao mês. Sabendo que a soma dos juros pagos nos dois empréstimos foi igual 
a R$ 128,00, é correto afirmar que a soma dos valores desses dois empréstimos é 
igual a
(A) R$ 4.600,00.
(B) R$ 4.800,00.
(C) R$ 3.600,00.
(D) R$ 4.000,00.
(E) R$ 3.200,00.
Prof. Pimentel
Matemática • PP216
Anotações
15) FCC - Analista - Administração - Defensoria pública do RS - 2013
Artur pretende investir R$ 10.000,00 por um período de um ano. Por isso, está ava-
liando dois investimentos oferecidos pelo gerente de seu banco.
Investimento I: regime de juros simples, com taxa de 1% ao mês.
Investimento II: regime de juros compostos, com taxa de 6% ao semestre.
Ao comparar os dois investimentos, Artur concluiu que
(A) I é mais vantajoso, pois terá rendido R$ 36,00 a mais do que II após um ano.
(B) I é mais vantajoso, pois terá rendido R$ 18,00 a mais do que II após um ano.
(C) eles são indiferentes, pois ambos terão rendido R$ 1.200,00 após um ano.
(D) II é mais vantajoso, pois terá rendido R$ 18,00 a mais do que I após um ano.
(E) II é mais vantajoso, pois terá rendido R$ 36,00 a mais do que I após um ano.
16) FCC - Analista Legislativo - Assembleia Legislativa da Paraíba - 2013
Maria fará um empréstimo de R$ 10.000,00 para pagar depois de dois meses. As op-
ções possíveis de empréstimo são: 
Opção A: juros simples de 5% ao mês.
Opção B: juros compostos de 4% ao mês, capitalizados mensalmente.
A melhor opção para Maria, e o quanto ela gastará a menos que na outra opção 
são, respectivamente,
(A) B e R$ 176,00.
(B) A e R$ 85,00.
(C) A e R$ 200,00.
(D) B e R$ 184,00.
(E) B e R$ 120,00.
17) FCC - Analista Legislativo - TRT 4 - 2011
Uma pessoa fez duas aplicações em um regime de capitalização a juros simples: em 
uma delas, aplicou 2/5 de um capital de X reais à taxa mensal de 2% e, após 5 me-
ses, aplicou o restante à taxa mensal de 1,5%. Se, decorridos 15 meses da primeira 
aplicação, os montantes de ambas totalizavam R$ 21 780,00, o valor de X era
(A) R$ 20 000,00.
(B) R$ 18 000,00.
(C) R$ 17 500,00.
(D) R$ 16 500,00.
(E) R$ 16 000,00.
14) FCC – Nuricionista – Unifesp – 2014
Certo capital C foi aplicado a juros simples, a uma taxa de 9,6% ao ano, e o montante 
resgatado, ao final da aplicação, foi igual a 1,12 C. Esse capital permaneceu aplicado 
durante
(A) 1 ano e 2 meses.
(B) 1 ano e 3 meses.
(C) 1 ano e 4 meses.
(D) 1 ano e 5 meses.
(E) 1 ano e meio.
18) FCC - Analista de Desenvolvimento e Gestão - Metrô - 2014
O investimento J gera um rendimento de 1/4 do valor aplicado por um período 
de tempo x. O investimento K gera um rendimento de 1/2 do valor aplicado pelo 
mesmo período de tempo x. Nesses investimentos, os rendimentos são calculados 
e creditados sempre ao final dos períodos de tempo x. Um investidor aplica simul-
taneamente uma certa quantia em J e metade dessa quantia em K, e não retira 
dos investimentos os seus rendimentos obtidos. Após alguns períodos de tempo x, 
o montante aplicado em K supera o montante aplicado em J. Quando isso ocorre, 
essa superação corresponde a uma fração, da quantia inicial aplicada em J, igual a
(A) 11/32 
(B) 25/64 
(C) 5/8
(D) 3/16
(E) 23/256
Matemática • PP217
Anotações
Prof. Pimentel
20) CCPP - 2012
Coloquei 3/7 do meu capital aplicados a 8% a.a., e o restante a 10% a.a., recebendo 
juro anual de R$4.850,00. Qual era o meu capital? Sugestão: dar um valor que seja 
conveniente para o Capital, achar os juros conforme as condições do problema, 
determinar o Capital procurado através da regra de três.
19) FCC – Técnico Administrativo – Câmara Municipal de São Paulo – 2014 
José Luiz aplicou R$ 60.000,00 num fundo de investimento, em regime de juros 
compostos, com taxa de 2% ao mês.
Após 3 meses, o montante que José Luiz poderá sacar é
(A) R$ 63.600,00.
(B) R$ 63.672,48.
(C) R$ 63.854,58.
(D) R$ 62.425,00.
(E) R$ 62.400,00.
(A) 53.046,87
(B) 5.304,87
(C) 22.423,44
(D) 12.423,09
21) (BB–ESCRITURÁRIO-CESGRANRIO) 
Um investidor aplicou certa quantia em um fundo de ações. Nesse fundo, 1/3 das 
ações eram da empresa A, 1/2 eram da empresa B e as restantes, da empresa C. Em 
um ano, o valor das ações da empresa A aumentou 20%, o das ações da empresa 
B diminuiu 30% e o das ações da empresa C aumentou 17%. Em relação à quantia 
total aplicada, ao final desse ano, este investidor obteve
(A) lucro de 10,3%.
(B) lucro de 7,0%.
(C) prejuízo de 5,5%.
(D) prejuízo de 12,4%.
(E) prejuízo de 16,5%.
22) (FCC - Escriturário-BB) 
Uma pessoa resolveu investir a quantia de R$ 200.000,00 em três investimentos 
diferentes. No investimento F, ela aplicou R$ 80.000,00. No investimento G, ela apli-
cou R$ 50.000,00 e no investimento H ela aplicou R$ 70.000,00. Após um período 
de tempo, os investimentos apresentaram os seguintes resultados:
- investimento F com ganho líquido de 5%.
- investimento G com ganho líquido de 3%.
- investimento H com perda de 2%.
O valor atualizado do total investido é, em reais, igual a
(A) 200.500,00.
(B) 204.100,00.
(C) 198.500,00.
(D) 201.500,00.
(E) 206.900,00.
23) (BB–ESCRITURÁRIO-CESGRANRIO) 
João tomou um empréstimo de R$ 900,00 a juros compostos de 10% ao mês. Dois 
meses depois, João pagou R$ 600,00 e, um mês após esse pagamento, liquidou o 
empréstimo. O valor desse último pagamento foi, em reais, aproximadamente,
(A) 240,00
(B) 330,00
(C) 429,00
(D) 489,00
(E) 538,00
Prof. Pimentel
Matemática • PP218
Anotações24) (IDECAN – Técnico Bancário) 
Sabe-se que uma certa caderneta de poupança foi aberta no primeiro dia do mês dejunho de 2011 com o valor inicial de R$10.000,00. Considere um rendimento fixo de 
2% ao mês. Então, o valor acumulado foi igual a R$10.612,08 no dia 1° do mês de
(A) agosto.
(B) setembro.
(C) outubro.
(D) novembro.
(E) dezembro.
25) (Cespe)
No regime de juros simples, as taxas de 3% ao mês e 36% ao ano, aplicadas sobre 
o capital de R$ 100,00 e pelo prazo de dois anos, são proporcionais, pois ambas 
produzem o montante de R$ 172,00. 
Gabarito
1) D 14) B
2) C 15) E
3) D 16) D
4) D 17) B
5) A 18) E
6) E 19) B
7) E 20) A
8) E 21) C
9) E 22) B
10) E 23) E
11) D 24) B
12) A 25) CERTO
13) B
	Capa-generico-EAD
	Indice-EAD
	Modulo 01 - Números Decimais-EAD
	Modulo 02 - Números Não Decimais-EAD
	Modulo 03 - Multiplos e Divisores-EAD
	Modulo 04 - Média-EAD
	Modulo 05 - Frações ou Números Racionais-EAD
	Modulo 06 - Potenciação e Radiciação-NOVO-EAD
	Modulo 07 -Regra de Tres-EAD
	Modulo 08 - Razão-EAD
	Modulo 09 - Proporção-EAD
	Módulo 10 - Geometria-EAD
	Modulo 11 - Algebra-EAD
	Modulo 12 - Porcentagem-EAD
	Modulo 13 - Juros-EAD